2013年成人高考專升本高數(shù)(一)試題及答案

1、2013 年成人高考專升本高數(shù)（一）模擬試題及答案解析年成人高考專升本高數(shù)（一）模擬試題及答案解析一、選擇題 （每小題 2 分，共 60 分） 在每小題的四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案， 用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào). 1函數(shù)的最小正周期是（c）.43sinxya. ； b. ； c. ； d. . 2332232函數(shù)的反函數(shù)是（c）.xy8a. ； b. ； )0(log32xxyxy 8c. ； d. . )0(log312xxy)0(8xyx3設(shè)則（d）,10,17為偶數(shù)當(dāng)為奇數(shù)，當(dāng)nnnxna. ； b. ；0limnnx710l

2、imnnxc. d. 不存在.,10, 0lim7為偶數(shù)為奇數(shù)，nnxnnnnxlim4是存在的（c） xfxx0lim xfxx0lim xfxx0lima. 充分條件但非必要條件； b.必要條件但非充分條件；c. 充分必要條件； d.既不是充分條件也不是必要條件.5若是無窮小，下面說法錯(cuò)誤的是（c）xa. 是無窮小 ； b. 是無窮小 ；2xx2c. 是無窮小 ； d. 是無窮小 .0001. 0 xx6下列極限中，值為 1 的是（c）a. b. xxxsin.2limxxxsin.2lim0 c. d. xxxsin.2lim2xxxsin.2lim7（a）xxxxxsin11sinli

3、m0a. b. c. d. 不存在110解：；，所以01sinlim0 xxx1sin.1lim0 xxx. 110sin11sinlim0 xxxxx8.設(shè)函數(shù)具有 2012 階導(dǎo)數(shù)，且，則（c） xf xxf2010 xf2012a. b. x21xc. d. 24xx2332x9設(shè)，則（d） xgxfxfdxd2sina. b. xxgsin2 xfxeef. xxg2sinc. d. xg2sinxxg2sin.sin2解：xfdxd2sinxxf22sinsinxxxfsin.sin2sin2 .xxxfcos.sin2sin2xxf2sinsin2xxg2sinsin210設(shè)，則（

4、d）xxysin21dydxa. b. ycos21xcos21c. d. ycos22xcos22解：因?yàn)?，所以xdxdycos211dydx.cos22cos21111xxdxdy11曲線，在處的法線方程為（a）,cos,2sintxty4ta b c d22x1y1 xy1 xy12 點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)，則有（b） 1 , 0cbxaxy23a b1, 3, 1cba1, 0,cba為任意值c d1,cba為任意值，為任意值cba, 0, 113函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（c） 22xexxfa b c d123414若在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義，且除去點(diǎn)外恒有， xfax ax 04axafxf則以下結(jié)

5、論正確的是（d） a在點(diǎn)的鄰域內(nèi)單調(diào)增加 b在點(diǎn)的鄰域內(nèi)單調(diào)減少 xfa xfac為函數(shù)的極大值 d 為函數(shù)的極小值 af xf af xf15曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（d ）4ln4kkxyxxy4ln4 a b c d1234解：設(shè) ，. kxxxxfln4ln44, 0 x則 . 1ln44ln4433xxxxxxxf令 ，得駐點(diǎn). 0 xf1x因?yàn)楫?dāng)時(shí)，故在單調(diào)減少；而當(dāng)時(shí)， 1 , 0 x 0 xf xf1 , 0 x , 1x故在單調(diào)增加.所以為最小值. 0 xf xf , 1xkf 41又 ， kxxxxfxx44lnlnlimlim300 ，故 01144lnln1lim1lim43

6、334xkxxxxxxxxfxx . kxxxxfxx44lnlnlimlim3綜合上述分析可畫出的草圖，易知交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 2. xfy 16設(shè)，則（a）ttfcoslndttftf ta b ctttsincosctttcossin c dctttsincoscttsin17.（b）nnnnnn22212111lnlima b 212ln xdx21ln2xdxc. d 211ln2dxx2121lndxx解：nnnnnn22212111lnlim nnnnnn1.1ln)21ln()11ln(lim2nninin1. )1ln(lim21101ln2dxx（令）xt121ln2tdt21ln

