精品解析：2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標Ⅲ）（解析版）

1、2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學注意事項：1答卷前，考生務必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上.2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則ab中元素的個數(shù)為（ ）a. 2b. 3c. 4d. 5【答案】b【解析】【分析】采用列舉法列舉出中元素的即可.【詳解】由題意，故中元素的個數(shù)為3.故選：b【

2、點晴】本題主要考查集合的交集運算，考查學生對交集定義的理解，是一道容易題.2.若，則z=（ ）a. 1ib. 1+ic. id. i【答案】d【解析】【分析】先利用除法運算求得，再利用共軛復數(shù)的概念得到即可.【詳解】因為，所以.故選：d【點晴】本題主要考查復數(shù)的除法運算，涉及到共軛復數(shù)的概念，是一道基礎題.3.設一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，10xn的方差為（ ）a. 0.01b. 0.1c. 1d. 10【答案】c【解析】【分析】根據(jù)新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)關系確定方差關系，即得結果.【詳解】因為數(shù)據(jù)的方差是數(shù)據(jù)的方差的倍，所以所求數(shù)據(jù)方差為故選：c【點睛】本

3、題考查方差，考查基本分析求解能力，屬基礎題.4.logistic模型是常用數(shù)學模型之一，可應用于流行病學領城有學者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)i(t)(t的單位：天)的logistic模型：，其中k為最大確診病例數(shù)當i()=0.95k時，標志著已初步遏制疫情，則約為（ ）（ln193）a. 60b. 63c. 66d. 69【答案】c【解析】【分析】將代入函數(shù)結合求得即可得解.【詳解】，所以，則，所以，解得.故選：c.【點睛】本題考查對數(shù)的運算，考查指數(shù)與對數(shù)的互化，考查計算能力，屬于中等題.5.已知，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】將所給的三角函數(shù)

4、式展開變形，然后再逆用兩角和的正弦公式即可求得三角函數(shù)式的值.詳解】由題意可得：，則：，從而有：，即.故選：b.【點睛】本題主要考查兩角和與差的正余弦公式及其應用，屬于中等題.6.在平面內，a，b是兩個定點，c是動點，若，則點c的軌跡為（ ）a. 圓b. 橢圓c. 拋物線d. 直線【答案】a【解析】分析】首先建立平面直角坐標系，然后結合數(shù)量積的定義求解其軌跡方程即可.【詳解】設，以ab中點為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，則：，設，可得：，從而：，結合題意可得：，整理可得：，即點c的軌跡是以ab中點為圓心，為半徑的圓.故選：a.【點睛】本題主要考查平面向量及其數(shù)量積的坐標運算，軌跡方程的

5、求解等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.7.設為坐標原點，直線與拋物線c：交于，兩點，若，則的焦點坐標為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)題中所給的條件，結合拋物線的對稱性，可知，從而可以確定出點的坐標，代入方程求得的值，進而求得其焦點坐標，得到結果.【詳解】因為直線與拋物線交于兩點，且，根據(jù)拋物線的對稱性可以確定，所以，代入拋物線方程，求得，所以其焦點坐標為，故選：b.【點睛】該題考查的是有關圓錐曲線的問題，涉及到的知識點有直線與拋物線的交點，拋物線的對稱性，點在拋物線上的條件，拋物線的焦點坐標，屬于簡單題目.8.點(0，1)到直線距離的最大值為（ ）a.

6、 1b. c. d. 2【答案】b【解析】【分析】首先根據(jù)直線方程判斷出直線過定點，設，當直線與垂直時，點到直線距離最大，即可求得結果.【詳解】由可知直線過定點，設，當直線與垂直時，點到直線距離最大，即為.故選：b.【點睛】該題考查的是有關解析幾何初步的問題，涉及到的知識點有直線過定點問題，利用幾何性質是解題的關鍵，屬于基礎題.9.下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（ ）a. 6+4b. 4+4c. 6+2d. 4+2【答案】c【解析】【分析】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形，求出每個面的面積，即可求得其表面積.【詳解】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體

