2014年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）

1、2014年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1（5分）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)=（）A1iB1+iC+iD+i2（5分）設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標函數(shù)z=x+2y的最小值為（）A2B3C4D53（5分）已知命題p：x0，總有（x+1）ex1，則p為（）Ax00，使得（x0+1）e1Bx00，使得（x0+1）e1Cx0，總有（x+1）ex1Dx0，總有（x+1）ex14（5分）設(shè)a=log2，b=log，c=2，則（）AabcBbacCacbDcba5（5分）設(shè)an的首項為a1，公差為1的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若S1，S2，S4成等比

2、數(shù)列，則a1=（）A2B2CD6（5分）已知雙曲線=1（a0，b0）的一條漸近線平行于直線l：y=2x+10，雙曲線的一個焦點在直線l上，則雙曲線的方程為（）A=1B=1C=1D=17（5分）如圖，ABC是圓的內(nèi)接三角形，BAC的平分線交圓于點D，交BC于E，過點B的圓的切線與AD的延長線交于點F，在上述條件下，給出下列四個結(jié)論：BD平分CBF；FB2=FDFA；AECE=BEDE；AFBD=ABBF所有正確結(jié)論的序號是（）ABCD8（5分）已知函數(shù)f（x）=sinx+cosx（0），xR，在曲線y=f（x）與直線y=1的交點中，若相鄰交點距離的最小值為，則f（x）的最小正周期為（）ABCD2

3、二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.9（5分）某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方向，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進行調(diào)查，已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4：5：5：6，則應(yīng)從一年級本科生中抽取 名學(xué)生10（5分）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為 m311（5分）閱讀如圖的框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出S的值為 12（5分）函數(shù)f（x）=lgx2的單調(diào)遞減區(qū)間是 13（5分）已知菱形ABCD的邊長為2，BAD=120°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BC=3BE，DC

4、=DF，若=1，則的值為 14（5分）已知函數(shù)f（x）=，若函數(shù)y=f（x）a|x|恰有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍為 三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15（13分）某校夏令營有3名男同學(xué)，A、B、C和3名女同學(xué)X，Y，Z，其年級情況如表：一年級二年級三年級男同學(xué)ABC女同學(xué)XYZ現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機選出2人參加知識競賽（每人被選到的可能性相同）（）用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果；（）設(shè)M為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”，求事件M發(fā)生的概率16（13分）在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知ac=b，s

5、inB=sinC，（）求cosA的值；（）求cos（2A）的值17（13分）如圖，四棱錐PABCD的底面ABCD是平行四邊形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F(xiàn)分別是棱AD，PC的中點（）證明EF平面PAB；（）若二面角PADB為60°，（i）證明平面PBC平面ABCD；（ii）求直線EF與平面PBC所成角的正弦值18（13分）設(shè)橢圓+=1（ab0）的左、右焦點分別為F1、F2，右頂點為A，上頂點為B，已知|AB|=|F1F2|（）求橢圓的離心率；（）設(shè)P為橢圓上異于其頂點的一點，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點F1，經(jīng)過點F2的直線l與該圓相切于點M，|MF2|=2，求橢圓的方

6、程19（14分）已知函數(shù)f（x）=x2ax3（a0），xR（）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（）若對于任意的x1（2，+），都存在x2（1，+），使得f（x1）f（x2）=1，求a的取值范圍20（14分）已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù)，設(shè)集合M=0，1，2，q1，集合A=x|x=x1+x2q+xnqn1，xiM，i=1，2，n（）當q=2，n=3時，用列舉法表示集合A；（）設(shè)s，tA，s=a1+a2q+anqn1，t=b1+b2q+bnqn1，其中ai，biM，i=1，2，n證明：若anbn，則st2014年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只

7、有一項是符合題目要求的.1（5分）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)=（）A1iB1+iC+iD+i【分析】將復(fù)數(shù)的分子與分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)34i，即求出值【解答】解：復(fù)數(shù)=，故選：A【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則和共軛復(fù)數(shù)的意義，屬于基礎(chǔ)題2（5分）設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標函數(shù)z=x+2y的最小值為（）A2B3C4D5【分析】作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z的最大值【解答】解：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，由z=x+2y，得y=，平移直線y=，由圖象可知當直線y=經(jīng)過點B（1，1）時，直線y=的截距最小，此時z最小此時z的最小值為z=1+2×1=3，故選

