高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)總教案：10.8　立體幾何綜合問(wèn)題

1、10.8立體幾何綜合問(wèn)題典例精析題型一線面、面面平行與垂直【例1】 如圖，在多面體abcdef中，四邊形abcd是正方形，efab，effb，ab2ef，bfc90°，bffc，h為bc的中點(diǎn).(1)求證：fh平面edb；(2)求證：ac平面edb；(3)求二面角bdec的大小.來(lái)源:來(lái)源:【解析】方法一：(綜合法)(1)設(shè)ac與bd交于點(diǎn)g，則g為ac的中點(diǎn).連接eg，gh，又h為bc的中點(diǎn)，所以ghab.又efab，所以efgh.來(lái)源:來(lái)源:所以四邊形efhg為平行四邊形. 所以egfh.而eg平面edb，所以fh平面edb.由四邊形abcd為正方形，有abbc，又efab，所以

2、efbc.而effb，所以ef平面bfc，所以effh，所以abfh.又bffc，h為bc的中點(diǎn)，所以fhbc.所以fh平面abcd. 所以fhac.又fheg，所以aceg.又acbd，egbdg，所以ac平面edb.(3)effb，bfc90°，所以bf平面cdef.在平面cdef內(nèi)過(guò)點(diǎn)f作fkde交de的延長(zhǎng)線于k，則fkb為二面角bdec的一個(gè)平面角.設(shè)ef1，則ab2，fc，de.又efdc，所以kefedc.所以sinedcsinkef.所以fkefsinkef，tanfkb.所以fkb60°.所以二面角bdec為60°.方法二：(向量法)因?yàn)樗倪呅蝍

3、bcd為正方形，所以abbc.又efab. 所以efbc，又effb，所以ef平面bfc.所以effh，所以abfh.又bffc，h為bc的中點(diǎn)，所以fhbc.所以fh平面abcd.以h為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸正向，為z軸正向，建立如圖所示坐標(biāo)系.設(shè)bh1，則a(1，2,0)，b(1,0,0)，c(1,0,0).d(1，2,0)，e(0，1,1)，f(0,0,1).(1)設(shè)ac與bd交點(diǎn)為g，連接ge，gh，則g(0，1,0)，所以(0,0,1)，又(0,0,1)，所以.ge平面edb，hf不在平面edb內(nèi)，所以fh平面ebd.(2) (2,2,0)，(0,0,1)，0，所以acge.又acbd，e

4、gbdg，所以ac平面edb.(3) (1，1,1)，(2，2,0)，設(shè)平面bde的法向量為n1(1，y1，z1).則n11y1z10，n122y10，所以y11，z10，即n1(1，1,0).(0，2,0)， (1，1,1).設(shè)平面cde的法向量為n2(1，y2，z2)，則n20，y20，n20, 1y2z20，z21，故n2(1,0，1).cosn1，n2，來(lái)源:所以n1，n260°，即二面角bdec為60°.【點(diǎn)撥】(1)本題主要考查空間線面平行，線面垂直，面面垂直的判斷與證明，考查二面角的求法以及利用向量知識(shí)解決幾何問(wèn)題的能力，同時(shí)考查空間想象能力，推理論證能力和運(yùn)

5、算能力.(2)空間角、空間的平行與垂直是高考必考內(nèi)容之一，處理方法為推理論證或借助向量知識(shí)解決分析幾何問(wèn)題.【變式訓(xùn)練1】已知平面外不共線的三點(diǎn)a，b，c到的距離都相等，則正確的結(jié)論是()a.平面abc必不垂直于b.平面abc必平行于c.平面abc必與相交d.存在abc的一條中位線平行于或在內(nèi)【解析】選d題型二空間角求解【例2】 (2010浙江)在矩形abcd中，點(diǎn)e，f分別在線段ab，ad上，aeebaffd4.沿直線ef將aef翻折成aef，使平面aef平面bef.(1)求二面角afdc的余弦值；(2)若點(diǎn)m，n分別在線段fd，bc上，若沿直線mn將四邊形mncd向上翻折，使c與a重合，求

6、線段fm的長(zhǎng).【解析】(1)取線段ef的中點(diǎn)h，連接ah，因?yàn)閍eaf及h是ef的中點(diǎn)，所以ahef.又因?yàn)槠矫鎍ef平面bef，及ah平面aef，所以ah平面bef.如圖建立空間直角坐標(biāo)系axyz，則a(2,2,2)，c(10,8,0)，f(4,0,0)，d(10,0,0).故(2,2,2)， (6,0,0).設(shè)n(x，y，z)為平面afd的一個(gè)法向量，所以取z，則n(0，2，).又平面bef的一個(gè)法向量m(0,0,1).故cosn，m.所以二面角的余弦值為.(2)設(shè)fmx，則m(4x,0,0)，因?yàn)榉酆螅琧與a重合，所以cmam，故(6x)28202(2x)222(2)2，得x，經(jīng)檢驗(yàn)，

