2015年高考廣東理科數(shù)學試題及答案(word解析版)

1、2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學（理科）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的（1）【2015年廣東，理1，5分】若集合，則（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】d【解析】，故選d（2）【2015年廣東，理2，5分】若復數(shù)（是虛數(shù)單位），則（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】a【解析】，故選a （3）【2015年廣東，理3，5分】下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】d【解析】a和c選項為偶函數(shù)，b選項為奇函數(shù)，d選項為非奇非偶函數(shù)，故選b（4）【2

2、015年廣東，理4，5分】袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球，從袋中任取2個球，所取的2個球中恰好有1個白球，1個紅球的概率為（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】b【解析】，故選b（5）【2015年廣東，理5，5分】平行于直線且與圓相切的直線的方程是（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】a【解析】設(shè)所求直線為，因為圓心坐標為，則由直線與圓相切可得，解得，所求直線方程為，故選a（6）【2015年廣東，理6，5分】若變量滿足約束條件，則的最小值為（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】b【解析】如圖所示，陰影部分為可行域，虛線表示目標函數(shù)，則當目標函

3、數(shù)過點，取最小值為，故選b（7）【2015年廣東，理7，5分】已知雙曲線的離心率，且其右焦點為，則雙曲線的方程為（ ）（a） （b） （c） （d）【答案】c【解析】由雙曲線右焦點為，則，所以雙曲線方程為，故選c（8）【2015年廣東，理8，5分】若空間中個不同的點兩兩距離都相等，則正整數(shù)的取值（ ）（a）至多等于3 （b）至多等于4 （c）等于5 （d）大于5【答案】b【解析】當時，正三角形的三個頂點符合條件；當時，正四面體的四個頂點符合條件，故可排除a，c，d四個選項，故選b二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分（一）必做題（913）（9）【2015年廣東，理9

4、，5分】在的展開式中，的系數(shù)為 【答案】6【解析】，則當時，的系數(shù)為（10）【2015年廣東，理10，5分】在等差數(shù)列中，若，則 【答案】10【解析】由等差數(shù)列性質(zhì)得，解得，所以（11）【2015年廣東，理11，5分】設(shè)的內(nèi)角，的對邊分別為，若，則= 【答案】【解析】，又，故，所以，由正弦定理得，所以（12）【2015年廣東，理12，5分】某高三畢業(yè)班有40人，同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了 條畢業(yè)留言（用數(shù)字作答）【答案】1560【解析】（13）【2015年廣東，理13，5分】已知隨機變量服從二項分布，則 【答案】【解析】，解得（二）選做題（14-15題，考生只能從中

5、選做一題）（14）【2015年廣東，理14，5分】（坐標系與參數(shù)方程選做題）已知直線的極坐標方程為，點的極坐標為，則點到直線的距離為 【答案】【解析】即直線的直角坐標方程為，點的直角坐標為，到直線的距離為（15）【2015年廣東，理15，5分】（幾何證明選講選做題）如圖1，已知是圓的直徑，是圓的切線，切點為，過圓心作的平行線，分別交和于點和點，則= 【答案】8【解析】如圖所示，連結(jié) ， 兩點，則，所以，所以 三、解答題：本大題共6題，共80分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟（16）【2015年廣東，理16，12分】在平面直角坐標系中，已知向量，（1）若，求的值；（2）若與的夾角為，求的值

6、解：（1），即，又，即， （2）依題意， ，又，即（17）【2015年廣東，理17，12分】某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表：工人編號年齡工人編號年齡工人編號年齡工人編號年齡1 402 443 404 415 336 407 458 429 4310 3611 3112 3813 3914 4315 4516 3917 3818 3619 2720 4321 4122 3723 3424 4225 3726 4427 4228 3429 3930 4331 3832 4233 5334 3735 4936 39（1）用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本，且在第一分段里采用隨機抽樣法抽到

7、的年齡數(shù)據(jù)為44，列出樣本的年齡數(shù)據(jù)；（2）計算（1）中樣本的均值和方差；（3）36名工人中年齡在與之間有著多少人？所占的百分比是多少（精確到001%）？解：（1）由題意得，通過系統(tǒng)抽樣分別抽取編號為2，6，10，14，18，22，26，30，34的年齡數(shù)據(jù)為樣本則樣本的年齡數(shù)據(jù)為：44，40，36，43，36，37，44，43，37（2）由（1）中的樣本年齡數(shù)據(jù)可得， ，則 = （3）由題意知年齡在之間，即年齡在之間，由（1）中容量為9的樣本中年齡、在之間的有5人，所以在36人中年齡在之間的有（人），則所占百分比為（18）【2015年廣東，理18，14分】如圖，三角形所在的平面與長方形所在的

8、平面垂直，點是邊的中點，點，分別在線段，上，且，（1）證明：；（2）求二面角的正切值；（3）求直線與直線所成角的余弦值解：（1）為等腰三角形，為邊的中點，所以， ，且，（2）由長方形知， ，且 ， ， 由長方形得，為邊的中點，則， 即二面角的正切值為（3）如圖，連結(jié)，為直線與直線所成角由長方形中得：由（2）知， ，由題意知，所以，直線與直線所成角的余弦值為（19）【2015年廣東，理19，14分】設(shè)，函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：在上僅有一個零點；（3）若曲線在點處的切線與軸平行，且在點的切線與直線平行（是坐標原點），證明：解：（1），時，恒成立的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）由（1）可知在r上為

9、單調(diào)遞增函數(shù)，當， ，在僅有一個零點（3）令點為，曲線在點處的切線與軸平行，直線斜率為，在點處的切線與直線平行，要證明，即證 要證明，需證明，設(shè)， 令，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ，命題得證（20）【2015年廣東，理20，14分】已知過原點的動直線與圓相交于不同的兩點，（1）求圓的圓心坐標；（2）求線段的中點的軌跡的方程；（3）是否存在實數(shù)，使得直線與曲線只有一個交點？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由解：（1）由題意知：圓方程為：，圓的圓心坐標為（2）由圖可知，令， ， 直線與圓交于、兩點，直線與圓的距離： ， 軌跡的方程為：（3）直線：與曲線僅有1個交點， 聯(lián)立方程：得：，在區(qū)間有且僅有1個解 當時，此時，僅有一個交點，符合題意當時，令，則有：解得