8、：B【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法3（5分）已知命題p：x0，總有（x+1）ex1，則p為（）Ax00，使得（x0+1）e1Bx00，使得（x0+1）e1Cx0，總有（x+1）ex1Dx0，總有（x+1）ex1【分析】據(jù)全稱命題的否定為特稱命題可寫出命題p的否定【解答】解：根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題可知，p為x00，使得（x0+1）e1，故選：B【點評】本題主要考查了全稱命題的否定的寫法，全稱命題的否定是特稱命題4（5分）設(shè)a=log2，b=log，c=2，則（）AabcBbacCacbDcba【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)求出，a，b，c的

9、取值范圍，即可得到結(jié)論【解答】解：log21，log0，021，即a1，b0，0c1，acb，故選：C【點評】本題主要考查函數(shù)值的大小比較，利用對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)5（5分）設(shè)an的首項為a1，公差為1的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1=（）A2B2CD【分析】由等差數(shù)列的前n項和求出S1，S2，S4，然后再由S1，S2，S4成等比數(shù)列列式求解a1【解答】解：an是首項為a1，公差為1的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，S1=a1，S2=2a11，S4=4a16，由S1，S2，S4成等比數(shù)列，得：，即，解得：故選：D【點評】本題考查等差數(shù)列

10、的前n項和公式，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計算題6（5分）已知雙曲線=1（a0，b0）的一條漸近線平行于直線l：y=2x+10，雙曲線的一個焦點在直線l上，則雙曲線的方程為（）A=1B=1C=1D=1【分析】先求出焦點坐標，利用雙曲線=1（a0，b0）的一條漸近線平行于直線l：y=2x+10，可得=2，結(jié)合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出雙曲線的方程【解答】解：雙曲線的一個焦點在直線l上，令y=0，可得x=5，即焦點坐標為（5，0），c=5，雙曲線=1（a0，b0）的一條漸近線平行于直線l：y=2x+10，=2，c2=a2+b2，a2=5，b2=20，雙曲線的方程為=1故選：A【點評

11、】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題7（5分）如圖，ABC是圓的內(nèi)接三角形，BAC的平分線交圓于點D，交BC于E，過點B的圓的切線與AD的延長線交于點F，在上述條件下，給出下列四個結(jié)論：BD平分CBF；FB2=FDFA；AECE=BEDE；AFBD=ABBF所有正確結(jié)論的序號是（）ABCD【分析】本題利用角與弧的關(guān)系，得到角相等，再利用角相等推導(dǎo)出三角形相似，得到邊成比例，即可選出本題的選項【解答】解：圓周角DBC對應(yīng)劣弧CD，圓周角DAC對應(yīng)劣弧CD，DBC=DAC弦切角FBD對應(yīng)劣弧BD，圓周角BAD對應(yīng)劣弧BD，F(xiàn)BD=BAFAD是BAC的平分線，BAF=DACD

12、BC=FBD即BD平分CBF即結(jié)論正確又由FBD=FAB，BFD=AFB，得FBDFAB由，F(xiàn)B2=FDFA即結(jié)論成立由，得AFBD=ABBF即結(jié)論成立正確結(jié)論有故選：D【點評】本題考查了弦切角、圓周角與弧的關(guān)系，還考查了三角形相似的知識，本題總體難度不大，屬于基礎(chǔ)題8（5分）已知函數(shù)f（x）=sinx+cosx（0），xR，在曲線y=f（x）與直線y=1的交點中，若相鄰交點距離的最小值為，則f（x）的最小正周期為（）ABCD2【分析】根據(jù)f（x）=2sin（x+），再根據(jù)曲線y=f（x）與直線y=1的交點中，相鄰交點距離的最小值為，正好等于f（x）的周期的倍，求得函數(shù)f（x）的周期T的值【解

