2022年2022年數(shù)學分析教案第九章定積分

1、精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載第九章定積分教學要求：1 知道定積分的客觀背景曲邊梯形的面積和變力所作的功等,以及解決這些實際問題的數(shù)學思想方法； 深刻懂得并把握定積分的思想： 分割.近似求和.取極限,進而會利用定義解決問題；2. 深刻懂得微積分基本定理的意義,能夠嫻熟地應(yīng)用牛頓- 萊布尼茲公式運算定積分；3. 懂得可積的必要條件以及上和.下和的性質(zhì), 把握可積的充要條件及可積函數(shù)類,能獨立地證明可積性的問題；4. 懂得并嫻熟地應(yīng)用定積分的性質(zhì)；5. 嫻熟地把握換元積分法和分部積分法,并能解決運算問題.教學重點：1. 深刻懂得并把握定積分的思想,能夠嫻熟地應(yīng)用牛頓- 萊布尼茲

2、公式運算定積分；2. 把握可積的充要條件及可積函數(shù)類,能獨立地證明可積性的問題；3. 懂得并嫻熟地應(yīng)用定積分的性質(zhì)；4. 嫻熟地把握換元積分法和分部積分法,并能解決運算問題.教學時數(shù) ：14 學時§ 1定積分概念（2 學時）教學要求： 知道定積分的客觀背景曲邊梯形的面積和變力所作的功等,以及解決這些實際問題的數(shù)學思想方法；深刻懂得并把握定積分的思想：分割.近似求和.取極限,進而會利用定義解決問題；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載教學重點： 深刻懂得并把握定積分的思想.一.問題背景：1. 曲邊梯形的面積 :2. 變力所作的功 : 二.不積分的定義 : 三.

3、舉例 :例 1已知函數(shù)在區(qū)間上可積 . 用定義求積分.解取等分區(qū)間作為分法、.取.=.由函數(shù)在區(qū)間上可積 、 每個特別積分和之極限均為該積分值.例 2已知函數(shù)在區(qū)間上可積 、 用定義求積分.解分法與介點集選法如例1 、有精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載.上式最終的極限求不出來、但卻說明該極限值就為積分.例 3爭論 dirichlet函數(shù)在區(qū)間上的可積性 .四.小結(jié) ： 指出本講要點§ 2newton leibniz公式（ 2 學時）教學要求： 深刻懂得微積分基本定理的意義,能夠嫻熟地應(yīng)用牛頓 - 萊布尼茲公式運算定積分 .教學重點： 能夠嫻熟地應(yīng)用牛頓

4、- 萊布尼茲公式運算定積分. th9.1（ n l 公 式 ）證 例 1 求>>例 2 求.§ 3 可積條件（ 4 學時）教學要求：懂得可積的必要條件以及上和.下和的性質(zhì),把握可積的充要條件及可積函數(shù)類,能獨立地證明可積性的問題.教學重點：把握可積的充要條件及可積函數(shù)類, 能獨立地證明可積性的問題；一.必要條件 :精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載th 9.2,在區(qū)間上有界 .二.充要條件 :1. 思路與方案 :思路:鑒于積分和與分法和介點有關(guān)、先簡化積分和 .用相應(yīng)于分法 的“最大” 和“ 最小” 的兩個 “積分和 ”去雙逼一般的積分和、即用

5、極限的雙逼原理考查積分和有極限、且與分法及介點無關(guān)的條件 .方案:定義上和和下和.爭論它們的性質(zhì)和當時有相同極限的充要條件.2.darboux 和:以下總設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界 .并設(shè)確界 .、 其中和分別為函數(shù)在區(qū)間上的下確界和上定義 darboux 和、指出 darboux 和未必為積分和 .但 darboux 和由分法唯獨確定 . 分別用.和記相應(yīng)于分法的上（大）和.下（小）和與積分和 . 積分和為數(shù)集 多值 .但總有、因此有.和的幾何意義 .3. darboux 和的性質(zhì) :本段爭論 darboux 和的性質(zhì) 、目的為建立 darboux定理.先用分點集定義分法和精細分法:表示為的加細 .

6、性質(zhì) 1如、就、.即 :分法加細 、大和不增 、 小和不減 .證 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載性質(zhì) 2對任何、有、.即 :大和有下界、 小和有上界 .證 性質(zhì) 3對任何和、總有.即:小和不會超過大和.證.性質(zhì) 4設(shè)為添加個新分點的加細 .就有+、.證設(shè)為只在中第個區(qū)間內(nèi)加上一個新分點所成的分法、分別設(shè)、.明顯有和.于為.添加個新分點可視為依次添加一個分點進行次.即證得其次式 .可類證第一式 .系設(shè)分法有個分點,就對任何分法,有精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載,.證.4. 上積分和下積分 :設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界 .由以上性質(zhì)2 ,有上

