2022年2022年微積分復(fù)習(xí)資料

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載基本學(xué)問復(fù)習(xí)一. 不定積分1 不定積分概念,第一換元積分法（1） 原函數(shù)與不定積分概念精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載設(shè)函數(shù) fx與 fx 在區(qū)間a、b內(nèi)有定義,對(duì)任意的xa、 b,有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載'fxfx 或 dfxfx dx ,就稱 fx為 fx在a、b 內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)；假如 fx為函數(shù)fx 的一個(gè)原函數(shù)、稱 fx 的原函數(shù)全體為fx 的不定積分 、記作fx dxfxc 、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（2） 不定積分得基本性質(zhì)1dfxdxfx2；dxf 'x dxfxc精品學(xué)

2、習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3；afxbgxdxafx dxbgxdx.（ 3）基本不定積分公式表一1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(1) kdxkxck為常數(shù),x1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（2x dxc1 、 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1（3） dx xdxln xc、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載421xdxarctan xc 、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(5) arcsin xc 、1x2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(6) cos xdxsinxc 、精品學(xué)習(xí)資料

3、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(7) sinxdxcos xc 、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載dx(8) cos2 xsec2xdxtan xc 、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載dx(9) sin 2 xcsc2xdxcotxc 、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(10) sec x tan xdx(11) csc x cot xdxsec xc 、 csc xc 、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡

4、迎下載xa x(12) a dxc、ln a(13) shxdxchxc 、(14) chxdxshxc 、1(15) ch2 x dxthxc、1(16) sh2 xdxcthxc .（3） 第一換元積分法（湊微分法）設(shè) fu具有原函數(shù) 、 ux可導(dǎo) 、就有換元公式精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載fx'x dxfudu.ux精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2 其次換元積分法,分部積分法（1） 其次換元積分法精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載'設(shè) xt為單調(diào)的. 可導(dǎo)的函數(shù) 、并且t0 .又設(shè) ft't具有原函數(shù) 、精品學(xué)習(xí)資料精

5、選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就有換元公式fx dxft'tdt、t1 x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載其中1x為 xt的反函數(shù) .2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（2） 分部積分法設(shè)函數(shù) uux 及 vv x具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) 、那么 、uv 'u' vuv' 、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載移項(xiàng) 、得uv'uv 'u ' v.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載對(duì)這個(gè)等式兩邊求不定積分、得u

6、v 'dxuvu'vdx.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載這個(gè)公式稱為 分部積分公式.它也可以寫成以下形式:udvuvvdu.（3） 基本積分公式表二精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(17) tan xdx（18cot xdxln cosxc, ln sin xc、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（19） secxdxln sectan xc、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(20) cscxdxln cscxcot xc、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載dx(2

7、1) a2x21 arctan xc、 aa精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(22) dxdx1 ln xac、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x2a2(23) dx2axaarcsin xc、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a2x2(24) dx x2a2(25) dx x2a2a22lnxxac、 ln xx2a2c.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 3）有理函數(shù)的積分,三角函數(shù)有理式的積分,某些簡(jiǎn)潔無理式的積分一. 有理函數(shù)的積分精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載兩個(gè)多項(xiàng)式的商p x稱為 有理函數(shù) ,又稱為 有理分式

8、.我們總假定分子多項(xiàng)式pxq x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載與分母多項(xiàng)式qx之間為沒有公因式的. 當(dāng)分子多項(xiàng)式px的次數(shù)小于分母多項(xiàng)式qx 的次數(shù)時(shí) 、稱這有理函數(shù)為真分式 、否就稱為 假分式 .利用多項(xiàng)式的除法、總可以將一個(gè)假分式化成一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)真分式之和的形式、 由于多項(xiàng)式的積分簡(jiǎn)潔求、故我們將重點(diǎn)爭(zhēng)論真分式的積分方法.3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載對(duì)于真分式pnxqmx、第一將 qmx在實(shí)數(shù)范疇內(nèi)進(jìn)行因式分解、分解的結(jié)果不外乎兩種精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載類型 :一種為kxa、另外一