7、2xdx18已知，則（c） 312xdttfx dxxf102a b c. d 123419 設(shè)，則（c） dxeax102dxebx1012a b c d無法比較 ba ba ba 20已知，則（b） 2sin0dxxx02sindxxxa b c d024解：.xtdxxx22sin0021.2sindttt0sindttt22sin0dxxx21 ，則（b） )ln(3yxezxy|2, 1dza b dydxe12dyedxe11222c d dxe22e22設(shè)為一階線性非齊次微分方程的的兩個(gè)特解，若21, yy xqyxpy使為該方程的解；為該方程對(duì)應(yīng)齊次方程的解，則,21yy21y

8、y通解為（a） a b 21,2121,21c d31,3232,32解：因?yàn)闉榉匠?的解，故有21, yy xqyxpy xqyxpy11及 xqyxpy22由于為的解，所以將代入，得21yy21yy 11yxpy xqyxpy22再將、代如立得 ，于是有 xqxq . 1又因?yàn)辇R次方程的解，同理可得21yy 0yxpy . 0、 聯(lián)立可解得 .21,2123平面和直線的位置關(guān)系是（c） 0623zyxtztytx21,33,1a 平行 b直線在平面內(nèi)c垂直 d相交不垂直 24設(shè)函數(shù)的全微分為則點(diǎn)（d） yxfz,ydyxdxdz0 , 0a不是的連續(xù)點(diǎn) b不是的極值點(diǎn)yxf,yxf,c 是

9、的極大值點(diǎn) d是的極小值點(diǎn)yxf,yxf,解：由.可得 .ydyxdxdzyyzxxz,令可得唯一駐點(diǎn)., 0, 0yyzxxz0 , 0又，.則122xza02yxzb122yzc，且，所以是的極小值點(diǎn).02bac0a0 , 0yxf,25.設(shè)區(qū)域，為上的正值連續(xù)函數(shù)，0, 0, 4|,22yxyxyxd xfd為常數(shù)，則（ d）ba, dxdyyfxfyfbxfada b c dabab21ba ba 21解：對(duì)于題設(shè)條件中含有抽象函數(shù)或備選項(xiàng)為抽象函數(shù)形式結(jié)果以及“數(shù)值型”結(jié)果的選者題，用賦值法求解往往能收到奇效，其思想是：一般情況下正確，那么特殊情況下也必然正確.重積分或曲線積分中含抽

10、象函數(shù)時(shí)，通常利用對(duì)稱性、輪換對(duì)稱性等綜合手段加以解決.本題中，取 ，立得 1xf dxdyyfxfyfbxfad41.22badxdybadba 2126二元函數(shù)，則 （a） 224,yxyxyxf2, 2 a是極大值點(diǎn) b是極小值點(diǎn) c是駐點(diǎn)但非極值點(diǎn) d不是駐點(diǎn) 27設(shè)為連續(xù)函數(shù)，二次積分寫成另外一種次序的二yxf,dyyxfdxx2020,次積分是（b）a b dxyxfdyxx202,dxyxfdyyy2022,c d dxyxfdyy200,dxyxfdyyy0222,28. 設(shè)， ， 在上連續(xù)，則（ yyxyxd2|,22yxf,d dxdyxyfd）； ； dyyxfdxaxx

11、111122, dyyxfdybyy10202,2 ； . drrfdc0sin202cossin drrrfdd0sin202cossin解：選 d29下列級(jí)數(shù)條件收斂的是（b） a （是常數(shù)） b 14sinnnn 1311nnnc d 1311nnnn111nnn30.已知的三個(gè)特解：，則該方 xfyxqyxpy xxeyeyxy2321,程的通解為 .； ； xxexcexca221 xxeecxcb221； . xexcxeccxx221 xxececxd221解：根據(jù)二階常系數(shù)線性微分方程解的性質(zhì)知，及均是對(duì)應(yīng)的齊次xex xex2方程的解，故齊次通解為；所以原非齊次方程的通解xx

