(word完整版)圓錐曲線題型的解題技巧總結(jié),推薦文檔

1、圓錐曲線一概念、方法、題型、及應(yīng)試技巧總結(jié) 1. 圓錐曲線的兩個定義 （1） 第一定義中要重視“括號”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個定點 F1，F(xiàn)2的距離 的和等于常數(shù)2a，且此常數(shù)2a 一定要大于 F1F2，當常數(shù)等于 F1F2時，軌跡是線段 F1F2，當常數(shù)小于F1 F2時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點 F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值 等于常數(shù)2a，且此常數(shù)2a一定要小于 1卩汗2丨，定義中的“絕對值”與2a V|F1F2|不 可忽視。若2a = |F 1F2|，則軌跡是以 F1 , F2為端點的兩條射線，若 2a |F 1 F2 |，則 軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支

2、。 如（1）已知定點F1（ 3,0）,F2（3,0），在滿足下列條件的平面上動點 P 的軌跡中是橢圓 的是 A PF1I PF2 4 B |PF1 IPF2I 6 C |PF1 | PF2 10 2 2 D PF1 PF2 12 （答：C）; （2）方程 y2 7（x 6）2 y2 8表示的曲線是 _ （答：雙曲線的左 支） （2） 第二定義中要注意定點和定直線是相應(yīng)的焦點和準線 ，且“點點距為分子、點 線距為分母”，其商即是離心率e。圓錐曲線的第二定義， 給出了圓錐曲線上的點到焦點距 離與此點到相應(yīng)準線距離間的關(guān)系，要善于 運用第二定義對它們進行相互轉(zhuǎn)化 。 2 如已知點Q（2j2,0）及拋

3、物線y 上一動點 P （x,y）,則 y+|PQ|的最小值是 _ 4 （答: 2） 2. 圓錐曲線的標準方程 （標準方程是指中心（頂點）在原點，坐標軸為對稱軸時的標 準位置的方程）： 2 （1）橢圓：焦點在x軸上時務(wù) a 2 其中為參數(shù)），焦點在y軸上時每 a 2 y_ b2 2 x b2 y acos （參數(shù)方程， 0)。方程 Ax2 By2 C表示橢 圓的充要條件是什么？（ 如（1）已知方程 ABC 工 0,且 A , B , C 同號, 2 x 3 k 1表示橢圓， 則k的取值范圍為 （答： 1 1 (3, 2(答: .,1 -、 2 若 x, y R , 5,2) 且3x2 2y2 6

4、，則 x y的最大值是 2 y的最小值是 (2) （a 0,b B 異號）。 2 y 2 a 2 2 雙曲線：焦點在x軸上： 2 x 2 a 2 芯=1 ,焦點在y軸上： b x2 7 =1 0 ）。方程Ax By C表示雙曲線的充要條件是什么？ （ ABC 工 0,且 A , （2）設(shè)中心在坐標原點 0,焦點F1、F2在坐標軸上，離心率 e 、2的雙曲線 C 過點P（4, 陌，則 C 的方程為 _ （答: x2 y2 6） （3）拋物線：開口向右時 y2 2px（p 0），開口向左時y2 2px（p 0），開口 2 2 向上時x 2 py（ p 0），開口向下時x 2 py（ p 0）。 3

5、. 圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標準方程，然后再判斷）： （1）橢圓：由x2, y 2分母的大小決定，焦點在分母大的坐標軸上。 2 2 如已知方程 一 1表示焦點在 y 軸上的橢圓，則 m 的取值范圍是 _（答： m 1 2 m （,1） （1,|） （2） 雙曲線：由x 2, y 2項系數(shù)的正負決定，焦點在系數(shù)為正的坐標軸上； （3） 拋物線：焦點在一次項的坐標軸上，一次項的符號決定開口方向。 特別提醒:（1）在求解橢圓、雙曲線問題時，首先要判斷焦點位置，焦點 F1，F(xiàn)2的 位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標準方程的類型，而方程中的兩 焦點：兩個焦點（c,0）:對稱性：