9、種為x2pxql、其中k、 l 為正整數(shù)且p24q0 ; 其次 、根精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載據(jù)因式分解的結(jié)果、將真分式拆成如干個(gè)分式之和.詳細(xì)的做法為:精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如 qmx分解后含有因式kxa、就和式中對(duì)應(yīng)地含有以下k 個(gè)分式之和 :精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a2ka1a2lk、xaxaxa精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載其中 : a1、l、 ak 為待定常數(shù) .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如 qmx分解后含有因式x2pxql、就和式中對(duì)應(yīng)

10、地含有以下l 個(gè)分式之和 :精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載m 1xn1m 2 xn 2lm l xn l、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x2pxqx22pxqx2pxq精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載l其中 : m i 、 nii1、2、 l 、 l為待定常數(shù) .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載以上這些常數(shù)可通過待定系數(shù)法來確定.上述步驟稱為把真分式化為部分分式之和、所以、有理函數(shù)的積分最終歸結(jié)為部分分式的積分.二. 可化為有理函數(shù)的積分舉例精

11、品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 4求1sin xdx.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載sin x 1cos x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解由三角函數(shù)知道、 sin x 與 cos x 都可以用 tanx 的有理式表示 、即2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2 tan x2 tan x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載sin x2sinxxcos22、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載22sec2 x1tan2 x221tan2 x1tan2 x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載cos xcos2

12、 xsin 2 x22 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載22sec2 x1tan2 x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載假如作變換utan x222x、那么精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載sin x2u、cos x21u、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1u 21u 2而 x2arctan u、 從而4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2dx1u 2于為du .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1sinxdx精品學(xué)習(xí)資料精選

13、學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載sin x11cos x2u2du精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1u 212u21u 21u 22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1u1u21u 21u21du u2uln uc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載221 tan2 xtan x1 ln tan xc.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 5求x1 dx.x42222精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解設(shè)x1u 、于為xu 21、dx2udu、 從而所求積分為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - -

14、 - 歡迎下載x1uu 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xdxu22udu12u21du精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載211du1u22 uarctanuc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2x1arctanx1c.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 6求dx.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載13 x2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解設(shè) 3 x2u 、于為xu32、 dx3u 2du 、 從而所求積分為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載dx3u2du13 x21u13u1du1u2精品學(xué)習(xí)資料精

15、選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3uuln 1uc3 3x2 233 x23ln 13 x2c.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 7求dx.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載13 xx5精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解設(shè) xt 6 、于為 dx6t 5dt 、 從而所求積分為52精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載dx6tdt6tdt精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載13 xx1t 2t 31t 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

16、 歡迎下載611dt1t 26 tarctan tc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載66 xarctan 6xc.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 8求11x xxdx.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1x1x解設(shè)t 、于為t 2 、 x1、 dx2tdt、從而所求積分為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xxt 212t21精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - -

17、- 歡迎下載11x2tt 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載dxt 21 tdt2dt精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xx121t 21dt22t12tln t1ct1t 21精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2t2lnt1ln t21c精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載21x x2ln1x1ln xx c.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載二. 定積分（1） 定積分概念,微積分基本定理,定積分得基本性質(zhì)（1） 定積分的概念1；定積分的定義定義 定積分 設(shè)函數(shù)fx 在區(qū)間a、b 上有定

18、義 .用分點(diǎn)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ax0x1x2lxn 1xnb、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載將區(qū)間a、b 任意分成 n 個(gè)小區(qū)間 、小區(qū)間的長度為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xixixi 1i1、2、 l、 n 、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載記maxxi . 在每個(gè)小區(qū)間xi 1 、 xi上任取一點(diǎn)ixi 1ixi、作乘積精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1 i n精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f

