2022年年中考數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)問題-折疊中圖形存在性問題

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載專題 06動(dòng)點(diǎn)折疊類問題中圖形存在性問題一.基礎(chǔ)學(xué)問點(diǎn)綜述動(dòng)點(diǎn)型問題為指題設(shè)中的圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn),它們?cè)诰€段.射線.直線.拋物線.雙曲線. 弧線等上運(yùn)動(dòng)的一類特別具有開放性的題目. 而從其中延長(zhǎng)出的折疊問題,更能表達(dá)其解題核心動(dòng)中求靜,敏捷運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)問進(jìn)行解答,有時(shí)需要借助或構(gòu)造一些數(shù)學(xué)模型來解答.實(shí)行新課標(biāo)以來,各?。ㄊ校┑闹锌紨?shù)學(xué)試卷都會(huì)有此類題目,這些題目往往顯現(xiàn)在挑選.填空題的 壓軸部分,題型繁多,題意新奇,具有創(chuàng)新力. 其主要考查的為同學(xué)的分析問題及解決問題的才能.要求同學(xué)具備：運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)；方程思想；數(shù)形結(jié)合思想；分類爭(zhēng)論思想；轉(zhuǎn)化思想等等

2、.存在性問題主要有等腰三角形存在性.直角三角形存在性.特別落點(diǎn)存在性等問題,常用的數(shù)學(xué)解題模型有“一線三直角”等模型,作圖方法為借助圓規(guī)化動(dòng)為靜找落點(diǎn).解題思路：分析題目依據(jù)落點(diǎn)定折痕建立模型設(shè)出未知數(shù)列方程求解得到結(jié)論.解題核心學(xué)問點(diǎn)：折疊性質(zhì)；折疊前后圖形大小.外形不變；折痕為折疊前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線；勾股定理；相像圖形的性質(zhì).三角函數(shù)等.等腰三角形存在性問題解題思路：依據(jù)圓規(guī)等先確定落點(diǎn),再確定折痕；直角三角形存在性問題解題思路：依據(jù)不同直角頂點(diǎn)位置分類爭(zhēng)論,作出圖形求解.二.精品例題解析題型一：折疊問題中等腰三角形存在性問題例 1. （2021 ·金水區(qū)校級(jí)模擬） 如圖

3、, aob=90 °,點(diǎn)p 為aob 內(nèi)部一點(diǎn),作射線op,點(diǎn) m 在射線 ob 上,且 om =3 ,點(diǎn) m 與點(diǎn) m 關(guān)于射線op 對(duì)稱,且直線mm 與射線 oa 交于點(diǎn) n ,當(dāng) onm 為等腰三角形時(shí),on 的長(zhǎng)為1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 2.（2021 ·蜀山區(qū)期末）如下列圖, abc 中,acb=90 °,ac bc,將abc 沿 ef折疊,使點(diǎn) a落在直角邊 bc 上的 d 點(diǎn),設(shè) ef 與 ab.ac 分別交于點(diǎn)e.點(diǎn) f,假如折疊后 cdf 與bde 均為等腰三角形,就 b=.題型二：折疊問題中直角三角形存在性問題例 3

4、. （2021 ·營(yíng)口）在矩形紙片abcd 中, ad 8,ab 6,e 為邊 bc 上的點(diǎn),將紙片沿ae 折疊,使點(diǎn) b 落在點(diǎn) f 處,連接fc,當(dāng)efc為直角三角形時(shí),be 的長(zhǎng)為例 4. （ 2021 ·唐河縣三模） 矩形 abcd 中, ab =4 ,ad =6 ,點(diǎn) e 為 ad 的中點(diǎn),點(diǎn)p 為線段 ab 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接ep,將ape 沿 pe 折疊得到fpe,連接 ce, cf,當(dāng)cef為直角三角形時(shí),ap 的長(zhǎng)為.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 5. （2021 ·許昌二模）如圖,已知平行四邊形abcd 中, ab=16、 a