7、圖形根據(jù)立體圖形可得：根據(jù)勾股定理可得：是邊長為的等邊三角形根據(jù)三角形面積公式可得：該幾何體的表面積是：.故選：c.【點睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖求立體圖形的表面積問題，解題關鍵是掌握根據(jù)三視圖畫出立體圖形，考查了分析能力和空間想象能力，屬于基礎題.10.設，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】分別將,改寫為，再利用單調性比較即可.【詳解】因為，所以.故選：a.【點晴】本題考查對數(shù)式大小的比較，考查學生轉化與化歸的思想，是一道中檔題.11.在abc中，cosc=，ac=4，bc=3，則tanb=（ ）a. b. 2c. 4d. 8【答案】c【解析】【分析】先根據(jù)余弦定理

8、求，再根據(jù)余弦定理求，最后根據(jù)同角三角函數(shù)關系求【詳解】設故選：c【點睛】本題考查余弦定理以及同角三角函數(shù)關系，考查基本分析求解能力，屬基礎題.12.已知函數(shù)f(x)=sinx+，則（ ）a. f(x)的最小值為2b. f(x)的圖像關于y軸對稱c. f(x)的圖像關于直線對稱d. f(x)的圖像關于直線對稱【答案】d【解析】【分析】根據(jù)基本不等式使用條件可判斷a;根據(jù)奇偶性可判斷b;根據(jù)對稱性判斷c,d.【詳解】可以為負，所以a錯；關于原點對稱；故b錯；關于直線對稱，故c錯，d對故選：d【點睛】本題考查函數(shù)定義域與最值、奇偶性、對稱性，考查基本分析判斷能力，屬中檔題.二、填空題：本題共4小題

9、，每小題5分，共20分.13.若x，y滿足約束條件 ，則z=3x+2y的最大值為_【答案】7【解析】分析】作出可行域，利用截距的幾何意義解決.【詳解】不等式組所表示的可行域如圖因為，所以，易知截距越大，則越大，平移直線，當經過a點時截距最大，此時z最大，由，得，所以.故答案為：7.【點晴】本題主要考查簡單線性規(guī)劃的應用，涉及到求線性目標函數(shù)的最大值，考查學生數(shù)形結合的思想，是一道容易題.14.設雙曲線c： (a>0，b>0)的一條漸近線為y=x，則c的離心率為_【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知可得，結合雙曲線中的關系，即可求解.【詳解】由雙曲線方程可得其焦點在軸上，因為其一條漸近線

10、為，所以，.故答案為：【點睛】本題考查的是有關雙曲線性質，利用漸近線方程與離心率關系是解題的關鍵，要注意判斷焦點所在位置，屬于基礎題.15.設函數(shù)若，則a=_【答案】1【解析】【分析】由題意首先求得導函數(shù)的解析式，然后得到關于實數(shù)a的方程，解方程即可確定實數(shù)a的值【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，則：，據(jù)此可得：，整理可得：，解得：.故答案為：.【點睛】本題主要考查導數(shù)的運算法則，導數(shù)的計算，方程的數(shù)學思想等知識，屬于中等題.16.已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內半徑最大的球的體積為_【答案】【解析】【分析】將原問題轉化為求解圓錐內切球的問題，然后結合截面確定其半徑即可確定體積的值.

11、【詳解】易知半徑最大球為圓錐的內切球，球與圓錐內切時的軸截面如圖所示，其中，且點m為bc邊上的中點，設內切圓的圓心為，由于，故，設內切圓半徑為，則：，解得：，其體積：.故答案為：.【點睛】與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數(shù)量關系，并作出合適的截面圖，如球內切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生

12、根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.設等比數(shù)列an滿足，（1）求an的通項公式；（2）記為數(shù)列l(wèi)og3an的前n項和若，求m【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意，列出方程組，求得首項和公比，進而求得通項公式；（2）由（1）求出的通項公式，利用等差數(shù)列求和公式求得，根據(jù)已知列出關于的等量關系式，求得結果.【詳解】（1）設等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意，有，解得，所以；（2）令，所以，根據(jù)，可得，整理得，因為，所以，【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式基本量的計算，以及等差數(shù)列求和公式的應用，考查計算求解能力，屬于基礎題目.18.某學生興趣小組隨機調查了某市1

