2022年2022年全等三角形知識(shí)點(diǎn)與例題

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下載§19全等三角形§ 19.1命題與定理1. 命題可以判定它為正確的或?yàn)殄e(cuò)誤的句子叫做命題（proposition）正確的命題稱(chēng)為真命題,錯(cuò)誤的命題稱(chēng)為假命題很多命題為由題設(shè)（或已知條件） .結(jié)論兩部分組成的題設(shè)為已知事項(xiàng)；結(jié)論為由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)這樣的命題常可寫(xiě)成“假如,那么” 的形式例 1把命題“三個(gè)角都相等的三角形為等邊三角形”改寫(xiě)成“假如,那么”的形式,并分別指出命題的題設(shè)與結(jié)論解這個(gè)命題可以寫(xiě)成“假如一個(gè)三角形的三個(gè)角都相等,那么這個(gè)三角形為等邊三角形”這個(gè)命題的題設(shè)為“一個(gè)三角形的三個(gè)角都相等”,結(jié)論為“這個(gè)三

2、角形為等邊三角形” 要判定一個(gè)命題為真命題, 可以用規(guī)律推理的方法加以論證； 而要判定一個(gè)命題為假命題, 只要舉出一個(gè)例子, 說(shuō)明該命題不成立, 即只要舉出一個(gè)符合該命題題設(shè)而不符合該命題結(jié)論的例子就可以了練習(xí)1 把以下命題改寫(xiě)成 “假如, 那么” 的形式, 并指出它的題設(shè)和結(jié)論（1） ）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；（2） ）平行四邊形的對(duì)邊相等2 指出以下命題中的真命題和假命題（1） ）同位角相等,兩直線平行；（2） ）多邊形的內(nèi)角和等于180°2公理.定理數(shù)學(xué)中有些命題的正確性為人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的,并把它們作為判定其他命題真假的原始依據(jù),這樣的真命題叫做公理（axioms ）

3、我們已經(jīng)知道以下命題為真命題：一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等；兩條直線被第三條直線所截,假如同位角相等,那么這兩條直線平行；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊.對(duì)應(yīng)角分別相等在本書(shū)中我們將這些真命題均作為公理從公理或其他真命題動(dòng)身,用規(guī)律推理的方法證明它們?yōu)檎_的,并且可以進(jìn)一步作為判定其他命題真假的依據(jù),這樣的真命題叫做定理（theorem ）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下載§ 19.2三角形全等的判定1. 全等三角形的判定條件假如兩個(gè)三角形有三組對(duì)應(yīng)相等的元素（邊或角）,那么會(huì)有哪幾種可能的情形？這時(shí),這兩個(gè)三角形肯定會(huì)全等嗎？練習(xí)1.如圖,點(diǎn) o為平行四

4、邊形 abcd的對(duì)角線的交點(diǎn), aob繞 o旋轉(zhuǎn) 180o,可以與 重合,這說(shuō)明 aob .這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng) 邊為 ao與 ,ob與 ,ba與 ；對(duì)應(yīng)角為 aob與 , oba與 、 bao與 .第 1 題（第 2 題）2 如圖, ae為平行四邊形 abcd的高,將 abe沿 ad方向平移,使點(diǎn) a 與點(diǎn)d重合,點(diǎn) e 與點(diǎn) f 重合,就 abe , f °3 如圖,點(diǎn) d 為等腰直角三角形abc內(nèi)一點(diǎn), abac,將 abd繞點(diǎn) a 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°,點(diǎn) d與點(diǎn) e 重合,就 abd ,ad ,bd 第 3 題2邊角邊假如兩個(gè)三角形有兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等,那么這兩

5、個(gè)三角形全等 簡(jiǎn)記為 s.a.s. （或邊角邊）3角邊角現(xiàn)在,爭(zhēng)論相對(duì)的情形：假如兩個(gè)三角形有兩個(gè)角. 一條邊分別對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形能全等嗎？這時(shí)同樣應(yīng)有兩種不同的情形：如圖 19.2.6所示, 一種情形為兩個(gè)角及這兩精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下載角的夾邊；另一種情形為兩個(gè)角及其中一角的對(duì)邊圖 19.2.6假如兩個(gè)三角形有兩個(gè)角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形全等簡(jiǎn)記為 a.s.a. （或角邊角）假如兩個(gè)三角形有兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊分別對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形全等簡(jiǎn)記為a.a.s. （或角角邊）4 邊邊邊假如兩個(gè)三角形的三條邊分別對(duì)應(yīng)相等,

