基于冗余偏好關(guān)系的決策方法探討

1、 基于廣義Fuzzy偏好關(guān)系的決策方法探討董玉成1，徐寅峰1,2 （1.西安交通大學管理學院； 2.機械制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室）摘要：本文提出了廣義模糊偏好關(guān)系的概念。設計了互補化排序和加性一致化排序兩種排序方法，討論了兩種排序方法的相關(guān)性質(zhì)?；谶@兩種排序方法，定義了冗余一致性指標和加性一致性指標，并討論了采用加權(quán)算術(shù)平均算子（算子）或有序加權(quán)平均算子（算子）對廣義模糊偏好關(guān)系進行集結(jié)，其群體偏好一致性（包括冗余一致性和加性一致性）的相關(guān)性質(zhì)。本文結(jié)果對進一步完善基于模糊偏好關(guān)系的群決策模型具有理論和現(xiàn)實意義。關(guān)鍵詞：廣義模糊偏好關(guān)系；排序方法；冗余一致；加性一致；信息集成算子 中圖分類

2、號：C934 文獻標識碼：AStudy on decision making using generalized fuzzy preference relations Abstract: This paper first introduces the concept of generalized fuzzy preference relations and designs two methods to obtain the priorities vector from them. Moreover, we discuss desired properties on these two prio

3、rity methods. At last, we give some results on redundancy consistency and additive consistency of the collective preference relation aggregated by weighted averaging operator or ordered weighted averaging operator. These results are very important for GDM with fuzzy preference relations.Keywords: ge

4、neralized fuzzy preference relations; priority method; redundancy consistency; additive consistency; information aggregation operator.1 引言偏好關(guān)系又稱判斷矩陣，在多屬性決策中被廣泛研究。模糊互補偏好關(guān)系是最常見的偏好關(guān)系1-8。當決策者在某準則下對個方案進行兩兩比較構(gòu)造一個典型的模糊互補偏好關(guān)系時，一般需要經(jīng)過次判斷。然而決策者有時可能對某些比較判斷缺少把握或不想發(fā)表意見，這樣就會使偏好關(guān)系中的某些項出現(xiàn)空缺，對這類偏好關(guān)系一般稱為殘缺互補偏好關(guān)系8-9。另

5、一方面，決策者也可能作出多達次比較判斷，這樣就出現(xiàn)了冗余判斷，使模糊互補偏好關(guān)系失去互補性,我們稱這種偏好關(guān)系為廣義模糊偏好關(guān)系。這一新概念引入是基于如下理由：1）有些學者10-11在AHP的研究中，認為放棄乘性偏好關(guān)系的互反性是合理的，比如在一場球賽中，球隊擊敗了球隊，但是球隊同樣可以擊敗了球隊，這種情形在現(xiàn)實生活中的成對比較判斷里很常見。這些研究和分析也完全適合模糊互補偏好關(guān)系，它為我們引入廣義模糊偏好關(guān)系提供了理論支持。2）在采用一些最常見信息集成算子對模糊互補偏好關(guān)系進行集成時，無法保證集成的群體偏好關(guān)系的互補性。比如采用有序加權(quán)平均算子（）12對模糊互補偏好關(guān)系進行集成后，無法保證集

6、成的群體偏好關(guān)系是互補的13。因此，討論從廣義模糊偏好關(guān)系中發(fā)展權(quán)向量就有了必要性，而這些排序方法也能應用于Chiclana等提出的模糊多人決策模型13-16。本文的主要目的是對基于廣義模糊偏好關(guān)系的決策方法進行探討。文章給出了廣義模糊偏好關(guān)系排序的兩種方法；定義了廣義模糊偏好關(guān)系的冗余一致性和加性一致性，并研究采用加權(quán)算術(shù)平均算子（）或有序加權(quán)平均算子（）對廣義模糊偏好關(guān)系進行集成，其群體偏好一致性（包括冗余一致性和加性一致性）的相關(guān)性質(zhì)。本文研究對進一步完善基于模糊偏好關(guān)系的群決策模型具有理論和現(xiàn)實意義。2 廣義模糊偏好關(guān)系排序方法2.1 廣義模糊偏好關(guān)系的互補化排序為了敘述方便先給出幾個

7、定義：定義 1 令 是一矩陣，若對任意有，則稱為模糊矩陣17。本文定義為廣義模糊偏好關(guān)系。定義 26，7 令 是一矩陣，若對任意有，則稱為模糊互補偏好關(guān)系(或稱為互補模糊偏好關(guān)系)。令是階廣義模糊偏好關(guān)系集合，是階模糊互補偏好關(guān)系集合，由定義知。為了通過廣義模糊偏好關(guān)系對方案進行排序，從中發(fā)展權(quán)向量，一個直觀的方法是采用模糊互補偏好關(guān)系去貼近廣義模糊偏好關(guān)系，然后借助有關(guān)模糊互補偏好關(guān)系的排序方法6-8，最終獲取權(quán)向量。本文采用歐氏距離定義兩矩陣和的貼近程度，即：。那么這種方法可歸納為尋找一最貼近的模糊互補偏好關(guān)系。數(shù)學模型如下：設，。令 （1）其中，即為最貼近模糊互補偏好關(guān)系。通過模糊互補偏

