通用版2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第13講變化率與導(dǎo)數(shù)學(xué)案理新人教A版20190313345

1、第13講變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1.變化率與導(dǎo)數(shù)(1)平均變化率:概念對(duì)于函數(shù)y=f(x),f(x2)-f(x1)x2-x1=yx叫作函數(shù)y=f(x)從x1到x2的變化率 幾何意義函數(shù)y=f(x)圖像上兩點(diǎn)(x1,f(x1),(x2,f(x2)連線的 物理意義若函數(shù)y=f(x)表示變速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程,則yx就是該質(zhì)點(diǎn)在x1,x2上的速度 (2)導(dǎo)數(shù):概念點(diǎn)x0處limx0yx=limx0f(x0+x)-f(x0)x,我們稱它為函數(shù)y=f(x)在處的導(dǎo)數(shù),記為f'(x0)或y'|x=x0,即f'(x0)=limx0yx= li

2、mx0f(x0+x)-f(x0)x區(qū)間(a,b)當(dāng)x(a,b)時(shí),f'(x)=limx0yx=limx0叫作函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù) 幾何意義函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0)就是函數(shù)圖像在該點(diǎn)處切線的.曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0)處的切線方程是 物理意義函數(shù)y=f(x)表示變速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程,則函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)就是質(zhì)點(diǎn)在x=x0時(shí)的速度,在(a,b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)就是質(zhì)點(diǎn)在(a,b)內(nèi)的方程 2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算常用導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)特例或推廣常數(shù)函數(shù)c'=0(c為常數(shù))冪函數(shù)(xn)'=(nz)&#

3、160;1x'=-1x2三角函數(shù)(sin x)'=,(cos x)'= 偶(奇)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇(偶)函數(shù),周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是周期函數(shù)指數(shù)函數(shù)(ax)'=(a>0,且a1) (ex)'=ex對(duì)數(shù)函數(shù)(logax)'=(a>0,且a1) (ln x)'=1x,(ln|x|)'=1x四則運(yùn)算法則加減f(x)±g(x)'= i=1nfi(x)'=i=1nf'i(x)乘法f(x)·g(x)'= cf(x)'=cf'

4、(x)除法f(x)g(x)'= (g(x)0)1g(x)'=-g'(x)g(x)2復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)y=fg(x)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)之間具有關(guān)系y'x=,這個(gè)關(guān)系用語(yǔ)言表達(dá)就是“y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積” 題組一常識(shí)題1.教材改編 向氣球中充入空氣,當(dāng)氣球中空氣的體積v(單位:l)從1 l增加到2 l時(shí),氣球半徑r(單位:dm)的平均變化率約為. 2.教材改編 已知將1噸水凈化到純凈度為x%時(shí)所需費(fèi)用(單位:元)為c(x)=5284100-x(80<x<100),當(dāng)凈化

5、到純凈度為98%時(shí)費(fèi)用的瞬時(shí)變化率為. 3.教材改編 y=ln(x+1)的導(dǎo)數(shù)是y'=. 4.教材改編 曲線y=xex-1在點(diǎn)(1,1)處切線的斜率等于. 題組二常錯(cuò)題索引:平均變化率與導(dǎo)數(shù)的區(qū)別;求導(dǎo)時(shí)不能掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則致錯(cuò);混淆f'(x0)與f(x0)',f'(ax+b)與f(ax+b)'的區(qū)別.5.函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間1,2上的平均變化率為,在x=2處的導(dǎo)數(shù)為. 6.已知函數(shù)y=sin 2x,則y'=. 7.已知f(x)=x2+3xf'(2),則f(2)=. 8

6、.已知f(x)=x3,則f'(2x+3)=,f(2x+3)'=. 探究點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算例1 (1)若函數(shù)f(x)=x·ex+f'(1)·x2,則f'(1)=. (2)函數(shù)y=sin(x+1)-cosx2的導(dǎo)數(shù)為y'=.    總結(jié)反思 (1)對(duì)于復(fù)雜函數(shù)的求導(dǎo),首先應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等變換等變形規(guī)則對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn),之后再求導(dǎo),這樣可以減少運(yùn)算量,提高運(yùn)算速度.(2)利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào),不要與求導(dǎo)的乘法公式混淆.變式題 (1)已知函數(shù)f(x)=si

7、n2x-3,則f'3=()a.3b.32c.12d.1(2)已知函數(shù)f(x)=ln(ax-1)的導(dǎo)函數(shù)是f'(x),且f'(2)=2,則實(shí)數(shù)a的值為()a.12b.23c.34d.1探究點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的幾何意義角度1求切線方程例2 2018·南昌模擬 曲線y=3sin x+16x3+1在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為.    總結(jié)反思 (1)曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0)處的切線方程為y-f(x0)=f'(x0)(x-x0);(2)求解曲線切線問(wèn)題的關(guān)鍵是求切點(diǎn)的橫坐標(biāo),在使用切點(diǎn)橫坐標(biāo)求切線方程時(shí)應(yīng)注意其取值范圍

