產(chǎn)品設計中的相似理論及相似設計方法

1、3相似理論及相似設計方法對應論方法曾是一種古典的理論，近代發(fā)展為相似理論，現(xiàn)代又發(fā)展為對應 論方法學，其屮與工程技術的設計和分析直接相關的是相似設計和模擬技術。而 仿真則是模擬技術的高級階段與數(shù)字計算。3.1相似理論3.1.1相似概念相似是指表述一組物理現(xiàn)象的所冇物理量在空間相對應的各點和在時間上 各對應的瞬間，各自互成一定的比例關系，并且被約束在一定的數(shù)學關系z屮。 其屮各物理量的相似主要有幾何相似、時間相似、運動相似、動力相似、邊界條 件的相似和其他物理參數(shù)的相似等。3.1.1.1幾何相似相似系統(tǒng)小，任何對應點的坐標z比為常數(shù)，稱為幾何相似，即應滿足：z7? = c厶(31)也就是兩現(xiàn)象中

2、，任意相對應線性尺寸之比恒相等，任意兩條對應直線間的 夾角保持不變。3.1.1.2時間相似吋間相似是指兩現(xiàn)象對應的吋間間隔成比例?；蛘哒f，兩系統(tǒng)的相應點或者 對應部分沿著幾何相似的路程運動達到另一個對應的位置時，所需的時間比例是 一個常數(shù)。如圖所示，有：(3-2)3.1.1.3運動相似運動相似是指速度或加速度場的幾何相似，即相似系統(tǒng)的各對應點在對應吋刻上速度或加速度的方向一致，大小互成比例。如圖32所示，有：(3-3)3.1.1.4動力相似動力相似是指力場的幾何相似，即相似系統(tǒng)的齊對應點處對應時刻的作用力(廣義)的方向一致，大小互成比例，即有：皆=cf(34)3.1.1.5溫度相似溫度相似是指

3、溫度場的幾何相似，表現(xiàn)為相似系統(tǒng)各對應點處對應吋刻的溫 度成比例，即有：t話cy(35)其他物理參數(shù)的相似定義表述形式相同。常數(shù)cl、cr、c八0、g等稱為相 似常數(shù)。根據(jù)一般的數(shù)學知識，可以得到相似常數(shù)的推論：若試、試和坊、堪是同類相似的量,即:則冇竺_寶_笠 u9 u u；(3-6)(3-7)(3-8)式(31)式(35)是相似現(xiàn)象的單值條件?，F(xiàn)象的相似就是通過各種物理量的 單值相似來表現(xiàn)的。由丁表示現(xiàn)象特征的各種物理量并不是孤立的，而是處在為 自然規(guī)律所決定的一定的關系之中，所以各個相似常數(shù)是相互關朕的，不能隨意 選擇:亦止因如此，對某種相似現(xiàn)象，可以用相應的幾個基木參數(shù)的相似來描述。

4、比如，對研究力學性質(zhì)的現(xiàn)象，如果兩系統(tǒng)在幾何學、運動學和動力學上相似, 則其他參量的相似，均可用上述三類相似來描述；它們不能自成范疇，而只能作 為設計條件和要求。這些問題止是相似理論的研究內(nèi)容z-o3.1.2相似定理相似定理是用來判斷兩個現(xiàn)象相似的充分必要條件及其所應遵循的法則。相 似定理的作用包括以下三個方面：相似現(xiàn)象貝有什么性質(zhì)；(2) 個別現(xiàn)象的研究結(jié)果如何推廣到所有相似的現(xiàn)象中去；(3) 滿足什么條件才能實現(xiàn)現(xiàn)象相似。弄清楚上述問題，才能解答卜列問題：(1) 模型試驗應遵守什么條件；(2) 模型試驗需要測量哪些物理量；(3) 如何整理實驗結(jié)杲，使z推廣到原型等現(xiàn)象中去。而實現(xiàn)這些冃的的

5、基礎就是相似理論的三個基本定理，其中第一定理介紹相 似現(xiàn)象的性質(zhì)，也稱為相似性質(zhì)；第二定理用來確定相似準則的個數(shù)以及相似結(jié) 果的推廣，亦稱為乃定理；第三定理又稱為模型化法則，也是相似現(xiàn)象的充耍條 件。3.1.2.1相似第一定理相似第一定理又稱相似性質(zhì)，說明了相似現(xiàn)象所具有的一些性質(zhì)?，F(xiàn)舉例說 明如下：設有兩個彼此相似的現(xiàn)象，可用同一個方程式來表示。如受偏心拉力的等截 面直桿，軸向拉力為偏心距為厶截面積和抗彎截面模數(shù)分別為f和必則 此桿外側(cè)面的應力為：fl p(y = +w f(3-9)對于第一現(xiàn)象，有：9 p9l9 pf(3-10)對于第二現(xiàn)象，有：義嚴"嚴 b ttt99 + e(

6、3-11)若此兩個現(xiàn)象各個物理量之間存在如下關系:b = w r = cppfr = cllfit 二 git r = cpfr (3-12)式中，g、5、j、6和cc分別為應力、拉力、偏心距、抗彎截面模數(shù)和 截面積的相似常數(shù)。將式(312)代入式(3口),得：*=込弩+空gcwca wcwca wr cf f,x '若耍使兩個現(xiàn)象變換吋不破壞原有方程，則必須有5=乎和2=??，F(xiàn)cp令:g二鴉$二烽(314)若兩個現(xiàn)象相似，必須使:=£pq =比2 = d = 1(3-15)1 cwca 2 cf5 ' 丿 式(3-15)是判定現(xiàn)象相似的條件，稱為相似指標。該式表明，

7、相似現(xiàn)象屮各 相似常數(shù)具有一定的關系，使相似指標等丁7：將式(3-12)中各式代人式(3-15),可得：phl" _ p' l' p _ p1(3 6) =訴= wra,1去掉上式中各量的上標，則可寫成一般形式：pjpk = = idemk2 = = idem (3-17)1 wa2 fa上式稱為相似判據(jù)(或相似準則)。從式(3j6)可以看出，對所有相似的現(xiàn)象， 相似判據(jù)是相同的,為一不變數(shù)。相似準則的特點是：無量綱；綜合數(shù)群； 適合無數(shù)的和似現(xiàn)象。這里應注意相似準則和相似常數(shù)的區(qū)別。這里所說相似準則是不變量，是指 在所有互相相似現(xiàn)象的對應點和對應時刻上這一數(shù)群數(shù)值相

