一次不定方程及方程的整數(shù)解問(wèn)題-1

1、一次不定方程（組）及方程的整數(shù)解問(wèn)題【寫在前面】不定方程（組）是數(shù)論中的一個(gè)重要課題，不僅是數(shù)學(xué)競(jìng)賽，甚至在中考試卷中也常常出現(xiàn)對(duì)于不定方程（組），我們往往只求整數(shù)解，甚至是只求正整數(shù)解，加上條件限制后，解就可確定有時(shí)還可以解決計(jì)數(shù)、求最值等方面的問(wèn)題二元一次不定方程是最簡(jiǎn)單的不定方程，一些復(fù)雜的不定方程（組）常常要轉(zhuǎn)化 為二元一次不定方程問(wèn)題加以解決【本講重點(diǎn)】求一次不定方程（組）的整數(shù)解【知識(shí)梳理】不定方程（組）是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)的方程（組），其特點(diǎn)是往往有無(wú)窮多個(gè)解，不能唯一確定重要定理：設(shè)a、b、c、d為整數(shù)，則不定方程 ax亠by =c有：定理1若（a,b） = d,且d

2、不能整除c，則不定方程ax by =c沒有整數(shù)解；定理2若（xo,y。）是不定方程ax by =c且的一組整數(shù)解（稱為特解），則x"t,（上為整數(shù)）是方y(tǒng) = y ° -at程的全部整數(shù)解（稱為通解）（其中（a,b） =d ,且d能整除c）.定理3若（x°, y°）是不定方程ax by =1， （a,b） =1的特解，則（cx° ,cy °）是方程ax by = c的一個(gè)特 解（其中（a,b） =d ,且d能整除c）.求整系數(shù)不定方程ax by二c的正整數(shù)解，通常有以下步驟：（1）判斷有無(wú)整數(shù)解；（2）求出一個(gè)特解；（3） 寫出通解；

3、（4） 有整數(shù)t同時(shí)要滿足的條件（不等式組），代入命題（2）中的表達(dá)式，寫出不定方程的正整數(shù)解. 解不定方程（組），需要依據(jù)方程（組）的特點(diǎn)，并靈活運(yùn)用以下知識(shí)和方法：（1 ）分離整系數(shù)法；（2 ）窮舉法；（3）因式分解法；（4 ）配方法；（5）整數(shù)的整除性；（6）奇偶分析；（7）不等式分析；（8）乘法公式【學(xué)法指導(dǎo)】【例1】求下列不定方程的整數(shù)解（1） 2x 6y =8 ；（ 2） 5x 10 y =13 .【分析】根據(jù)定理1、定理2確定方程的整數(shù)解.【解答】（1 ）原方程變形為：x3y=4,觀察得到 X二1,是x3y=4的一組整數(shù)解（特解），:y =1根據(jù)定理2，/ =3t'（t是

4、整數(shù)）是原方程的所有整數(shù)解.y =1 _t（2）T（ 5, 10） =5，但 5 不能整除 13,根據(jù)定理1，原方程的無(wú)整數(shù)解.【點(diǎn)評(píng)】先判斷方程是否有整數(shù)解，多于系數(shù)不大的題目?jī)?yōu)先選用觀察法尋找特解.求出的特解不同，同一個(gè)不定方程的解的形式可以不同，但它們所包含的全部解是一樣的【實(shí)踐】 求下列不定方程的整數(shù)解（1） 7x14y=211 ;（2） 5x14y=11.答案：（1）無(wú)整數(shù)解；（2） x=5-14t,（t是整數(shù)）y =1 5t【例2】求方程7x 19 y =213的所有正整數(shù)解【分析】此方程的系數(shù)較大，不易用觀察法得出特解.根據(jù)方程用y來(lái)表示x ,再將含y的代數(shù)式分離出整系數(shù) 部分，

5、然后對(duì)分?jǐn)?shù)系數(shù)部分進(jìn)行討論，賦予y不同的整數(shù)，尋找一個(gè)使分?jǐn)?shù)系數(shù)部分成為正整數(shù)的yo,然后再求xo,寫出通解，再解不等式組確定方程的正整數(shù)解【解答】（ 7, 19） =1，根據(jù)定理2,原方程有整數(shù)解21319 y 210 -14 y 亠3 -5y3 5y由原萬(wàn)程可得x30 _2y 777由此可觀察出一組特解為X0=25, y0=2.、小，、一 , x = 25 +19 t, 萬(wàn)程的通解為（t是整數(shù)）.丿=2 7t25 +19t A0,2 7t AO252t197 t - -1,0代入通解可得原方程的正整數(shù)解為x = 25 , 或y =2.【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)定理2解這類方程，若未知數(shù)的系數(shù)較大不容易觀