7、此時(shí)點(diǎn)n在線段bc上.所以fm.【點(diǎn)撥】(1)本例主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，空間向量的應(yīng)用，同時(shí)考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.(2)折疊問(wèn)題是立體幾何中的一個(gè)重要題型，解題中要將折疊前后的圖形相互聯(lián)系，使得解題有章可循.【變式訓(xùn)練2】已知二面角l為60°，平面內(nèi)一點(diǎn)a到平面的距離為ab4，則b到平面的距離為_.【解析】2.題型三線面位置探索性問(wèn)題【例3】已知abcd是正方形，pd平面abcd，pdad2.(1)求pc與平面pbd所成的角；(2)在線段pb上是否存在一點(diǎn)e，使pc平面ade？若存在，確定e點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由.【解析】如圖建立空間直角坐

8、標(biāo)系dxyz，因?yàn)閜dad2，則d(0,0,0)，a(2,0,0)，o(1,1,0)，b(2,2,0)，c(0，2,0)，p(0,0,2).(1)在正方形abcd中，ocdb.因?yàn)閜d平面abcd，oc平面abcd，所以pdoc.又因?yàn)閐bpdd，所以oc平面pbd.所以cpo為pc與平面pbd所成的角.因?yàn)?0,2，2)，(1,1，2)，所以cos，所以pc與平面pbd所成的角為30°.(2)假設(shè)在pb上存在點(diǎn)e，使pc平面ade. 則.因?yàn)?2,2，2)，所以(2，2，2)，而(2,0,2)，所以(22,2，22).要pc平面ade，即pcae，即840，即，所以e(1,1,1)

9、，所以存在點(diǎn)e且e為pb的中點(diǎn)時(shí)pc平面ade.【點(diǎn)撥】對(duì)于存在性問(wèn)題，一般先假設(shè)存在，若能求出符合條件的解，則存在，若不能求出符合條件的解，則不存在.【變式訓(xùn)練3】abcd是直角梯形，abcbad90°，又sa平面abcd，saabbc1，ad，則平面scd與平面sab所成二面角的正切值為.【解析】.題型四立體幾何綜合問(wèn)題【例4】圓柱oo1內(nèi)有一個(gè)三棱柱abca1b1c1，三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且ab是圓o的直徑.(1)求證：平面a1acc1平面b1bcc1；(2)設(shè)abaa1，在圓柱oo1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于三棱柱abca1b1c1內(nèi)的概率為p.當(dāng)點(diǎn)c在圓周

10、上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求p的最大值；記平面a1acc1與平面b1oc所成的角為(0°90°).當(dāng)p取最大值時(shí)，求cos 的值.【解析】(1)因?yàn)閍1a平面abc，bc平面abc，所以a1abc.因?yàn)閍b是圓o的直徑，所以bcac.又aca1aa，所以bc平面a1acc1，而bc平面b1bcc1，所以平面a1acc1平面b1bcc1.(2)設(shè)圓柱的底面半徑為r，則abaa12r，故三棱柱abca1b1c1的體積v1ac·bc·2racbcr.又因?yàn)閍c2bc2ab24r2.所以ac·bc2r2，當(dāng)且僅當(dāng)acbcr時(shí)等號(hào)成立.從而v12r3，而圓柱的體積vr2

11、·2r2r3，故p，當(dāng)且僅當(dāng)acbcr，即ocab時(shí)等號(hào)成立.所以p的最大值等于.由可知，p取最大值時(shí)，ocab.來(lái)源:于是，以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系oxyz(如圖)，則c(r,0,0)，b(0，r,0)，b1(0，r,2r).因?yàn)閎c平面a1acc1，所以(r，r,0)是平面a1acc1的一個(gè)法向量.設(shè)平面b1oc的法向量n(x，y，z)，取z1，得平面b1oc的一個(gè)法向量為n(0，2,1)，因?yàn)?°90°，所以cos |cosn，|.來(lái)源:【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積、幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想.來(lái)源:【變式訓(xùn)練4】如圖1，一個(gè)正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實(shí)心裝飾塊，容器內(nèi)盛有a升水時(shí)，水面恰好經(jīng)過(guò)正四棱錐的頂點(diǎn)p.如果將容器倒置，水面也恰好過(guò)點(diǎn)p(圖2).有下列四個(gè)命題：正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半；將容器側(cè)面