8、等；當位置和時刻改 變時，這一數(shù)郡的數(shù)值一般是變化的。相似常數(shù)則是指一對物理現(xiàn)象有關的物理 量比值在所有對應點和對應時刻上保持不變；而對第三個與它們相似的現(xiàn)象，這 一比值一般是不同的。相似第一定理可以歸納為：對于彼此相似的現(xiàn)象，其相似指標為1,相似判 據(jù)為一個不變量。它有如下四個方面的內(nèi)涵：(1) 相似現(xiàn)象屬同一現(xiàn)象，具有相同形式的方程組。(2) 表征相似現(xiàn)象的一切量，在空間上對應的各點和時間上相應的瞬間，各 自互成一定的比例。(3) 相似現(xiàn)象的一切量各口互成比例，但由于由這些量組成的方程組是相同 的，所以各相似常數(shù)不是任意的，而是彼此約束，具有一定的關系，即相似現(xiàn)象 的相似指標等于lo相似現(xiàn)

9、象必定具有數(shù)值相同的相似準則或相似判據(jù)。3.1.2.2相似第二定理相似第二定理主要是說明如何確定相似準則的個數(shù)的。相似第二定理可以描 述為：某個現(xiàn)象的物理量總數(shù)為n,量綱獨立的物理量總數(shù)為k,則該現(xiàn)象相似 準則的個數(shù)為n-k.且描述該現(xiàn)象各個物理量z間的關系可表示為相似準則兀i， 兀2，兀譏z間的關系，即/(眄，兀2 兀(n-k) = 0(3-18)式(3-18)稱為準則關系式，或盯關系式。式中的各相似準則稱為兀項。對于兩個相似現(xiàn)象，由于在對應點對應時刻上相似準則兀2,s 的值不變，bp：7t； = tc；(3-19)*2 = 23 = n3保證了式(3 j8)的成立。式(3-19)實際上反映

10、了模型試驗等的設計條件，其意義在于：如果把某現(xiàn)象 的結(jié)果整理成式(3-18)所示的關系形式，則該式叮以推廣到和它相似的所有同糞 現(xiàn)象上去。而在推廣過程中，并不需要真止列出式(3-18),只要利用式(3-19)的關 系式。在刀關系式(3-18)中，k值是代表現(xiàn)象的基本物理量的數(shù)目，從意義上來講， 它實際上就代表了同一現(xiàn)象中基木量綱的數(shù)目。除基木物理量z外的所有有量綱 的量，都可稱為導出物理量。導出物理量在量綱構(gòu)成上同基木物理量間呈幕函數(shù) 關系?，F(xiàn)象的物理量除去多數(shù)是帶有量綱的以外，有時還會出現(xiàn)一些不帶量綱的量。 對于這些不帶量綱的物理量，在兀關系式中要直接作為兀項來處理。這是因為， 這些物理量除

11、了具有無量綱的特征以外，也往往具有明顯的物理意義。比如摩擦 系數(shù)，它可以理解為摩擦力和止壓力z比，所以它符合無量綱綜合數(shù)群的要求。 再如角度這樣的無量綱量，同樣也可以找到這樣的物理依據(jù)。另外，在現(xiàn)象分析時,7t項有自變和因變(導出)之分，因變的兀項可用自 變7c項表示tt= f (71±,兀2 兀n_k) =0(3-20)相似第二定理主要用來說明某一試驗結(jié)果如何向相似現(xiàn)象中推廣。相似第二 定理又稱為定理。關于'定理的一般形式及應用將在后面討論。3.1.2.3相似第三定理相似第一和第二定理明確了相似現(xiàn)象的性質(zhì)，它們是在假定現(xiàn)象相似的基礎 上導出的，但它們并沒有給出現(xiàn)象相似的充要

12、條件。相似第三定理則說明了現(xiàn)象 滿足什么樣的條件才是相似的。該定理對于建立新的過程或新的設備，即把模型 試驗結(jié)果進行推廣時是很重要的。所以又稱為模型化法則。相似第三定理指出，現(xiàn)象相似的充耍條件是：(1) 相似的現(xiàn)象都應由完全相同的方程組所描述；(2) 相似現(xiàn)象的單值條件也應相似;(3) 由單值條件的物理量所組成的相似準則在數(shù)值上應相等，即相似指標應 等于綜上所述，現(xiàn)象相似條件可表述為：凡同一完整的方程組所描述的同類現(xiàn)象, 當單值條件相似，口由單值條件的物理量所組成的相似準則在數(shù)值上相等，則這 些現(xiàn)象就相似。這里的單值條件就是如麗所述的將一個個別現(xiàn)象從同類現(xiàn)象中區(qū)分出來，亦 即將現(xiàn)象的通解轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

13、特解的具體條件。單值條件包括幾何條件(或空間條件)、 介質(zhì)條件(或物理條件)、邊界條件和初始條件(或時間條件)。相似第三定理直接利用代表具體現(xiàn)象的單值條件來定義現(xiàn)象的相似，顯示了 它科學上的嚴密性。但在一些復雜現(xiàn)象中，很難確定現(xiàn)象的單值條件，僅能憑借 經(jīng)驗判斷何為系統(tǒng)的主要參量；或者雖然知道單值量，又很難做到兩現(xiàn)象由單值 量組成的某些相似準則的數(shù)值上的完全一致。這就造成相似第三定理難以真正實 行。3.2相似準則導出相似準則的導出方法主要有兩種：方程分析法和量綱分析法。它們的著手處 不同，做法不同，分析過程不同，所得相似準則的形式也可能不一樣，但其實質(zhì) 是相同的，這說明齊準則形式z間存在著一定的

