普通高考數(shù)學(xué)科一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案第26講平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用

1、201x 年普通高考數(shù)學(xué)科一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案第 26 講平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用一課標(biāo)要求：1平面向量的數(shù)量積 通過物理中 功等實例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義； 體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系； 掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算； 能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系。2向量的應(yīng)用經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題與其他一些實際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力。二命題走向本講以選擇題、 填空題考察本章的基本概念和性質(zhì)，重點考察平面向量的數(shù)量積的概念及應(yīng)用。重

2、點體會向量為代數(shù)幾何的結(jié)合體，此類題難度不大，分值59 分。平面向量的綜合問題是“ 新熱點 ” 題型，其形式為與直線、圓錐曲線、三角函數(shù)等聯(lián)系，解決角度、垂直、共線等問題，以解答題為主。預(yù)測 201x 年高考：（1）一道選擇題和填空題，重點考察平行、垂直關(guān)系的判定或夾角、長度問題；屬于中檔題目。（2）一道解答題，可能以三角、數(shù)列、解析幾何為載體，考察向量的運算和性質(zhì)；三要點精講1向量的數(shù)量積（1）兩個非零向量的夾角已知非零向量a 與 a，作oaa，obb，則 aa （ ）叫a與b的夾角；說明： （ 1）當(dāng) 時，a與b同向；（2）當(dāng) 時，a與b反向；（3）當(dāng) 2時，a與b垂直，記ab；（4）注意

3、在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的，范圍0 180。（2）數(shù)量積的概念已知兩個非零向量a與b， 它們的夾角為， 則ab=a bcos叫做a與b的c 數(shù)量積（或內(nèi)積） 。規(guī)定00a；向量的投影： bcos=|a bar，稱為向量b在a方向上的投影。 投影的絕對值稱為射影；（3）數(shù)量積的幾何意義：ab等于a的長度與b在a方向上的投影的乘積。（4）向量數(shù)量積的性質(zhì) 向量的模與平方的關(guān)系：22|a aaa。 乘法公式成立2222abababab；2222abaa bb222aa bb； 平面向量數(shù)量積的運算律交換律成立：a bb a；對實數(shù)的結(jié)合律成立：aba babr；分配律成立：abca c

4、b ccab。向量的夾角：cos=cos,a ba bab=222221212121yxyxyyxx。當(dāng)且僅當(dāng)兩個非零向量a與b同方向時， =00，當(dāng)且僅當(dāng)a與b反方向時=1800，同時0與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題。（5）兩個向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算已知兩個向量1122(,),(,)ax ybxy，則ab=1212x xy y。（6）垂直：如果a與b的夾角為 900則稱a與b垂直，記作ab。兩個非零向量垂直的充要條件：ababo02121yyxx，平面向量數(shù)量積的性質(zhì)。（7）平面內(nèi)兩點間的距離公式設(shè)),(yxa，則222|yxa或22|yxa。如果表示向量a的有向線段的起點和終點的坐

5、標(biāo)分別為),(11yx、),(22yx，那么221221)()(|yyxxa(平面內(nèi)兩點間的距離公式)。2向量的應(yīng)用（1）向量在幾何中的應(yīng)用；（2）向量在物理中的應(yīng)用。四典例解析題型 1：數(shù)量積的概念例 1判斷下列各命題正確與否：（1）00a；（2）00a；（3）若0,aa ba c，則bc；（4）若a ba c，則bc當(dāng)且僅當(dāng)0a時成立；（5）()()a bcab c對任意, ,a b c向量都成立；（6）對任意向量a，有22aa。解析： （ 1）錯； （2）對；（3）錯；（4）錯；（5）錯； （6）對。點評：通過該題我們清楚了向量的數(shù)乘與數(shù)量積之間的區(qū)別于聯(lián)系，重點清楚a0為零向量，而a0

6、為零。例 2 （1）若a、b、c為任意向量，mr，則下列等式不一定成立的是（）a)()(cbacbabcbcacba)(cm（ba） =ma+mbd)()(cbacba（2）設(shè)a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則（ab）c（ca）b=0 |a|b|ab| （bc）a（ca）b不與c垂直（ 3a+2b） （3a2b）=9|a|24|b|2中，是真命題的有（）a.b.c.d.解析： （1）答案：d；因為cbacbacos|)(，而acbcbac os|)(；而c方向與a方向不一定同向。（2） 答案：d平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律。故假；由向量的減法運算可知|a|、|b|、 |ab|恰為