12、excxecy221是選.221xexcxecyxx .c 二、填空題 （每空 2 分，共 20 分） 31極限 xxx1sin2lim22. 2解：.xxx1sin2lim22211sin2lim22xxx32 40sinsinsinsinlimxxxxx61解：40sinsinsinsinlimxxxxx40sinsinsinlimxxxxx30sinsinsinlimxxxx203cos.sincoscoslimxxxxx203sincos1.coslimxxxx203sincos1limxxx.613sin21lim220 xxx33 設(shè)，則 23232xxxy 18y.231! 88

13、9解：.1121221212112232323xxxxxxxxxxy；11122xxy 2 .1212122xx 2 .1212122xxy； 2332 .1221221xx歸納可得 88982 .128212821xxy所以 .231! 82 .8213 .821189898y34設(shè)是由 所確定的函數(shù)，則. xyy 012dtexyxt|0 xdxdy1e解：關(guān)于求導(dǎo)并注意到，得x xyy . 0112dxdyeyx當(dāng)時(shí)，由式求得.將，代入可算得.0 x1y0 x1y1|0edxdyx35.設(shè).如果 ，且當(dāng)時(shí)， xyy 11.dxydxy 10 yx0y則y.xe解：由式得 ydxdxy11

14、關(guān)于求導(dǎo)并注意到，得x xyy yydxy.112即 22ydxy故 ，即 ydxy dxdyy分離變量，且兩邊積分得 或 xcey xcey又根據(jù)條件及時(shí)，得 10 yx0y.xey36 dxxx8101531.27029解： （令）dxxx8101531 dxxdxx8810831818xt （令，即 ）dttt318110tu311312ut .27029353611361|21352212uuduuu37設(shè)是由方程 所確定的隱函數(shù)，則yxzz,2222zyxzxy.|1, 0, 1yz2解法一：令 . 2,222zyxzxyzyxf則 ； ；222zyxxyzfx222zyxyxzfy

15、.222zyxzxyfz故 .所以 ，222222zyxzxyzyxyxzffzzyy. 2|1, 0, 1yz解法二：兩邊全微分，得 . 022221222zdzydyxdxzyxxydzxzdyyzdx即 . 0222zdzydyxdxxydzxzdyyzdxzyx將代入得) 1, 0 , 1 ( . 02dzdxdy即 .2dydxdz所以 ，1|1, 0, 1xz. 2|1, 0, 1yz38設(shè)為從點(diǎn)到點(diǎn)再到點(diǎn)的折線，則l0 , 0o 0 , 1a 1 , 1bydxyxxdyl22.1解： ydxyxxdyl22ydxyxxdyoa22ydxyxxdyab22 .1010221. 1

16、0 .0dydxx39微分方程的通解為0 yyy.23sin23cos212xcxceyx解：（一）對(duì)應(yīng)的特征方程為：0 yyy ，其特征根為 012 rrir2321 （二）通解為： .23sin23cos212xcxceyx40冪級(jí)數(shù) 的收斂域?yàn)閚nnxn124202.2,2解：（一）記 ，則級(jí)數(shù)化為12 xt . nnntn0242記 ，422nann, 2 , 1n. 224412limlim2211nnnnnnnnaa所以，級(jí)數(shù)的收斂半徑是 .211r又當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)化為收斂；又當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)化為21t 0241nnn21t也收斂.所以級(jí)數(shù)的收斂域是.0241nn21,21t（二）由 解得，

17、故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?1,2112x43,41x.43,41（1）如果，即時(shí)，則收斂； 122xx2|x1122nnnx（2） （1）如果，即時(shí)，則發(fā)散， 122xx2|x1122nnnx 所以，. 2r（3）又在端點(diǎn)處發(fā)散.2x1121n所以，收斂域?yàn)?,2三、計(jì)算題 （每小題 5 分，共 45 分） 41已知 ，求. 5132sin1lnlim0 xxxxf 20limxxfx解:由式得 132sin1lnlim50 xxxxf 12sinlim3ln0 xxexxf 3ln2lim0 xxxfx .lim3ln2120 xxfx由式即可算得 . 3ln10lim20 xxfx42設(shè)函數(shù)由參