14、代數(shù)轉(zhuǎn)換關系。下面就這兩種方 法分別予以介紹。3.2.1方程分析法用方程分析法進行相似分析的前提是所討論現(xiàn)象的數(shù)理方程為已知，而且任 何止確的物理方程都是量綱和諧的，即方程中的每一項的量綱都是相同的，這是 通過方程分析能夠?qū)缦嗨茰蕜t的基礎。用它來決定相似準則有兩種方法，即相 似轉(zhuǎn)換法和積分類比法。3.2.1.1相似轉(zhuǎn)換法a相似轉(zhuǎn)換法的基本步驟(1) 寫出現(xiàn)象的數(shù)理方程；寫出全部的單值條件；(3) 寫出相似常數(shù)的表達式；(4) 將相似常數(shù)帶方程組進行相似變換，求出相似指標方程式，再轉(zhuǎn)換為相 似準則；(5) 將相似常數(shù)帶單值條件方程，經(jīng)相似變換得相似指標方程，并轉(zhuǎn)換為相 似準則；(6) 將所有求

15、得的相似準則進行分解、組合，向常用的準則靠攏。b導數(shù)的相似轉(zhuǎn)換在微分方程的相似轉(zhuǎn)換中，涉及到導數(shù)和偏導數(shù)的相似轉(zhuǎn)換問題，即求導符 號的相似轉(zhuǎn)換。設現(xiàn)象有兩個同類參量yl和y2,若兩現(xiàn)象相似，有： yl_y£_c站一站一 5根據(jù)比例性質(zhì)，必+必_必一必_ w _廠ro yw 一一 矽一 y(3_21)叭尸0 (釜)=器=cy(3-22) dy _必_必_ “心而7 一站一 y< 一 5(323)現(xiàn)把問題擴大到兩個相似的物理量y和方有:dy _ y dtdyz yz dt7t:=7（3-24）將兩式相除，得:dy dt y 作”、 應:百=歹詁(*25)即器第諾說討dt dtz上式

16、說明，對兩和似物理現(xiàn)象，在各物理量作和似比較時，竽和渝效果是樣的，即可以將相似準則屮的微分符號直接去除。對于二階微分，同樣可以推出： = d(%/dld©/dt-¥/t = £(3-27)同樣可證，在相似分析屮f(x)dx和jf(x)dx的效果是一致的。所以當方程屮 有積分存在吋，可直接將其屮的積分符號去掉用被積式來代替。例3-1針對“彈簧一質(zhì)量一阻尼”系統(tǒng)，試用模型研究位移y的變換規(guī)律。 解：(1) 寫出數(shù)理方程：根據(jù)機械振動的知識可知，質(zhì)量m的位移的動力學微分 方程為：m器+ 耳篇+ ky = o (3-28a) m第+ /黑+k'y' = o

17、 (3-28b)式中 m質(zhì)量；y質(zhì)量位置坐標；n系統(tǒng)阻尼系數(shù)；k彈簧剛度系數(shù)。(2) 寫出單值條件，并令兩現(xiàn)象相似，得單值參量相似常數(shù)為:物理條件相似(3-29)邊界條件相似：(3-30)初始條件(t二0, y=yo)相似：(3-31)進行相似變換，將相似常數(shù)帶入方程，得到：(3-32)為了保證微分方程的一致性，上述方程中的各項系數(shù)必須彼此相等，即:(3-33)由此可得兩個獨立的相似指標方程：(3-34)(4)將相似常數(shù)帶人初始條件求相似指標: 當t=0,對應有:經(jīng)過相似變換有：(3-35)將兩指標方程組合，可得與初始條件相關的指標方程：(3-36)將相似常數(shù)帶人相似指標方程式，即可得到相似準

18、則：(3-37)此處為獨立的相似準則。本例中還有一個獨立的相似準則，顯然是上，這樣獨立的4個相似準則就可構(gòu)成一個兀關系式：(3-38)3.2.1.2積分類比法方程分析法中較另外一種常用的、比較簡便的方法是積分類比法，其具體步 驟為：(1)寫出物理現(xiàn)象的基本方程(可為微分方程或積分方程的形式)；(2) 用方程的任一項去除方程的其余各項：(3) 將由得到的各項中涉及的導數(shù)用相應的量的比值替代、積分用被積式 來代替。如此得到的公式各項即是相似準則；相似現(xiàn)象中它們應保持不變。(4) 以單值條件補充基木方程的不足，建立新的方程或等式，求出其余的補 充相似準則。例3-2如彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的基本微分方程為:d2

19、ydt5-用第三項去除其余各項，有:第三頊二m磐砂第二項d,第三頊二叼詈/砂以手替換魯，芳替換乎，去除各項中的微分符號。得到來口微分方程的相似 準則:d(3-39)m 魚影 i'yjkt =idem 叩警 / kyjz-: idem d本例中確定系統(tǒng)特解的單值條件為： y卜叫。料：。剛。 (3 8,據(jù)此，同樣可得另外兩個相似準則：上二 idem vot： idem (3-41)yo y深入研究可以發(fā)現(xiàn)，用此方法建立相似準則，和由相似第一定理推導相似準 則在木質(zhì)上是一致的。對于較為復雜的物理現(xiàn)象，其微分方程(組)是通過某些物理量在三個坐標 軸上的分量來描述的，如果方程和方程之間，或方程的

20、項和項之間出現(xiàn)地位、性 質(zhì)一一對應的方程和項，則在作相似分析時，可僅保留其一，并且用總量替換其 分量z后用積分類比法求解。方程分析法在使用上是方便的，但其前提是有足夠正確的方程和單值條件, 這對許多問題是非常困難的。3.2.2量綱分析法3.2.2.1基本概念當描述某一現(xiàn)象的方程(組)暫時無法寫出時，可以采用量綱分析法或因次 分析法來確定相似準則。所謂量綱就是度量物理量的類型，同一類型的量具有相同的量綱。我們常用 卜列符號來表示各種不同的量綱，如長度的量綱為：l：,力的量綱為f,時間的 量綱為t,質(zhì)量的量綱為m等等。在實際現(xiàn)象中，物理量之間的關系是遵循一定的自然規(guī)律的。在數(shù)學上，可 用方程式來表