6、察出一組整數(shù)解時(shí)，可用一個(gè)未知數(shù)去表示.這樣就容易另一個(gè)未知數(shù)，再利用整數(shù)的知識(shí)，這是解二元一次不定方程基本的方法，稱為分離整系數(shù)法 找出一組整數(shù)解來(lái).【實(shí)踐】求方程3147y =265的正整數(shù)解 答案：x=4,y=3.【例3】大客車能容納54人，小客車能容納 36人，現(xiàn)有378人要乘車，問(wèn)需要大、小客車各幾輛才能使每 個(gè)人都能上車且各車都正好坐滿.【分析】本題是不定方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程并求出非負(fù)整數(shù)解即可【解答】設(shè)需要大客車x輛，小客車y輛，根據(jù)題意可列方程54 x 36378，即3x 2 y = 21 .x _ 1又（3, 2）=1,根據(jù)定理2，原方程有整數(shù)解.易知一是一個(gè)特解,通

7、解為嚴(yán).+2是整數(shù)）y = 9 9t由題意可知,+2t"9 _9t 啟0解得 t =0,1,2,3.X = 1,相應(yīng)地丿y =9."x =3,y = 9答：需要大客1車輛，小客車9輛；或需要大客車3輛，小客車6輛；或需要大客車 5輛，小客車 3輛；也可以只要大客車 7輛，不要小客車.【點(diǎn)評(píng)】一般來(lái)說(shuō)實(shí)際問(wèn)題通常取正整數(shù)解或者非負(fù)整數(shù)解【實(shí)踐】某次考試共需做20道小題，對(duì)1道得8分，錯(cuò)一道扣5分，不做不得分.某生共得13分，他沒做的 題目有幾道？答案：7【例4】某人的生日月份數(shù)乘以31,生日的日期數(shù)乘以 12,相加后得347，求此人的生日【分析】本題的隱含條件是：月份的取值1

8、，12，日期的取值1, 31.【解答】設(shè)此人生日的月份數(shù)為x，日期數(shù)y.根據(jù)題意可列方程31x+12y=347.方法一_x =5x =5 +12 t特解：2通解：（t是整數(shù)）=16y =16 _31t1蘭X蘭121 <5 412t <12 1 蘭 y W31' r1 <16_31t 蘭31.解得t =0x =5-是符合題意解y =16方法二；12y=347 -31 x . 12 | (347 -31 x).347 =31 x (mod 12 ).11 三7x(mod 12 ). x =12t - 5(t是整數(shù) )；1込12 . 1 込 12 t - 5 込12 . t

9、 = 0.x =5把x =5代入原方程得：y =16答：此人的生日為 5月16日.其中方法二是利用了同余的知識(shí)【點(diǎn)評(píng)】 求出通解后，要利用隱含條件求出符合題意的解1x =3x =300令7x +4y =1,其特解為 <-J是7x +4y =100的特解 .通解：-y = 51 y = -500方法二x =300- 4t(t為整數(shù))y -500 - 7t【實(shí)踐】已知有一個(gè)三位數(shù)，如果它本身增加3，那么新的三位數(shù)的各位數(shù)字和就減少到原來(lái)的_ ,求一切3這樣三位數(shù)的和答案：432【例引（新加坡數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）設(shè)正整數(shù)m,n滿足8m - 9n =mn 6，則m的最大值為【分析】把m用含有n的代數(shù)式表

10、示，用分離整系數(shù)法，再結(jié)合整除的知識(shí)，求出m的最大值.【解答】 T 8m 亠 9 n=mn 亠 6 ,. 8mm n =69 n , (8 n)m=69 n由題意可得,6 9n 9n 68 nn 89 n -7266669n 8n 8t m,n為正整數(shù)，當(dāng)n=9時(shí)，m有最大值為75.【點(diǎn)評(píng)】此題是求最值的問(wèn)題，利用分離整系數(shù)法是一種典型的常用方法【實(shí)踐】（北京市數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）有8個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，其和可以表示成7個(gè)連續(xù)的正整數(shù)的和，但不能3個(gè)連續(xù)的正整數(shù)的和，那么這 8個(gè)連續(xù)的正整數(shù)中最大數(shù)的最小值是.答案：28【例6】我國(guó)古代數(shù)學(xué)家張建丘所著算經(jīng)中的“百錢買百雞”問(wèn)題：雞翁一，值錢五；雞母一，值