8、好關(guān)系的排序方法6-8（本文采用最小方差法，具體見文獻7）對進行排序，其排序向量可以近似作為的排序向量。定理 1 設，為最貼近模糊互補偏好關(guān)系，那么。 證明：（1）等價如下優(yōu)化問題 （2）（2）等價于（3） （3）令得 ，化簡得 （4）令，令為采用最小方差法排序公式7對進行排序的權(quán)向量，那么 （5）把（4）代入（5）得 （6）把近似作為的排序權(quán)向量，我們稱該排序方法為廣義模糊偏好關(guān)系互補化排序。2.2廣義模糊偏好關(guān)系的加性一致化排序定義 3 令是一模糊互補偏好關(guān)系，若對任意有，則稱A是加性一致模糊互補偏好關(guān)系。令是階加性一致模糊互補偏好關(guān)系集合，由定義知。在這一節(jié)，我們考慮通過尋找一個最貼近廣

9、義模糊偏好關(guān)系的加性一致模糊互補偏好關(guān)系，從而直接獲取權(quán)向量。數(shù)學模型如下：設，令 （7）稱為的最貼近加性一致模糊互補偏好關(guān)系。令，記為對應的權(quán)向量。因為是模糊加性一致偏好關(guān)系，我們有6-8 （8）由（8）代入（7）有 （9） 稱為的排序向量。定理 2設。為的最貼近模糊互補偏好關(guān)系，為采用加性一致化排序方法獲取的權(quán)向量。那么，。證明：（9）等價如下優(yōu)化問題 （10）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，令，得 （11） （12）聯(lián)立（11）（12）得 （13）聯(lián)立（8）（13）得 （14）3進一步討論3.1 兩種排序方法的相關(guān)性質(zhì)一種廣義模糊偏好關(guān)系的排序方法可以看作由到 的一個映射, 記為。并稱是廣義模糊偏好關(guān)

10、系的排序向量。下面討論兩種排序方法的一些性質(zhì)。定理 3 當是模糊互補偏好關(guān)系（即）時，本文兩種排序方法（公式（6）和公式（13）等價于模糊互補偏好關(guān)系排序的最小方差法。證明：因為，所以 ，把這兩式分別代入（6）和（13），都可得，這即為模糊互補偏好關(guān)系的最小方差法排序公式。得證。定理3顯示本文兩種排序方法是廣義最小方差排序法。定義 4 一種排序方法稱為強條件下保序的，如果對任意，有和，則, 且當前者所有等式成立時, 有。定義4 推廣了模糊互補偏好關(guān)系強條件保序的概念。定理4將證明兩種排序方法是強條件保序的。定理 4 廣義模糊偏好關(guān)系互補化排序方法（公式（6）和加性一致化排序方法（公式（13）是

11、強條件下保序的。證明：對任意，有和，將其代入（6）或者（13），有, 且當前者所有等式成立時, 有。所以得證。類似模糊互補偏好關(guān)系，定義廣義模糊偏好關(guān)系排序方法的置換不變性。定義 5 設是一種排序方法，是任一個給定的廣義模糊偏好關(guān)系，記的排序權(quán)向量為。 如果對于任一置換不變矩陣,均有，則稱這種排序方法是置換不變的。定理 5廣義模糊偏好關(guān)系互補化排序（公式（6）和加性一致化排序（公式（13）是置換不變的。證明：設，且設是置換不變矩陣，。令，分別是A 和B 在公式（6）下的排序向量, 經(jīng)置換后, 的第行成了 的第行, 的第列成了的第列, 因此類似若，分別是和在公式（9）下的排序向量，則有所以兩種排

12、序方法具有置換不變性。3.2群決策與一致性偏好關(guān)系一致性測量一般包括兩個問題3：（1）什么時候決策者提供的個體偏好關(guān)系是一致的；（2）什么時候，一群人提供的偏好關(guān)系是一致的。對于第（2）個問題一般討論兩個方面：（a）群體偏好關(guān)系的一致性13, 18-19；（b）群體決策的共識測量 20?；诒疚膬煞N排序方法，我們給出廣義模糊偏好關(guān)系的冗余一致性指標和加性一致性指標（）（見定義6）?；谶@些一致性指標，集中討論一致性測量的第（2）個問題的第（a）方面（注：廣義模糊偏好關(guān)系一致性測量的其它相關(guān)問題我們在今后的研究中討論），即采用算子和算子對廣義模糊偏好關(guān)系進行群集成后群體偏好關(guān)系的一致性問題。關(guān)于