21、達，因此，各量綱z間亦有一定的關系：如選定一組彼此獨立量綱 作為基本單位，則其他量綱的單位可由基本單位導出：如選定貢量、時間和長度 的量綱為基本單位，則根據(jù)牛頓第二定律，力的量綱單位為ml/t2二由基木單位導出的單位稱為導出單位，基木單位不是固定不變的，任何一組 彼此獨立的并可導出其他單位的單位均可作為基木單位二如對力學問題，在國際 si單位制中，把長度、質(zhì)量、時間的量綱作為基本單位；而在工程單位制中，則 把長度、力和時間的量綱作為基本單位。當研兗對象為靜力問題時，因與時間無 關，故只有兩個基木單位。但在熱力學問題中，還需增加溫度的量綱為基本單位。 在工程技術中，常用特征值的量綱如表所示。表3

22、j常用特征值的量綱量綱表示了各物理量的類型，因此表示各物理量之間關系的方程式，其各項 量綱必須是相同的，否則便會出現(xiàn)如長度和時間相加等錯謀結(jié)論。這就是作 為量綱分析理論基礎的量綱齊次方程的數(shù)學理論。根據(jù)這一理論，一個能完善地、 正確地反映物理過程的數(shù)學方程，必定是量綱齊次的。3.2.z.2量綱分析法的作用量綱分析法是以量綱方程為核心，以方程的齊次性為依據(jù)而進行的，量綱方 程的真正作用表現(xiàn)在物理方程尚未掌握時，對物理現(xiàn)象的分析上。例3-3 -個自由落體在時間t內(nèi)落下的距離為s,試寫出其一般方程，并以 其為例來說明量綱分析法的四個作用。(1) 作用4量綱方程能根據(jù)正確選擇的參量建立起帶未知系數(shù)的、

23、供相似分 析用的物理方程。這里最重要的是確定因變量。的影響因素，選時間£和重力加速度g作為影 響因素,即：，:f(g, f),則物理方程的形式可寫：s=co gc 一 £cz( 3-42)式中co 無量綱待定常數(shù)。將各個參量的量綱帶入上式得到量綱方程：l=： lt 一二！匚屯根據(jù)量綱齊次原則，上述方程兩端應該具有相同的量綱，故：ci =10=c? -2clci =1c2=2則a由落體運動物理的方程為:5： co gz (3-45)(2) 作用2：可剔除被多余考慮的物理量。若同時考慮物體重量訓與s有關， 一般的方程改寫為：(3-46)(3-47)所引起的。s=co £

24、;qg"3將各個參量的量綱帶入上式得到量綱方程：l：u lqt屯lt2q根據(jù)量綱齊次原則，上述方程兩端應該具有相同的量綱，故：cl +c3 =10=c2 -cl -2c3由于三個未知量，兩個方程，無法求解出貝體的系數(shù)cl、c2、c3將其表示 為:cl =1-c3 c2 =c1 +c3剛a由落體的一般方程為：(3-48)卑跚33/l/lo褲滁姚 弧卻卻刪蝴翟o ?l%q n刪艙玩胸眠叫啡一一聯(lián)嬲一一 o昏膨做一一靴晡-iti-蝴刪妻齊瀚扣別緘哇”、垂拜川酬雕嘲撇粹根斷9刁s設這聶3相似理論及相似設計方法52(3-53)整理得：(3-54)在這個方程中，由兩個未知量c二、c,代替了原方程

25、中的四個未知量ca、cl、c2、c3o 因此,為了確定兩個待定系數(shù)c。、cj可由兩次實驗確定，根據(jù)試驗得到：(3-55)因此，(3-56)3.2.23兀定理的應用量綱分析中重要的理論為啊定理。假如一現(xiàn)象中有n個物理量(戈戈”，戈。)，其關系方程可以表示為：f(戈，戈：，戈。)二0(3-57)此方程可用級數(shù)形式表示：yno x7i,諺：磚 n=0(3-58)式中，iv。為無量綱系數(shù)。因為方程式必須是量綱的齊次方程，因此以其中 任一項ivs戈：“戈；虬一x:sn (s項)去除其余各項得無量綱方程式：1+工等戈：。n-%1)戈 iaa 一 ii & )- asn)=o (3-59)令aij：

26、 aij 一 ii, (j=l, 2,n), t二等,則上式可寫成: l+lto 芫 jn 戈筍龍 al 二0(3-60)如杲上式中有m個互相獨立的物理量可以作為基本單位，為方便起見設其為戈戈”，戈。，則戈。+. , z, +:,，戈。為導出單位，可由戈，z:,，z。 導出。這樣，我們可以建立起k二rwn個無量綱數(shù)群(將導出單位用基木單位表示)，稱為盯項：竹 12bii工，工，：_xb2m (3-61)盯nm戈？ ，t戈；，z戈b m, m以上各式分了和分母的量綱是相同的，因此均為無量綱項。代入式(3-59), 得：1+工ti_x'4;1x；。石(iv? 11 戈 b2_xb1 “)4

27、 z,m+l (lo 一o) 4m (戈 bn_m,.戈 bn_m.2戈m "，“) 4m=0(3-62)由于戈，z：,，石。為基本單位，彼此無合并可能，上式又是無量綱方 程，因此戈戈”，戈。各基木單位的指數(shù)總和應當為零，女口：蠡7t3.2相似準則的導出)xia4+b114, +!l師'： +bn_m.ia=x?=l(3-6所以式(361)可寫成：1+sr：竹；一"盯：。. m+：訂：竺。=0(3-6或f(盯 1,盯 2,訂。一o )=0(3-6盯定理可以具體表述如2所有量綱齊次方程均可以化成無量綱綜合數(shù)群z 和的形j無量綱數(shù)群'項的個數(shù)為n ”z,其中n為

28、方程中不同物理量的數(shù)目，m為 彼此獨立可作基本單位的物理量的數(shù)目二根據(jù)相似第二定理，無量綱方程的各項為相似判據(jù)，因此，各盯項可作為相 似判據(jù)。個竹項可建立n-m個判據(jù)方程二在使用此方法選擇基木物理量時應注意：(1) 基木物理量應有量綱，且在同組內(nèi)量綱不得重復；(2) 所選的一組基本物理量，量綱情況應盡可能簡單；(3) 不耍把待測量列為基本物理量。3.2.2.4量綱分析法求相似準則的基木步驟用量綱分析法求相似準則的基木步驟如2羅列現(xiàn)象的物理參數(shù)，寫出現(xiàn)象的函數(shù)式妒(戈,y, z, m,移，w) =0, 此函數(shù)式只是列求函數(shù)關系的一種估計，常寫成幕函數(shù)形式；(2) 寫成盯關系項盯二戈“y6z。u4