6、兩條對稱軸x 0, y 0，個對稱中心（0,0）， 兩個頂點（a,0），其中實軸長為 2a，虛軸長為 2b，特別地，當實軸和虛軸的長相等時,如（1）雙曲線的離心率等于 2 _ （答：-y2 1 ）； 4 ，且與橢圓- 2 9 2 y_ 4 1有公共焦點， 則該雙曲線的方 個參數(shù)a,b，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件; 線問題時，首先要判斷開口方向； （2）在橢圓中，a最大，a2 2 2 2 c最大，c a b。 4.圓錐曲線的幾何性質(zhì)： 2 2 務(wù)占 1（ a a b c,0）:對稱性： （1）橢圓（以 b 0 ）為例）： 范圍： b2 在求解拋物 2 c，在雙曲線中,

7、 x a, b 焦點：兩個焦點（ 兩條對稱軸x 0,y 0， 一個對稱中心（ 四個頂點（a,0） , （0, b），其中長軸長為 2a，短軸長為 2b ；準線：兩條準線x 0,0）， 2 a c 離心率：e C， a 橢圓 e越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁。 2 x_ 5 （2）以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為 軸的最小值為（答：22） y2 1 （ a 0, b 0）為例）：范圍：x 2 如（1）若橢圓 1的離心率e F，則m的值是_（答：3或號 1 時，則橢圓長 ） ； （2）雙曲線（以 a2 a 或 x a, y R ； a2 稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為 x2 y

8、2 k,k 0 ;準線：兩條準線x ；離 c 心率：e C，雙曲線 e 1，等軸雙曲線 e 2 , e越小，開口越小， a 開口越大； 兩條漸近線：y -x。 a 如(1 )雙曲線的漸近線方程是 3x 2y 0,則該雙曲線的離心率等于 _ (2)雙曲線ax2 by2 1的離心率為. /5，則 a:b = 1 (答：4 或 ； 4 2 (3)設(shè)雙曲線x2 a 2 y b2 1 (a0,b0) 中，離心率 e 2 ,2,則兩條漸近線夾角 B的取值范圍是 (答: ,)； 3 2 (3)拋物線(以y2 2px(p 0)為例) :范圍：x 0, y R ;焦點：一個焦點 曲線相交不一定有 0，當直線與雙

9、曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有 e越大, (-P 0)，其中p的幾何意義是：焦點到準線的距離； 2， 對稱性 :一條對稱軸 0,沒有 對稱中心，只有一個頂點(0,0)；準線：一條準線x 離心率: -，拋物 a 如設(shè)a 0,a 5、點 P(xo, 2 2 X yo 2 .2 a b 2 2 Xy。 2 y 4ax的焦點坐標為 1 ；( 2)點P(x, y)在橢圓上 2 X。 2 a 的關(guān)系： 1) (答:(0,16a )； (1)點P(x。, y。)在橢圓 (3)點P(x, y)在橢圓 b2 1 a 6 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 ： (1)相交： 0 直線與橢圓相交； 直線與雙曲線相

10、交，但直線與雙 外 R，則拋物線 2 x y。)和橢圓飛 2 個交點，故 0是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件； 0 直線與拋 物線相交，但直線與拋物線相交不一定有 0,當直線與拋物線的對稱軸平行時，直線 與拋物線相交且只有一個交點，故 0也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必 要條件。 女口( 1)若直線 y=kx+2 與雙曲線 x2-y2=6 的右支有兩個不同的交點，貝 U k 的取值范圍 是 _ (答：(-15,-1); 3 x2 (2)直線 y kx 仁 0 與橢圓 5 (答: 1 , 5)U( 5, +R); 2 2 (3)過雙曲線- y 1的右焦點直線交雙曲線于 A、

11、B 兩點，若|AB|= 4,則 1 2 這樣的直線有 條3 )； (2)相切: 0 直線與橢圓相切； 0 直線與雙曲線相切； 0 直 線與拋物線相切； (3)相離: 0 直線與橢圓相離； 0 直線與雙曲線相離； 0 直 線與拋物線相離。 特別提醒： (1)直線與雙曲線、拋物線只有 個公共點時的位置關(guān)系有兩種情形 :相 切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時 ，直線與雙曲線相交，但只有一個交點；如果 2 2 直線與拋物線的軸平行時，直線與拋物線相交，也只有一個交點；(2)過雙曲線 篤 爲=1 a2 b2 外一點P(Xo,yo)的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下： P 點在兩條漸近線之間且

12、不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切 線，共四條；P 點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的 直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條； P 在兩條漸近線上但非原點，只有兩 條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線； P 為原點時不存在這樣的直線；(3) 過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱 軸的直線。 如(1)過點(2,4)作直線與拋物線y2 8x只有一個公共點，這樣的直線有 _ (答: 2 L 1有且僅有一個公共點的直線的斜率的取值范圍為 16 作 4 4亦、 _ (答: -，

