圓錐曲線定點(diǎn)定直線定值問題

1、定點(diǎn)、定直線、定值專題1、已知橢圓c的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓c上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1（）求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線l : ykxm 與橢圓c相交于a，b兩點(diǎn)（ab，不是左右頂點(diǎn)） ，且以ab為直徑的圓過橢圓c的右頂點(diǎn)，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)【標(biāo)準(zhǔn)答案】(i)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為22221(0)xyabab3,1acac，22,1,3acb221.43xy(ii) 設(shè)1122(,),(,)a xyb xy，由22143ykxmxy得222(34)84(3)0kxmkxm，22226416(34)(3)0m kkm，22340km. 21212

2、2284(3),.3434mkmxxxxkk22221212121223(4)() ()().34mkyykxmkxmk x xmk xxmk以 ab 為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)(2,0),d1adbdkk，1212122yyxx，(最好是用向量點(diǎn)乘來)1212122()40y yx xxx，2222223(4)4(3)1640343434mkmmkkkk，2271640mmkk，解得1222 ,7kmk m，且滿足22340km. 當(dāng)2mk時(shí)，:(2)lyk x，直線過定點(diǎn)(2,0),與已知矛盾；當(dāng)27km時(shí)，2:()7lyk x，直線過定點(diǎn)2(,0).7綜上可知，直線l過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為2(

3、,0).72、已知橢圓c 的離心率3e2，長軸的左右端點(diǎn)分別為1a2 ,0 ，2a2 , 0 。 （）求橢圓c 的方程；（）設(shè)直線xmy1與橢圓 c 交于 p、q 兩點(diǎn)，直線1a p與2a q 交于點(diǎn) s。試問：當(dāng)m 變化時(shí)，點(diǎn)s是否恒在一條定直線上若是，請(qǐng)寫出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說明理由。解法一：（）設(shè)橢圓c的方程為2222xy1 ab0ab。1 分a2，c3ea2， c3 ，222bac1。4 分橢圓c的方程為222xy14。 5 分（）取 m0,得33p 1,q 1,22，直線1a p 的方程是33yx,63直線2a q 的方程是3yx3,2交點(diǎn)為1s 4,3 . 7

4、 分 , 若33p 1,q 1,22，由對(duì)稱性可知交點(diǎn)為2s4,3 .若點(diǎn)s在同一條直線上，則直線只能為: x4。8 分以下證明對(duì)于任意的m, 直線1a p 與直線2a q 的交點(diǎn)s均在直線: x4上。事實(shí)上，由22xy14xmy1得22my14y4, 即22m4 y2my30，記1122p x ,y,q x ,y，則1212222m3yy,y ym4m4。9 分設(shè)1a p 與交于點(diǎn)00s (4,y ), 由011yy,42x2得1016yy.x2設(shè)2a q 與交于點(diǎn)00s (4, y ), 由022yy,42x2得2022yy.x210 1200126y2yyyx2x21221126ymy1

5、2ymy3x2x21212124my y6 yyx2x2221212m12mm4m40 x2x2， 12 分00yy，即0s 與0s 重合，這說明，當(dāng)m 變化時(shí)，點(diǎn)s恒在定直線:x4上。13 分解法二： （）取m0,得33p 1,q 1,22，直線1a p 的方程是33yx,63直線2a q 的方程是3yx3,2交點(diǎn)為1s4,3 . 7 分取 m1,得8 3p,q 0, 15 5，直線1a p的方程是11yx,63直線2a q 的方程是1yx1,2交點(diǎn)為2s4,1 .若交點(diǎn)s在同一條直線上，則直線只能為: x4。 8 分以下證明對(duì)于任意的m, 直線1a p 與直線2a q 的交點(diǎn)s均在直線:

6、x4上。事實(shí)上，由22xy14xmy1得22my14y4,即22m4 y2my30，記1122p x ,y,q x ,y，則1212222m3yy,y ym4m4。9 分1a p 的方程是11yyx2 ,x22a q 的方程是22yyx2 ,x2消去y,得1212yyx2x2x2x2以下用分析法證明x4時(shí)，式恒成立。要證明式恒成立，只需證明12126y2y,x2x2即證12213ymy1ymy3 ,即證12122my y3 yy.1212226m6m2my y3 yy0,m4m4式恒成立。 這說明， 當(dāng) m 變化時(shí)， 點(diǎn)s恒在定直線:x4上。解法三：（）由22xy14xmy1得22my14y4

7、, 即22m4 y2my30。記1122p x ,y,q x ,y，則1212222m3yy,y ym4m4。6 分1a p的方程是11yyx2 ,x22a q 的方程是22yyx2 ,x27 分由1122yyx2 ,x2yyx2 ,x2得1212yyx2x2 ,x2x29 分即21122112yx2yx2x2yx2yx221122112ymy3ymy12ymy3ymy11221212my y3yy23yy112211232m2m3yym4m424.2m3yym412 分這說明，當(dāng)m 變化時(shí)，點(diǎn)s恒在定直線: x4上。13 分3、已知橢圓e的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的

8、最小值為21，離心率為2e2（）求橢圓e的方程；（）過點(diǎn)1, 0 作直線交e于p、 q 兩點(diǎn)，試問：在x 軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)m， mp mq 為定值若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)m的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解： （ i）設(shè)橢圓e 的方程為2222xy1ab,由已知得：ac21c2a2。 。 。 。 。2 分a2c1222bac1橢圓 e 的方程為22xy12。 。 。 。3 分（）法一：假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)m(m,0) ，又設(shè)1122p(x ,y ),q(x,y ) ，則：11221212mp(xm, y ),mq(xm, y ),mpmq(xm) (xm)y y2121212x xm(xx )my