29、-；(3) 列出戈，y, z, u,。、，訓各參數(shù)的基本量綱；(4) 把齊個物理墨量綱代入開關系項，列出量綱等價式；(5) 根據(jù)量綱齊次原則，列出物理量指數(shù)間的聯(lián)立方程；(6) 解得n-k個獨立的盯項，即相似準則。例34 物體的運動符合牛頓第二定理，試求其相似準則。解：(1) 運動物體的主要影響參量為f、m、鈔、f,若選擇正確，這參量間存在函 數(shù)關系：妒(f, m,移，£) =0(3 e(2) 寫出盯項表達式:訂二 fat6m°”8 (3 一g(3) 寫出各參數(shù)的基本量綱表達式：f=mlt-2:t=tm=mv=ijt.l(4) 將各物理量代人盯項式：盯=mlt-2 utlb

30、mo lt 一 “(3(叮 t=m u+"ti6-2a 4l u+4(5) 根據(jù)量綱齊次原則，列出聯(lián)立方程。因為準則項為無因次量，所以可表示為基本量綱的零次項，所以盯二 "mioltiolo故:a+c=0a+d=02a +b -d =0(3 一(上式有四個未知量，但僅有三個方程，設其中任意一個未知量為1,令a二i,d= -1> b=l,所以：ft訂一*(3-70)mv若令b=l,或者c=l,均可得一準則二此處參量為四個，基本量綱為三個，故 竹項總數(shù)為nk： 4-3： 1項，則竹：f就為聽求的百準則項。/tu例3-5對彈簧一質(zhì)量系統(tǒng)，有七個物理量：七，yo, f, y,

31、 m, r,影。，有 三個獨立量綱f,l, to現(xiàn)取七，y。，f為基本物理量，可建立四個盯項：:l-ll+ 口 11 b 坦盯.2 kbllyel2b.jii=j,bli,ub,o! tib13t。，mfl-lt f卜 8 “t 2-f/23竹 2二b 丐乒萬一 flj 瓦:l： e” tib” 一l. 一 e” 鄴 n:fl-, t一£二匕b3ljt.吃， (3-71)曠穰萬一面毒良 1： l8nt8” 一 l*b31+b32fnlt" ll+88盯 4 2b 丐弦 t f fl1 面:lb42tib” fb “tib”各竹項均應是無量綱項，因此有：bll=0, bi：

32、=1, b13 =0b 二 1二i, b22=0, b23 =2b3, =1, b32 =0, b33 =1b4, =0, b42=l, b43=-l所以有：v m 型 f3 72、竹，2再,盯:2薩，盯s2號，可。2,o此即為由量綱分析法導岀的相似判據(jù)二它們和式(339)、式(341)相比形式上 是不同的，其原因可用相似準則的固有特性來解釋二可以證明若某一現(xiàn)象有相似準則百，霄二，tie貝歸(1) 任一相似準則的指數(shù)幕百。仍為相似準則；(2) 相似準則指數(shù)積百"h： 一百？ i (或其局部)仍為相似準則；(3) 相似準則間的和差百？ ±百±±開：2 (或

33、其局部)仍為相似準則;(4) 相似準則與一常數(shù)的和差積商7： ±d, d盯。，xi/ “仍為相似準則；(5) 相似準則中某一物理量用其羞值代替仍為相似準則。女口上i,塵弓為同一 相似準則。這就是說，任意兩個或多個相似準則的代數(shù)轉(zhuǎn)換，如加減乘除，提高或降低 幕次，都不會改變判據(jù)函數(shù)性質(zhì)。反過來，如杲兩關系式中經(jīng)過轉(zhuǎn)換的盯項仍一 一對應相等，則兩現(xiàn)象相似。其理由很簡單：(1) 經(jīng)過轉(zhuǎn)換的盯項仍是無量綱綜合數(shù)群；(2) 對于木來就相似的兩個現(xiàn)象，因變盯項仍同關系式中原各口變盯項構(gòu)成 函數(shù)關系。只是要注意，當各竹項進行代數(shù)轉(zhuǎn)換時，任盯項幕次的變化都不得使其降 低(或升高)至零；同時，可項總數(shù)

34、均不得因此種代數(shù)轉(zhuǎn)換増加或減少。由此看來，上血兩種方法得到的相似判據(jù)形式上的差異，只是各'rr項代數(shù) 轉(zhuǎn)換的結(jié)果二從某種意義上來說，這有利于根據(jù)具體問題，通過基木物理量的選 擇，將rr項發(fā)展成各種形式，使其具有明顯的物理意義：通常，相似準則轉(zhuǎn)換 應服從以下原則：(1) 相似準則應具有明顯的物理意義，并使其物理意義與所研究的現(xiàn)象密切 相關，例如雷諾準則r。：超：? 7(2) 通過代數(shù)轉(zhuǎn)換，去掉相似準則中無法測量或難以測量的量；將盯關系式變換成形式最簡單的一組：(4) 應將待測物理量僅僅出現(xiàn)在因變開項內(nèi)；(5) 應使相對次耍的獨立變量僅僅出現(xiàn)在一個獨立的開項內(nèi)二量綱分析方法的具體使用是簡便

35、的，特別是對方程未知的現(xiàn)象。但它也有其 自身的不足：(1) 量綱分析法的重要一環(huán)是正確地選擇系統(tǒng)的參數(shù)，這就要求選取反映現(xiàn) 象本質(zhì)的重要物理量。但實際上可能選人一些次要的，或者對現(xiàn)象來說關系不大 的物理量；(2) 很難區(qū)別量綱相同、但卻具有不同物理意義的物理量(如壓力、應力和 彈性模量等)，從而無法顯示現(xiàn)象的內(nèi)部結(jié)構(gòu)或辨別主次；(3) 很難控制量綱為零的物理量(如摩擦系數(shù)等)，盡管它們貝右身的物理 意義；(4) 很難發(fā)現(xiàn)在關系方程中常常遇到的帶有量綱的物理常數(shù)；(5) 無法確定所求得的相似準則中哪個是決定性的，哪個是從屬的。對于量綱分析法存在的這些缺點，在實際使用時應予以注意，妥善處理；但 由