13、3 3 2 (3) 過雙曲線X2 紅 1的右焦點作直線I交雙曲線于 A、B 兩點，若AB 4,則 2 滿足條件的直線l有 _ 條(答：3)； (4) 對于拋物線 C: y2 4x，我們稱滿足y02 4x0的點M(x,y)在拋物線的內(nèi) 部，若點M(x0,y0)在拋物線的內(nèi)部，則直線l : y0y 2(x x0)與拋物線 C 的位置關(guān)系是 (答： 相離)； (5) 過拋物線y2 4x的焦點F作一直線交拋物線于 P、Q 兩點，若線段 PF 與 FQ 1 1 的長分別是p、q，則1 1 _ (答: 1)； p q 2 2 (6) 設(shè)雙曲線- 1的右焦點為F，右準線為I，設(shè)某直線 m交其左支、右 16

14、91恒有公共點，則 m 的取值范圍是 _ 2)； 2 X (2)過點(0,2)與雙曲線一 9 2 支和右準線分別于 P,Q,R，則 PFR和 QFR的大小關(guān)系為 或等于）（答：等于）； （7） 求橢圓7x2 4y2 28上的點到直線3x 2y 16 0的最短距離（答： 匕蘭）； 13 （8） 直線y ax 1與雙曲線3x2 y2 1交于A、B兩點。當a為何值時，A、B分 別在雙曲線的兩支上？當 a為何值時，以 AB 為直徑的圓過坐標原點？（答： 3, 3 : a 1 ）； 7、焦半徑（圓錐曲線上的點 P 到焦點 F 的距離）的計算方法：利用圓錐曲線的第二 定義，轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準線的距離，即焦半徑

15、r ed，其中d表示 P 到與 F 所對應(yīng)的準線的 距離。 2 1 上一點 P 到橢圓左焦點的距離為 3，則點 P 到右準線的 16 （2） 已知拋物線方程為y2 8x，若拋物線上一點到 y軸的距離等于 5,則它到拋物 線的焦點的距離等于 _ ； （3） 若該拋物線上的點 M到焦點的距離是 4，則點 M的坐標為 7,（2, 4）； 2x上的兩點 A、B 到焦點的距離和是 5,則線段 AB 的中點到y(tǒng)軸 2）； 2 （6）橢圓 1內(nèi)有一點P（1, 1），F(xiàn) 為右焦點，在橢圓上有一點 M，使 4 3 2恵 （答：（，1）； 8、焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形） 問題：常利用

16、第 一定義和正弦、余弦定理求解。設(shè)橢圓或雙曲線上的一點 P（xo,y。）到兩焦點F1, F2的距離 x2 分別為r1,r2，焦點 F1PF2的面積為S，則在橢圓二 （填大于、小于 距離為 2 如（1）已知橢圓 I 25 （答：35）； 3 （答: （4 ） 點 P 在橢圓 2 x 25 P 的橫坐標為 （答: 2 Z 1上，它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩倍，則點 9 25）； 12 （5）拋物線y2 的距離為 _ （答: 2 x MP 2MF之值最小，則點 M 的坐標為 2 a2b2 arccos 1），且當* r2即P為短軸端點時, 最大為 b m ax arccos 2 2 c 2

17、； a 2 線X2 a b2 tan c| y01，當| y0 | b即P為短軸端點時, 2 2 兀2 芯 1的焦點三角形有： arccos 1 - b 怖 Smax的最大值1 : S RDsin 對于雙曲 b2 cot。 2 如 （1）短軸長為.、5，離心率e 2的橢圓的兩焦點為 F1、F2，過F1作直線交橢圓于 3 A、B 兩點，貝U ABF2的周長為 _ （答：6）; （2）設(shè) P 是等軸雙曲線 x2 y2 a2（a 0）右支上一點，F(xiàn)i、F2是左右焦點，若 PF2 Fi F2 0 , |PFi|=6，則該雙曲線的方程為 _ (答: X2 y2 4); 2 2 （3）橢圓匕 1的焦點為