7、一個三角形的三條邊長，由“ 兩邊之差小于第三邊” ， 故真；因為 （bc）a（ca）b c=（bc）ac（ca）bc=0，所以垂直 .故假；（ 3a+2b）（3a2b）=9aa4bb=9|a|24|b|2成立。故真。點評：本題考查平面向量的數(shù)量積及運算律，向量的數(shù)量積運算不滿足結(jié)合律。題型 2：向量的夾角例 3（1） 已知向量a、b滿足1|a、4|b， 且2ba， 則a與b的夾角為（）a6b4c3d2（2）已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab，那么ba與ba的夾角的大小是。（3）已知兩單位向量a與b的夾角為0120，若2,3cab dba，試求c與d的夾角。（4）|

8、a|=1，| b|=2，c= a+ b，且ca，則向量a與b的夾角為（）a30b60c120d 150解析： （ 1）c； （2）2；（3）由題意，1ab，且a與b的夾角為0120，所以，01cos1202a ba b，2cc c(2) (2)abab22447aa bb，7c，同理可得13d。而c d2217(2) (3)7322abbaa bba，設(shè)為c與d的夾角，則1829117137217cos。（4）c；設(shè)所求兩向量的夾角為cabca2.() .0caabaaab2|cosaab即：2|1cos2|aaabb所以120 .o點評：解決向量的夾角問題時要借助于公式|cosbaba， 要

9、掌握向量坐標(biāo)形式的運算。向量的模的求法和向量間的乘法計算可見一斑。對于.| cosa bab這個公式的變形應(yīng)用應(yīng)該做到熟練，另外向量垂直（平行）的充要條件必需掌握。例 4 （1）設(shè)平面向量1a、2a、3a的和0321aaa。如果向量1b、2b、3b，滿足|2|iiab，且ia順時針旋轉(zhuǎn)30o后與ib同向，其中1,2,3i，則（）a1b+2b+3b=0b1b-2b+3b=0c1b+2b-3b=0d1b+2b+3b=0（ 2）已知,0|2|ba且關(guān)于x的方程0|2baxax有實根 , 則a與b的夾角的取值范圍是（）a6,0b,3c32,3d,6解析： （ 1）d； （2） b；點評：對于平面向量的

10、數(shù)量積要學(xué)會技巧性應(yīng)用，解決好實際問題。題型 3：向量的模例 5 （1）已知向量a與b的夾角為120o，3,13,aab則b等于（）a5b4c3d1 （2）設(shè)向量, ,a b c滿足0abc,| 1,| 2abab,則2|c（）a1 b2 c4 d5 解析： （ 1）b； （2） d；點評：掌握向量數(shù)量積的逆運算qbbaacos|，以及22|aa。例 6已知a（3，4） ，b（4，3） ，求 x,y 的值使 (xa+yb)a，且 xa+yb=1。解析：由a（ 3，4） ，b（ 4，3） ，有 xa+yb=(3x+4y,4x+3y)；又（ xa+yb）a(xa+yb) a3(3x+4y)+4(4

11、x+3y)=0；即 25x+24y；又 xa+yb=1xa+yb；（ x+4y）（ x+3y）；整理得 25x48xy+25y即 x(25x+24y)+24xy+25y；由有 24xy+25y；將變形代入可得：y=75；再代回得：753524753524yxyx和。點評：這里兩個條件互相制約，注意體現(xiàn)方程組思想。題型 4：向量垂直、平行的判定例 7已知向量)3,2(a，)6,(xb，且ba /，則x。解析：ba/，1221yxyx，x362，4x。例 8已知4,3a，1,2b，,mab2nab，按下列條件求實數(shù)的值。 （1）mn； （2）/mn；(3) mn。解析：4,32,mab27,8na

12、b（1）mn082374952；（2）/mn07238421；(3) mn08845872342222251122。點評：此例展示了向量在坐標(biāo)形式下的平行、垂直、模的基本運算。題型 5：平面向量在代數(shù)中的應(yīng)用例 9已知abcdacbd2222111，求證： |。分析：abcd222211，可以看作向量)()(dcybax，的模的平方，而acbd則是x、y的數(shù)量積，從而運用數(shù)量積的性質(zhì)證出該不等式。證明：設(shè))()(dcybax，則2222|dcybaxbdacyx，。1|2222dcbabdacyxyx，點評：在向量這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，我們接觸了不少含不等式結(jié)構(gòu)的式子，如| | | | |

