數(shù)位訊號(hào)處理架構(gòu)設(shè)計(jì)期末報(bào)告

1、.數(shù) 位 訊 號(hào) 處 理 架 構(gòu) 設(shè) 計(jì) 期 末 報(bào) 告壹、 概論DSP 的產(chǎn)生是起於類比信號(hào)處理系統(tǒng)的工程師，希望在建造昂貴的系統(tǒng)硬體前，先模擬它們性能。DSP 必須仰賴高速電腦和大多數(shù)的數(shù)學(xué)演算法則。自這些演算法則被確立後，設(shè)計(jì)者開(kāi)始找尋可以讓電腦更有效率的電腦結(jié)構(gòu)。隨著數(shù)位信號(hào)處理的快速發(fā)展，越來(lái)越多的信號(hào)處理用全數(shù)位化的方式來(lái)進(jìn)行，即以數(shù)位方式來(lái)表示、儲(chǔ)存、運(yùn)算各種信號(hào)及信號(hào)處理過(guò)程中所涉及的各項(xiàng)參數(shù)。但在數(shù)位的運(yùn)算上，與加法和減法比起來(lái)，乘法不論捋行硬體或軟體的方式都是一個(gè)複雜的運(yùn)算，乘法器的硬體複雜度遠(yuǎn)比加法器或delay、shift register等為高，所需的運(yùn)算時(shí)間也較長(zhǎng)，

2、因此在做各種數(shù)位信號(hào)處理架構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，我們都希望能儘量避免乘法運(yùn)算。利用數(shù)位資料二進(jìn)位的特性，我們可以用shift register把一個(gè)數(shù)左/右移動(dòng)一位，達(dá)到把它乘/除以2的效果。因此如果我們把一個(gè)filter的impulse response表示成2的次方項(xiàng)的和，這個(gè)filter在實(shí)作上就只需要使用加法器和shift register以移動(dòng)input x(n)達(dá)成乘或除以2的次方的效果，頂多只需要一個(gè)乘法器來(lái)把它的impulse response正規(guī)化成我們可以表示的範(fàn)圍即可，跟直接implement時(shí)impulse response的每一項(xiàng)係數(shù)都需要一個(gè)乘法器相比，大大的降低了硬體的複雜度

3、。本篇報(bào)告的主題是Signed Power-of-Two Term Allocation Scheme for the Design of Digital Filters。眾所皆知的，如果將數(shù)位濾波器的每一個(gè)係數(shù)值用signed power-of-two (SPT) 來(lái)組成，那實(shí)現(xiàn)這個(gè)數(shù)位濾波器將不需要乘法器。過(guò)去幾年，大部份所提出設(shè)計(jì)數(shù)位濾波器的方法，皆是用相同數(shù)目的二的次方項(xiàng)( SPT terms )來(lái)表示係數(shù)。但是在很多的應(yīng)用上，並不是一定要用相同數(shù)目的二的次方項(xiàng)來(lái)表示係數(shù)，這篇Paper提出了一個(gè)對(duì)每一個(gè)係數(shù)分派二的次方項(xiàng)的新方法，它可以最小化整個(gè)數(shù)位濾位器 二的次方項(xiàng)( SPT te

4、rms )的總數(shù)，也就是說(shuō)，當(dāng)保持整個(gè)二的次方項(xiàng)( SPT terms )的數(shù)目個(gè)定，我們可以用不同數(shù)目的二的次方項(xiàng)( SPT terms ) 來(lái)表示係數(shù)值，進(jìn)而最小化整個(gè)數(shù)位濾位器二的次方項(xiàng)( SPT terms )的總數(shù)。貳、系統(tǒng)架構(gòu)圖用此種方法所實(shí)現(xiàn)的FIR filter，其組織架構(gòu)大致如下:（L+1為filter length，N=2 個(gè)SPT terms）：Shift register ( 0 1 ) x(n)runningsummer normalizeShift register ( 0 2 ) delayShift register ( 1 1 )x(n-1)Shift reg

5、ister ( 1 2 )delay y(n)delayShift register ( L 1 )x(n-L)Shift register ( L 2 ) 即，我們用2的次方項(xiàng)的和來(lái)組成impulse response ，將它表示成的形式，其中，而。以上參數(shù)的意義為，我們最多用N個(gè)2的次方項(xiàng)來(lái)組成一個(gè)impulse response的係數(shù)（上頁(yè)圖中所畫(huà)的N=2，impulse response的每一項(xiàng)都是由兩個(gè)2的次方項(xiàng)相加組成），而我們可以用的組成元件就只限於共M種。我們?cè)O(shè)計(jì)的目標(biāo)是，找到最好的和的組合，和最適當(dāng)?shù)膎ormalize factor，使得我們用數(shù)位的方式所組成的filter