18、數(shù)方程確定，其中是微分方 xyy 20)1ln(,tduuytxxtxx 程在初始條件下的特解，求.02xtedtdx0|0tx22dxyd解：（一）微分方程為可分離變量型，可轉(zhuǎn)化為02xtedtdx tdtdxex2兩邊積分得 ctetdtdxexx22又將初始條件代入 ，得，因此0|0tx1c 21lnttx（二） 22221ln1122).1ln(ttttttdtdxdtdydxdy（三）dtdxdxdydtddxdydxddxyd1.22 . 222121.1ln1ttdtttd)1ln(1122tt43設(shè)函數(shù)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求2,sin,222xxyyxfxzf.;22yz

19、xz解：（一）xfxyffxxfxz2cos2 .23212（二），所以xffxyzsin212 xffxxffxyzsin1sinsin122211211222 44計(jì)算反常積分0321dxxx解：111112ln2323233xdxdxdxdxcxxxxxxx所以002112222lnlim lnlnlim lnln32333331|xxxxxdxxxxxx 23ln1 lnln.3245求曲線在點(diǎn)的切線. 0, 6:222zyxzyx1 , 2, 1解：方程組兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得：x . 01, 0222dxdzdxdydxdzzdxdyyx將點(diǎn)代入（1） ，得：1 , 2, 1解之，有：.

20、 01, 0242|1111xxxxdxdzdxdydxdzdxdy. 1, 0|11xxdxdzdxdy所以，切線向量為： 1, 0 , 1s故曲線在點(diǎn)的切線為：1 , 2, 1.110211zyx46. 設(shè)函數(shù)在正半軸上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且若 xf0 x xf . 21 f在右半平面內(nèi)沿任意閉合光滑曲線 ，都有l(wèi) 043dyxxfydxxl求函數(shù) .xf解：，都是右半平面上的連續(xù)函數(shù)，由于在右半平y(tǒng)xyxp34, xxfyxq,面內(nèi)沿任意閉合光滑曲線 ，都有l(wèi) 043dyxxfydxxl故有 xqyp即 xf xxfx34化簡(jiǎn)，得 241xxfxxf（1）（1）為一階線性微分方程，其通解為 cex

21、exfdxxdxx1214 cdxxxcexexx3ln2ln414 .1134xcxcxx（2）代入條件，得21 f . 1c故 .13xxxf47求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).11!1nnxnn解：（一）記 ，則!1nnan, 2 , 1n ，故收斂半徑為.收斂域?yàn)?21limlim21nnnaannnnr.,（二）記 . ,!111nnxnnxsx 則 11!1nnxnnxs11!111nnxnn11!1nnxn11!11nnxnnnxnx1!11112!111nnxnxnnxnx1!11nnxnx22!111!110nnxnxxxnxnn1!1102.11xex011122xxexexexxxx又

22、 . 2001limlim0 xexexssxxxx212lim0 xxe所以0,210,1)(2xxxxxexsx解法二：記 . ,!111nnxnnxsx nnxxndxxs10!1111!111nnxnx2!1nnnxx xexx11所以 . 2111xxeexxxexsxxx21xexexx48計(jì)算二重積分是第一象限中由直線和曲線所圍ddxdyeidx,2xy 3xy 成封閉區(qū)域.解：因?yàn)槎胤e分的被積函數(shù)， 它適宜于“先對(duì)，后對(duì)”2,xeyxfyx，故可用不等式表示為于是d. 10,:3xxyxd dxexxdyedxdxdyeixxxxdx232210310dxexx210dxex

23、x2103 210221xdex 210221xedx 21010210222|2121xdeexexxx. 121212112121121|102eeeeeeex49求方程 的積分曲線，使其在點(diǎn)處與直線相切.0 yy0 , 0 xy 解：方程的特征方程為，解之得 ，故方程的通解012r1, 121rr為 . xxececy21 xxececy21由題意知有 .將條件分別代入、 有 10, 00yy 10, 00yy 解得 1, 02121cccc21,2121cc所以 . 2xxeey四、應(yīng)用題 （每小題 8 分，共 16 分） 50設(shè)三角形的邊長(zhǎng)分別為，其面積為，試求該三角形內(nèi)一點(diǎn)到三邊距cba,s離之乘積的最大值.解：任取三角形內(nèi)一點(diǎn)，設(shè)其距三邊的距離分別為，則有pzyx, .2212121sczbyaxsczbyax問題轉(zhuǎn)化成求在下的最大值.xyzv 02sczbyax令