高一數(shù)學上冊 第3章 函數(shù)的基本性質 3.4 函數(shù)的基本性質2單調性課件 滬教版

1、Oxy2xy思考思考 : 觀察圖像，觀察圖像， 您發(fā)現(xiàn)這個圖像有您發(fā)現(xiàn)這個圖像有 什么特征什么特征? 圖像在圖像在y軸的軸的左側從左向左側從左向右是下降的。右是下降的。圖像在圖像在y軸的軸的右側從左向右側從左向右是上升的。右是上升的。3.4函數(shù)的基本性質(2) -單調性 (monotonicity)Ox2xy 請您用數(shù)量關系來描述上述函數(shù)的上升或請您用數(shù)量關系來描述上述函數(shù)的上升或下降的特征下降的特征.思考思考 : Oxyx)(xf2xyOxyx)(xf2xyOxyx)(xf2xyOxyx)(xf2xyOxyx)(xf2xyOxyx)(xf2xyOx)(xfxy2xyOxy) x( fy)x(

2、 f11x)x( f1)x ( f2) x ( fyOxy1x2x)x ( f22x1、如果對于屬于區(qū)間I上的自變量的任意兩個值任意兩個值x1、x2，當x1x2時,都有f(x1)f(x2),那么就說函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間上是單調增函數(shù)單調增函數(shù).(圖示1) (monotone increasing function)2、如果對于屬于區(qū)間I上的自變量的任意兩個值任意兩個值x1、x2，當x1f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在這個區(qū)間上是單調減函數(shù). (圖示2)(monotone decreasing function)增函數(shù)與減函數(shù)定義增函數(shù)與減函數(shù)定義一般地，設函數(shù)y=f(x)（xD）,區(qū)間

3、I D 如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間I上是增函數(shù)或減函數(shù), 那么就說函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間上是單調函數(shù)單調函數(shù)(monotone function)，或具有單調性單調性,這一區(qū)間I叫做函數(shù)y=f(x)的單調區(qū)間單調區(qū)間(monotone interval).注：單調區(qū)間可以寫成開區(qū)間，寫成閉區(qū)間時，須保證端點值在定義域內注：函數(shù)單調性是針對某個區(qū)間而言的，有些函數(shù)在整個定義域上沒有單調性，但在定義域的某些區(qū)間上存在單調性。 ( )21f xx 、證明函數(shù)在區(qū)間 （， ）上是增函數(shù)。例例1 112 x ,(,)x 設是 區(qū) 間上 的 任 意).2(x) 12() 12()()(212121

4、xxxxfxf1212, 0,xxxx , 0)()(21xfxf).()(21xfxf即( )21(,)f xx 因此，函數(shù)在區(qū)間上證明：證明：, x 21x兩個實數(shù)，且. 是增函數(shù)（ 任取定義域上兩值）任取定義域上兩值）（作差）（作差）（結論）（結論）你能歸納函數(shù)單調性證明步驟嗎？你能歸納函數(shù)單調性證明步驟嗎？則f(x1)=2 x1+1, f(x2)=2 x2+1.判斷證明函數(shù)單調性判斷證明函數(shù)單調性（變形，通常是因（變形，通常是因式分解和配方）式分解和配方）（定號）（定號）( )32(,).f xx 證明函數(shù)在上是減函數(shù)即即f（x1） f（x2）.f（x1）f（x2）0 ，則則f（x1）

5、-3x12 ， f（x2）-3x22 .f（x1）f（x2）（）（-3x12）（）（ -3x22） -3（x1x2），x1x2， x1x20 ，( )32(,).f xx 因此，函數(shù)在上是減函數(shù)設設x1，x2是是 上的任意兩個實數(shù)，上的任意兩個實數(shù)， 且且x1x2，(,) Ex：例例2 判斷函數(shù)判斷函數(shù)f(x)f(x)x21在在(0，)上是增函數(shù)還上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并給予證明。是減函數(shù)？并給予證明。解：解：函數(shù)函數(shù)f(x)x21在（在（0，）上是增函數(shù)。）上是增函數(shù)。證明：證明：設設x1，x2是區(qū)間（是區(qū)間（0，）上的任意兩上的任意兩個實數(shù)，且個實數(shù)，且x1x2，。)() 1() 1()(