36、于量綱分析法具有許多優(yōu)點，它在各個工程領域中得到廣泛應用。3.3模型試驗模型試驗是相似理論在工程技術屮的主要應用領域之一。許多工程問題，由 于其復雜性，致使難于列出微分方程，即使能夠列出，也可能無法解出。因而, 單純依靠數(shù)學方法述不能完全解決問題，而直接對實物進行試驗研究由于諸多條 件限制，又很閑難。因此在模型上進行?；芯?，仍是口前工程技術領域屮廣泛 采用的一種試驗研究方法。就一般意義上講，?；菍嵨?原型)的形態(tài)、工作規(guī)律或信息傳遞規(guī)律在 特定條件下的一種相似再現(xiàn)。模型試驗則是指不點接研究自然現(xiàn)象或過程木身, 而是用和這些現(xiàn)象或過程和似的模型來進行研究的一種方法。它是用方程分析或 量綱分析

37、方法導出相似準則，在根據(jù)相似原理建立起來的模型上，通過試驗求出 相似準則之間的函數(shù)關系，再把此函數(shù)關系推廣到設備實物上去，從而得到設備 上的需求規(guī)律的一種試驗方法。一般的模型試驗大致包含模型設計、模型試驗、結(jié)果分析處理和推廣等環(huán)節(jié), 模型設計和試驗之前，應先導出相似準則，并確定已定準則和待定準則，在其指 導下工作3.3.1模型設計33.1.1模型的分類模型可以分為定量研究用模型和定性研究用模型兩大類。a定量研究用模型定量研究用模型有物理模型和數(shù)學模型兩種：(1) 物理模型一一保持工作規(guī)律相似的模型。此時模型和原型的區(qū)別只是兒 何尺寸的大小不同，二者屮現(xiàn)象的物理木質(zhì)不變。這種模型試驗稱為物理模擬

38、試 驗。(2) 數(shù)學模型一一保持信息傳遞規(guī)律和似的模型。此時模型和原型的兒何形 狀不必要相似，進行的現(xiàn)象的過程木質(zhì)也不相同，但描述過程的微分方程是相同 的。即用同一類方程描述另一種現(xiàn)象來模擬原型。這種試驗稱為數(shù)學模擬試驗: 例如用模擬機進行的機械振動等模擬試驗。b定性分析用簡易模型對于實際屮只需抓住某些主要物理量的試驗，可以采用簡易模型進行局部模 擬或近似模擬。這時沒有必要使模型和原型完全和似，可對z進行某些簡化，只 要這些改變不致影響問題關注的參數(shù)，或影響程度是可以接受的：33.1.2模型設計模型設計就是按各物理量的和似倍數(shù)進行模型的結(jié)構(gòu)和物理參數(shù)條件計算。 這一過程屮應注意的問題有：(1)

39、 幾何相應倍數(shù)q的選取cl一般不能選得過大或過小。q過大則模型加工 和試驗精度要求過高，試驗結(jié)果誤差較大。cl過小則試驗成本增高。(2) 其他物理條件的選取模型的己知各物理參量(邊界條件、材料特性等) 除保持和原型的單值條件相似外，齊相關物理參數(shù)間還應滿足已定相似準則，以 保證模型和原型的相似。模型材料的選取：1) 模型材料一般應在彈性范圍內(nèi)工作，并使e較小，這樣應力水平較高，易 于測量；2) 所選材料加工成型性能良好，便于制作；3) 性能穩(wěn)定，價格低廉。3.3.2模型試驗和推廣3.3.2.1模型試驗根據(jù)相似理論，由原型工作要求計算出模型的轉(zhuǎn)速、載荷、工作溫度等工作 條件。模型的工作條件常用各

40、種方法模擬，有時需作適當簡化：試驗時，測定模 型在相應工作條件下，與相似準則有關的應力、應變等物理參數(shù)：33.2.2結(jié)果的整理和推廣根據(jù)相似準則，由試驗結(jié)杲可以求得原型上的待定參數(shù)。這些結(jié)杲可以推廣 到和模型相似的各個原型上去。為便于推廣，可以將試驗結(jié)果整理成便于應用的相似準則間的關系式準則方程兀2,，兀m) = 0(3-73)對于所有相似現(xiàn)象，相似準則(各7r項)都保持為相同值，所以它們的準 則方程式(373)也應是相同的。比如，上式可推廣到相似系統(tǒng)的齊個現(xiàn)象上去， 當然其前提條件是式(373)中已定準則在數(shù)值上各門相等。3.3.3彈性結(jié)構(gòu)的相似模型試驗3.3.3.1彈性結(jié)構(gòu)的相似準則對于一

41、個齊向同性彈性結(jié)構(gòu)的靜力問題，微小變形時，可建立15個基本方 程和3個邊界條件；對于動力問題還有6個初始條件。進行模型試驗時，可先由它們建立準則方程。幾何相似系數(shù):g =尹(下標p和皿分別表示原型和模型參數(shù))； 應力相似系數(shù)心二空：應變相似系數(shù)c位移相似系數(shù)c 寸寸二冬 泊松比相似系數(shù)£上;彈性模量相似系數(shù):分布面力相似系數(shù):s沽a由平衡方程求相似準則人分布體力相似系數(shù):c/二a由平衡方程求相似準則根據(jù)箸+警+等+ £ = o等三個平衡方程，得相似指標和相似準則：c1 =話=1,心=晉=idem (3-74) 如果不計體積力，由平衡方程無法得到相似準則。b由幾何方程求相似準

42、則幾何方程為5 =豈等六個方程，可得一個相似指標和一個相似準則：(3-75)c2 = 1 ,k2 = ¥ = idemc由物理方程(廣義胡克定律)求相似準則物理方程色=j(rm -/x(crr +s)等也是六個，可得兩個相似指標和兩個相似準則：小 cgc£c(3-76)k3 = = idem 今位=idem<7fjuad由邊界條件求相似準則廠 _ 1辰=久=idem 無面力(面力為零)時，由應力邊界條件無法獲得相似準則。位移邊界條件為等三式，由它們所得相似準則為:務=嚴=1,心=£ = idem邊界條件有應力邊界條件和位移邊界條件，由它們可以得到不同的相似準