13、00天中每天的空氣質量等級和當天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：鍛煉人次空氣質量等級0，200(200，400(400，6001（優(yōu)）216252（良）510123（輕度污染）6784（中度污染）720（1）分別估計該市一天的空氣質量等級為1，2，3，4的概率；（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（3）若某天的空氣質量等級為1或2，則稱這天“空氣質量好”；若某天的空氣質量等級為3或4，則稱這天“空氣質量不好”根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市

14、當天的空氣質量有關？人次400人次>400空氣質量好空氣質量不好附：，p(k2k)0.050 0.010 0.001k38416.63510.828【答案】（1）該市一天的空氣質量等級分別為、的概率分別為、；（2）；（3）有，理由見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布表可計算出該市一天的空氣質量等級分別為、的概率；（2）利用每組的中點值乘以頻數(shù)，相加后除以可得結果；（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計算出的觀測值，再結合臨界值表可得結論.【詳解】（1）由頻數(shù)分布表可知，該市一天的空氣質量等級為的概率為，等級為的概率為，等級為的概率為，等級為的概率為；（2）由頻數(shù)分布表可知，一天中到該

15、公園鍛煉的人次的平均數(shù)為（3）列聯(lián)表如下：人次人次空氣質量不好空氣質量好，因此，有的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關.【點睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計算頻率和平均數(shù)，同時也考查了獨立性檢驗的應用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎題.19.如圖，在長方體中，點，分別在棱，上，且，證明：（1）當時，；（2）點在平面內【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形性質得，根據(jù)長方體性質得,進而可證平面,即得結果；（2）只需證明即可，在上取點使得,再通過平行四邊形性質進行證明即可.【詳解】（1）因為長方體,所以平面,因為長方體,所以四邊形為正方形因為平面

16、,因此平面,因為平面,所以；（2）在上取點使得,連,因為,所以所以四邊形為平行四邊形，因為所以四點共面，所以四邊形為平行四邊形， ，所以四點共面，因此在平面內【點睛】本題考查線面垂直判定定理、線線平行判定，考查基本分析論證能力，屬中檔題.20.已知函數(shù)（1）討論的單調性；（2）若有三個零點，求的取值范圍【答案】（1）詳見解析；(2).【解析】【分析】（1），對分和兩種情況討論即可；（2）有三個零點，由（1）知，且，解不等式組得到的范圍，再利用零點存在性定理加以說明即可.【詳解】（1）由題，當時，恒成立，所以在上單調遞增；當時，令，得，令，得，令，得或，所以在上單調遞減，在，上單調遞增.（2）由

17、（1）知，有三個零點，則，且即，解得，當時，且，所以在上有唯一一個零點，同理，所以在上有唯一一個零點，又在上有唯一一個零點，所以有三個零點，綜上可知的取值范圍為.【點晴】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性以及已知零點個數(shù)求參數(shù)的范圍問題，考查學生邏輯推理能力、數(shù)學運算能力，是一道中檔題.21.已知橢圓的離心率為，分別為的左、右頂點（1）求的方程；（2）若點在上，點在直線上，且，求的面積【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）因為，可得，根據(jù)離心率公式，結合已知，即可求得答案；（2）點在上，點在直線上，且，過點作軸垂線，交點為，設與軸交點為，可得，可求得點坐標，求出直線的直線方程，根據(jù)點

18、到直線距離公式和兩點距離公式，即可求得的面積.【詳解】（1），根據(jù)離心率，解得或(舍)，的方程為：，即；（2）不妨設,在x軸上方點在上，點在直線上，且，過點作軸垂線，交點為，設與軸交點為根據(jù)題意畫出圖形，如圖，又，根據(jù)三角形全等條件“”，可得：，設點為，可得點縱坐標為，將其代入，可得：，解得：或，點為或，當點為時，故，可得：點為，畫出圖象，如圖,，可求得直線的直線方程為：，根據(jù)點到直線距離公式可得到直線的距離為：，根據(jù)兩點間距離公式可得：，面積為：；當點為時，故，可得：點為，畫出圖象，如圖,，可求得直線的直線方程為：，根據(jù)點到直線距離公式可得到直線的距離為：，根據(jù)兩點間距離公式可得：，面積為：，綜上所述，面積為：.【點睛】本題主要考查了求橢圓標準方程和求三角形面積問題，解題關鍵是掌握橢圓的離心率定義和數(shù)形結合求三角形面積，考查了分析