5、d =10 ,sina =35 、 點(diǎn) m 為 ab 邊 上精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載一動(dòng)點(diǎn), 過點(diǎn) m 作 mn ab 交 ad 邊于點(diǎn) n ,將a 沿直線 mn 翻折,點(diǎn) a 落在線段 ab 上的點(diǎn) e 處. 當(dāng)cde 為直角三角形時(shí),am 的長(zhǎng)為.2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 6.（ 2021 ·金水區(qū)校級(jí)一模）如圖,在 rtabc 中, ab 3,bc 4,點(diǎn) p 為 ac 上一點(diǎn),過點(diǎn)p作 pd bc 于點(diǎn) d,將pcd 沿 pd 折疊,得到ped,連接 ae如ape 為直角三角形,就pc例 7. （ 2021 ·臥龍區(qū)一

6、模）如圖,在 rtabc 中, ac8 ,bc 6,點(diǎn) d 為斜邊 ab 上一點(diǎn), de ab交 ac 于點(diǎn) e,將aed 沿 de翻折,點(diǎn) a 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)f假如efc為直角三角形, 那么 ad 的長(zhǎng)為例 8.（ 2021 ·河南模擬）在矩形 abcd 中,ab 3,bc4 ,點(diǎn) e,f 分別為 bc,ac 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn), 將cef沿 ef折疊,點(diǎn) c 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 g,如點(diǎn) g 落在射線 ab 上,且agf 恰為直角三角形,就線段 cf 的長(zhǎng)為二.精品例題解析題型一：折疊問題中等腰三角形存在性問題3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 1. （2021 ·金水

7、區(qū)校級(jí)模擬） 如圖, aob=90 °,點(diǎn)p 為aob 內(nèi)部一點(diǎn),作射線op,點(diǎn) m 在射線ob 上,且 om =3 ,點(diǎn) m 與點(diǎn) m 關(guān)于射線 op 對(duì)稱,且直線 mm 與射線 oa 交于點(diǎn) n ,當(dāng)onm 為等腰三角形時(shí),on 的長(zhǎng)為.【分析】分三種情形爭(zhēng)論：當(dāng) m 落在線段on 的垂直平分線上時(shí),即m n = m o,設(shè)onm = x°,通過三角形外角定理及三角形內(nèi)角和定理求得x=30 °,進(jìn)而利用三角函數(shù)求得on 的長(zhǎng)；當(dāng) m n = on 時(shí),作出圖形,得到 onm 度數(shù),利用三角函數(shù)求解；當(dāng) m o= on = om =3 ,此時(shí) m .m .n 點(diǎn)

8、不在一條直線上,與題意不符,此種情形不存在.【答案】 1 或 3.【解析】解：由 onm 為等腰三角形,分以下三種情形爭(zhēng)論：當(dāng) m 落在線段on 的垂直平分線上時(shí),即m n = m o,如下列圖,a nm'hpomb設(shè)onm = x°,就om m = omm =2 x°、aob =90 °,x+2 x=90 ,解得： x=30 ,om在 rtnom 中, on =°=3 ；tan 30當(dāng) m n = on 時(shí),如下圖所示,4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載am'hnpomb由知： nom =30 °, 過 m 作

9、m h oa 于 h,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載hm =1 om'=3 、22hm '精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載在 rthnm 中, nm =°=1 ,cos30即 on =1 ；當(dāng) m o= on = om =3 ,an m'po mb此時(shí) m .m .n 點(diǎn)不在一條直線上,與題意不符,此種情形不存在.故答案為： 1 或 3.例 2.（2021 ·蜀山區(qū)期末）如下列圖, abc 中,acb=90 °,ac bc,將abc 沿 ef折疊,使點(diǎn) a落在直角邊 bc 上的 d 點(diǎn),設(shè) ef 與 ab.ac

