高考數(shù)學一輪復習總教案：9.2　雙曲線

1、淘寶店鋪：漫兮教育9.2雙曲線典例精析題型一雙曲線的定義與標準方程【例1】已知動圓e與圓a：(x4)2y22外切，與圓b：(x4)2y22內(nèi)切，求動圓圓心e的軌跡方程.【解析】設動圓e的半徑為r，則由已知|ae|r，|be|r，所以|ae|be|2，又a(4,0)，b(4,0)，所以|ab|8,2|ab|.根據(jù)雙曲線定義知，點e的軌跡是以a、b為焦點的雙曲線的右支.因為a，c4，所以b2c2a214，故點e的軌跡方程是1(x).【點撥】利用兩圓內(nèi)、外切圓心距與兩圓半徑的關系找出e點滿足的幾何條件，結合雙曲線定義求解，要特別注意軌跡是否為雙曲線的兩支.【變式訓練1】p為雙曲線1的右支上一點，m，

2、n分別是圓(x5)2y24和(x5)2y21上的點，則|pm|pn|的最大值為()a.6b.7c.8d.9【解析】選d.題型二雙曲線幾何性質(zhì)的運用【例2】雙曲線c：1(a0，b0)的右頂點為a，x軸上有一點q(2a,0)，若c上存在一點p，使0，求此雙曲線離心率的取值范圍.【解析】設p(x，y)，則由0，得appq，則p在以aq為直徑的圓上，即 (x)2y2()2，又p在雙曲線上，得1，由消去y，得(a2b2)x23a3x2a4a2b20，即(a2b2)x(2a3ab2)(xa)0，當xa時，p與a重合，不符合題意，舍去；當x時，滿足題意的點p存在，需xa，化簡得a22b2，即3a22c2，所

3、以離心率的取值范圍是(1，).【點撥】根據(jù)雙曲線上的點的范圍或者焦半徑的最小值建立不等式，是求離心率的取值范圍的常用方法.【變式訓練2】設離心率為e的雙曲線c：1(a0，b0)的右焦點為f，直線l過焦點f，且斜率為k，則直線l與雙曲線c的左、右兩支都相交的充要條件是()a.k2e21b.k2e21c.e2k21d.e2k21【解析】由雙曲線的圖象和漸近線的幾何意義，可知直線的斜率k只需滿足k，即k2e21，故選c.來源:題型三有關雙曲線的綜合問題【例3】(2013廣東模擬)已知雙曲線y21的左、右頂點分別為a1、a2，點p(x1，y1)，q(x1，y1)是雙曲線上不同的兩個動點.(1)求直線a

4、1p與a2q交點的軌跡e的方程；(2)若過點h(0，h)(h1)的兩條直線l1和l2與軌跡e都只有一個交點，且l1l2，求h的值.【解析】(1)由題意知|x1|，a1(，0)，a2(，0)，則有直線a1p的方程為y(x)，直線a2q的方程為y(x).方法一：聯(lián)立解得交點坐標為x，y，即x1，y1，則x0，|x|.而點p(x1，y1)在雙曲線y21上，所以y1.將代入上式，整理得所求軌跡e的方程為y21，x0且x±.來源:方法二：設點m(x，y)是a1p與a2q的交點，×得y2(x22).又點p(x1，y1)在雙曲線上，因此y1，即y1.來源:代入式整理得y21.因為點p，q

5、是雙曲線上的不同兩點，所以它們與點a1，a2均不重合.故點a1和a2均不在軌跡e上.過點(0,1)及a2(，0)的直線l的方程為xy0.解方程組得x，y0.所以直線l與雙曲線只有唯一交點a2.故軌跡e不過點(0,1).同理軌跡e也不過點(0，1).綜上分析，軌跡e的方程為y21，x0且x±.(2)設過點h(0，h)的直線為ykxh(h1)，聯(lián)立y21得(12k2)x24khx2h220.令16k2h24(12k2)(2h22)0，得h212k20，解得k1，k2.由于l1l2，則k1k21，故h.過點a1，a2分別引直線l1，l2通過y軸上的點h(0，h)，且使l1l2，因此a1ha

6、2h，由×()1，得h.此時，l1，l2的方程分別為yx與yx，它們與軌跡e分別僅有一個交點(，)與(，).所以，符合條件的h的值為或.【變式訓練3】雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點分別為f1，f2，離心率為e，過f2的直線與雙曲線的右支交于a，b兩點，若f1ab是以a為直角頂點的等腰直角三角形，則e2等于()a.12b.32c.42d.52【解析】本題考查雙曲線定義的應用及基本量的求解.來源:據(jù)題意設|af1|x，則|ab|x，|bf1|x.由雙曲線定義有|af1|af2|2a，|bf1|bf2|2a(|af1|bf1|)(|af2|bf2|)(1)xx4a，即x2a|af1|.故在rtaf1f2中可求得|af2|.來源:又由定義可得|af2|af1|2a2a2a，即22a，兩邊平方整理得c2a2(52)e252，故選d.總結提高1.要與橢圓類比來理解、掌握雙曲線的定義、標準方程和幾何性質(zhì)，但應特別注意不同點，如a，b，c的關系、漸近線等.2.要深刻理解雙曲線的定義，注意其中的隱含條件.當|pf1|pf2|2a|f1f2|時，p的軌跡是雙曲線；當|pf1|pf2|2a|f1f2|時，p的軌跡是以f1或f2為端點的射線；當|pf1|pf2|2a|f1f2|時，p無軌跡.3.雙曲線是具有漸近線的曲線，畫雙曲線草圖時，