6、response，和原來(lái)的h(n)最相近。以下將分別介紹2的次方項(xiàng)和這個(gè)數(shù)列的數(shù)學(xué)特性、以及如何找到最佳的組合方式。參、2的次方項(xiàng)和的數(shù)學(xué)特性以下我們介紹的數(shù)學(xué)特性，其中，N為我們用來(lái)組成一個(gè)數(shù)所用的最多2的次方項(xiàng)( SPT terms )數(shù)，為我們所用的2的次方項(xiàng)中最小者?！咎匦砸弧?的次方項(xiàng)和在數(shù)列上不是均勻分布，數(shù)值越大，其分布的空隙越大。這一點(diǎn)是很直觀的，因?yàn)樵陧?xiàng)裡，n值越大，相鄰的兩項(xiàng)（和）差距就越遠(yuǎn)。所以幾個(gè)項(xiàng)的和，在數(shù)值比較大的部分，會(huì)呈現(xiàn)兩個(gè)可以被表示的數(shù)之間跳了一大步，而在這一大步中的所有的數(shù)，我們完全無(wú)法表示它們的情形。有趣的是，如果我們用的項(xiàng)數(shù)不變（N不變），即使我們把能

7、夠表示的resolution不斷加大（M），這個(gè)情形並不會(huì)改善，唯一可能改善這個(gè)情形的方法，是採(cǎi)用更大的N值（用更多2的次方項(xiàng)）。在下圖中做了N=2時(shí)（最多用兩項(xiàng)2的次方和），用不同M值所能表示的數(shù)，圖中的橫軸為可表示的數(shù)，縱軸為M值，比較不同的M值之下兩個(gè)2的次方項(xiàng)和，我們發(fā)現(xiàn)在接近0的部分，M值越大，所能表示的數(shù)就越密，但是在0.75附近卻明顯有一個(gè)”溝”，而且M值的增加並沒(méi)有明顯改善這個(gè)”溝”。接下來(lái)我們比較不同N值所造成的效果，下圖中我們?nèi)=6，對(duì)N=2和3做圖。在上圖中，我們發(fā)現(xiàn)了相當(dāng)奇妙的效果，在M=6的時(shí)候，我們能使用的組成元件種類其實(shí)不多，只有6種（）但是當(dāng)我們使用其中的三項(xiàng)

8、（N=3）來(lái)組成一個(gè)數(shù)時(shí)，似乎就可以在1-1之間得到一個(gè)相當(dāng)均勻的分佈，原先在N=2時(shí)觀察到的在0.75附近的 ”溝”，縮小到幾乎看不見(jiàn)。所以由此可知，增加使用的項(xiàng)數(shù)N對(duì)增加我們用2的次方項(xiàng)所能組成的數(shù)的resolution (M)，有非常好的效果。因?yàn)楫?dāng)N=2時(shí)，我們是從M個(gè)成分中取2項(xiàng)，再考慮正負(fù)號(hào)或只用1項(xiàng)（另一項(xiàng)係數(shù)為0時(shí)）的情形，總共可組成個(gè)數(shù)值；而當(dāng)N=3時(shí)，我們是從M個(gè)成分中取3項(xiàng)，或2項(xiàng)，或1項(xiàng)，總共可組成個(gè)數(shù)值，增加了相當(dāng)多的數(shù)值?！咎匦远咳绻覀兿胍米钌俚捻?xiàng)數(shù)來(lái)表示一個(gè)數(shù)值，那在這個(gè)最簡(jiǎn)單的表示法中，相鄰的2的次方項(xiàng)（例如和）的係數(shù)至少要有一個(gè)為0，也就是說(shuō)不可能有連續(xù)

9、的不為0的係數(shù)。 0 1 1 1 0 -1 1 -1 0 1這一點(diǎn)可以用數(shù)學(xué)式子說(shuō)明：1. 考慮相鄰兩項(xiàng)係數(shù)為同號(hào)的情形，則它們可化簡(jiǎn)如下： 2. 考慮相鄰兩項(xiàng)係數(shù)為異號(hào)的情形，則它們可化簡(jiǎn)如下： 因此，由上面式子可知，並非所的數(shù)值都是unique的，我們?cè)谡襥mpulse response的最佳表示法時(shí)，可以善用這個(gè)特性來(lái)減少需要尋找的組合數(shù)。【特性三】由於特性二所描述的化簡(jiǎn)方式存在，因此我們使用M個(gè)2的次方項(xiàng)成分（由）中的N項(xiàng)來(lái)組成其它的數(shù)字時(shí)，所能表示的數(shù)值其總數(shù)並非我們?cè)谔匦砸唤Y(jié)尾時(shí)所描述的組合數(shù)，而是如下式：正好使用N項(xiàng)（所有係數(shù)皆不為0）時(shí)，所有可能的組合數(shù)為： 在paper上是使

