高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)總教案：9.2　雙曲線

1、淘寶店鋪：漫兮教育9.2雙曲線典例精析題型一雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】已知?jiǎng)訄Ae與圓a：(x4)2y22外切，與圓b：(x4)2y22內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心e的軌跡方程.【解析】設(shè)動(dòng)圓e的半徑為r，則由已知|ae|r，|be|r，所以|ae|be|2，又a(4,0)，b(4,0)，所以|ab|8,2|ab|.根據(jù)雙曲線定義知，點(diǎn)e的軌跡是以a、b為焦點(diǎn)的雙曲線的右支.因?yàn)閍，c4，所以b2c2a214，故點(diǎn)e的軌跡方程是1(x).【點(diǎn)撥】利用兩圓內(nèi)、外切圓心距與兩圓半徑的關(guān)系找出e點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何條件，結(jié)合雙曲線定義求解，要特別注意軌跡是否為雙曲線的兩支.【變式訓(xùn)練1】p為雙曲線1的右支上一點(diǎn)，m，

2、n分別是圓(x5)2y24和(x5)2y21上的點(diǎn)，則|pm|pn|的最大值為()a.6b.7c.8d.9【解析】選d.題型二雙曲線幾何性質(zhì)的運(yùn)用【例2】雙曲線c：1(a0，b0)的右頂點(diǎn)為a，x軸上有一點(diǎn)q(2a,0)，若c上存在一點(diǎn)p，使0，求此雙曲線離心率的取值范圍.【解析】設(shè)p(x，y)，則由0，得appq，則p在以aq為直徑的圓上，即 (x)2y2()2，又p在雙曲線上，得1，由消去y，得(a2b2)x23a3x2a4a2b20，即(a2b2)x(2a3ab2)(xa)0，當(dāng)xa時(shí)，p與a重合，不符合題意，舍去；當(dāng)x時(shí)，滿(mǎn)足題意的點(diǎn)p存在，需xa，化簡(jiǎn)得a22b2，即3a22c2，所

3、以離心率的取值范圍是(1，).【點(diǎn)撥】根據(jù)雙曲線上的點(diǎn)的范圍或者焦半徑的最小值建立不等式，是求離心率的取值范圍的常用方法.【變式訓(xùn)練2】設(shè)離心率為e的雙曲線c：1(a0，b0)的右焦點(diǎn)為f，直線l過(guò)焦點(diǎn)f，且斜率為k，則直線l與雙曲線c的左、右兩支都相交的充要條件是()a.k2e21b.k2e21c.e2k21d.e2k21【解析】由雙曲線的圖象和漸近線的幾何意義，可知直線的斜率k只需滿(mǎn)足k，即k2e21，故選c.來(lái)源:題型三有關(guān)雙曲線的綜合問(wèn)題【例3】(2013廣東模擬)已知雙曲線y21的左、右頂點(diǎn)分別為a1、a2，點(diǎn)p(x1，y1)，q(x1，y1)是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)求直線a

4、1p與a2q交點(diǎn)的軌跡e的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)h(0，h)(h1)的兩條直線l1和l2與軌跡e都只有一個(gè)交點(diǎn)，且l1l2，求h的值.【解析】(1)由題意知|x1|，a1(，0)，a2(，0)，則有直線a1p的方程為y(x)，直線a2q的方程為y(x).方法一：聯(lián)立解得交點(diǎn)坐標(biāo)為x，y，即x1，y1，則x0，|x|.而點(diǎn)p(x1，y1)在雙曲線y21上，所以y1.將代入上式，整理得所求軌跡e的方程為y21，x0且x±.來(lái)源:方法二：設(shè)點(diǎn)m(x，y)是a1p與a2q的交點(diǎn)，×得y2(x22).又點(diǎn)p(x1，y1)在雙曲線上，因此y1，即y1.來(lái)源:代入式整理得y21.因?yàn)辄c(diǎn)p，q

5、是雙曲線上的不同兩點(diǎn)，所以它們與點(diǎn)a1，a2均不重合.故點(diǎn)a1和a2均不在軌跡e上.過(guò)點(diǎn)(0,1)及a2(，0)的直線l的方程為xy0.解方程組得x，y0.所以直線l與雙曲線只有唯一交點(diǎn)a2.故軌跡e不過(guò)點(diǎn)(0,1).同理軌跡e也不過(guò)點(diǎn)(0，1).綜上分析，軌跡e的方程為y21，x0且x±.(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)h(0，h)的直線為ykxh(h1)，聯(lián)立y21得(12k2)x24khx2h220.令16k2h24(12k2)(2h22)0，得h212k20，解得k1，k2.由于l1l2，則k1k21，故h.過(guò)點(diǎn)a1，a2分別引直線l1，l2通過(guò)y軸上的點(diǎn)h(0，h)，且使l1l2，因此a1ha

6、2h，由×()1，得h.此時(shí)，l1，l2的方程分別為yx與yx，它們與軌跡e分別僅有一個(gè)交點(diǎn)(，)與(，).所以，符合條件的h的值為或.【變式訓(xùn)練3】雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，離心率為e，過(guò)f2的直線與雙曲線的右支交于a，b兩點(diǎn)，若f1ab是以a為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則e2等于()a.12b.32c.42d.52【解析】本題考查雙曲線定義的應(yīng)用及基本量的求解.來(lái)源:據(jù)題意設(shè)|af1|x，則|ab|x，|bf1|x.由雙曲線定義有|af1|af2|2a，|bf1|bf2|2a(|af1|bf1|)(|af2|bf2|)(1)xx4a，即x2a|af1|.故在rtaf1f2中可求得|af2|.來(lái)源:又由定義可得|af2|af1|2a2a2a，即22a，兩邊平方整理得c2a2(52)e252，故選d.總結(jié)提高1.要與橢圓類(lèi)比來(lái)理解、掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，但應(yīng)特別注意不同點(diǎn)，如a，b，c的關(guān)系、漸近線等.2.要深刻理解雙曲線的定義，注意其中的隱含條件.當(dāng)|pf1|pf2|2a|f1f2|時(shí)，p的軌跡是雙曲線；當(dāng)|pf1|pf2|2a|f1f2|時(shí)，p的軌跡是以f1或f2為端點(diǎn)的射線；當(dāng)|pf1|pf2|2a|f1f2|時(shí)，p無(wú)軌跡.3.雙曲線是具有漸近線的曲線，畫(huà)雙曲線草圖時(shí)，