10、 分別交于點(diǎn)e.點(diǎn) f,假如折疊后 cdf 與bde 均為等腰三角形,就 b=.【分析】由題意知, cdf 為等腰三角形,就cd= cf,bde 為等腰三角形時(shí),分三種情形爭(zhēng)論：當(dāng) de= bd 時(shí),設(shè) b= x°,通過翻折性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求得x=45 ；當(dāng) bd = be 時(shí),作出圖形,設(shè) b= x°,通過翻折性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求得x=30 ；5精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) be= de 時(shí),得 fdb=90 °,fdb+ cdf=135 °180 °,此時(shí)c.d .b 點(diǎn)不在一條直線上,與題意不符,此種情形不存

11、在.【答案】 45 °或30 °.【解析】解：由題意知, cdf 為等腰三角形,就cd= cf,cdf= cfd=45 °,fdb=135 °,bde 為等腰三角形時(shí),分以下三種情形爭(zhēng)論：當(dāng) de= bd 時(shí),見下圖,cfdaeb設(shè)b= x°,就deb= x,edb=180 °2x,由折疊知： a= fde=90 °x,180 2x+90 x =135 ,解得： x=45 , 即b=45 °；當(dāng) bd = be 時(shí),如下圖所示,cdfaeb設(shè)b= x°,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就ed

12、b=°180x,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2由折疊知： a= fde=90 °x,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1802x+90 x =135 ,解得： x=30 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即b=30 °；6精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) be= de 時(shí),得 b= edb,fdb= fde+ edb= a+ b=90 °,fdb+ cdf=135 °180 °,此時(shí)c.d.b 點(diǎn)不在一條直線上,與題意不符,此種情形不存在.故答案為： 45 °或30

13、 °.題型二：折疊問題中直角三角形存在性問題例 3. （2021 ·營(yíng)口）在矩形紙片abcd 中, ad 8,ab 6,e 為邊 bc 上的點(diǎn),將紙片沿ae 折疊,使點(diǎn) b 落在點(diǎn) f 處,連接fc,當(dāng)efc為直角三角形時(shí),be 的長(zhǎng)為【分析】依據(jù)題意作出圖形,通過分析可知：點(diǎn)e.f 均可為直角頂點(diǎn),因此分兩種情形爭(zhēng)論,作出圖形后,依據(jù)勾股定理等學(xué)問求得結(jié)果.【答案】 3 或 6.【解析】解： ad 8 ,ab6 ,四邊形 abcd 為矩形,bcad 8,b90 °, 依據(jù)勾股定理得：ac 10 由分析知, efc為直角三角形分下面兩種情形：當(dāng)efc90 

14、6;時(shí),如下圖所示,由折疊性質(zhì)知： afeb 90 °,efc90 °,af= ab =6、a .f.c 三點(diǎn)共線, 又 ae 平分bac,cf= acaf=4 ,設(shè) be= x,就 ef= x, ec=8 x, 在 rtefc中,由勾股定理得：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x24228x,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解得： x=3 ,即 be=3 ；當(dāng)fec90 °時(shí),如下圖所示7精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由題意知： fec 90 °,feb 90 °,aefbea 45 °,四

15、邊形 abef 為正方形,be ab6 綜上所述： be 的長(zhǎng)為 3 或 6 故答案為： 3 或 6 例 4. （ 2021 ·唐河縣三模） 矩形 abcd 中, ab =4 ,ad =6 ,點(diǎn) e 為 ad 的中點(diǎn),點(diǎn)p 為線段 ab 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接ep,將ape 沿 pe 折疊得到fpe,連接 ce, cf,當(dāng)cef為直角三角形時(shí),ap 的長(zhǎng)為.【分析】 當(dāng)cef為直角三角形時(shí), 通過分析知： fce<90 °,不行能為直角頂點(diǎn),故分兩種情形爭(zhēng)論：efc=90 °或fec=90 °,作出圖形求解；9精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下

16、載【答案】或 1.4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【解析】解：分以下兩種情形爭(zhēng)論：（ 1）efc=90 °,如下圖所示,由折疊性質(zhì)知： a= pfe=90 °,ap= pf所以點(diǎn) p.f.c 在一條直線上,8精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ef= ed=3 ,rtcefrtced, 由勾股定理得： ce=5 ,cd= cf=4 ,設(shè) ap= x,就 pf= x, pc= x+4 ,bp=4 x, 在 rtbcp 中,由勾股定理得：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2x4x9462 ,29精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載

