二次函數(shù)與冪函數(shù)

1、二次函數(shù)與幕函數(shù)1考綱傳真1.(1)了解幕函數(shù)的概念；(2)結合函數(shù)y= X, y=X2, y= X3, y=X? y=A.的圖象，了解它們的變化情況.2.理解二次函數(shù)的圖象和性質，能用二次函X數(shù)、方程、不等式之間的關系解決簡單問題【知識通關】1. 二次函數(shù)(1) 二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x) = ax2+ bx+ Ca0);頂點式：f(x) = a(X h)2+ k(a0),頂點坐標為(h, k);零點式：f(x) = a(x X1)(x x2)(a 0), x1, X2 為 f(x)的零點.二次函數(shù)的圖象與性質函數(shù)y= ax2 + bx + c(a> 0)y= ax2 +

2、 bx+ c(a V 0)圖象Ly1他：定義域R值域4ac b2+ 4a 24ac b2,4a單調性在, 2a上減， 在2b,+上增在, 2a上增， 在-±,+上減對稱性函數(shù)的圖象關于直線x=2a對稱2.幕函數(shù)(1)定義：形如y= x(g R)的函數(shù)稱為幕函數(shù)，其中X是自變量，是常數(shù). 五種常見幕函數(shù)的圖象與性質、函數(shù) 特征.y=Xy= X2y=X31 y=X?y= X1圖象/V,Tn定義域RRRxX 0x|x 0值域Ryy 0Ryy 0yy 0奇偶性奇偶奇非奇非偶宜單調性增(_, 0)減，(0,+)增增增(, 0)和(0,+)減公共點(1, 1)常用結論1.幕函數(shù)y= X在第一象限

3、的兩個重要結論恒過點(1,1);當X (0,1)時，越大，函數(shù)值越??；當X (1，+)時，越大，函數(shù)值越 大.2. 研究二次函數(shù)y= ax2 + bx+ c(a0)在區(qū)間m, n(mvn)上的單調性與值域時， 分類討論-呂與m或n的大小.2a3. 二次函數(shù)圖象對稱軸的判斷方法(1)對于二次函數(shù)y=f(x)對定義域內所有X，都有f(1) = f(2)，那么函數(shù)y= f(x)的圖象關于X=X1 + X22對稱.(2) 對于二次函數(shù)y= f(x)對定義域內所有X，都有f(a + X) = f(a-x)成立的充要條 件是函數(shù)y= f(x)的圖象關于直線X = a對稱(a為常數(shù)).【基礎自測】1. 判斷

4、下列結論的正誤.(正確的打“”，錯誤的打“X”)(1)二次函數(shù)y= ax2+ bx + c，X R不可能是偶函數(shù).()4acb2二次函數(shù)y= ax2+ bx + c，X a，b的最值一定是一肩 ()(3) 幕函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點(1,1)和點(0, 0).()當>0時，幕函數(shù)y= X在(0,+)上是增函數(shù).()答案×(2) ×(3)×1 22. 已知幕函數(shù)f(x)= k Xa的圖象過點 2 2",貝U k+ 等于() *C.3則 a, b,3. 如圖是y= xa;y=xb;y= XC在第一象限的圖象,A.a> b> CB. av bvC

5、C.bv CV aD. avCV bC的大小關系為()D54. 已知函數(shù)y= X-1, + ax + 6在,+內是增函數(shù)，貝U a的取值范圍為()A. a 5B. a 5C. a 5D. a 5C5 .函數(shù) g(x) = x2- 2x(x 0,3)的值域是.-1,3【題型突破】幕函數(shù)的圖象及性質I SSi II1. 幕函數(shù)y= f(x)的圖象經(jīng)過點(3, /3),則f(x)是()A.偶函數(shù)，且在(0,+ )上是增函數(shù)B .偶函數(shù)，且在(0,+)上是減函數(shù)C. 奇函數(shù)，且在(0, + )上是減函數(shù)D. 非奇非偶函數(shù)，且在(0,+ )上是增函數(shù)Dm的值為()A.0B . 1C.2D . 32. 幕