6、那么這兩個(gè)三角形全等簡(jiǎn)記為sss（或邊邊邊） .我們可以將前面探究得到的結(jié)論歸納成下表：對(duì)應(yīng)相等兩邊一角兩角一邊三角三邊的元素兩 邊 及兩 邊 及其兩 角 及兩 角 及其其夾角中 一 邊的其夾邊中 一 角的對(duì)角對(duì)邊三角形為肯定不肯定肯定肯定不肯定肯定否全等（s.a.s）a.s.aa.a.ss.s.s5斜邊直角邊假如兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)直角三角形全等簡(jiǎn)記為hl（或斜邊直角邊）§ 19.3尺規(guī)作圖只能使用圓規(guī)和沒(méi)有刻度的直尺這兩種工具去作幾何圖形的方法稱(chēng)為尺規(guī)作圖1 作一條線段等于已知線段圖 19.3.1圖 19.3.2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - -

7、 - 歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下載2作一個(gè)角等于已知角圖 19.3.3已知： aob；求作：一個(gè)角,使它等于aob；步驟如下：(1) 作射線 oa(2) 以 o為圓心,以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交oa于點(diǎn) c,交 ob于點(diǎn) d(3) 以 o為圓心,以oc的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交oa于點(diǎn) c(4) 以點(diǎn) c為圓心,以cd的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交前弧于點(diǎn)d(5) 過(guò) d作射線 ob就 aob就為所求作的角練習(xí)1 任意畫(huà)出兩條線段ab和 cd,再作一條線段,使它等于ab2cd2 任意畫(huà)出兩個(gè)角 1 和 2,使 1>2,再作一個(gè)角,使它等于1 23 作已知角的平分線如圖 1934, aob為已知角,試按以下步驟用直

8、尺和圓規(guī)精確地作出aob的平分線第一步：在射線 oa和 ob上,分別截取 od.oe,使 odoe；其次步： 分別以點(diǎn) d. e 為圓心,以適當(dāng)長(zhǎng)（大于線段de長(zhǎng)的一半）為半徑作弧,在 aob內(nèi),兩弧交于點(diǎn)c；第三步：作射線 oc射線 oc就為所要作的 aob的平分線圖 19.3.4圖 19.3.5我們可以證明這樣作出來(lái)的射線為符合要求的,即證明aoc boc如圖 1935,連結(jié) ec.dc, odoe, dcec, ococ, ocd oce（sss）, aoc boc（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下載練習(xí)1 如圖,已知 a,試作 b

9、 12a（不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡） 第 1 題（第 2 題）2 作出圖中三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線（不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡）4 經(jīng)過(guò)一已知點(diǎn)作已知直線的垂線 做過(guò)該點(diǎn)的角平分線 已知點(diǎn)與已知直線可以有兩種不同的位置關(guān)系：點(diǎn)在直線上, 點(diǎn)不在直線上 因此要分別按這兩種情形作圖（1） ） 經(jīng)過(guò)已知直線上一點(diǎn)作已知直線的垂線已知直線 ab和 ab上一點(diǎn) c,試按以下步驟用直尺和圓規(guī)精確地經(jīng)過(guò)點(diǎn)c 作出直線 ab的垂線圖 19.3.6如圖 1936,由于點(diǎn) c在直線 ab上,因此所求作的垂線正好為平角acb的平 分線所在的直線第一步：作平角 acb的平分線 cd；其次步：反向延長(zhǎng)射線 cd直線 cd就為

10、所要作的垂線（2） ） 經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線動(dòng)手試一試,現(xiàn)在你知道詳細(xì)作法了吧,你能說(shuō)說(shuō)其中的道理嗎？已知直線ab和 ab外一點(diǎn) c,試按以下步驟用直尺和圓規(guī)精確地經(jīng)過(guò)點(diǎn)c作出直線 ab的垂線圖 19.3.7圖 19.3.8如圖 1937,如以點(diǎn) c 為圓心,作能與直線ab 相交于 d.e 兩點(diǎn)的弧,就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下載cde為等腰三角形,由“等腰三角形底邊上的高就為頂角的平分線”可知,只需作出 dce的平分線例利用直尺和圓規(guī)作一個(gè)等于45°的角 作法： 1 作直線 ab；2 過(guò)點(diǎn) a 作直線 ab的垂線 ac；3 作 ca

11、b的平分線 ad dab就為所要作的角（如圖1938 所示）練習(xí)1 如圖,過(guò)點(diǎn) p 作 o兩邊的垂線（第 2 題）第 1 題2 如圖,作 abc邊 bc上的高5 作已知線段的垂直平分線思 考如圖 1939,對(duì)已知線段 ab 的垂直平分線上的任意兩點(diǎn) c.d,總有 ca cb, da db.由此,你能發(fā)覺(jué)作垂直平分線的方法嗎？圖 19.3.9精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如圖 19310,已知線段ab,試按以下步驟用直尺和圓規(guī)精確地作出線段ab的垂直平分線第一步：分別以點(diǎn) a 和 b 為圓心,以大于ab一半的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)c 和 d其次步：作直線 cd直線 cd就為所