6、)(21212221222121xxxxxxxxxfxf1212,(0,)0 x xxx 12120 xxxx又，1212()()0,()().f xf xf xf x即因此，函數(shù)因此，函數(shù)f(x)x21在（在（0，）上是增函數(shù)。）上是增函數(shù)。Ox y11.1( )(0,)f xxx 練習：函數(shù)在上是增函數(shù)還是減函數(shù)？證明你的結論研究函數(shù)運算后的單調性研究函數(shù)運算后的單調性問題：問題： 確定函數(shù)確定函數(shù)f(x)= 的單調的單調 區(qū)間，并證明。區(qū)間，并證明。1xx結論：在公共定義域內結論：在公共定義域內 增函數(shù)增函數(shù)+增函數(shù)是增函數(shù)是 減函數(shù)減函數(shù)+減函數(shù)是減函數(shù)是 增函數(shù)增函數(shù)-減函數(shù)是減函數(shù)

7、是 減函數(shù)減函數(shù)-增函數(shù)是增函數(shù)是策略：可通過圖像觀察出單調區(qū)間，策略：可通過圖像觀察出單調區(qū)間， 再用定義證明再用定義證明增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)-5Ox y12345-1-2-3-4123-1-2練習練習1、下圖是定義在下圖是定義在5，5上的函數(shù)上的函數(shù)yf（x）的圖像，根據(jù)的圖像，根據(jù)圖像說出圖像說出yf（x）的單調區(qū)間，以及在每一單調區(qū)間上，的單調區(qū)間，以及在每一單調區(qū)間上， yf（x）是增函數(shù)還是減函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù).解：解：y yf f（x x）的單調區(qū)間有：的單調區(qū)間有：5，2），2，1）1，3），3，5.其中在其中在 5 5，2 2），）， 1 1，

8、3 3）上）上是減函數(shù)，是減函數(shù)，在在 2 2，1 1），）， 3 3，5 5）上是增函數(shù)）上是增函數(shù). .研究函數(shù)單調研究函數(shù)單調性，可觀察、性，可觀察、分析圖像初擬分析圖像初擬單調區(qū)間，若單調區(qū)間，若要嚴格證明，要嚴格證明，則需從定義出則需從定義出發(fā)。發(fā)。單調區(qū)間不一單調區(qū)間不一定能合并。定能合并。求函數(shù)單調區(qū)間求函數(shù)單調區(qū)間單調遞增區(qū)間是：單調遞增區(qū)間是：單調遞減區(qū)間是：單調遞減區(qū)間是：1 ,(), 1xx2x) x( f2y21o（3）函數(shù)函數(shù)f(x)=x2 2x的單調區(qū)間是的單調區(qū)間是（2）函數(shù)函數(shù)f(x)= 的單調區(qū)間是的單調區(qū)間是（1）函數(shù)函數(shù)f(x)=2x +1的單調區(qū)間是的單

9、調區(qū)間是x3練習2構造一個二次函數(shù)，使它在區(qū)間-1，1上單調遞增。定義定義 數(shù)量數(shù)量特征特征y隨隨x的增大而增大的增大而增大.當當x1x2時，時，y1y2y隨隨x的增大而減小的增大而減小.當當x1x2時，時，y1y2Ox yx1x2y1y2Ox yx2x1y1y2增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)圖像圖像圖像特圖像特征征自左至右，圖像上升自左至右，圖像上升.自左至右，圖像下降自左至右，圖像下降.會判斷證明簡單函數(shù)簡單函數(shù)單調性，會求單調區(qū)間證明分段函數(shù)的單調性證明分段函數(shù)的單調性問題：問題： 研究研究y=x2與與y=|x|的單調性的思想方的單調性的思想方 法有何區(qū)別法有何區(qū)別 與聯(lián)系？與聯(lián)系？策略：在不