43、則。應力邊 界條件為久=<7,2+7+ t丿等三式，由它們得相似準則為：(3-77)(3-78)c4同樣，當給定位移為零時，由位移邊界條件也無法獲得相似準則。33.3.2模型設計和試驗結(jié)果推廣a模型設計簡單檢驗可以看出，上面得到的六個相似準則是相互獨立的，對于相似的彈 性結(jié)構(gòu)，各物理量應同時滿足上面求出的六個相似準則二在相似模型試驗時，原 型待求物理量為應力、應變和位移等三組，需用三個相似準則由模型參數(shù)換算？ 多出的三個相似準則就應在模型設計時滿足。(1) 同時滿足準則三和準則四，必須使c=l,即模型和原型的泊桑比相同， 否則會帶來謀差。但誤差大小在不同問題中有所不同，理論上很難做出一般

44、性的 解答。一般情況是，一維和一般二維問題與泊桑比無關，二維多連通體問題及三 維問題中，應力大小和應力分布均與泊桑比有關，這時應注意模型和原型的材料泊桑比一致性，特別是材料不同時。（2）為保證模型和原型的完全相似，模型的各部物理參數(shù)間也應滿足一定的 比例關系。如當面力（應力邊界條件）和體積力同時存在時，因要同時滿足準則 一和準則五，應有：cq = qcj3-79） 當給定不為零位移邊界條件和體積力同時存在時，則應有：條=（3-80）當面力和當給定不為零位移邊界條件同時存在時，應有：s = （3-81） 當體力、面力和當給定不為零位移條件同時存在時，則上面三式（有兩式獨 立）應同時滿足。b試驗結(jié)

45、果的推廣將式（374） 式（378）整理后，可得彈性結(jié)構(gòu)在相似的條件卜模型和原型齊物 理量的轉(zhuǎn)換關系。利用它們可將試驗結(jié)果向相似結(jié)構(gòu)上推廣。如以面力表示2p =% =嚴嚴怖;的=嚴嚴嚴綣（382）qmh ep qrnep lm以體力表不：（3-83） 以邊界已知位移表示，有：（3-84） 為方便起見，現(xiàn)將幾種常用載荷作用下的模型和原型的應力、應變和位移的 換算公式列于表32 （表中公式僅適用于線性結(jié)構(gòu)）。表32各種載荷作用卜的線彈性結(jié)構(gòu)模型試驗中的參數(shù)換算公式箴荷類型應力換算應變換算位移換算集中栽荷p2 (&)(#)="（2）（刼逹卜僥）傳）（絆彎矩m吋僥）（就6廠僥）（&#

46、165;）'（警卜單位長度上的 均布載荷q'y(*)(紡二借）傳）僚卜%=（蕓）（辭卓位面積上的 均布載荷g毎（吿）（秋-車位體積載荷 y（ ml）"円任）僚卜5劃任j（群離心力 %度廠轉(zhuǎn)速町吹恥j（m“知（好曲（紺（就伶a上面的換算公式是在假設模型和原型幾何完全相似的條件卜求得的。但對一 些結(jié)構(gòu)，如薄壁結(jié)構(gòu)，如果各方向均按同一比例縮小尺寸，其壁厚尺寸將趨近于 零，模型難以加工出來：對于這類問題，可以不耍求幾何完全相似，而是根據(jù)構(gòu) 件的受力狀態(tài)進行變態(tài)處理，這樣的模型稱為畸變模型?；兡Ｐ偷某霭l(fā)點就是 僅要求模型和原型的相關力學參數(shù)相似，如對拉壓問題，要求截面積相似，

47、對彎 曲問題要求各部分慣性短相似等等。具體可參見有關文獻：應注意的是，畸變模 型僅適用于二維問題。例3-6如圖3-3為兩根幾何相似的梁，在梁的中間作用一個靜力集中載荷p, 設梁在彈性范圍內(nèi)工作，且忽略失效、重力等其他影響因素，也不考慮殘余應力 和溫度應力的影響，求模型的相似條件。bp圖3-3簡支梁受力圖iiw j 3eu3euv式中解:由材料力學可知：梁在集中力作用處的應力、截面彎矩以及撓度分別由下列公式m彎矩；。應力；/撓度；e彈性模量；w一_彎截面模量；i一性矩。由于兩根梁幾何相似，所以：¥=人=¥=5 竺二& ¥=確l. am b.i. 由于此問題的

48、方程已知，可采用方程分析法來求相似條件，根據(jù)上述三個方程，可以寫 出三個相似指標：c，c.c：cf以上三個方程包含了 c八5心、c八“、$這六個相似常數(shù),而現(xiàn)在只有三個方程，這意味 著有三個相似常數(shù)可以任意選擇。已確定了幾何相似常數(shù)，其余兩個相似常數(shù)的選擇需要 根據(jù)試驗的目的、試驗的條件來確定。(1) 若要使模型上各點反映的撓度、應力與原型一致，即j二1燈=1,則有：cp = c； cm = ct c£ = cf即模型上需要施加的力p二與、模型材料的彈性模量也要縮小為氐=邑,而對于內(nèi)力 cl之一的彎矩,則要求j二c：,只要上述兩個條件滿足,該式也就自然成立。(2) 若模型材料與原型一

49、致，而又要求模型的應力也一致，即保持 ce = ltca = 1,則有：23cp = cf cm = cfcf = cl這吋所測的撓度rti原型的撓度減少為爲=譬,這就耍求測量撓度的儀器有足夠的精度，同吋也耍求模型的幾何相似常數(shù)不宜過人(以免撓度過小測不準確)。3.4相似性設計341系列設計的概念和似理論在產(chǎn)品系列化設計中的應用乂稱為相似性設計。同一種產(chǎn)品為了滿足不同場合和不同使用者的要求，其規(guī)格往往不同。同一 產(chǎn)品不同的規(guī)格，表現(xiàn)在尺寸參數(shù)不同等各個方面，但這些變化不是隨心所欲的， 而是要遵循一定的規(guī)律。一般把冥有和同功能、和同結(jié)構(gòu)方案、和同或和似加工 工藝，但各產(chǎn)品相應的尺寸參數(shù)及性能指標