9、 y 。 。 。 。 。 5 分當(dāng)直線 l 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l 的方程為：yk(x1)，則由22xy12yk(x1)得222x2k (x1)202222(2k1)x4k x(2k2)0221212224k2k2xx, xx2k12k17 分222121212122ky yk (x1)(x1)k x x(xx )12k1所以22222222k24kkmp mqmm2k12k12k12222(2m4m1)k(m2)2k19 分對(duì)于任意的k值， mp mq 為定值，所以222m4m12(m2) ，得5m4，所以57m(,0),mpmq416；11 分當(dāng)直線 l 的斜率不存在時(shí)，直線1212121

10、l: x1,xx2,x x1,y y2由5m4得7mp mq16綜上述知，符合條件的點(diǎn)m存在，起坐標(biāo)為5(,0)413 分法二：假設(shè)存在點(diǎn)m(m,0) ，又設(shè)1122p(x ,y ),q(x ,y ),則：1122mp(xm,y ),mq(xm, y )1212mp mq(xm) (xm)y y =2121212x xm(xx )my y . 5 分當(dāng)直線 l 的斜率不為0 時(shí)，設(shè)直線l 的方程為 xty1，由22xy12xty1得22(t2)y2ty101212222t1yy,yyt2t27 分222212122121222t2tt22t2x x(ty1) (ty1)t y yt(yy )1

11、t2t2221212222t2t44xxt(yy )2t2t2222222t24m1mp mqmt2t2t22222(m2)t2m4m1t29 分設(shè) mp mq則2222(m2)t2m4m1t22222222(m2)t2m4m1(t2)(m2)t2m4m12022m202m4m1205m47165m(,0)411 分當(dāng)直線 l 的斜率為0 時(shí)，直線 l: y0，由5m(,0)4得：55257mp mq(2) (2)2441616綜上述知，符合條件的點(diǎn)m存在，其坐標(biāo)為5(,0)4。 。 。 。13 分4、已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線24xy的焦點(diǎn)，離心率25e，過橢圓的右焦點(diǎn)

12、f作與坐標(biāo)軸不垂直的直線l，交橢圓于a、b兩點(diǎn)。（i）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)點(diǎn)(,0)m m是線段of上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且()mambab，求m的取值范圍；（）設(shè)點(diǎn)c是點(diǎn)a關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)n，使得c、b、n三點(diǎn)共線若存在，求出定點(diǎn)n的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由。解法一：（i）設(shè)橢圓方程為22221(0)xyabab，由題意知1b2222255abaa故橢圓方程為2215xy（）由（ i）得(2,0)f，所以02m，設(shè)l的方程為(2)yk x（0k）代入2215xy，得2222(51)202050kxk xk設(shè)1122(,),(,),a xyb xy則2212122220

13、205,5151kkxxx xkk,12121212(4),()yyk xxyyk xx112212122121(,)(,)(2 ,),(,)mambxm yxm yxxm yyabxxyy12212112(),()0,(2 )()()()0mambabmambabxxm xxyyyy2222220420,(85)05151kkmm kmkk由280,0855mkmm，當(dāng)805m時(shí)，有()mambab成立。（）在x軸上存在定點(diǎn)5(,0)2n，使得c、b、n三點(diǎn)共線。依題意知11(,)c xy，直線 bc 的方程為211121()yyyyxxxx， 令0y，則121122112121()y xx

14、y xy xxxyyyyl的方程為(2),yk xa、b在直線l上，1221121211221212(1)(1)22 ()(2),(2)()4()4k xxk xxkx xk xxyk xyk xxk xxkk xxk222222205202255151202451kkkkkkkkkk在x軸上存在定點(diǎn)5(,0)2n，使得c b n三點(diǎn)共線。解法二：（）由（ i）得(2,0)f，所以02m。設(shè)l的方程為(2) (0),yk xk代入2215xy，得2222(51)202050kxkk設(shè)1122(,),(,),a x yb xy則2212122220205,5151kkxxx xkk1212121

15、224(4),()51kyyk xxyyk xxk2211221212121222212(), | |,()(),(2 )()()()0,(1)()240,(85)0mambabmambxmyxmyxxm xxyyyykxxmkm km2222888)0,05155(51kmkkkk805m當(dāng)805m時(shí)，有()mambab成立。（）在x軸上存在定點(diǎn)5(,0)2n，使得c、b、n三點(diǎn)共線。設(shè)存在( ,0),n t使得c、b、n三點(diǎn)共線，則/cbcn，122111(,),(,)cbxxyycntx y，211112()()()0 xx ytxyy即211112() (2)() (4)0 xx k

16、xtx k xx12122(2)()40 x xtxxt2222205202(2)405151kkttkk，52t存在5(,0)2n，使得c b n三點(diǎn)共線。6、（福建卷）已知橢圓1222yx的左焦點(diǎn)為f，o 為坐標(biāo)原點(diǎn)。（）求過點(diǎn)o、f，并且與橢圓的左準(zhǔn)線l 相切的圓的方程；（）設(shè)過點(diǎn)f 且不與坐標(biāo)軸垂直交橢圓于a、b 兩點(diǎn)，線段ab 的垂直平分線與x 軸交于點(diǎn)g，求點(diǎn) g 橫坐標(biāo)的取值范圍. 本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識(shí)，考查平面解析幾何的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力。解： （i）222,11,( 1,0), :2.abcflx圓過點(diǎn) o、f，m 在直線12x上。設(shè)1(, ),2mt則圓半徑13()( 2).22r由,omr得2213(),22t解得2.