10、用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明此式。肆、用2的次方項(xiàng)和來(lái)組成filter impulse response的方法首先我們可以觀察到，在上一節(jié)的特性一的圖中，2的次方項(xiàng)和所能表示的數(shù)在1-1之間，因此我們應(yīng)該把filter的impulse response正規(guī)化至1-1之間，這便是在第貳部分的圖中，唯一的一個(gè)乘法器的由來(lái)，既然我們將impulse response除以一個(gè)normalize factor了，送進(jìn)來(lái)的信號(hào)就應(yīng)該先乘上這個(gè)normalize factor，才能讓輸出的信號(hào)就是我們真正要的值。至於normalize factor應(yīng)該要取多少呢？一個(gè)簡(jiǎn)單的想法是將整個(gè)impulse response

11、除以其中絕對(duì)值最大的那一項(xiàng)，把它normalize成1或-1，但是這裡還有一些改進(jìn)的空間，我們可以找到一個(gè)最適當(dāng)?shù)膎ormalize factor，詳述如下：因?yàn)樵诮咏?的地方，其實(shí)2的次方項(xiàng)和所能表示的數(shù)值是較不密集的，且如果我們使用的組合成分中不包含，我們甚至沒(méi)有辦法組成1這個(gè)數(shù)字，因此把impulse response中最大的一項(xiàng)normalize成1，可能不是一個(gè)好方法。因?yàn)?的次方項(xiàng)和所能表示的數(shù)值不是uniformly distributed，我們應(yīng)該嘗試許多不同的normalize factor，最後選用會(huì)產(chǎn)生最小誤差的那一個(gè)，通常不同的impulse response，能產(chǎn)生最

12、小誤差的normalize factor也不相同。至於我們嘗試的範(fàn)圍應(yīng)是多大呢？在paper上是選用normalize過(guò)後，impulse response的最大項(xiàng)絕對(duì)值在0.51之間為範(fàn)圍，且我們可以把normalize過(guò)的impulse response和它的2的次方項(xiàng)和近似都乘以2，得到另一個(gè)一樣的結(jié)果。至於在這個(gè)範(fàn)圍內(nèi)，我們搜尋的step應(yīng)該定得多細(xì)，就要看搜尋時(shí)間和結(jié)果的最佳化兩者之間的tradeoff了。至於我們應(yīng)該使用怎樣的N和M值呢？根據(jù)paper上所述，M值通常決定在815之間，而N值對(duì)近似結(jié)果影響較大，因此在指定時(shí)的考慮也比較多，分析如下：1. 因?yàn)?的次方項(xiàng)和有數(shù)值越大，

13、空隙就越大的特性，且這個(gè)特性必需要靠N的增加才能消除，因此在normalize過(guò)後h(n)比較大的項(xiàng)，我們應(yīng)該用比較多的項(xiàng)( N )來(lái)近似它，以減小quantization error。在Paper上所提供的策略是，當(dāng)normalized h(n)0.5時(shí)，我們就多用一項(xiàng)來(lái)近似這個(gè)值。而做如此的改變所增加的總項(xiàng)數(shù)其實(shí)不會(huì)很多，因?yàn)檎鎸?shí)存在的filter impulse response通常是sin(x)/x的形式，normalize過(guò)後，h(n)0.5的其實(shí)只有少數(shù)幾項(xiàng)。2. 一般來(lái)說(shuō)，整個(gè)近似表示法使用的N值加1會(huì)造成filter在實(shí)作時(shí)每一路都多一個(gè)shift register，是蠻大的成

14、本，因此要慎重考慮。伍、結(jié)綸：如果將數(shù)位濾波器的每一個(gè)係數(shù)值用signed power-of-two (SPT) 來(lái)組成，那實(shí)現(xiàn)這個(gè)數(shù)位濾波器將不需要乘法器。大部份設(shè)計(jì)數(shù)位濾波器的方法，皆是用相同數(shù)目的 二的次方項(xiàng)( SPT terms )來(lái)表示係數(shù)。這篇Paper提出了一個(gè)對(duì)每一個(gè)係數(shù)分派二的次方項(xiàng)的新方法，它可以最小化整個(gè)數(shù)位濾位器 二的次方項(xiàng)(SPT terms)的總數(shù)，也就是說(shuō)，當(dāng)保持整個(gè) 二的次方項(xiàng)(SPT terms) 的數(shù)目個(gè)定，我們可以用不同數(shù)目的 二的次方項(xiàng)(SPT terms) 來(lái)表示係數(shù)值，進(jìn)而最小化整個(gè)數(shù)位濾位器 二的次方項(xiàng)(SPT terms)的總數(shù)。六、參考文獻(xiàn)：1.”Signed Power-of-Two Term Allocation Scheme for the Design of Digital Filters” , Yong Ching Lim , Rui Yang , Dongning Li , Jianjian Song , IEEE transaction on circuit