18、Fi、F2,點 P 為橢圓上的動點，當 PF2 PFi 0 時, 9 4 （4） 雙曲線的虛軸長為 4，離心率 e= , Fi、F2是它的左右焦點，若過 Fi的直線 2 與雙曲線的左支交于 A、B 兩點，且 AB是AF2與BF2等差中項，則 AB = _ （答: 8 罷）; （5） 已知雙曲線的離心率為 2 , Fi、F2是左右焦點， P 為雙曲線上一點，且 2 2 FiPF2 60 , SPFF2 i2.3 求該雙曲線的標準方程（答： , y i）; 9、拋物線中與焦點弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì) ：（i）以過焦點的弦為直徑的圓和 準線相切；（2）設(shè) AB 為焦點弦，M 為準線與 x軸的交點，

19、則/ AMF=Z BMF （ 3）設(shè) AB 為焦點弦，A、B 在準線上的射影分別為 Ai , Bi，若 P 為 Ai Bi的中點，貝U PAL PB; （4）若 AO 的延長線交準線于 C,則 BC 平行于 x軸，反之，若過 B 點平行于 x軸的直線交準線于 C 點，貝U A, O, C 三點共線。 10、 弦長公式：若直線y kx b與圓錐曲線相交于兩點 A、B,且xi,x2分別為 A、 B 的橫坐標，則 AB = Ji k2|x x2 ,若yi, y2分別為 A、B 的縱坐標，則 AB = Ji 4r|yi y，若弦 AB 所在直線方程設(shè)為x ky b，則AB =Ji k2 y?。 k 特

20、別地，焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將 焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。 女口（ i）過拋物線 y2=4x 的焦點作直線交拋物線于 A （xi，yi）， B （X2，y2）兩點，若 xi+x2=6，那么 |AB|等于 _ （答：8）; （2）過拋物線y 2x焦點的直線交拋物線于 A、B 兩點，已知|AB|=i0，O 為坐標 原點，則 ABC 重心的橫坐標為 _ （答：3）; 11、 圓錐曲線的中點弦問題： 遇到中點弦問題常用 “韋達定理”或“點差法” 求解。 2 2 點 P 的橫坐標的取值范圍是 （答:（琴昔）； 5 5 k=-學 a y。

21、 ；在雙曲線 2 2 x y 2 ,2 a b i中，以P（x,y）為中點的弦所在直線的斜率 k= b2x a y ；在拋物線 在橢圓x2 占 i中，以P（x0,y。）為中點的弦所在直線的斜率 a b y2 2px（p 0）中，以P（x0,y。）為中點的弦所在直線的斜率 k=衛(wèi)。 x2 如(1)如杲橢圓 36 (答: x 2y 8 0 )； 2 1 弦被點 A ( 4, 2)平分，那么這條弦所在的直線方程是 9 (2)已知直線 2 y= x+1 與橢圓篤 a 2 -2 1(a - b 0)相交于 A、B 兩點，且線段 AB 的中點在直線 L: x 2y=0 上，則此橢圓的離心率為 (答：子);

22、 (3)試確定 的取值范圍，使得橢圓 2 y 1上有不同的兩點關(guān)于直線 3 y 4x m對稱(答: 特別提醒:因為 2.13 2 13 、 , )； 13 13 0是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件， 故在求解有關(guān)弦長、 對稱問題時，務(wù)必別忘了檢驗 0 ! 12.你了解下列結(jié)論嗎 ？ 2 J 1的漸近線方程為 -2 (1) 2 雙曲線 0 2 a y -x為漸近線(即與雙曲線 a 2 x 2 a 2 x 2 a 2 y_ b2 2 y b2 1共漸近線)的雙曲線方程為 2 x 2 a 2 y b2 (為參數(shù)， 工 0)。 2 如與雙曲線 9 2 乂 1) 4 2 y 1有共同的漸近線，且過點

23、 16 (32啟) 的雙曲線方程為 4x2 (答:竺 9 (3)中心在原點，坐標軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為 2 d ny 1; (4)橢圓、雙曲線的通徑(過焦點且垂直于對稱軸的弦)為 2 mx 0，焦準距(焦點到 a b2 相應(yīng)準線的距離)為，拋物線的通徑為 2p，焦準距為p ; c 通徑是所有焦點弦(過焦點的弦)中最短的弦； 若拋物線y2 2px(p 0)的焦點弦為 AB A(X1, yj, B(X2,y2)，則 2 p 4 2 y 2px(p (5) (6) | AB| (7) x1 x2 p : x1x2 若 OA OB 是過拋物線 恒經(jīng)過定點(2p,0) 13.動點軌跡方程：