7、界 ,有下界 .因此它們分別有上確界和下確界.定義記、.分別稱和為函數(shù)在區(qū)間上的上積分 和下積分 .對區(qū)間上的有界函數(shù)、和存在且有限 、.并且對任何分法、有.上.下積分的幾何意義 .例 1求和.其中為 dirichlet函數(shù) .5. darboux 定理 :th 1設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界 、為區(qū)間的分法 . 就有=、=.證只證第一式 .要證 :對使當時有.為明顯的 .因此只證. 、對、使<精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載設(shè)有個分點 、對任何分法、由性質(zhì) 4 的系、有、 由*式、得<即<亦即<.于為取對任何分法、成立. 可設(shè)對任何分法、否就、只要

8、為常值函數(shù) 、就有=.此即=.6. 可積的充要條件 :th 2（ 充要條件 1 ）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界 .=.證設(shè)=、就有=.即對使當時有| <對成立.在每個上取、使、于為、| =<.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載因此、時有| + | <+=.此即=.由darboux 定理 、=.同理可證=.=.對任何分法、有、而=.令和的共值為、由雙逼原理=.th 9.3有界.證對 = 0.即對.時、.、由、=.定義稱為函數(shù)在區(qū)間上的振幅或幅度 .易見有0 .可證=th 9.3 充要條件 2 有界.對.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎

9、下載th 3 的幾何意義及應(yīng)用th 3的一般方法 :為應(yīng)用 th 3 、通常用下法構(gòu)造分法:當函數(shù)在區(qū)間上含某些點的小區(qū)間上作不到任意小時 、可試用在區(qū)間上的振幅作的估量 、有.此時、倘能用總長小于、否就為常值函數(shù) 的有限個小區(qū)間復(fù)蓋這些點,以這有限個小區(qū)間的端點作為分法的一部分分點,在區(qū)間的其余部分作分割,使在每個小區(qū)間上有<、對如此構(gòu)造的分法、有<.th 4 r 可積函數(shù)的特點 設(shè)在區(qū)間上有界 .對和、使對任何分法、只要、對應(yīng)于的那些小區(qū)間的長度之和.證在區(qū)間上可積 、對和、使對任何分法、只要、就有.對的區(qū)間總長小于此時有=精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備

10、歡迎下載=三 可 積 函 數(shù) 類 ： 1閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必可積： th 5（ 證 ）2閉區(qū)間上有界且僅有有限個間斷點的函數(shù)可積.th 6（ 證 ）推論 1閉區(qū)間上按段連續(xù)函數(shù)必可積.推論 2設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界且其間斷點僅有有限個聚點、就函數(shù)在區(qū)間上可積 .例 2判定題 :閉區(qū)間上僅有一個間斷點的函數(shù)必可積.閉區(qū)間上有無窮多個間斷點的函數(shù)必不行積.3. 閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)必可積：th 7（ 證 ）例 3證明在上可積 .§ 4定積分的性質(zhì)（ 2 學時）教學要求：懂得并嫻熟地應(yīng)用定積分的性質(zhì)；教學重點： 懂得并嫻熟地應(yīng)用定積分的性質(zhì)；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備

11、歡迎下載一.定積分的性質(zhì) :1.線性性質(zhì) :th 1 const 、且.（ 證）th 2、且.（ 證）綜上 、定積分為線性運算.2.乘積可積性 :th 3、.證和有界.設(shè)、且可設(shè).否就或恒為零 .插項估量、有.但一般.3.關(guān)于區(qū)間可加性 :th 4有界函數(shù)在區(qū)間和.證明并說明幾何意義上可積,、 并有規(guī)定、.系設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可積 .就對、有精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載.（ 證 ）4. 積分關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性 :th 5設(shè)函數(shù)、且、. （ 證 ） 反之確否 .積分的基本估量 :.其中和分別為函數(shù)在區(qū)間上的下確界與上確界 .5. 肯定可積性 :th 6設(shè)函數(shù)、 且 留

12、意.證以證明;以證明不等式 .該定理之逆不真 .以例做說明 .6. 積分第一中值定理 :th 7積分第一中值定理、使=.（ 證 ）th 8推廣的積分第一中值定理且不變號 .就、使=.（ 證 ）.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載二.舉例:例 1設(shè).試證明 :.其中和為內(nèi)的任二點 、.例 2比較積分與的大小 .例3例4設(shè)證明不等式但.證明>0.證明分析所證不等式為只要證明在上成立不等式、且等號不恒成立 、就由性質(zhì) 4 和上例得所證不等式 .例 5證明.§5微積分基本定理 . 定積分運算（續(xù)）（ 2 學時） 教學要求： 嫻熟地把握換元積分法和分部積分法,

