人教A版2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：概率初步_20210103224740

1、概率初步知識講解一、隨機(jī)事件的概率1.概率的統(tǒng)計定義定義：在次重復(fù)進(jìn)行的試驗中，事件發(fā)生的頻率，當(dāng)很大時，總是在某個常數(shù)附近擺動，隨著的增加，擺動幅度越來越小，這時就把這個常數(shù)叫做事件的概率，記為從概率的定義中，我們可以看出隨機(jī)事件的概率滿足：當(dāng)是必然事件時，當(dāng)是不可能事件時，2.互斥事件與事件的并互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件，或稱互不相容事件事件的并：由事件和事件至少有一個發(fā)生（即發(fā)生，或發(fā)生，或都發(fā)生）所構(gòu)成的事件，稱為事件與的并（或和），記作若，則若發(fā)生，則、中至少有一個發(fā)生，事件是由事件或所包含的基本事件組成的集合3.互斥事件的概率加法公式：若、是互斥事件，有若事件兩

2、兩互斥（彼此互斥），有事件“”發(fā)生是指事件中至少有一個發(fā)生4.互為對立事件定義：不能同時發(fā)生且必有一個發(fā)生的兩個事件叫做互為對立事件事件的對立事件記作有,二、古典概型與幾何概型1.基本事件的概念：一次試驗中所有可能的結(jié)果都是隨機(jī)事件，這樣的隨機(jī)事件稱為基本事件2.基本事件的特點：1）任何兩個基本事件是互斥的2）任何事件都可以表示成基本事件的和3.古典概型定義：如果一次實驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個，且每個事件出現(xiàn)的可能性相等，則具有這兩個特點的概率模型稱為古典概型特點：有限性；等可能性概率：，為隨機(jī)事件中包含的基本事件的個數(shù)，為實驗的所有基本事件的個數(shù)注意：一般地，對于古典概型，如果實

3、驗的個基本事件，由于基本事件是兩兩互斥的，所以又，又因為每個基本事件發(fā)生的可能性相等，所以，4.幾何概型定義：每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積、體積或角度）成比例的概率模型特點：有限性；等可能性概率：，為構(gòu)成事件的區(qū)域長度（面積或體積）；為實驗全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度（面積、體積或角度）經(jīng)典例題一選擇題（共12小題）1圓o是等邊abc的內(nèi)切圓，在abc內(nèi)任取一點p，則點p落在圓o內(nèi)的概率是（）a36b39c312d336【解答】解：設(shè)等邊abc的邊長為a，則該三角形的面積為：sabc=12a2sin3=34a2，其內(nèi)切圓半徑為r=13asin3=36a，內(nèi)切圓面積為：s內(nèi)切圓=r

4、2=12a2；所以點落在圓內(nèi)的概率為：p=12a234a2=39故選：b2在區(qū)間2，2上任取一個數(shù)a，則函數(shù)f（x）=|x24x+3a|+a在x0，4上的最大值是3的概率為（）a34b14c45d25【解答】解：在區(qū)間2，2上任取一個數(shù)a，基本事件空間對應(yīng)區(qū)間的長度是4，由y=x24x+3=（x2）21，x0，4，得y1，3，1ax24x+3a3a，|x24x+3a|的最大值是|3a|或|1a|，即最大值是|3a|或|1+a|；令|3a|1+a|，得（3a）2（1+a）2，解得a1；又a2，2，2a1；當(dāng)a2，1時，|3a|=3a，f（x）=|x24x+3a|+a在x0，4上的最大值是3a+a

5、=3，滿足題意；當(dāng)a（1，2時，|1+a|=a+1，函數(shù)f（x）=|x24x+3a|+a在x0，4上的最大值是2a+1，由1a2，得32a+15，f（x）的最大值不是3；則所求的概率為p=1-(-2)2-(-2)=34故選：a3如圖，在邊長為2的正方形abcd中，m是ab的中點，過c，m，d三點的拋物線與cd圍成陰影部分，則向正方形內(nèi)撒一粒黃豆落在陰影部分的概率是（）a16b13c12d23【解答】解：由題意，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則d（2，1），設(shè)拋物線方程為y2=2px，代入d，可得p=14，y=12x，s=20212xdx=1223x32|02=83，向正方形內(nèi)撒一粒黃豆落在陰影部分的概

6、率是834=23，故選：d4在區(qū)間0，2上任取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)之和大于3的概率是（）a18b14c78d34【解答】解：解：如圖，在區(qū)間0，2上隨機(jī)取兩個數(shù)為x，y，則不等式組&0x2&0y2，表示的平面區(qū)域為邊長是2的正方形oace區(qū)域，面積為4又x+y3，所以這兩個數(shù)之和大于3的概率是：p=s陰s正=12×1×12×2=18故選：a5如圖，隨機(jī)向大圓內(nèi)投一粒豆子，則豆子落在陰影部分的概率為（）a13b4-c+22d-22【解答】解：設(shè)大圓的半徑為2，則小圓的半徑為1，兩小圓的圓心距為2，則其中每一個小弓形的面積為14×12-12&#