24、(1) 求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點、列式、化簡、確定點的范圍; (2) 求軌跡方程的常用方法： 直接法：直接利用條件建立 x,y之間的關(guān)系F(x,y) 0 ； 0)頂點 O 的兩條互相垂直的弦，則直線 AB 如已知動點 P 到定點 F(1,0)和直線X 3的距離之和等于 4 求 P 的軌跡方程.(答： 2 2 y 12(x 4)(3 x 4)或 y 4x(0 x 3); 待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程一一先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方 程，再由條件確定其待定系數(shù)。 如線段 AB 過 x軸正半軸上一點 M (m, 0) (m 0)，端點 A、B 到 x軸距離之積為 2m,以 x軸為對稱

25、軸，過 A、0、B 三點作拋物線，則此拋物線方程為 _ 2 _ (答：y 2x)； 定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動 點的軌跡方程； 2 2 o 如(1)由動點 P 向圓x y 1作兩條切線 PA PB,切點分別為 A B,Z APB=60,貝y 動點 P 的軌跡方程為 _ (答： x y 4 )； (2)點 M 與點 F(4,0)的距離比它到直線I： X 5 0的距離小于 1,則點 M 的軌跡方程 是 (答：y2 _ 16x)； (3) 一動圓與兩圓O M： x2 y2 1和O N： x2 y2 8x 12 0都外切，則動圓圓 心的軌跡為 _ (答：雙

26、曲線的一支)； 代入轉(zhuǎn)移法：動點P(x,y)依賴于另一動點Q(x0,y)的變化而變化，并且Q(x,y0) 又在某已知曲線上，則可先用 x, y的代數(shù)式表示x0, y0，再將x0,y0代入已知曲線得要求 的軌跡方程； 2 如動點 P 是拋物線y 2x 1上任一點，定點為 A(0, 1),點 M 分 PA 所成的比為 2, 則 M 的軌跡方程為 _ (答：y 6X2 1 )； 3 參數(shù)法：當動點P(x, y)坐標之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動點可用時， 可考慮將x, y均用一中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程)。 女口( 1) AB 是圓 O 的直徑，且|AB|=2 a,

27、 M 為圓上一動點，作 MNLAB,垂足為 N,在 OM 上取點P，使|OP | | MN |，求點P的軌跡。(答：x2 y2 a | y |)； 2 2 (2) 若點P(x,y1)在圓x _ y 1上運動，則點Q(x1,X1 yj 的軌跡方程是 _ 2 1 (答: y2 2x 1(|x| 2)； (3) _ 過拋物線x2 4y的焦點 F 作直線l交拋物線于 A、B 兩點，則弦 AB 的中點 M的 軌跡方程是 _ (答：x2 2y 2 )； 注意：如果問題中涉及到平面向量知識，那么應(yīng)從已知向量的特點出發(fā)，考慮選擇 向量的幾何形式進行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化，還是選擇向量的代數(shù)形式進行“摘帽子或

28、脫靴子”轉(zhuǎn)化。 2 2 如已知橢圓篤與 1(a b 0)的左、右焦點分別是 F1 a b (-C, 0)、F2 (c, 0), Q 是橢圓外的動點，滿足| F1Q | 2a.點 P 是線段F1Q 與該橢圓的交點，點 T 在線段 F2Q 上，并且滿足 PT TF2 0,|TF2 | 0. ( 1 )設(shè)x為點 P 的橫坐標，證明 FIMF2= 2) 曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個不同的概念，尋求軌跡或軌跡方程時應(yīng)注 意軌跡上特殊點對軌跡的“完備性與純粹性”的影響 在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中， 常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合 (如角平分線 的雙重身份一一對稱性、利用到角公式)、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問題為代數(shù)問題、 “分類討論思想”化整為零分化處理、 “求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等 如果在一條直線上 出現(xiàn)“三個或三個以上的點 ”，那么可選擇應(yīng)用“斜率或向量” 為橋梁轉(zhuǎn)化 14、解析幾何與向量綜合時可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容 ： (1)給出直線的方向向量 u 1,k或u m, n ； (2) 給出OA OB與AB相交，等于已知OA OB過AB的中點； (3) 給出PM PN 0,等于已知P是MN的中點； (4) 給出AP AQ BP BQ ,等于已知P,Q與AB的中點三點共線 r r (5)給出以下情形之一