17、解得： x=,即 ap=；44精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（2 ）fec=90 °,如下圖所示,過 f 作 fh ad 于 h,過 p 作 pgfh 于 g, 易知efh= ecd,fhde、efcefh3、359123精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即 fh=、 eh=5、ah = pg=,55精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由fpg= hfe,cos fpg= coshfe,pgfh即、pfef3955 、pf3解得： pf=1 ；9精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故答案為：或 1.4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

18、 歡迎下載9精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 5.（ 2021 ·許昌二模）如圖,已知平行四邊形abcd 中, ab=16、ad =10 ,sina =3、 點(diǎn) m 為 ab5精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載邊上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)m 作 mn ab 交 ad 邊于點(diǎn) n ,將a 沿直線 mn 翻折,點(diǎn) a 落在線段 ab 上的點(diǎn) e處. 當(dāng)cde 為直角三角形時(shí),am 的長(zhǎng)為.【分析】分兩種情形爭(zhēng)論：當(dāng)cde90 °,依據(jù)折疊的性質(zhì)及勾股定理求解；當(dāng)dec90 °,過d 作dh ab 于 h,依據(jù)相像三角形的性質(zhì)：得到dh 6,ah 8,設(shè)

19、 eh x,依據(jù)勾股定理得到x 8 27 ,x8+27 （舍去）,得 aeah + he 16 27 ,于為得到am 87 【答案】 4 或 87 .【解析】解：當(dāng) cde 為直角三角形時(shí),當(dāng)cde 90 °,如下圖所示,在平行四邊形abcd 中, abcd,de ab,由折疊知： mn ab , am em,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載mn de,an dn 1ad 5 ,2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載mn3由 sina ,an5mn 3 , am 4 ；當(dāng)dec 90 °,如下圖所示, 過 d 作 dh ab 于 h,10精品學(xué)習(xí)資料

20、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由題意知： hdc 90 °,hdc + cdecde+ dce90 °,hdedce,dheced,decd,ehde3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載sina,ad 10 ,dh 6 , ah 8 ,5精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載設(shè) ehx,de 4x ,由勾股定理得：dh2 + he2 de2 , 62 + x216 x,解得： x 8 27 , x8+27 （不合題意舍去） ,aeah + he16 27 ,am 8 7 ,故答案為： 4 或 87 例 6. （ 2021 ·金水區(qū)校級(jí)一模）

21、 如圖,在 rtabc 中, ab3 , bc 4 ,點(diǎn) p 為 ac 上一點(diǎn),過點(diǎn)p作 pd bc 于點(diǎn) d,將pcd 沿 pd 折疊,得到ped,連接 ae如ape 為直角三角形,就pc15【答案】.16精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【解析】解：當(dāng) aep90 °時(shí), 設(shè) pcx,在 rt pdc 中, sinc34, cosc,55精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載11精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 pd 34x,cdx554精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由折疊知： decd x512be bc cex5在abe

22、和edp 中,bpde,bae+ aeb90 °,ped+ aeb 90 °,baeped精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載abeepdbedp,即abde12 x53 ,解得 x 15 16精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3415故答案為 :16例 7.（ 2021 ·臥龍區(qū)一模）如圖,在 rtabc 中,ac8 ,bc 6,點(diǎn) d 為斜邊 ab 上一點(diǎn), de ab交 ac 于點(diǎn) e,將aed 沿 de翻折,點(diǎn) a 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)f假如efc為直角三角形, 那么 ad 的長(zhǎng)為【分析】依據(jù)勾股定理得到ab10 ,分三種情形爭(zhēng)論：cfe90 °,ecf 90 °,cef90 °時(shí),精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載得到結(jié)論【答案】7或 5.5精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【解析】解：在rtabc 中, ac 8,bc6 ,由勾股定理得： ab 10 ,（1 ）如cfe 90 °,在 rtabc 中,acb 90 °,1+ 2b+ a 90 °,12精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由折疊知： a2 , aeef,1b,即 cfb