13、無冗余判斷的乘性偏好關(guān)系和模糊互補偏好關(guān)系的群體一致性問題，文獻13，18-19作過一些討論，本節(jié)研究可以認為是這些討論的繼續(xù)。定義 6設。定義為的冗余一致性指標。定義為的加性一致性指標。由互補化排序方法原理（公式（4）可知 （15）由加性一致化排序方法原理（公式（14）可知 （16）顯然越大，則中冗余判斷越多，當，則認為是冗余一致的（即是模糊互補偏好關(guān)系）。同樣越大，則加性一致性越差，當，則認為是加性一致的（即是加性一致模糊互補偏好關(guān)系）?？梢苑謩e為和設定臨界值和。當則認為廣義模糊偏好關(guān)系是冗余一致可接受；當可認為是加性一致可接受。當和同時成立，則認為是一致可接受，此時從中發(fā)展的權(quán)向量才認為

14、是可靠和有效的。對臨界值的設定，AHP的一致性檢驗可以給我們啟示： (1)類似Saaty21在AHP中使用的方法，通過使用平均隨機一致性指標對一致性指標標準化，然后經(jīng)驗性的去設定臨界值；(2) 也可類似采用P. Jong 22 的統(tǒng)計方法，把臨界值設定歸結(jié)為卡方檢驗。限于本文篇幅，作者在今后研究中詳細討論該問題。（1） 用算子進行群決策設為決策者給出的個廣義模糊偏好關(guān)系。采用加權(quán)算術(shù)平均算子（算子）對進行集成，得到群體模糊偏好關(guān)系記為。其中，為專家的權(quán)重且。定理 6設。（a）若 ，那么；（b）若 ，那么。證明：我們僅證明（a）。（b）可以完全類似證明，限于篇幅省略。因為，所以 （17）（18）

15、聯(lián)立（17）和（18）得 （19）從定理6可得：采用算子進行集成，若個體廣義模糊偏好關(guān)系的一致性水平（包括冗余一致性和加性一致性）都是可接受的，那么群體偏好必然是一致可接受的。（2）用算子進行群決策采用有序加權(quán)算術(shù)平均算子（算子）對進行集成，得到群體廣義模糊偏好關(guān)系記為。其中，且為中第大的元素。為 算子相關(guān)聯(lián)的加權(quán)向量，其中。定義 7 設是一組廣義模糊偏好關(guān)系，定義為其第次序廣義模糊偏好關(guān)系。定理 7設。（a）若 ，那么；（b）若 ，那么。證明：由定理6和定義7可直接得證。從定理7可知：采用算子進行集成，若次序廣義模糊偏好關(guān)系的一致性水平（包括冗余一致性和加性一致性）都是可接受的，那么群體偏好

16、必然是一致可接受的。4 算例為了敘述方便，記，為采用本文第一種排序方法（公式6）和第二種排序方法（公式13）從廣義模糊偏好關(guān)系中獲取的權(quán)向量。記, 為的冗余一致性指標和加性一致性指標的值?，F(xiàn)考慮有兩個決策者對四個方案進行評估，分別給出自己的廣義模糊偏好關(guān)系。按照本文方法計算出，的值，具體如下。,，, , , 如按算子對進行集成，加權(quán)向量設為，得到群體偏好關(guān)系為。并計算出，?？梢钥闯?，這與定理6相符合。，如按算子對進行集成，加權(quán)向量不妨設為，得到群體偏好關(guān)系為。為的次序廣義模糊偏好關(guān)系。并計算出，的值?？梢钥闯?，這與定理7相符合。，5 結(jié)論本文主要做了如下工作：（1）提出了廣義模糊偏好關(guān)系的概念

17、，并設計了互補化排序和加性一致化排序兩種排序方法；（2）討論了兩種排序方法的一些相關(guān)性質(zhì)；（3）給出了冗余一致性指標和加性一致性指標的公式，并討論了采用加權(quán)算術(shù)平均算子（算子）和有序加權(quán)平均算子（算子）對廣義模糊偏好關(guān)系進行集結(jié)，其群體偏好一致性（包括冗余一致性和加性一致性）的一些性質(zhì)。本文結(jié)果對完善基于模糊偏好關(guān)系的群決策模型具有理論和現(xiàn)實意義。在今后的研究中，我們將進一步探討這些問題。參考文獻1 Orlorski S A. Decision-making with a fuzzy preference relation J. Fuzzy Sets and Systems, 3(1978)

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