昆明理工大學(xué)—數(shù)值分析各年考試題與答案

1、.昆明理工大學(xué)數(shù)值分析考試題（ 07 ）一填空 （每空 3 分，共 30 分）xA 0.231是真值xT 0.229的近似值 ，則xA有位有效數(shù)字 。1 設(shè)2 若 f (x)6 x7x43x1，則 f 2 0 ,2 1,.2 7 ， f 2 0,2 1 ,.28 。10A 1 =； A =； A 23 A=3, 則=1cond2 ( A) =。4 求方程 xf ( x) 根的牛頓迭代格式是。5 設(shè) x105% ，則求函數(shù) f ( x)n x 的相對(duì)誤差限為。2106A= 12a ,為使其可分解為L(zhǎng) LT （ L 為下三角陣 ，主對(duì)角線元素 >0 ）， a 的取值0a2范圍應(yīng)為。7 用最小

2、二乘法擬合三點(diǎn)A(0,1),B(1,3),C(2,2) 的直線是。（注意 ：以上填空題答案標(biāo)明題號(hào)答在答題紙上，答在試卷上的不給予評(píng)分。）二推導(dǎo)與計(jì)算（一）對(duì)下表構(gòu)造f(x)的不超過3 次的插值多項(xiàng)式，并建立插值誤差公式。（12 分）x012f ( x )123f ' ( x )3.專業(yè) .專注.（二）已知 x( x) 和(x)滿足(x) -3 1。 請(qǐng)利用( x) 構(gòu)造一個(gè)收斂的簡(jiǎn)單迭代函數(shù)(x) ，使 xk 1( xk ), k0,1,. 收斂 。（ 8 分）12（三）利用復(fù)化梯形公式計(jì)算Ie x dx ，使其誤差限為 0.5 10 6 ，應(yīng)將區(qū)間 0 ， 10等份 。（8 分）1

3、0a0（四）設(shè) A=b10b0a5， detA 0 ，推導(dǎo)用 a， b 表示解方程組AX=f的 Seidel(G-S)迭代法收斂的充分必要條件。（10 分）（五）確定節(jié)點(diǎn)及系數(shù)，建立如下GAUSS 型求積公式1 f (x)dx A f (x ) A f (x ) 。 （10分）0x1122（六）對(duì)微分方程初值問題y'f ( x, y)y( x0 ) y0（）用數(shù)值積分法推導(dǎo)如下數(shù)值算法： yn 1yn 1h ( f n 1 4 fnf n 1) ，其中3fi f ( xi, yi ) ， (in1,n, n1)。（8 分）（）試構(gòu)造形如yn 1a0 yna1 yn 1h(b0 f nb

4、1fn 1 ), 的線形二步顯格式差分格式 ，其中 fnf ( xn, yn ), fn 1f ( x1, yn 1) 。 試確定系數(shù) a, a ,b ,b ，n010 1使差分格式的階盡可能高，寫出其局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)，并指明方法是多少階。 （14分）.專業(yè) .專注.（考試時(shí)間 2 小時(shí) 30 分鐘）（08 ）一、填空（每空 3 分，共 30 分）1若開平方查 6 位函數(shù)表 ，則當(dāng) x=30 時(shí)，x21 的誤差限為。2若 f (x)an xn1,( an1),則 fx 0 ,x 1 ,.xn =。3若x3,0x1S( x)1 ( x 1)3a(x 1)2b( x是 3 次樣條函數(shù) ，則1) c

5、,1 x 32.專業(yè) .專注.a=， b=，c=。4 A=12,則 A 1=；A 2 =； Cond 2 (A)=。225 考慮用復(fù)化梯形公式計(jì)算1x2dx，要使誤差小于 0.5 106 ，那么e00， 1應(yīng)分為個(gè)子區(qū)間 。6( x)x a( x2要使迭代法x( x)局部收斂到x5，即在5) ,鄰域 | x5 |1時(shí)，則 a 的取值范圍是。二、計(jì)算與推導(dǎo)1、 用追趕法解三對(duì)角方程組Axb ，其中21001A1 210， b0。 （12 分）01210001202、已知一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)t12345y4.006.408.008.809.22請(qǐng)確定其形如 yt的擬合函數(shù) 。（ 13 分）atb3、確定系