10、同區(qū)間上直接用定義證明策略：在不同區(qū)間上直接用定義證明 （含絕對值的函數(shù)先寫成分段函數(shù)）（含絕對值的函數(shù)先寫成分段函數(shù)）求：求：y=|x-2|的單調區(qū)間的單調區(qū)間類二次函數(shù)單調性問題類二次函數(shù)單調性問題21( )241-1f xkxxk、已知函數(shù)在區(qū)間 ，）是減函數(shù)且在（，上是增函數(shù)，則實數(shù) 的取值范圍為_。22( )241f xkxxk、已知函數(shù)在區(qū)間 ，）是減函數(shù)，則實數(shù) 的取值范圍為_。策略：數(shù)形結合，考慮開口方向和對稱軸策略：數(shù)形結合，考慮開口方向和對稱軸應用：應用：f(x)=a|x-m|在在1,+ )上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，求求a,m取值范圍取值范圍.研究函數(shù)運算后的單調性研究函數(shù)運

11、算后的單調性問題：問題： 確定函數(shù)確定函數(shù)f(x)= 的單調的單調 區(qū)間，并證明。區(qū)間，并證明。1xx結論：在公共定義域內結論：在公共定義域內 增函數(shù)增函數(shù)+增函數(shù)是增函數(shù)是 減函數(shù)減函數(shù)+減函數(shù)是減函數(shù)是 增函數(shù)增函數(shù)-減函數(shù)是減函數(shù)是 減函數(shù)減函數(shù)-增函數(shù)是增函數(shù)是策略：可通過圖像觀察出單調區(qū)間，策略：可通過圖像觀察出單調區(qū)間， 再用定義證明再用定義證明增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)( )af xxx( ) , f xa b已知在是單調遞增函數(shù)1( ) , 2(),1(3)( )0( )f xa bfxbaf xf x則（ ）在是單調遞減函數(shù)；（ ）在是單調遞減函數(shù)；在所

12、有的區(qū)間上均為單調遞減函數(shù)。減函數(shù)）(增函數(shù)）(增函數(shù)）(增函數(shù)）(3_2yx試求函數(shù)的減區(qū)間為。研究復合函數(shù)的單調性研究復合函數(shù)的單調性結論：同向增，異向減結論：同向增，異向減復合函數(shù)的單調性復合函數(shù)的單調性判斷函數(shù)xxxy4)2(22 在(1，+)上的單調性222412)41(2)4424(1yxxuxx 解 ：，（而 當時 ，為 正 數(shù) 且 增 函 數(shù) ，遞 減 ， 故 原 函 數(shù)（ ）在，） 上 為 減 函 數(shù) 已知：已知：f(x)=8+2x-x2, 試確定試確定g(x)=f(2-x2)的的單調區(qū)間。單調區(qū)間。 單調性判斷函數(shù)112xy復合函數(shù)的單調性復合函數(shù)的單調性研究抽象函數(shù)的單調

13、性研究抽象函數(shù)的單調性問題：問題： 函數(shù)函數(shù)f(x)是定義在是定義在R上的增函數(shù)，且上的增函數(shù)，且f(x)0, f(5)=1,設設F(x)= 討論的單調性，并證明你的結論。討論的單調性，并證明你的結論。策略：策略：從定義出發(fā)，可能用換元從定義出發(fā)，可能用換元1( )( )f xf x研究抽象函數(shù)的單調性研究抽象函數(shù)的單調性問題：問題： 函數(shù)函數(shù)f(x)是偶函數(shù)且在區(qū)間是偶函數(shù)且在區(qū)間(+ ，0)上上遞減，判斷遞減，判斷f(3)和和f(2a2-4a+5)的大小關系。的大小關系。結論：結論：奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調性相同；奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調性相同；偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上單調性相反偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上單調性相反策略：利用奇偶性變形策略：利用奇偶性變形 若若f(4)f(a)， 求求a的范圍。的范圍。奇偶性、單調性綜合練習奇偶性、單調性綜合練習奇偶性、單調性綜合練習奇偶性、單調性綜合練習定義在定義在R上的奇函數(shù)上的奇函數(shù)f(x)是滿足是滿足f(x-4)=-f(x)，且在區(qū)，且在區(qū)間間0，2上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，判斷判