13、答】解：已知函數(shù)f（x）=sinx+cosx=2sin（x+）（0），xR，在曲線y=f（x）與直線y=1的交點中，若相鄰交點距離的最小值為，正好等于f（x）的周期的倍，設(shè)函數(shù)f（x）的最小正周期為T，則=，T=，故選：C【點評】本題主要考查函數(shù)y=Asin（x+）的圖象特征，得到正好等于f（x）的周期的倍，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.9（5分）某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方向，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進行調(diào)查，已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4：5：5：6，

14、則應(yīng)從一年級本科生中抽取60名學(xué)生【分析】先求出一年級本科生人數(shù)所占總本科生人數(shù)的比例，再用樣本容量乘以該比列，即為所求【解答】解：根據(jù)分層抽樣的定義和方法，一年級本科生人數(shù)所占的比例為=，故應(yīng)從一年級本科生中抽取名學(xué)生數(shù)為300×=60，故答案為：60【點評】本題主要考查分層抽樣的定義和方法，利用了總體中各層的個體數(shù)之比等于樣本中對應(yīng)各層的樣本數(shù)之比，屬于基礎(chǔ)題10（5分）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為m3【分析】幾何體是圓錐與圓柱的組合體，判斷圓柱與圓錐的高及底面半徑，代入圓錐與圓柱的體積公式計算【解答】解：由三視圖知：幾何體是圓錐與圓柱的組合體，其中

15、圓柱的高為4，底面直徑為2，圓錐的高為2，底面直徑為4，幾何體的體積V=×12×4+××22×2=4+=故答案為：【點評】本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及數(shù)據(jù)所對應(yīng)的幾何量是解題的關(guān)鍵11（5分）閱讀如圖的框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出S的值為4【分析】寫出前二次循環(huán)，滿足判斷框條件，輸出結(jié)果【解答】解：由框圖知，第一次循環(huán)得到：S=8，n=2；第二次循環(huán)得到：S=4，n=1；退出循環(huán)，輸出4故答案為：4【點評】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)，判斷框中n1退出循環(huán)是解題的關(guān)鍵，考查計算能力12（5分）函數(shù)f（x）=lgx2的單調(diào)遞減

16、區(qū)間是（，0）【分析】先將f（x）化簡，注意到x0，即f（x）=2lg|x|，再討論其單調(diào)性，從而確定其減區(qū)間；也可以函數(shù)看成由復(fù)合而成，再分別討論內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)“同増異減”再來判斷【解答】解：方法一：y=lgx2=2lg|x|，當x0時，f（x）=2lgx在（0，+）上是增函數(shù)；當x0時，f（x）=2lg（x）在（，0）上是減函數(shù)函數(shù)f（x）=lgx2的單調(diào)遞減區(qū)間是（，0）故答案為：（，0）方法二：原函數(shù)是由復(fù)合而成，t=x2在（，0）上是減函數(shù)，在（0，+）為增函數(shù)；又y=lgt在其定義域上為增函數(shù)，f（x）=lgx2在（，0）上是減函數(shù)，在（0，+）為增函數(shù)，函數(shù)f（

17、x）=lgx2的單調(diào)遞減區(qū)間是（，0）故答案為：（，0）【點評】本題是易錯題，學(xué)生在方法一中，化簡時容易將y=lgx2=2lg|x|中的絕對值丟掉，方法二對復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)分析也是最常用的方法，此外，本題還可以利用數(shù)形結(jié)合的方式，即畫出y=2lg|x|的圖象，得到函數(shù)的遞減區(qū)間13（5分）已知菱形ABCD的邊長為2，BAD=120°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BC=3BE，DC=DF，若=1，則的值為2【分析】根據(jù)向量的基本定理，結(jié)合數(shù)量積的運算公式，建立方程即可得到結(jié)論【解答】解：BC=3BE，DC=DF，=，=，=+=+=+，=+=+=+，菱形ABCD的邊長為2，BAD=120