6、數(shù) ，建立如下 GAUSS 型求積公式1f ( x)f ( x 1) A 2f ( x )2 。（13 分）0dx A1x.專業(yè) .專注.4、證明用 Gauss-seidel 迭代法求解下列方程組302x11021x24時(shí)，對(duì)任意的初始向量都收斂 ；若要求212x31x *x (k )104，需要迭代幾次 （推導(dǎo)時(shí)請(qǐng)統(tǒng)一取初始迭代向量x(0)(0 0 0)T）？（ 13 分）5、試用數(shù)值積分法或Taylor 展開法推導(dǎo)求解初值微分問題y 'f (x,y) , y ( 0 x )的a如下中點(diǎn)公式 ：y n 2y n2 h f( xn 1 ,yn 1 )及其局部截?cái)嗾`差 。（ 14 分）6

7、、 試推導(dǎo)bdaf ( x, y)dydx 的復(fù)化 Simpson 數(shù)值求積公式 。（ 5 分）c（考試時(shí)間 2 個(gè)半小時(shí)）.專業(yè) .專注.（09 ）一、（填空 (每空 3 分,共 36 分)1 S( x)x3x2 ,0x13 bx2cx1,1x 22x是以 0， 1 ， 2 為節(jié)點(diǎn)的三次樣條函數(shù)，則 b=， c=。2 設(shè) f ( x)4x32x 1，則差商 f 0,1,2,3， f 0,1,2,3,4。3 函數(shù) f ( x)3x32x24x 5 在 -1 ， 1上的最佳2 次逼近多項(xiàng)式是，.專業(yè) .專注.最佳 2 次平方逼近多項(xiàng)式是。a124 A21，當(dāng) a 滿足條件時(shí)， A 可作LU 分解

8、 ；當(dāng) a 滿足條件時(shí)，A 可作 AL LT分解；1111222211115A2222，則 A， cond ( A)2。1100220011226 求方程 xcos x 根的 newton迭代格式是。7 用顯式 Euler 法求解 y'80 y, y(0) 1，要使數(shù)值計(jì)算是穩(wěn)定的，應(yīng)使步長(zhǎng) 0<h<。二、計(jì)算與推導(dǎo)一、計(jì)算函數(shù) f ( x)sin(n3x) 在 x*0.0001 附近的函數(shù)值。 當(dāng) n=100 時(shí)，試計(jì)算在相對(duì)誤差意義下 f (x* ) 的條件數(shù) ，并估計(jì)滿足 r ( f ( x* )0.1% 時(shí)自變量的相對(duì)誤差限和絕對(duì)誤差限 。（12 分）二、有復(fù)化梯形

9、 ，復(fù)化 simpson1ex dx 的近似值時(shí) ，需要有多少個(gè)節(jié)點(diǎn) ，才能公式求積分0保證近似值具有6 位有效數(shù)字 。（ 12 分）四、確定求解一階常微分初值問題的如下多步法yn 1( ynyn 1)yn 21 (3)h( f nfn 1) 中的值，使方法是四階的。（ 12 分）2.專業(yè) .專注.五、用最小二乘法確定一條經(jīng)過原點(diǎn)的二次曲線，使之?dāng)M合于下列數(shù)據(jù)（小數(shù)點(diǎn)后保留 5位）xi1.02.03.04.0yi0.81.51.82.0并計(jì)算其最小二乘誤差。（ 14 分）2x22x31六、對(duì)下列線性方程組2x110 x2x30.5 ，（ 1 ）構(gòu)造一定常迭代數(shù)值求解公式，并x12x23x31證

10、明你構(gòu)造的迭代格式是收斂的；(2)記精確解向量為 X* ，若取初始迭代向量X (0)(000) T ,要使X *X (K )10 3 ，請(qǐng)估計(jì)需要多少次迭代計(jì)算。（ 14 分）（考試時(shí)間 2 個(gè)半小時(shí)）.專業(yè) .專注.（ 10 ）一、填空（每空 2 分，共 24 分）1 近似數(shù) 490.00 的有效數(shù)字有位，其相對(duì)誤差限為。2設(shè)f ( x)4x7x43x1，則f 2 0 ,21,.2 7 ，f 2 0, 21 ,.28 。3 設(shè) f ( x)2x4 , x1,1， f (x) 的三次最佳一致逼近多項(xiàng)式為。.專業(yè) .專注.4 A12， A 1， A， A 2。342105 A121 ，其條件數(shù)

11、Cond ( A)2。0122106 A12a ，為使分解 AL LT 成立 （ L 是對(duì)角線元素為正的下三角陣）， a 的0a2取值范圍應(yīng)是。7 給定方程組x1ax2b1 , a 為實(shí)數(shù) 。當(dāng) a 滿足且 02 時(shí)， SOR 迭代法收ax1x2b2斂。8 對(duì)于初值問題y/100( yx2 )2x, y(0)1 ，要使用歐拉法求解的數(shù)值計(jì)算穩(wěn)定，應(yīng)限定步長(zhǎng)h 的范圍是。二、推導(dǎo)計(jì)算1 應(yīng)用下列數(shù)據(jù)表建立不超過3 次的插值多項(xiàng)式并給出誤差估計(jì)式x012f ( x)129f / (x)3（ 15 分）2 用最小二乘法確定一條經(jīng)過原點(diǎn)的二次曲線，使之?dāng)M合于下列數(shù)據(jù)x1 02 03 04 0y0 81