6、函數(shù)y= xm2-4m(m Z)的圖象如圖所示，則C112 23 .若(a+ 1) V (3- 2a),貝U實數(shù)a的取值范圍是.方法總結1求解與幕函數(shù)圖象有關的問題，應根據(jù)幕函數(shù)在第一象限內的函 數(shù)圖象特征，結合其奇偶性、單調性等性質研究2利用幕函數(shù)的單調性比較幕值大小的技巧：結合幕值的特點利用指數(shù)幕的運 算性質化成同指數(shù)幕，選擇適當?shù)哪缓瘮?shù)，借助其單調性進行比較 求二次函數(shù)的解析式SS2I【例1】(1)已知二次函數(shù)f(x) = x2 bx + C滿足f(0) = 3,對？ x R,都有f(1+ X) = f(1 x)成立，貝U f(x)的解析式為(2)若函數(shù)f(x) = (x+ a)(bx

7、+ 2a)(a, b R)是偶函數(shù)，且它的值域為(一, 4，則 該函數(shù)的解析式f(x) =.(1)f(x) = x2 2x + 3(2) 2x2 + 4方法總結求二次函數(shù)解析式的方法1三點坐標 1J 6 |T 1 對稱軸 I1逢彗點A 兩交點坐標式蟲氏煤刃已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2) = 1,f( 1)= 1,且f(x)的最大值是8,試確定該二次函數(shù)的解析式解法一(利用一般式):設 f(x) = ax2+ bx+ c(a 0).4a+ 2b+ c= 1,由題意得a b+ c= 1,4ac b24a8,10.所求二次函數(shù)為 f(x)= 4x2 + 4x+ 7.a= 4, 解得b = 4,C=

8、 7.法二(利用頂點式): 設 f(x) = a(x m)2+ n. f(2) = f( 1),函數(shù)圖象的對稱軸為2+ 1 1-2-=2.1°m = 2又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8,二n = 8.21 y= f(x)= a X 2 + 8.21T f(2) = 一 1 , a 2 2 + 8= 1,解得 a= 4,2 f(x) = 4 X 2 + 8= 4x2+ 4x + 7.法三(利用零點式):由已知f(x) + 1= 0的兩根為X1 = 2, X2= 1,故可設 f(x) + 1= a(x 2)(x + 1),即 f(x) = ax2 ax 2a 1.4a 2a1 a 2又函數(shù)的最大

9、值是8,即=8,解得a= 4,所求函數(shù)的解析式為f(x) = 4x2+ 4x + 7.二次函數(shù)的圖象與性質l®S3|I?考法1二次函數(shù)的單調性【例2函數(shù)f(x)= ax2+ (a 3)x + 1在區(qū)間1,+)上是遞減的，則實數(shù)a的取值范圍是()A 3, 0)B . ( , 3C. 2, 0D . 3,0D母題探究若函數(shù)f(x) = ax2+ (a 3)x + 1的單調減區(qū)間是1,+),則a=3?考法2二次函數(shù)的最值【例3 求函數(shù)f(x) = X2+ 2ax+ 1在區(qū)間1,2上的最大值.解f(x) = (x+ a)2+ 1 a2,f(x)的圖象是開口向上的拋物線,對稱軸為X = a.1

10、 1(1)當一av2,即 a> 2時，f()max = f=4a+ 5；1 1(2)當一a2，即 a 2時，f()max = f( 1)= 2 2a.1 4a+ 5, a> 2, 綜上,f(x)max =12 2a, a ?考法3二次函數(shù)中的恒成立問題1【例4】已知函數(shù)f(x) = ax2 2x+ 2,若對一切X 2，2，f(x) >0都成立,則實數(shù)a的取值范圍為()1C1A.2,+B.2,+C. 4,+)D.( 4,+)已知函數(shù)f(x) = x2+ mx 1,若對于任意X m, m+ 1,都有f(x) V0成立， 則實數(shù)m的取值范圍是.(1)B (2) I, 0方法總結1.

11、二次函數(shù)最值問題的解法：抓住 “三點一軸”數(shù)形結合，三點 是指區(qū)間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調 性及分類討論的思想即可完成2.由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關鍵1 一般有兩個解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)2兩種思路都是將問題歸結為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關鍵是看參數(shù) 是否已分離.這兩個思路的依據(jù)是：af X恒成立？ af x max, a f X恒成立 ? a f X min.蟲 1揀刃 已知二次函數(shù) f(x) = ax2+ bx+ 1(a, b R), X R.(1)若函數(shù)f(x)的最小值為f( 1)= 0,求f(x)的解析式，并寫出單調區(qū)間；在(1)的條件下，f(x)>x+ k在區(qū)間3, 1上恒成立，試求k的取值范圍.(1)由題意知_b_2a=1,解得f 1 = a b+ 1= 0,a= 1, b = 2.所以 f(x) = X2+ 2x+ 1,函數(shù)f(x)的單調