18、°，|=|=2，=2×2×cos120°=2，=1，（+）（+）=+（1+）=1，即×4+×42（1+）=1，整理得，解得=2，故答案為：2【點評】本題主要考查向量的基本定理的應(yīng)用，以及數(shù)量積的計算，要求熟練掌握相應(yīng)的計算公式14（5分）已知函數(shù)f（x）=，若函數(shù)y=f（x）a|x|恰有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（1，2）【分析】由y=f（x）a|x|=0得f（x）=a|x|，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論【解答】解：由y=f（x）a|x|=0得f（x）=a|x|，作出函數(shù)y=f（x），y=a|x|的圖象，當a0，不滿足條件，a0，當a

19、2時，此時y=a|x|與f（x）有三個 交點，當a=1時，當x0時，f（x）=x25x4，由f（x）=x25x4=x得x2+4x+4=0，則判別式=164×4=0，即此時直線y=x與f（x）相切，此時y=a|x|與f（x）有五個交點，要使函數(shù)y=f（x）a|x|恰有4個零點，則1a2，故答案為：（1，2）【點評】本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，難度較大三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15（13分）某校夏令營有3名男同學(xué)，A、B、C和3名女同學(xué)X，Y，Z，其年級情況如表：一年級二年級三年級男同學(xué)AB

20、C女同學(xué)XYZ現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機選出2人參加知識競賽（每人被選到的可能性相同）（）用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果；（）設(shè)M為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”，求事件M發(fā)生的概率【分析】（）用表中字母一一列舉出所有可能的結(jié)果，共15個（）用列舉法求出事件M包含的結(jié)果有6個，而所有的結(jié)果共15個，由此求得事件M發(fā)生的概率【解答】解：（）用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果有：（A，B）、（A，C）、（A，X）、（A，Y）、（A，Z）、（B，C）、（B，X）、（B，Y）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y）、（C，Z）、（X，Y）、（X，Z ）、（Y，Z），共計15個結(jié)果（）設(shè)M

21、為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”，則事件M包含的結(jié)果有：（A，Y）、（A，Z）、（B，X）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y），共計6個結(jié)果，故事件M發(fā)生的概率為 =【點評】本題考主要查古典概型問題，可以列舉出試驗發(fā)生包含的事件和滿足條件的事件，列舉法，是解決古典概型問題的一種重要的解題方法，屬于基礎(chǔ)題16（13分）在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知ac=b，sinB=sinC，（）求cosA的值；（）求cos（2A）的值【分析】（）已知第二個等式利用正弦定理化簡，代入第一個等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，將表示出的a，b代入計算，即

22、可求出cosA的值；（）由cosA的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA的值，進而利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式求出sin2A與cos2A的值，原式利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，將各自的值代入計算即可求出值【解答】解：（）將sinB=sinC，利用正弦定理化簡得：b=c，代入ac=b，得：ac=c，即a=2c，cosA=；（）cosA=，A為三角形內(nèi)角，sinA=，cos2A=2cos2A1=，sin2A=2sinAcosA=，則cos（2A）=cos2Acos+sin2Asin=×+×=【點評】此題考查了正弦、余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本

23、關(guān)系，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及兩角和與差的余弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵17（13分）如圖，四棱錐PABCD的底面ABCD是平行四邊形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F(xiàn)分別是棱AD，PC的中點（）證明EF平面PAB；（）若二面角PADB為60°，（i）證明平面PBC平面ABCD；（ii）求直線EF與平面PBC所成角的正弦值【分析】（）要證明EF平面PAB，可以先證明平面EFH平面PAB，而要證明面面平行則可用面面平行的判定定理來證；（）（i）要證明平面PBC平面ABCD，可用面面垂直的判定定理，即只需證PB平面ABCD即可；（ii）由（i）知，BD

24、，BA，BP兩兩垂直，建立空間直角坐標系BDAP，得到直線EF的方向向量與平面PBC法向量，其夾角的余弦值的絕對值即為所成角的正弦值【解答】解：（）證明：連結(jié)AC，ACBD=H，底面ABCD是平行四邊形，H為BD中點，E是棱AD的中點在ABD中，EHAB，又AB平面PAB，EH平面PAD，EH平面PAB同理可證，F(xiàn)H平面PAB又EHFH=H，平面EFH平面PAB，EF平面EFH，EF平面PAB；（）（i）如圖，連結(jié)PE，BEBA=BD=，AD=2，PA=PD=，BE=1，PE=2又E為AD的中點，BEAD，PEAD，PEB即為二面角PADB的平面角，即PEB=60°，PB=PBD中，