12、 51 82 0（小數(shù)點(diǎn)后至少保留5 位）。（ 15 分）.專業(yè) .專注.3 確定高斯型求積公式10A f( 0x)1A (f 1 x), 0 x1 x ( 0, 1)x f ( x) d x0的節(jié)點(diǎn) x0 , x1 及積分系數(shù) A0, A1 。（ 15分）書內(nèi)三、證明1aa11.在線性方程組AXb 中， A a1a。證明當(dāng)a 1 時(shí)高斯 - 塞德爾法收斂 ，aa12而雅可比法只在1a1分）2時(shí)才收斂 。（ 1022.給定初值 x00, 2以及迭代公式axk 1xk( 2axk ), (k0, 1, 2.a ,0 )證明該迭代公式是二階收斂的。（7分）3.試證明線性二步法yn 2(b1) yn

13、 1bynh (b 3) fn 2 (3b 1) fn 4當(dāng) b1時(shí)，方法是二階 ，當(dāng) b1時(shí)，方法是三階的 。（ 14 分）.專業(yè) .專注.（12）一、填空題（每空 2 分，共 40分）1 設(shè) x*0.231 是真值 x0.228的近似值 ，則 x* 有位有效數(shù)字 ， x* 的相對(duì)誤差限為。.專業(yè) .專注.3.過點(diǎn) (1,0), (2,0) 和 (1,3)的二次拉格朗日插值函數(shù)為L(zhǎng)2 ( x) =，并計(jì)算 L2 (0)。4 設(shè)f (x) 3x32 x24 x5 在1,1上的最佳二次逼近多項(xiàng)式為，最佳二次平方逼近多項(xiàng)式為。15高斯求積公式x f (x)dx A0 f ( x0 ) A1 f (

14、 x1 ) 的 系 數(shù) A0，0A1，節(jié)點(diǎn) x0， x1。6 方程組 Axb ， ADLU , 建立迭代公式 x(k 1)Bx (k )f ，寫出雅可比迭代法和高斯-賽 德 爾 迭 代 法 的 迭 代 矩 陣 ， BJacobi，BGaussSeidel。101227 A010，其條件數(shù) Cond ( A)2。101228設(shè) A31，計(jì)算矩陣 A 的范數(shù)，|A|1=，12| A |2=。9 求方程 xf (x) 根的牛頓迭代格式是。12310對(duì)矩陣 A252作 LU分解，其 L=， U= _315二、計(jì)算題（每題 10 分，共 50 分）1.求一個(gè)次數(shù)不高于 4 次的多項(xiàng)式(), 使它滿足 :

15、p(0)0,p'(0)0,p(1) 1'(1) 1,P x, pp( 2) 1,并寫出其余項(xiàng)表達(dá)式（要求有推導(dǎo)過程 ）。2.若用復(fù)合梯形公式計(jì)算積分1exdx ，問區(qū)間 0,1 應(yīng)分成多少等分才能使截?cái)嗾`差不超0.專業(yè) .專注.過 110 5 ?若改用復(fù)合辛普森公式，要達(dá)到同樣的精度區(qū)間0, 1 應(yīng)該分成多少等份? 由2下表數(shù)據(jù) ，用復(fù)合辛普森公式計(jì)算該積分的近似值。x00.250.50.751ex11.281.642.112.7110.40.43. 線性方程組Axb，其中 A0.410.8 ， b1,2,3 T ，（ 1）建立雅可比迭代0.40.81法和高斯 -賽德爾迭代法的

16、分量形式。（ 2 ）問雅可比迭代法和高斯- 賽德爾迭代法都收斂嗎 ?4. 已知如下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi , yi ), i0,1,4 , 用最小二乘法求形如ya0a1 x 的經(jīng)驗(yàn)公式，并計(jì)算最小二乘法的誤差。xi123yi44.565. 用改進(jìn)的歐拉公式( 預(yù)估 - 校正方法 )，解初值問題4588.5dyx 2100 y2 , y( 0) 0 ，取步長(zhǎng)dxh 0.1, 計(jì)算到 x 0.2 （保留到小數(shù)點(diǎn)后四位 ）。三、證明題（共 10 分）1 如果 A 是對(duì)稱正定矩陣，則 A 可唯一地寫成ALLT ，其中 L 是具有正對(duì)角元的下三角陣 。（考試時(shí)間 2 個(gè)半小時(shí)）.專業(yè) .專注.07 答案填空1