19、ixii1、2、l、 n .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載將這些乘積相加、得到和式6精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載nnfii 1xi 、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載這個(gè)和稱為 函數(shù)fx在區(qū)間a、b 上的積分和. 令0 、如積分和n 有極限 i 這個(gè)值 i精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載不依靠于a、 b 的分法以及中間點(diǎn)i 的取法i1、2、l、 n、就稱此極限值為fx 在a、b精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載上的定積分 、記作n

20、b精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ilimfi 0 i 1xfx dx 、ia精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載其中 a 和 b 分別稱為 定積分的下限與上限,a、 b 稱為 積分區(qū)間 .函數(shù)的可積性精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載定理 1如 fx 在a、b 上連續(xù) 、就 fx在a、b 上可積 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載定理 2如 fx 在a、b 上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)、并且有界 、就 fx 在a、 b 上可積 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載定積分的幾何定義精品學(xué)習(xí)資料精選

21、學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載在a、 b上 fx0 時(shí) 、 我 們 已 經(jīng) 知 道 、 定 積 分bfx dx 在 幾 何 上 表 示 由 曲 線a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載yfx.兩條直線xa、 xb 與 x 軸所圍成的曲邊梯形的面積;在a、 b 上 fx0 時(shí)、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由曲線 yfx.兩條直線xa 、 xb 與 x 軸所圍成的曲邊梯形位于x 軸的下方 、定積分精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bfxdx 在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負(fù)值; 在aa、 b 上 fx 既取得正值

22、又取得負(fù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載值時(shí) 、 函數(shù)fx的圖形某些部分在x 軸的上方、而其它部分在x 軸下方 . 此時(shí) 定積分bfxdx 表示 x 軸上方圖形面積減去x 軸下方圖形面積所得之差圖 4-2.a定積分的基本性質(zhì)7精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載為了以后運(yùn)算及應(yīng)用便利起見、對(duì)定積分做以下兩點(diǎn)補(bǔ)充規(guī)定:精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(1) 當(dāng) ab 時(shí)、bfxdx0 ;a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(2) 當(dāng) ab 時(shí)、bafx dxfx dx.ab精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

23、 - - 歡迎下載b性質(zhì) 11dxba.abbb精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載性質(zhì) 2 線性性質(zhì) k1 fxk2 gxdxk1fx dxk2gx dx.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載aaa精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載推論 1bbbfxgxdxfx dxgx dx.a aa精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載推論 2b bkfx dxkfx dx.a a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載性質(zhì) 3b cbfx dxfx dxfxdx.a

24、ac精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載性質(zhì) 4如 ab、fxgx、就bbfx dxgx dx.a a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載推論 3如 ab、 fx0 、就bfxdx0.a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載b推論 4如 ab、 mfxm 、 就 m bafxdxmba .a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載推論 5b bfx dxfxdx ab .aa精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載性質(zhì)

25、 5定積分中值定理（圖 4-6）如 fx 在a、b 上連續(xù) 、就至少有一點(diǎn)a、 b 、使得精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bfx dxfba .a積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載定理 1假如函數(shù)fx在區(qū)間a、 b 上連續(xù) 、就積分上限的函數(shù)xxftdta精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載在 a、b 上可導(dǎo) 、并且它的導(dǎo)數(shù)'xdxdxaftdtfxaxb .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載定理 2假如函數(shù)fx在區(qū)間a、 b

26、 上連續(xù) 、就函數(shù)xxftdta精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就為 fx在 a、 b 上的一個(gè)原函數(shù).一. 牛頓-萊布尼茨公式8精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載定理 3假如函數(shù) fx為連續(xù)函數(shù)fx在區(qū)間a、b 上的一個(gè)原函數(shù)、就bfx dxfbfa .a通常也把牛頓-萊布尼茨公式叫做微積分基本公式.（1） 定積分的換元積分法與分部積分法fx 在 a、 b 上連續(xù) 、作變換 xt、其中t滿意精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(1) a、b、 且當(dāng) t、時(shí)、ta、b ;精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(2) t在、上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、就精品學(xué)習(xí)資