8、;(3)注意曲線過(guò)某點(diǎn)的切線和曲線在某點(diǎn)處的切線的區(qū)別.變式題 已知f(x)=x3-3x,過(guò)點(diǎn)p(-2,-2)作函數(shù)y=f(x)圖像的切線,則切線方程為. 角度2求切點(diǎn)坐標(biāo)例3 設(shè)ar,函數(shù)f(x)=ex+aex是偶函數(shù),若曲線y=f(x)的一條切線的斜率是32,則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.    總結(jié)反思 (1)f'(x)=k(k為切線斜率)的解即為切點(diǎn)的橫坐標(biāo);(2)切點(diǎn)既在曲線上也在切線上,這個(gè)點(diǎn)對(duì)于與切點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題非常重要.變式題 曲線y=ex在點(diǎn)a處的切線與直線x-y+1=0平行,則點(diǎn)a的坐標(biāo)為()a.(-1,e-1)b.(0,1)c.

9、(1,e)d.(0,2)角度3求參數(shù)的值或范圍例4 (1)若f(x)=2ex+3ax+b的圖像在點(diǎn)(0,1)處的切線l與直線x+2y-5=0垂直,則a+b=()a.1b.-1c.2d.-2(2)2018·莆田模擬 已知定義在(0,+)上的函數(shù)f(x)=x2-m,h(x)=6ln x-4x,設(shè)曲線y=f(x)與y=h(x)在公共點(diǎn)處的切線相同,則m=()a.-3b.1c.3d.5   總結(jié)反思 (1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法:利用切點(diǎn)的坐標(biāo)、切線的斜率、切線方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿足的不等式(組),進(jìn)而求出參數(shù)的值或取值范圍.(2

10、)注意曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.變式題 已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)·cos x-ax的圖像在點(diǎn)(0,f(0)處的切線的傾斜角為45°,則a=()a.-2b.-1c.0d.3第13講變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算考試說(shuō)明 1.導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=c(c為常數(shù)),y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x的導(dǎo)數(shù).能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù),能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(ax+b)的復(fù)合函數(shù))的導(dǎo)數(shù).【課前雙基鞏固】知識(shí)聚焦1.(1)平均斜率平均(

11、2)x=x0f(x+x)-f(x)x斜率y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)瞬時(shí)速度2.nxn-1cos x-sin xaxln a1xlnaf'(x)±g'(x)f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)f'(x)g(x)-g'(x)f(x)g(x)2y'u·u'x對(duì)點(diǎn)演練1.0.16 dm/l解析 易知r(v)=33v4,故氣球中空氣的體積從1 l增加到2 l時(shí),氣球半徑r(單位:dm)的平均變化率為r(2)-r(1)2-10.16(dm/l).2.1321元/噸解析 c&#

12、39;(x)=5284(100-x)2,代入x=98計(jì)算可得. 3.1x+1解析 y'=1x+1×(x+1)'=1x+1.4.2解析 y'=x'ex-1+xex-1·(x-1)'=(x+1)ex-1,所以y'|x=1=2,即曲線在點(diǎn)(1,1)處切線的斜率為2.5.34解析 函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間1,2上的平均變化率為22-122-1=3.因?yàn)閒'(x)=2x,所以f(x)在x=2處的導(dǎo)數(shù)為2×2=4.6.2cos 2x解析 方法一:y'=(2sin xcos x)'=2(sin x)'

13、;cos x+2sin x(cos x)'=2cos2x-2sin2x=2cos 2x.方法二:y'=cos 2x·(2x)'=2cos 2x.7.-8解析 因?yàn)閒'(x)=2x+3f'(2),令x=2,得f'(2)=-2,所以f(x)=x2-6x,于是f(2)=-8.8.3(2x+3)26(2x+3)2解析 f'(x)=3x2,所以f'(2x+3)=3(2x+3)2,f(2x+3)'=(2x+3)3'=3(2x+3)2(2x+3)'=6(2x+3)2.【課堂考點(diǎn)探究】例1思路點(diǎn)撥 (1)對(duì)函數(shù)f

14、(x)=x·ex+f'(1)·x2求導(dǎo),令x=1,即可求得f'(1)的值;(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求解.(1)-2e(2)cos(x+1)+12sinx2解析 (1)f(x)=x·ex+f'(1)·x2,f'(x)=ex+x·ex+2f'(1)x,f'(1)=e+e+2f'(1),解得f'(1)=-2e.(2)將函數(shù)y=sin(x+1)看作y=sin u和u=x+1的復(fù)合函數(shù),則y'x=y'u·u'x=(sin u)'

15、;·(x+1)'=cos u=cos(x+1).同理可以求出y=cosx2的導(dǎo)數(shù)為y'=-12sinx2.所以所求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y'=cos(x+1)+12sinx2.變式題(1)d(2)b解析 (1)函數(shù)f(x)=sin2x-3,f'(x)=2cos2x-3,f'3=2cos23-3=2cos3=1,故選d.(2)因?yàn)閒'(x)=aax-1,所以f'(2)=a2a-1=2,解得a=23,故選b.例2思路點(diǎn)撥 先求導(dǎo),從而得切線的斜率,再由點(diǎn)斜式求得切線方程.3x-y+1=0解析 求導(dǎo)得y'=3cos x+12x2,當(dāng)x=