25、BD2+PB2=PD2，PBBD，同理PBBA，PB平面ABD，PB平面PBC，平面PAB平面ABCD；（ii）由（i）知，PBBD，PBBA，BA=BD=，AD=2，BDBA，BD，BA，BP兩兩垂直，以B為坐標原點，分別以BD，BA，BP為X，Y，Z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系BDAP，則有A（0，0），B（0，0，0），C（，0），D（，0，0），P（0，0，），=（，0），=（0，0，），設(shè)平面PBC的法向量為，令x=1，則y=1，z=0，故=（1，1，0），E，F(xiàn)分別是棱AD，PC的中點，E（，0），F(xiàn)（，），=（0，），sin=，即直線EF與平面PBC所成角的正弦值為【點評】本

26、題主要考查空間直線與平面平行的判定定理以及線面角大小的求法，要求熟練掌握相關(guān)的判定定理18（13分）設(shè)橢圓+=1（ab0）的左、右焦點分別為F1、F2，右頂點為A，上頂點為B，已知|AB|=|F1F2|（）求橢圓的離心率；（）設(shè)P為橢圓上異于其頂點的一點，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點F1，經(jīng)過點F2的直線l與該圓相切于點M，|MF2|=2，求橢圓的方程【分析】（）分別用a，b，c表示出|AB|和|F1F2|，根據(jù)已知建立等式求得a和c的關(guān)系，進而求得離心率e（）根據(jù)（1）中a和c的關(guān)系，用c表示出橢圓的方程，設(shè)出P點的坐標，根據(jù)PB為直徑，推斷出BF1PF1，進而知兩直線斜率相乘得1，進而求得s

27、in和cos，表示出P點坐標，利用P，B求得圓心坐標，則可利用兩點間的距離公式分別表示出|OB|，|OF2|，利用勾股定理建立等式求得c，則橢圓的方程可得【解答】解：（）依題意可知=2c，b2=a2c2，a2+b2=2a2c2=3c2，a2=2c2，e=（）由（）知a2=2c2，b2=a2c2=c2，橢圓方程為+=1，B（0，c），F(xiàn)1（c，0）設(shè)P點坐標（csin，ccos），以線段PB為直徑的圓的圓心為O，PB為直徑，BF1PF1，kBF1kPF1=1，求得sin=或0（舍去），由橢圓對稱性可知，P在x軸下方和上方結(jié)果相同，只看在x軸上方時，cos=，P坐標為（c，c），圓心O的坐標為（c

28、，c），r=|OB|=c，|OF2|=c，r2+|MF2|2=|OF2|2，+8=c2，c2=3，a2=6，b2=3，橢圓的方程為+=1【點評】本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系第（1）相對簡單，主要是求得a和c的關(guān)系；第（2）問較難，利用參數(shù)法設(shè)出P點坐標是關(guān)鍵19（14分）已知函數(shù)f（x）=x2ax3（a0），xR（）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（）若對于任意的x1（2，+），都存在x2（1，+），使得f（x1）f（x2）=1，求a的取值范圍【分析】（）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；（）由f（0）=f（）=0及（）知，當x（0，）時，f（x）0；當

29、x（，+）時，f（x）0設(shè)集合A=f（x）|x（2，+），集合B=|x（1，+），f（x）0，則對于任意的x1（2，+），都存在x2（1，+），使得f（x1）f（x2）=1，等價于AB，分類討論，即可求a的取值范圍【解答】解：（）f（x）=2x2ax2=2x（1ax），令f（x）=0，解得x=0或x=當x變化時，f（x），f（x）的變化情況如下表：x（，0）0（0，）（，+）f（x）0+0f（x）遞減0遞增 遞減所以，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：（，0）和，單調(diào)遞增區(qū)間為，當x=0時，有極小值f（0）=0，當x=時，有極大值f（）=；（）由f（0）=f（）=0及（）知，當x（0，）時，f（x）0；當x（，+