50、具有一定的級差(公比)(按一定的 規(guī)律變化)而形成的 啄列不同規(guī)格的產(chǎn)詁稱為系列化產(chǎn)詁。目前，系列化產(chǎn)品在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、交通運輸和家庭生活等各個領域中得到廣 泛應用，產(chǎn)胡的系列化設計也成為廣泛應用的設計方法之一。系列化設計主要有 如下好處：(1) 系列產(chǎn)品的不同規(guī)格僅僅是基于一種規(guī)格變化而形成的，這就大大節(jié)省 了產(chǎn)品的開發(fā)周期和成木，提高了產(chǎn)詁的性能可靠性。(2) 系列產(chǎn)品在滿足用戶需求的前提下，遵循適當?shù)膮?shù)變化規(guī)律可以提高 不同規(guī)格產(chǎn)品的生產(chǎn)批量，從而使產(chǎn)品質(zhì)量穩(wěn)定、成木卜降，這對生產(chǎn)企業(yè)和用 戶都是有利的。(3) 對生產(chǎn)和銷售企業(yè)來說，系列產(chǎn)品便于庫存管理；対用戶而言，系列產(chǎn) 品的使用規(guī)定

51、和方法和同，方便了使用。產(chǎn)品系列設計吋，首先是選定某一小檔的產(chǎn)品為基型，對它進行最住方案的 設計確定其材料、參數(shù)和尺寸，然后再按系列設計原理和尺寸。前者稱為基型 產(chǎn)品，后者稱為擴展型產(chǎn)品。3.4.2系列產(chǎn)品的構(gòu)成相似理論求出系列小其他產(chǎn)品的參數(shù)系列化產(chǎn)品設計的首要工作是研究系 列產(chǎn)品的構(gòu)成規(guī)律，其主要內(nèi)容是確定產(chǎn)品系列中每個規(guī)格的尺、即尺寸分級 和相似比，又稱級間比。然后還要研究產(chǎn)品的加工設備、刀具的分級管理、系列 產(chǎn)品的庫存管理等問題，這些本書不予涉及。3.4.2.1級間比的確定系列產(chǎn)品的參數(shù)遞增方式常用的有兩種，一種按自然數(shù)排列，其數(shù)值遞增規(guī) 律稱為算術系列。另一種是按幾何級數(shù)排列，稱為幾

52、何級數(shù)系列，又稱幾何系列。對算術系列，各級參數(shù)的增長的百分比和級間比如表亠3所示。結(jié)果表明, 各級的級間比是不同的，隨級數(shù)的增加在減小。表3-3算術系列參數(shù)增長的百分比和級間比算術級12345678910各級參數(shù)增長/%10050332520161412.511”.級間比2.001.501.331.251.201. 161.141.1251.11對于幾何級數(shù)系列，設第一級數(shù)值為，則其各項應分別為：該系列的特點是：級間比/為一常數(shù)；(2)系列的分級數(shù)為nx該系列共有刃+1項。如杲把級間比的刃次方定為10,則級間比為：(3-85)級間比由式(385)確定的系列稱為十進制幾何級數(shù)系列。經(jīng)驗表明十進制

53、幾 何分級是比較實用的。現(xiàn)將按算術分級和按幾何分級得到的兩種直徑系列的球示于圖3-4：從中可 以看出，按算術分級給出的球體直徑系列分布很不均勻，有的區(qū)域出現(xiàn)了空白， 而有的區(qū)域分級密集，這對于產(chǎn)品的設計當然是不利的。而幾何分級分布均勻。如果把十進制幾何系列的第一項定為1，當卅取不同值時，系列相應參數(shù)見 表3-4,這里，分級數(shù)取較小值時稱為粗分級，如n=5o分級數(shù)取較大值時，如 凡：20,稱為細分級。當分級數(shù)成倍變化時，細分級包含粗分級。分級數(shù)的選擇 應根據(jù)具體問題的實際需要。如人民幣的面值1，2, 5, 10,是分級數(shù)為3時十 進制幾何級數(shù)系列的數(shù)值近似，分級很粗。它是在考慮了貨幣的具體要求面

54、額 種類少，便于流通、換算和兌換等各種問題后確定的。表3-4不同分級斂的幾何級數(shù)系列簽效-分級數(shù)n級間比項數(shù)各項數(shù)值51.661丄625.463,10101.25111,1.25,1.6,2.2.5,3.15,4,5,6.3.8,1020m2211.!2,1.25t1.4f1.6f1.8t2t2.24, j03.4.2.2標準數(shù)表3-4不同分級數(shù)的幾何級數(shù)系列參數(shù)如前所述，十進制幾何相似系列在設計以及其他方面均得到廣泛應用。為便 于在工程中的應用，將常用到的n為5、10、20和40時的(值進行圓整，并將0。 為1時各系列的各項計算出來，對計算結(jié)果也進行圓整，但將誤差控制在±1% z內(nèi)

55、。這些被圓整后的數(shù)稱為標準數(shù)(標準數(shù)用nz表示)。相應的標準數(shù)系列 則稱為r5、rio、r20和r40基本系列。在工程技術中運用標準數(shù)有諸多優(yōu)點：(1) 零件酌尺寸，特別是聯(lián)接尺寸和配套尺寸，容易實現(xiàn)標準化和國際化。 這就大大方便了國際間的技術交流和設備的使用管理。在設備制造等方面，可使 加工設備、刀具、量具的種類減少，加工精度提高。另外也便于原材料的生產(chǎn)組 織，方便選用。(2) 應用標準數(shù)有利于粗分級和細分級系列產(chǎn)品的相互轉(zhuǎn)化。粗分級系列中 的標準數(shù)包含于細分級系列標準數(shù)中。當產(chǎn)品系列分級確定之后，產(chǎn)品中零件仍 可以根據(jù)情況進行分級調(diào)整，使其種類減少，增大批量，降低成本。(3) 采用標準數(shù)系列有利于在對數(shù)坐標上畫出標準數(shù)曲線，進而方便了系列 產(chǎn)品的參數(shù)推導。在幾何相似的系列產(chǎn)品中，如果基型產(chǎn)品的長度、面積和體積 分別為厶0、力。和k0o那么擴展型產(chǎn)品的長度、血積和體積應為：(3-86)式中，2為級間數(shù)，0為長度尺寸級間比。對上述各式取對數(shù)，有： 11