12、要作的線段ab的垂直平分線我們可以證明這樣作出來(lái)的直線為符合要求的,即證明直線 cd垂直平分線段 ab如圖 19311,連結(jié) ca.cb.da.db, acbc, adbd, cdcd,圖 19.3.10圖 19.3.11精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下載 acd bcd（sss）, acd bcd（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） , cd 垂直平分線段 ab（等腰三角形“三線合一” ）由于直線 cd與線段 ab的交點(diǎn)就為 ab的中點(diǎn),因此我們可以用這種方法作出線段 ab的中點(diǎn),從而也可以作出任一個(gè)三角形的三條中線練習(xí)1 四等分已知線段 ab2 如圖,作 abc邊 bc

13、的垂直平分線第 2 題習(xí)題 193完成以下作圖,并寫(xiě)出作法1 如圖,已知線段 ab和 cd,求作一條線段,使它等于ab 2cd（第 1 題）（第 2 題）2 如圖,已知 a 和 b,求作一個(gè)角,使它等于a 2 b3 如圖,已知線段a 和 b,求作一個(gè)等腰三角形,使它的腰長(zhǎng)等于a,底邊長(zhǎng)等于 b（第 3 題）（第 4 題）4 如圖,已知線段 a 和 b,求作一個(gè)直角三角形,使它的兩條直角邊分別等于線段 a 和 b5 作一個(gè)四邊形,使它的兩組對(duì)邊分別相等6 已知等腰三角形 abc,ab ac, a90°,在 ac所在的直線上求作一點(diǎn)p,使 pa pb精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

14、歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下載§ 194逆命題與逆定理1互逆命題與互逆定理一般來(lái)說(shuō),在兩個(gè)命題中,假如第一個(gè)命題的題設(shè)為其次個(gè)命題的結(jié)論,而第一個(gè)命題的結(jié)論為其次個(gè)命題的題設(shè),那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題假如把其中一個(gè)命題叫做原命題,那么另一命題就叫做它的逆命題原命題正確,它的逆命題未必正確例如真命題“對(duì)頂角相等”的逆命題為 “相等的角為對(duì)頂角” ,此命題就為假命題假如一個(gè)定理的逆命題也為定理,那么這兩個(gè)定理叫做互逆定理,其中的一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的逆定理2 等腰三角形的判定等腰三角形的底角相等,這為等腰三角形的性質(zhì)定理 它的逆命題“ 假如一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等, 那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也

15、相等 ”也為定理, 為判定三角形為否為等腰三角形的一個(gè)重要的方法假如一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等 （簡(jiǎn)寫(xiě)成“等角對(duì)等邊”）3 角平分線角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上三角形三條角平分線交于一點(diǎn)從圖 1946 中可以看出,要證明三條角平分線交于一點(diǎn),只需證明其中的兩條角平分線的交點(diǎn)肯定在第三條角平分線上就可以了請(qǐng)你完成證明圖 19.4.6練習(xí)1 如圖,在直線 l上找出一點(diǎn) p,使得點(diǎn) p 到 aob的兩邊 oa.ob的距離相等精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下載（第 1 題）（第 2 題）2 如

16、圖,已知 abc的外角 cbd和 bce的平分線相交于點(diǎn)f,求證： 點(diǎn)f 在 dae的平分線上4 線段垂直平分線垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)從圖 1949 中可以看出,要證明三條垂直平分線交于一點(diǎn),只需證明其中的兩條垂直平分線的交點(diǎn)肯定在第三條垂直平分線上就可以了試試看,現(xiàn)在你會(huì)證了嗎？圖 19.4.9練習(xí)1 如圖,已知點(diǎn) a.點(diǎn) b 以及直線 l ,在直線 l 上求作一點(diǎn) p,使 pa pb第 1 題（第 2 題）（第 3 題）2 如圖,已知 ae ce, bd ac求證： abcdad bc3 如圖,在 abc上,已知點(diǎn) d在 bc上,且 bdad bc求證：點(diǎn) d在ac的垂直平分線上 習(xí)題 1941 寫(xiě)出以下命題的逆命題,并判定它為真命題仍為假命題：（1） 假如 x y, 那么 x2 y 2 ；（2） 假如一個(gè)三角形有一個(gè)角為鈍角,那么它的另外兩個(gè)角為銳角2 如圖,在 abc中, abac, dbdc求證：（第 2 題）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下載（1） bae cae； （ 2） aebc3