27、料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bfx dxfta'tdt.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bb精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載定積分的分部積分法：uxv'bxdxuxvxavx u 'x dx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載aa精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 28證明 :1. 如 fx 在a、 a 上為連續(xù)的偶函數(shù)、就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載aa精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載fx dxa2 fx dx.0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2. 如 fx 在

28、a、 a 上為連續(xù)的奇函數(shù)、就afx dx0.a例 29如 fx在 0、1 上連續(xù) 、證明 :(1) 2 fsin x dx2 fcosx dx;00精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(2) xf0sin xdxfsin20x dx.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 31設(shè) fx為連續(xù)的周期函數(shù),周期為t ,證明 :a tt(1) fx dxfx dx;a0a ntt(2) fx dxnfx dx nn.a09精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 9證明 :i2 sin n xdx2 cosn xdxn00精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n

29、1n331l、 n為正偶數(shù)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載nn2422精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n-1n3 l42 、 n為正奇數(shù) .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證:令 xt、 就2nn2 sinnxdx2530ncostdt2 cosxdx.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n002當(dāng) n2 時(shí)、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載i2 sinn xdx2 sin n1 xd cosx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n00精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載cos x sinn1 x 22n0

30、01 sinn2 x cos2xdx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n12 sinn 2 xdxn12 sinnxdx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載00精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載這樣 、我們得遞推公式:n1 i n 2ni1 i n.n1 i.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載nn 2n精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) n 為正偶數(shù)時(shí) 、 i nn1n331li 0;精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載nn242精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng)

31、n 為正奇數(shù)時(shí) 、 in1n3l32 i .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載nnn又2431精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1i2 sin0i 02 dx0xdx1、.2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故n1n3 l31、 n為正偶數(shù)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載i nnn2422精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n-1n3 l42 、n為正奇數(shù) .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載nn253在一些實(shí)際問題中、常會(huì)遇到積

32、分區(qū)間為無窮區(qū)間、或者被積函數(shù)為無界函數(shù)的積分、它10精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載反常積分無窮限的反常積分定義 1設(shè)函數(shù)fx在區(qū)間a、上連續(xù) 、取 ta 、假如極限精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載存在 、就稱此極限為 函數(shù) fx 在無窮區(qū)間limta、tfxdxa上的反常積分、記作fxdx、 即a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載fxdxalimttfx dx、a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載這時(shí)也稱反常 積分fxdx 收 斂 ; 假如上述極限不存在、 就函數(shù)fx在無窮區(qū)間aa、上的反常積

33、分fx dx 就沒有意義 、習(xí)慣上稱為 反常積分fx dx 發(fā)散 、這時(shí)aa記號(hào)fxdx 不再表示數(shù)值了.a類似地 、 設(shè)函數(shù)fx 在區(qū)間、b上連續(xù) 、取 tb 、假如極限精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載limtbfxdxt精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載存在 、就稱此極限為 函數(shù) fx 在無窮區(qū)間、 b 上的反常積分、記作bfx dx、 即精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bb精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載fxdxlimtfx dx、t精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資

34、料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載這時(shí)也稱 反常積分bfx dx 收斂 ;假如上述極限不存在、就稱 反常積分bfx dx 發(fā)散 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載設(shè)函數(shù)fx 在區(qū)間、上連續(xù) 、假如反常積分精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載0fx dx 和0fxdx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載都收斂 、就稱上述兩反常積分之和為函數(shù)fx在無窮區(qū)間、上的反常積分、記作fx dx、 即0fx dxfx dxfx dx、0這時(shí)也稱 反常積分fxdx 收斂 ;否就就稱 反常積分fxdx 發(fā)散 .上述反常積分統(tǒng)稱為無窮限的反常積分.由上述定義及牛頓-萊布尼茨公式

35、 、可得如下結(jié)果.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載設(shè) fx為 fx 在 a、上的一個(gè)原函數(shù)、 如 limxfx 存在 、就反常積分精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載11精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載fx dxlimfxfa ;精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ax精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如 limxfx 不存在 、就反常積分fxdx 發(fā)散 .a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載假如記 flimxfx 、fxffa、 就當(dāng) f存在時(shí) 、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