13、并能解決運算問題. 教學重點： 嫻熟地把握換元積分法和分部積分法,并能解決運算問題.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載一.變限積分與原函數(shù)的存在性引入： 由定積分運算引出.1. 變限積分 :定義上限函數(shù),（以及函數(shù)）其中函數(shù).指出這為一種新的函數(shù) 、也叫做 面積函數(shù) .th 9面積函數(shù)的連續(xù)性思路： 表達面積函數(shù).2. 微積分學基本定理：th 10微積分學基本定理（原函數(shù)存在定理）如函數(shù)就面積函數(shù)在上可導(dǎo),且=.即當時、面積函數(shù)可導(dǎo)且在點的導(dǎo)數(shù)恰為被積函數(shù)在上限的值.亦即為的一個原函數(shù) .證系連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù) .3. 積分其次中值定理th11（ 積分其次中值定理

14、）設(shè)函數(shù)在上可積,（ i ）如函數(shù)在上減,且,就存在,使得精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載（ ii）如函數(shù)在上增,且,就存在,使得推論函數(shù)在上可積,如為單調(diào)函數(shù),就存在,使得二 換元積分法與分部積分法：1. 換元積分法th 12設(shè)函數(shù)滿意條件：>、且;>在上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù) .就.（ 證 ）例 1.p225例 2. p225 例 3運算.p225 226 該例為技巧積分 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載例 4.該例亦為技巧積分 .例 5已知、求例 6設(shè)函數(shù)連續(xù)且有求積分例 7 設(shè)為區(qū)間上連續(xù)的奇（或偶函數(shù)）函數(shù),就, （.

15、）例 8.2. 分部積分法th13分部積分公式 例 9例 10運算.解=；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載解得直接求得,.于為、當為偶數(shù)時 、有;當為奇數(shù)時 、有.三.taylor公式的積分型余項 :p227229.習 題 課 （2 學時）一 積分不等式：1 利用積分關(guān)于被積函數(shù)的單調(diào)性證明積分不等式：例 1證明不等式.證留意在區(qū)間 0 、 1 上有、例 2證明不等式.證 考慮函數(shù)、.易見對任何、在區(qū)間上和均單調(diào) 、因此可積 、 且有、留意到、就有.而精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載、.因此有.取、.在區(qū)間仿以上爭論 、有.而,.綜上

16、 、有不等式.2.某些不等式的積分推廣 :原理:設(shè)函數(shù)和在區(qū)間上可積 .為區(qū)間的等分分法 、.如對任何和、均有、即得.令、留意到函數(shù)和在區(qū)間上可積 、即得積分不等式精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載.如果函數(shù)和連續(xù) 、仍可由.例 3 證明 schwarz 不等式 亦稱為 cauchy 不等式 : 設(shè)函數(shù) 和 在區(qū)間 上連續(xù) 其實只要可積就可 . 就有不等式.證法一由 cauchy 不等式schwarz 不等式 .cauchy 不等式參閱上冊 :設(shè)和為兩組實數(shù) 、就有.設(shè)為區(qū)間的等分分法 .由 cauchy 不等式 、有、兩端同乘以、有、精品學習資料精選學習資料 -

17、- - 歡迎下載學習必備歡迎下載令、留意到函數(shù).和在區(qū)間上的可積性以及函數(shù)的連續(xù)性,就有積分不等式.證法二（ 用判別式法） 對任何實數(shù),有,、即對任何實數(shù)成立. 即上述關(guān)于的二次不等式的解集為全體實數(shù)、于為就有、即.例 4且.證明不等式.證取.對函數(shù)和應(yīng)用 schwarz不等式 、即得所證 .例 5設(shè)函數(shù)在區(qū)間 0 、 1 上可積 .試證明有不等式精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載.證先用 jensen 不等式法證明不等式:對、有不等式.設(shè)為區(qū)間的等分分法 .由上述不等式 、有.令、留意到函數(shù)和在區(qū)間 0 、 1 上的可積性以及函數(shù)和的連續(xù)性,就有積分不等式.仿該例

18、 、可得到均值不等式.用jensen 不等式法證明的某些不等式的積分形式 .二.面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù):例 6求和例 7求和例 8求.例 9設(shè)時函數(shù)連續(xù)且. 求.=精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載例 10設(shè)函數(shù)連續(xù)且.求和.解令.兩端求導(dǎo) 、=.例 11設(shè).=. 試證明 :=.證=、=.例 12 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且>0.試證明 :函數(shù)在區(qū)間內(nèi)嚴格遞增 .證=、而.>0 、在內(nèi),又連續(xù),在區(qū)間內(nèi)嚴格遞增 .內(nèi)>0 .因此在區(qū)間三.含有變限積分的未定型極限:精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載例 13求極限.2 四.定積分的運算 :例 14運算積分.例 15運算積分=.解時、時、=;時、=.因此、例 16利用積分的值 、運算積分.解.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備歡迎下載、而、.因此,例 17、求 2例 18設(shè)為區(qū)間上連續(xù)的偶函數(shù).試證明 :為上的奇函數(shù) .證法 一.證法 二留意到、有=.五.利用定積分求和式