13、| | | | | | |ababababa ba ba b，；等。例 10已知abcossincossin，其中0。（1）求證：ab與ab互相垂直；（2）若k ab與k ab（k0）的長度相等，求。解析： （ 1）因為()()ababaabbab22abab22222222110| | |c o ssincossin所以ab與ab互相垂直。（2）k abkk，coscossinsin，k abkkcoscossinsin，所以|cosk abkk221，|cosk abkk221，因為| |k abk ab，所以kkkk222121coscos，有22kkcoscos，因為k0，故cos0，

14、又因為00，所以2。點評： 平面向量與三角函數(shù)在“ 角” 之間存在著密切的聯(lián)系。如果在平面向量與三角函數(shù)的交匯處設(shè)計考題，其形式多樣，解法靈活，極富思維性和挑戰(zhàn)性。若根據(jù)所給的三角式的結(jié)構(gòu)及向量間的相互關(guān)系進行處理。可使解題過程得到簡化，從而提高解題的速度。題型 6：平面向量在幾何圖形中的應(yīng)用例 11 已知兩點)01()01(，nm， 且點 p （x， y） 使得mnmp，npnmpnpm，成公差小于零的等差數(shù)列。（1）求證)0(322xyx；（2）若點 p 的坐標(biāo)為)(00yx ，記pm與pn的夾角為，求tan。解析： （ 1）略解：122yxpnpm，由直接法得)0(322xyx（2）當(dāng)

15、p 不在 x 軸上時，|21tan21sin|210ymnpnpmpnpmspmn而2|21)1 ()1(20200000mnyxyxyxpmpn，所以|tan0y，當(dāng) p在 x 軸上時，0tan00，y，上式仍成立。y p m o n x 圖 1 點評：由正弦面積公式tan21tancos|21sin|21bababas得到了三角形面積與數(shù)量積之間的關(guān)系，由面積相等法建立等量關(guān)系。例 12用向量法證明：直徑所對的圓周角是直角。已知：如圖，ab 是 o 的直徑， 點 p 是 o 上任一點 （不與 a、b 重合） ，求證：apb90 。證明：聯(lián)結(jié)op，設(shè)向量bopaoa，則aob且baopoap

16、a，baopobpb0|a|b|abpbpa2222pbpa，即 apb 90 。點評： 平面向量是一個解決數(shù)學(xué)問題的很好工具，它具有良好的運算和清晰的幾何意義。在數(shù)學(xué)的各個分支和相關(guān)學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。題型 7：平面向量在物理中的應(yīng)用例 13 如圖所示， 正六邊形pabcde 的邊長為b，有五個力pdpcpbpa、pe作用于同一點p，求五個力的合力。解析：所求五個力的合力為pepdpcpbpa，如圖 3 所示，以pa、pe 為邊作平行四邊形paoe，則pepapo，由正六邊形的性質(zhì)可知b|pa|po|，且o點在 pc 上，以 pb、pd 為邊作平行四邊形pbfd，則pdpbpf，由正六邊形

17、的性質(zhì)可知b3|pf|，且 f 點在 pc 的延長線上。由正六邊形的性質(zhì)還可求得b2|pc|故由向量的加法可知所求五個力的合力的大小為b6b3b2b，方向與pc的方向相同。五思維總結(jié)1兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別（1）兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cos 的符號所決定；（2） 兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成ab； 今后要學(xué)到兩個向量的外積ab， 而a b是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴(yán)格區(qū)分.符號 “ ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用 “”代替；（3）在實數(shù)中，若a 0，且 a b=0，則 b=0；但是在數(shù)量積中，若a0，且a b=0，不能推出b=0。因為

18、其中cos 有可能為0；（ 4） 已 知 實 數(shù)a、 b、 c(b 0)， 則ab=bc a=c 。 但 是ab= b cca；如右圖：a b= |a|b|cos = |b|oa|，bc = |b|c|cos = |b|oa|a b=b c， 但ac；(5)在實數(shù)中， 有(a b)c= a(b c)，但是 (a b)ca(b c)，顯然， 這是因為左端是與 c 共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與 c 不共線。2平面向量數(shù)量積的運算律特別注意：（1）結(jié)合律不成立：ab ca bc；（2）消去律不成立a ba c不能得到bc；（3）a b=0 不能得到a=0或b=0。3向量知識，向量觀點在數(shù)學(xué).物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，而它具有代數(shù)形式和幾何形式的“ 雙重身份 ” 能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點，所以高考中應(yīng)引起足夠的重視. 數(shù)量積的