分式方程的增根與無解[1]

1、例談分式方程的增根與無解泰州市智堡中學(xué) 楊紅英分式方程的增根與無解是分式方程中常見的兩個概念，同學(xué)們在學(xué)習(xí)分式方程后，常常會對這兩個概念混淆不清，認(rèn)為分式方程無解和分式方程有增根是同一回事，事實上并非如此分式方程有增根，指的是解分式方程時，在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的變形過程中，方程的兩邊都乘了一個可能使分母為零的整式，從而擴大了未知數(shù)的取值范圍而產(chǎn)生的未知數(shù)的值；而分式方程無解則是指不論未知數(shù)取何值，都不能使方程兩邊的值相等它包含兩種情形：（一）原方程化去分母后的整式方程無解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但這個解卻使原方程的分母為0，它是原方程的增根，從而原方程無解現(xiàn)舉例說明如下：

2、例1 解方程 解：方程兩邊都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）解這個方程，得x=2經(jīng)檢驗：當(dāng)x=2時，原方程無意義，所以x=是原方程的增根所以原方程無解【說明】顯然，方程中未知數(shù)x的取值范圍是x2且x-2而在去分母化為方程后，此時未知數(shù)x的取值范圍擴大為全體實數(shù)所以當(dāng)求得的x值恰好使最簡公分母為零時，x的值就是增根本題中方程的解是x2，恰好使公分母為零，所以x2是原方程的增根，原方程無解例2 解方程解：去分母后化為x13x2（2x）整理得0x8因為此方程無解，所以原分式方程無解【說明】此方程化為整式方程后，本身就無解，當(dāng)然原分式方程肯定就無解了由此可見，分式方程無解不

3、一定就是產(chǎn)生增根例3（2007湖北荊門）若方程=無解，則m=解：原方程可化為=方程兩邊都乘以x2，得x3=m解這個方程，得x=3m因為原方程無解，所以這個解應(yīng)是原方程的增根即x=2，所以2=3m，解得m=1故當(dāng)m=1時，原方程無解【說明】因為同學(xué)們目前所學(xué)的是能化為一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一個根，所以如果這個根是原方程的增根，那么原方程無解但是同學(xué)們并不能因此認(rèn)為有增根的分式方程一定無解，隨著以后所學(xué)知識的加深，同學(xué)們便會明白其中的道理，此處不再舉例例4當(dāng)a為何值時，關(guān)于x的方程會產(chǎn)生增根？解：方程兩邊都乘以（x+2）（x-2），得2（x2）ax3（x2）整理得（a1）x10

4、 若原分式方程有增根，則x2或2是方程的根把x2或2代入方程中，解得，a4或6【說明】做此類題首先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后找出使公分母為零的未知數(shù)的值即為增根，最后將增根代入轉(zhuǎn)化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值若將此題“會產(chǎn)生增根”改為“無解”，即：當(dāng)a為何值時，關(guān)于x的方程無解？此時還要考慮轉(zhuǎn)化后的整式方程（a1）x10本身無解的情況，解法如下：解：方程兩邊都乘以（x+2）（x-2），得2（x2）ax3（x2）整理得（a1）x10 若原方程無解，則有兩種情形：（1）當(dāng)a10（即a1）時，方程為0x10，此方程無解，所以原方程無解。（2）如果方程的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程無解原方程若有增根，增根為x2或2，把x2或2代入方程中，求出a4或6綜上所述，a1或a一或a6時