7、215;1×1=4-12，大圓面積為4，陰影部分的面積為44×+8×(4-12)=24隨機(jī)向大圓內(nèi)投一粒豆子，則豆子落在陰影部分的概率為2-44=-22故選：d6某商場在2018年5月1日舉行特大優(yōu)惠活動，凡購買商品達(dá)到98元者，可獲得一次抽獎機(jī)會，抽獎工具是一個圓面轉(zhuǎn)盤，被分為4個扇形塊，其面積依次成公比為2的等比數(shù)列，指針箭頭落在面積最小區(qū)域時，就中一等獎，則一位消費者購買商品達(dá)到98元能抽中一等獎的概率是（）a115b215c131d231【解答】解：圓面轉(zhuǎn)盤，被分為4個扇形塊，其面積依次成公比為2的等比數(shù)列，則設(shè)圓的總面積為s，最小區(qū)域的面積為s1，則s1

8、+2s1+4s1+8s1=s，即15s1=s，則s1s=115，即一位消費者購買商品達(dá)到98元能抽中一等獎的概率是115，故選：a7小李從網(wǎng)上購買了一件商品，快遞員計劃在下午5：006：00之間送貨上門，已知小李下班到家的時間為下午5：306：00快遞員到小李家時，如果小李未到家，則快遞員會電話聯(lián)系小李若小李能在10分鐘之內(nèi)到家，則快遞員等小李回來；否則，就將商品存放在快遞柜中則小李需要去快遞柜收取商品的概率為（）a19b89c512d712【解答】解：假設(shè)快遞員送達(dá)的時刻為x，小李到家的時刻為y，則有序?qū)崝?shù)對（x，y）滿足的區(qū)域為（x，y）|&5x6&5.5y6，小李需要去快

9、遞柜收取商品，即序?qū)崝?shù)對（x，y）滿足的區(qū)域為（x，y）|&5x6&5.5y6&x+16y，如圖所示；小李需要去快遞柜收取商品的概率為p=s陰影s矩形=12×(13+56)×1212×1=712故選：d8把一枚骰子連續(xù)擲兩次，已知在第一次拋出的是奇數(shù)點的情況下，第二次拋出的也是奇數(shù)點的概率為（）a16b14c13d12【解答】解：設(shè)a表示“第一次拋出的是奇數(shù)點”，b表示“第二次拋出的是奇數(shù)點”，p（a）=36=12，p（ab）=12×12=14，p（b|a）=p(ab)p(a)=1412=12在第一次拋出的是奇數(shù)點的情況下，第二次

10、拋出的也是奇數(shù)點的概率為12故選：d9在區(qū)間0，5內(nèi)任取一個實數(shù)，則此數(shù)大于3的概率為（）a15b25c35d45【解答】解：要使此數(shù)大于3，只要在區(qū)間（3，5上取即可，由幾何概型的個數(shù)得到此數(shù)大于3的概率為為5-35=25；故選：b10a是半徑為r的圓周上一個定點，在圓周上等可能地任取一點b，連接ab，則弦ab的長度小于3r的概率是（）a33b23c13d23【解答】解：如圖，設(shè)圓o的半徑為r，當(dāng)aob=120°時，ab=3r，同理當(dāng)aoc=120°時，ac=3r在圓周上等可能地任取一點與點a連接，則所得弦長小于3rr的概率為240°360°=23，故

11、選：d11在區(qū)間4，1上隨機(jī)地取一個實數(shù)x，若x滿足|x|a的概率為45，則實數(shù)a的值為（）a12b1c2d3【解答】解：4，1上隨機(jī)地取一個實數(shù)x，區(qū)間長度為5，而在此范圍內(nèi)滿足|x|a的區(qū)間長度為1+a，概率為45，即1+a5=45，解得a=3；故選：d12如圖，半徑為5cm的圓形紙板內(nèi)有一個相同圓心的半徑為1cm的小圓，現(xiàn)將半徑為1cm的一枚硬幣拋到此紙板上，使整塊硬幣完全隨機(jī)落在紙板內(nèi)，則硬幣與小圓無公共點的概率為（）a12b2125c14d34【解答】解：記“硬幣落下后與小圓無公共點”為事件a，硬幣要落在紙板內(nèi)，硬幣圓心距離紙板圓心的距離應(yīng)該小于4，其面積為16，無公共點也就意味著，

12、硬幣的圓心與紙板的圓心相距超過2cm，以紙板的圓心為圓心，作一個半徑2cm的圓，硬幣的圓心在此圓外面，則硬幣與半徑為1cm的小圓無公共交點所以有公共點的概率為416，無公共點的概率為p（a）=1416=34，故選：d二填空題（共2小題）13一只蚊子在一個正方體容器中隨機(jī)飛行，當(dāng)蚊子在該正方體的內(nèi)切球中飛行時屬于安全飛行，則這只蚊子安全飛行的概率是6【解答】解：如圖，設(shè)正方體的棱長為2a，則其內(nèi)切球的半徑為a，則v正方體=8a3，v球=43a3，蚊子“安全飛行”的概率為p=43a38a3=6，故答案為：614已知函數(shù)f（x）=|1x2|，在0，1上任取一數(shù)a，在1，2上任取一數(shù)b，則滿足f（a）