17、226；03 4；4；xnf ( xn )4 xn 1xn1f (xn )5 0.005 n63a37 y1 x 322一、 推導(dǎo)與計(jì)算.專業(yè) .專注.（一） 方法 1 先確定 2 次插值 N ( x) f (0)f 0,1( x0) f 0,1,2( x 0)( x 1)再設(shè)該 Hermit 插值為 H 3 (x)N (x) k( x0)( x 1)(x 3)將導(dǎo)數(shù)要求代入即可確定k 值（略）得： H 3 ( x)2 x36x23x1方法 2 直接設(shè) H 3 (x)ax3bx2cxd將插值要求代入得方程組（略）解得各待定系數(shù)得 H 3 ( x)2x36x23x1 推導(dǎo)余項(xiàng) ： 根據(jù)條件要求設(shè)

18、 余 項(xiàng) R( x)f ( x)3H ( x)2的輔助函數(shù)K ( x) x( x 1 ) (x構(gòu) 造2 )關(guān) 于 t(t) f (t ) H 3 (t )K ( x)t(t1)2 (t2)其是充分光滑的 ，且滿足(0)(1)(2)( x) 0, (1) 0故 有 4個(gè) 零 點(diǎn)反 復(fù) 運(yùn) 用 Roll定理，有(4) ( )f (4) ()K ( x)4?。?，2）K (x)f(4)( )！4故 R( x)f (4) ( ) x(x 1)2 ( x2),(0, 2)且依賴于 x和節(jié)點(diǎn) 0,1,24！由 x( x)可得 x3x( x)3x（二）1 ( ( x)3x)-即 x2故設(shè)(x)1 ( (x)

19、3x)2.專業(yè) .專注.因(x)1(x)3121-2故迭代格式 xn 1( xn )是收斂的（三）令 Rn f 1 0 h2 f ( )110 6, 其中 h1 0122n解得h 1 . 733-（1略）-60.將 h1 代入取整即得 n 578n故需將區(qū)間578 等分 。a0010（四）G-SBGabb迭 代 陣b令10010a2bab050500det( I BG )2 (3ab)0100迭代收斂的充要條件是需(BG )3ab100解出既ab1003（五）方法 1 設(shè)( x)( xx0 )( x11( x) dx 00x則有1x( x) dx00 xx0 x11 ( x0x1 )整理得31

20、 xx1 ( xx )301501x1 )為0,1上帶權(quán)1 的正交多項(xiàng)式x1517.專業(yè) .專注.解出 x01(3 2 6 5), x117(3 2 65)7又該公式應(yīng)對(duì)f (x)1, x 準(zhǔn)確成立 ，代入有2 A0A1A01 15 62解之得3A 0 x013A1 x1A15 613-故可構(gòu)造出Gauss 積分公式為 。方法 2 直接用代數(shù)精度驗(yàn)證法列方程組求解方程組每個(gè)待定系數(shù)積分公式（六）（ 1）將 y'f ( x, y) 兩邊同時(shí)在區(qū)間 xn 1 , xn 1 上積分得y( xn 1) y(xn 1 )xn 1f (x, y)dxxn 1得右邊用積分的Simpson公式展開xn

21、 1將 y( xi ) 用相應(yīng)數(shù)值值yi 代替f ( x, y)dx （略）xn 1既推出公式 yn 1yn 1h ( f n 1 4 fn fn 1 )3（ 2 ）方法 1 因前提是 yny( xn ), yn 1 y( xn 1 )故利用 Tarlor 公式.專業(yè) .專注.y( xn 1 )y( xn ) y (xn )h y (xn ) h2y ( x n ) hy (4) ( ) h4234(xnxn 1 )yn 1a 0y(xn ) a 1y( xn)1 h(b 0f (xn , y(xn ).( a0a1) y(xn ) ( a 1b 0b )1hy ( xn ) ( a12a1

22、h4y( )b1h4y( )4！3！b f1 ( xn , 1y(xn )1b )1h2 y ( xn ) ( a 13b ) 1h3y ( xn )3！考察局部截?cái)嗾`差Rn 1y( xn 1 )yn 1 ，使Rn 1h4y(4) ( )a1h4y ( )b1h4y ( ) O( h4 ) 可得！443a0a11a1b0b11a112b12a13b1 1a04,a15,b04,b1。故所給格式為2解之得4yn5yn 1h(4 fn 2 fn 1)yn 1其局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)為h4y(4) ( )5h4y ( )2h4y ( )，其是 3階方法。4！4！3！方法 2 直接套課本中公式，但此時(shí)0a