36、 - - 歡迎下載a;fx dxfxa a當(dāng) f不存在時(shí) 、 反常積分fxdx 發(fā)散 .a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載類似地 、如在、 b 上 f 'xfx、就當(dāng) f存在時(shí) 、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載b bfx dxfx;b當(dāng) f不存在時(shí) 、 反常積分fx dx 發(fā)散 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如在、內(nèi) f 'xfx、就當(dāng) f與 f都存在時(shí) 、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載fx dxfx;當(dāng) f與 f有一個(gè)不存在時(shí)、 反常積分fx dx 發(fā)散 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 2 證

37、明反常積分dxa0當(dāng) ppax1時(shí)收斂 、當(dāng) p1 時(shí)發(fā)散 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證當(dāng) p1 時(shí)、dxdxln x.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) p1 時(shí) 、ax paxa精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載dxx1 p、 p1、1 p精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ax p1paa、 p1. p1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載因此 、當(dāng) p1 時(shí) 、這反常積分收斂、其值為

38、a1 p;當(dāng) pp11 時(shí)、這反常積分發(fā)散.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載一. 無界函數(shù)的反常積分現(xiàn)在我們把定積分推廣到被積函數(shù)為無界函數(shù)的情形.假如函數(shù)fx在點(diǎn) a 的任一鄰域內(nèi)都無界、那么點(diǎn) a 稱為 函數(shù) fx 的瑕點(diǎn) .無界函數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載的反常積分又稱為瑕積分 .定義 2設(shè)函數(shù)fx在a、 b 上連續(xù) 、點(diǎn) a 為 fx的瑕點(diǎn) .取 ta 、假如極限精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載12精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載limtabfxdxt精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

39、- - - 歡迎下載存在 、就稱此極限為 函數(shù) fx 在a、b上的反常積分、仍舊記作bfxdx、 即a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bb精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載fx dxalimtafxdx、t精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載這時(shí)也稱 反常積分bfx dx 收斂 ;假如上述極限不存在、就稱 反常積分abfx dx 發(fā)散 .a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載類似地 、 設(shè)函數(shù)fx在 a、 b 上連續(xù) 、點(diǎn) b 為 fx 的瑕點(diǎn) .取 tb 、假如極限精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

40、 歡迎下載存在 、就定義limtbtfxdxa精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bt精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載fx dxalimtbfx dx;a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載否就 、就稱反常積分bfx dx 發(fā)散 .a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載設(shè)函數(shù)fx 在 a、b 上 除 點(diǎn) c acb外連續(xù) 、點(diǎn) c 為 fx 的瑕點(diǎn) .假如兩個(gè)反常積分精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載都收斂 、就定義cfx dx 和abfx dxc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載

41、bcbfxdxfx dxfx dx、aac精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載否就就稱反常積分bfx dx 發(fā)散 .a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載'運(yùn)算無界函數(shù)的反常積分、也可借助于牛頓-萊布尼茨公式.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載設(shè) xa 為 fx的瑕點(diǎn) 、在分a、 b 上 fxfx 、假如極限limxafx存在 、就反常積精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bfxdxfblimfxfbfa;精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載axa精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎

42、下載假如 limxafx 不存在 、就反常積分bfxdx 發(fā)散 .a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載我們?nèi)杂糜浱?hào)bafx來表示 fbfa、從而形式上仍有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bbfx dxfx;aa對(duì)于 fx 在a、 b 上連續(xù) 、b 為瑕點(diǎn)的反常積分、也有類似的運(yùn)算公式、這里不再詳述 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載b例5證明反常積分adx當(dāng)0qxaq1 時(shí)收斂 、當(dāng) q1 時(shí)發(fā)散 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載13精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載微分方程微分方程的基本概念一般地,凡表示未知函數(shù).未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程,叫做 微分方程. 未知函數(shù)為一元函數(shù)的,叫做 常微分