11、錢三; 雞雛三，值錢一，百錢買百雞，問(wèn)雞翁，雞母，雞雛各幾何？【分析】分析：用x,y,z來(lái)表示雞翁，雞母，雞雛的只數(shù)，則可列方程組：15x ：；3 y z -1003 jxH z =100如何解這個(gè)不定方程組？消元轉(zhuǎn)化為不定方程【解答】 解：設(shè)雞翁，雞母，雞雛的只數(shù)分別為x,y, z.(1)方法一1-z =1003rx =4,4 - 4t .018 7t =0(2)通解:(2) X 3- (1)得：14x+8y=200,即 7x+4y=100.x =4 _4ty =18F j 解得 18(t是整數(shù) )-7t.t =0,1,2.x二 4x二 8x二 12y二 18y二 11y二 4111z=78

12、z二 81z二 84相應(yīng)地，原方程有三組解:下面的方法同方法一方法三4y =100 _7x （3）4 | （100 _7x）,100 三 7x（mod 4）,即：0 三 3x（mod 4）, =4 +4t-X =4 +4t （t是整數(shù)）. 把 X =4 +4t代入（3）得：y =18 _7t. d （t是整數(shù) ）.” y =18 _7t下面方法同一【點(diǎn)評(píng)】充分挖掘題目的隱含條件，進(jìn)而求整數(shù)解 【實(shí)踐】如果1只兔可換2只雞，2只兔可換3只鴨，5只兔可換7只鵝.某人用20只兔換得雞、鴨、鵝共30只問(wèn)：其中的雞、鴨、鵝各多少只？答案：（2，21，7）、（4，12，14）、（6，3，21）【例7】求方

13、程2x 3y 7z = 23的整數(shù)解.【分析】對(duì)于三元一次不定方程，可以另外引進(jìn)一個(gè)未知數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為方程組，然后分別解方程組中的各個(gè)方程，從而得到原方程的解【解答】設(shè)2x +3 y =t，則原方程可看作2x +3y t, （1）對(duì)于方程（1 ） x=-t, y=t是一個(gè)特解,t+7z=23. (2)從而（1）的整數(shù)解是，x=_t-3u, (3)(u是整數(shù))y =t +2u. (4)又t=2, z=3是方程（2）的一個(gè)特解，于是（2）的整數(shù)解是：z = 3v, （5） （V是整數(shù)）t=2+7v. （6）將（6）代入（3）、（ 4）消去t得到原方程的所有整數(shù)解為:x = _2 _7v _3u,y

14、 =2亠7v亠2u, (u、v是整數(shù) )z =3 v.【點(diǎn)評(píng)】一次不定方程在無(wú)約束條件的情況下，通常有無(wú)數(shù)組整數(shù)解，由于求出的特解不同，同一個(gè)不定方 程的解的形式可以不同，但它們所包含的全部解是一樣的，將解中的參數(shù)作適當(dāng)代換，就可以化為同一形式【實(shí)踐】 求方程39x -24 y 978的整數(shù)解.x =8v 3u +2 ,Jy =v 3,(u、v是整數(shù))z 二 13 u 32 v -8.31【例8】（海峽兩岸友誼賽試題）甲組同學(xué)每人有28個(gè)核桃，乙組同學(xué)每人有30個(gè)核桃，丙組同學(xué)沒人有個(gè)核桃，三組共有核桃總數(shù)是365個(gè).問(wèn)：三個(gè)小組共有多少名同學(xué)？【分析】設(shè)甲組同學(xué)a人，乙組同學(xué)b人，丙組同學(xué)c

15、人，由題意得28 a 30 b 31 365 .要求a b可以運(yùn)用放縮法從確定 a b c的取值范圍入手【解答】 設(shè)甲組同學(xué)a人，乙組同學(xué)b人，丙組同學(xué)c人，則28 a 30b 31c =365 .365365 28 (a 亠 b 亠 c) .28 a 亠 30 b 亠31c 36531 (a -b -c),a 亠b 亠 c.-3128/ a ":;c 是整數(shù)， a ：;b ：c =12 或 13.但當(dāng) a : b :; c=13 時(shí)，得 2b ,3c - 1，無(wú)正整數(shù)解.答：三個(gè)小組共有12名同學(xué).【點(diǎn)評(píng)】 整體考慮和的問(wèn)題，巧妙運(yùn)用放縮法【實(shí)踐】 Alice wants to b