23、1 ,1a0 ,0b1 ,1b0,20而 k2令 C0C1C2C30 列方程組可解出各系數(shù)。.專業(yè) .專注.其局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)為 C 4(4)(xn )84y(4)，其是 3階方法。4 h yh( xn )！3（ 09 ）一、填空 (每空 3 分,共 36 分)1. b=-2， c=3。2.f 0,1,2,34， f 0,1,2,3,40 .3.P ( x )x 27x 5,P ( x)2 x211x24254.a15.A2， cond ( A) 216.x k 1x kxkcosx k1sinxk9517. 0<h<。40二、 解 Cond r ( f ( x* )r ( f

24、( x * )xf / ( x)n3 x取 n=100, 則r ( x* )f ( x)tan(n3 x).專業(yè) .專注. . .Cond r ( f ( x*)10 6x*170.3*0.1由要求知要求r ( f ( x )時(shí)tan(100)100則自變量的相對(duì)誤差限r(nóng) ( x * )r ( f ( x *) / Cond r ( f ( x *)絕對(duì)誤差限0.578105( x * )r ( x * ) x *0.578109三解 f ( x )e x , a0, b1用復(fù)化梯形時(shí) ，即要求 R n ( f )h 2f/ /( )1104由此解得應(yīng)122取214個(gè)節(jié)點(diǎn)用復(fù)化Simpson時(shí)

25、, 即 要求ba4h (1R n (f)4)(1401802f)2由此解得應(yīng)取9個(gè)節(jié)點(diǎn)。四（ 該題是課本 - 清華第4版372頁(yè)的例題 ）正確展開 T n1 正確合并同階項(xiàng)為3 項(xiàng)。求出9, T n 1O ( h 5 )五 解 按題意 ，所求擬合函數(shù)應(yīng)形如p ( x )axbx2其最小二乘擬合誤232yi ) 2差平方和為( ax ibx i為使其達(dá)到最小 ，應(yīng)令i0(2 )030a 100b17.2a。代入數(shù)據(jù)后得出。 解出 a,b ，即得所(2 )100a354b550b求擬合函數(shù)為p(x)0.94968 x 0.112903 x2。最小二乘擬合誤差20.00523或20.0046。六.專

26、業(yè) .專注.（ 10 ）一、填空 (每空 2 分)(1)50.0050.0000102;(2)40;(3) 2x214(4)671 55 ; 5(5) 322 ;(6) a ( 3, 3) ; (7) a 1 ;(8) 0 h 0.02二、推導(dǎo)計(jì)算1.解： (待定參數(shù)法 ):根據(jù)節(jié)點(diǎn)條件及多項(xiàng)式性質(zhì),設(shè)所求函數(shù)為H ( x)f ( 0)f 0, 1(x0) f 0, 1,x2(x 0)(A1)x( x 0)( x1)代入導(dǎo)數(shù)條件,求出 A=1H ( x)31 設(shè)余項(xiàng)為R( x) f ( x)H (x) K (x) x( x1)2(x 2)當(dāng) x 1,2x且不同于 0,1,2時(shí) ,構(gòu)造關(guān)于變量t

27、 的函數(shù)g( t )f ( t)H ( t) K ( x) t ( t2 1) (t - 2 )此函數(shù)是充分光滑的,且有零點(diǎn) :0,1,2,x(1 是 2重零點(diǎn) )-在 4個(gè)零點(diǎn)的 3 個(gè)區(qū)間上反復(fù)運(yùn)用Rolle 定理，可知至少有一倚賴于0， 1， 2 ，x的點(diǎn)，使g ( 4 )( )f ( 4() ) 4! K (x) 0K ( x)f ( 4 )( )于是4!R( x)f ( x)f ( ()2 42),)H ( x)x(x1) ( x(0, 2)4! 本題 H(x) 的推出 也可以用 1重節(jié)點(diǎn)的差商表方法； 2 直接設(shè)為3 次多項(xiàng)式一般式 ，代入條件建立方程組求出。2 解：由過原點(diǎn)條件,可知擬合函數(shù)形如:y( x)axbx2.專業(yè) .專注.故需按最小二乘法定義來推導(dǎo)。232設(shè)最小二乘擬合誤差為 y(xi ) yi 要使其為極小 ，必需符合i023bxi2a2(axiyi )xi0i 023bxi22b2(axiyi )xi0i 0可得法方程30100a17.2100354b- 解之得 a=