13、f（b）的概率為6-4【解答】解：由題意可得f（a）f（b）即|1a2|1b2|，平方化簡可得（a2b2）（a2+b22）0即&ab&a2+b22，或&ab&a2+b22，對應(yīng)的區(qū)域如圖陰影部分而a0，1，b1，2，圖形aeb的面積s=18(2)212×1×1=-24，正方形abcd的面積為1×1=1，故可得所求概率為p=1-24=6-4；故答案為：6-4三解答題（共6小題）15同時擲兩個骰子，計算：（1）一共有多少種不同的結(jié)果？（2）其中向上的點數(shù)之和是5的結(jié)果有多少種？（3）向上的點數(shù)之和是5的概率是多少？【解答】解：（1）共有

14、36種情況 1234561（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）（2）滿足兩個骰子點數(shù)和是5的（記為事件a）的結(jié)果有4個即：（1，4），（2，3），（4，1），（3，2），（3）故向上的點數(shù)之和是5的概率p=436=1916袋中裝有9個形狀大小相同但顏色不同的小球，其

15、中紅色、藍(lán)色、黃色球各3個，現(xiàn)從中隨機(jī)地連取3次球，每次取1個，記事件a為“3個球都是紅球”，事件b為“3 個球顏色不全相同”（）若每次取后不放回，分別求出事件a和事件b的概率（用數(shù)字作答）；（）若每次取后放回，分別求出事件a和事件b的概率（用數(shù)字作答）【解答】解：（）袋中裝有9個形狀大小相同但顏色不同的小球，其中紅色、藍(lán)色、黃色球各3個，現(xiàn)從中隨機(jī)地連取3次球，每次取1個，記事件a為“3個球都是紅球”，事件b為“3 個球顏色不全相同”每次取后不放回，基本事件總數(shù)n=9×8×7=504，事件a包含的基本事件個數(shù)ma=3×2×1=6，事件b的對立事件是“3

16、個球顏色全相同”，事件a的概率p（a）=man=6504=184事件b的概率p（b）=16+6+6504=2728（）每次取后放回，基本事件總數(shù)n=9×9×9=729，事件a包含的基本事件個數(shù)ma=3×3×3=27，事件b的對立事件是“3個球顏色全相同”，事件a的概率p（a）=ma'n'=27729=127事件b的概率p（b）=127+27+27729=8917某射擊隊有8名隊員，其中男隊員5名，女隊員3名，從中隨機(jī)選3名隊員參加射擊表演活動（1）求選出的3名隊員中有一名女隊員的概率；（2）求選出的3名隊員中女隊員人數(shù)比男隊員人數(shù)多的概率

17、【解答】解：（1）某射擊隊有8名隊員，其中男隊員5名，女隊員3名，從中隨機(jī)選3名隊員參加射擊表演活動基本事件總數(shù)n=c83=56，選出的3名隊員中有一名隊員包含的基本事件個數(shù)m=c52c31=30，選出的3名隊員中有一名隊員的概率p=3056=1528（2）選出的3名隊員中女隊員人數(shù)比男隊員人數(shù)多包含選出3名女隊員和選出2名女隊員1名男隊員，選出的3名隊員中女隊員人數(shù)比男隊員人數(shù)多的概率：p=c33+c32c51c83=2718四名選手 a、b、c、d 參加射擊、拋球、走獨木橋三項比賽，每個選手在各項比賽中獲得合格、不合格機(jī)會相等，比賽結(jié)束，評委們會根據(jù)選手表現(xiàn)給每位選手評定比賽成績，根據(jù)比賽

18、成績，對前兩名進(jìn)行獎勵（1）選手 d 至少獲得兩個合格的概率；（2）選手 c、d 只有一人得到獎勵的概率【解答】解：（1）四名選手 a、b、c、d 參加射擊、拋球、走獨木橋三項比賽，每個選手在各項比賽中獲得合格、不合格機(jī)會相等，選手 d 至少獲得兩個合格的概率：p=c32(12)2(12)+c33(12)3=12（2）所有獲得獎勵的可能結(jié)果有：（ab），（ac），（ad），（bc），（bd），（cd），共6種，選手c、d 只有一人得到獎勵包含的情況有：（ac），（ad），（bc），（bd），有4種，選手 c、d 只有一人得到獎勵的概率p=46=2319如圖，在墻上掛著一塊邊長為16cm的正方形木板，上面畫了小、中、大三個同心圓，半徑分別為2cm，4cm，6cm，某人站在3m之外向此板投鏢，設(shè)投鏢擊中線上或沒有投中木板時都不算（可重投），問：（）投中大圓內(nèi)的概率是多少？（）投中小圓與中圓形成的圓環(huán)的概率是多少？（）投中大圓之外的概率是多