16、0時(shí),可得切線斜率k=3,所以切線方程為y=3x+1,即3x-y+1=0.變式題y=-2或y=9x+16解析 對(duì)函數(shù)求導(dǎo),得f'(x)=3x2-3.當(dāng)點(diǎn)p(-2,-2)為切點(diǎn)時(shí),切線斜率k=3×(-2)2-3=9,根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程為y=9x+16.當(dāng)點(diǎn)p(-2,-2)不是切點(diǎn)時(shí),設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n),則n=m3-3m,n+2m+2=3m2-3,可得m=1,所以切點(diǎn)為(1,-2),此時(shí)切線方程為y=-2.綜上,切線方程為y=9x+16或y=-2.例3思路點(diǎn)撥 先根據(jù)f(x)為偶函數(shù)求得a=1,再建立方程,解得切點(diǎn)的橫坐標(biāo).ln 2解析 由題意可得f(x)=f(-x),即e

17、x+aex=e-x+ae-x,即(1-a)ex-1ex=0對(duì)任意xr都成立,所以a=1,所以f(x)=ex+e-x,f'(x)=ex-e-x.設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則f'(x0)=ex0-e-x0=32,由于f'(x)是r上的增函數(shù),且f'(ln 2)=32,所以x0=ln 2, 即切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ln 2.變式題b解析 設(shè)點(diǎn)a的坐標(biāo)為(x0,ex0).因?yàn)閥'=ex,所以曲線在點(diǎn)a處的切線斜率k=y'|x=x0=ex0,又切線與直線x-y+1=0平行,所以ex0=1,解得x0=0,所以切點(diǎn)a的坐標(biāo)為(0,1).例4思路點(diǎn)撥 (1)求出原函數(shù)的導(dǎo)

18、函數(shù),根據(jù)題意列出關(guān)于a,b的方程(組),計(jì)算即可得到結(jié)果;(2)先設(shè)兩曲線的公共切點(diǎn)為(a,b)(a>0),再根據(jù)兩函數(shù)在x=a處的導(dǎo)數(shù)相等及切點(diǎn)在兩曲線上列方程組,即可解得m的值.(1)b(2)d解析 (1)f(x)=2ex+3ax+b,f'(x)=2ex+3a.由題意得f'(0)=2+3a=2,解得a=0.點(diǎn)(0,1)在f(x)=2ex+3ax+b的圖像上,2+b=1,解得b=-1.a+b=0+(-1)=-1.(2)設(shè)兩曲線在公共點(diǎn)(a,b)處的切線相同(a>0).由題得f'(x)=2x,h'(x)=6x-4,則b=a2-m,b=6lna-4a

19、,2a=6a-4,解得a=1,b=-4,m=5.變式題c解析 f'(x)=cosxx+1-ln(x+1)·sin x-a.函數(shù)f(x)=ln(x+1)·cos x-ax的圖像在點(diǎn)(0,f(0)處的切線的傾斜角為45°,1-a=1,a=0,故選c.【備選理由】 例1考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則等知識(shí),意在考查學(xué)生的基本計(jì)算能力;例2在知識(shí)點(diǎn)的交匯處命題,分別考查了利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程等知識(shí);例3是一道導(dǎo)數(shù)新概念題,需要依據(jù)新定義求解,計(jì)算量較大,供學(xué)有余力的同學(xué)學(xué)習(xí);例4是導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用與求參數(shù)取值范圍的綜合問(wèn)題,并涉及數(shù)形

20、結(jié)合思想,有一定的綜合性.例1配合例1使用 設(shè)函數(shù)f(x)=x(2017+ln x).若f'(x0)=2018,則x0=()a.eb.e2c.ln 2d.1解析 d因?yàn)閒(x)=x(2017+ln x),所以f'(x)=2018+ln x,所以f'(x0)=2018+ln x0=2018,所以x0=1.例2配合例2使用 2018·荊州中學(xué)月考 函數(shù)f(x)是定義在r上的奇函數(shù),且當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x3-2x2,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為. 答案 7x-y-4=0解析 函數(shù)f(x)是定義在r上的奇函數(shù),且當(dāng)x<0

21、時(shí),f(x)=x3-2x2,當(dāng)x>0時(shí),-x<0,f(-x)=(-x)3-2(-x)2=-x3-2x2=-f(x),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x3+2x2.f(1)=1+2=3,f'(x)=3x2+4x,f'(1)=7,所求切線方程為y-3=7(x-1),即7x-y-4=0.例3配合例4使用 2018·石家莊質(zhì)檢 定義:如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上存在x1,x2(a<x1<x2<b)滿足f'(x1)=f(b)-f(a)b-a,f'(x2)=f(b)-f(a)b-a,則稱函數(shù)f(x)是區(qū)間a,b上的一個(gè)雙中值函數(shù).已知函數(shù)f(x)=x3-65x2是區(qū)間0,t上的一個(gè)雙中值函數(shù),則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()a.35,65b.25,65c.25,35d