16、uy some radios, pens and bags. If she buys 3 radios,6 pen s,2 bags,she will pay 302. If she buys 5 radios,11 pens,3 bags,she will pay 508. QuestionYHow much will Alice pay for 1 radio,1 pen and 1 bag?答案：96【例9】一個(gè)布袋里有紅、黃、藍(lán)三種顏色大小相同的木球.紅球上標(biāo)有數(shù)字1,黃球上標(biāo)有數(shù)字 2,藍(lán)球上標(biāo)有數(shù)字3.小明從布袋中摸出10個(gè)球，它們上面所標(biāo)的數(shù)字和等于21.(1)小明摸出的球中，紅

17、球的個(gè)數(shù)最多不超過(guò)幾個(gè)？(2)若摸出的球中三種顏色都有，有多少種不同的摸法？【分析】由于知道三種球的個(gè)數(shù)和，因此可設(shè)二元.第(2)問(wèn)計(jì)數(shù)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是就是求正整數(shù)解的組數(shù).【解答】(1 )設(shè)小明摸的紅球有 x個(gè)，黃球有y個(gè)，藍(lán)球有(10 _x _y)個(gè)，則x 2y 3(10 _ x _ y) = 21 ,整理，得y =9 2x，因?yàn)閤、y均為正整數(shù)，可知 x的最大值為4.即紅球最多不超過(guò) 4個(gè).(2)由(1 )知藍(lán)球的個(gè)數(shù)是z =10 _x -y =10 _x(9 -2 x) =x - 1 ,9解得0 "x .2 x ：1,2,3,4.x O9 -2x .0, 卜亠1 . 0 .因此共

18、有4種不同的摸法，如下：(1,乙2), (2, 5, 3) , ( 3, 3, 4), ( 4, 1 , 5)【點(diǎn)評(píng)】此題求的是未知數(shù)的范圍及可能取值的個(gè)數(shù)，因此不需要求出方程的通解，而是根據(jù)題意對(duì)未知數(shù) 的限制利用不等式分析出未知數(shù)的取值范圍，以及整數(shù)解的個(gè)數(shù)【實(shí)踐】已知有兩堆水泥，若從第一堆中取出 100袋放進(jìn)第二堆，則第二堆比第一堆多一倍；相反，若從第 二堆中取出一些放進(jìn)第一堆， 則第一堆比第二堆多 5倍.問(wèn)第一堆中可能的最少水泥袋數(shù)是多少？并在這種情 況下求出第二堆水泥的袋數(shù) .答案：170, 40.【例10】設(shè)非負(fù)整數(shù)n,滿足方程x y 2n的非負(fù)整數(shù)x,y,z)的組數(shù)記為an(1

19、)求a3的值；(2)求a?。！的值.【分析】 審清題中an的n與方程x y 2z = n是同一個(gè)非負(fù)整數(shù)，a3的含義是方程x y 23的非負(fù)整數(shù)解的(x,y,z)的組數(shù).【解答】(1)當(dāng)n=3時(shí)，原方程為x y 23，由于x _0,y _0,得0乞z乞1.當(dāng) z=1 時(shí)，方程為 x+y=1，其解(x,y)=(0,1),(1,0) 有 2 組；當(dāng) z=0 時(shí)，方程為 x+y=3，其解(x,y)=(0,3),(1,2)，(2,1),(3,0) 有 4 組.上，a3 =6.(2)當(dāng) n=2001 時(shí)，原方程為 x y 2z =2001，由于 X _0, y _0,得 0 豈 z 豈1000 .當(dāng)z=1000時(shí)，方程為x+y=1，其解有2組；當(dāng)z=999時(shí)，方程為x+y=3，其解有4組；當(dāng) z=998 時(shí)，方程為 x+y=5，其解(x,y)=(0,5),(1,4)，(2,3),(3,2)，(4,1),(5,0) 有 6 組；,；當(dāng) z=0 時(shí)，方程為 x+y=2001，其解(x,y)=(0,2001),(1,2000)，,，(2001,0) 有 2002 組.綜上，a2001 =2+