拉式變換分析材料動(dòng)態(tài)本構(gòu)

1、目的得到動(dòng)載荷下材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線。意義借助反算出的應(yīng)力應(yīng)變曲線，分析材料在動(dòng)載荷下的力學(xué)性能。實(shí)驗(yàn)手段介紹真實(shí)材料的動(dòng)態(tài)本構(gòu)關(guān)系是相當(dāng)復(fù)雜的，國(guó)外從六十年代起便開展此項(xiàng)課題的研究。實(shí)驗(yàn)研究的手段大體上分為兩類:一類是利用壓電應(yīng)力計(jì)測(cè)量待測(cè)材料和壓電材料界面上的應(yīng)力波形，利用激光速度干涉儀、斜電阻絲、高速條紋相機(jī)、電容器等手段測(cè)量待測(cè)材料自由表面的速度波形。這類測(cè)量統(tǒng)稱為材料外部的測(cè)量。由于界面、自由表面的運(yùn)動(dòng)過程是應(yīng)力波在界面、自由表面上反射的結(jié)果,因此在分析測(cè)試結(jié)果時(shí),要么是作一些近似假定,或者,更一般地是先假定一個(gè)本構(gòu)關(guān)系模型,然后通過運(yùn)動(dòng)方程組的數(shù)值解結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比,不斷修正本構(gòu)

2、關(guān)系的模型,直至與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。這樣作,不僅是工作量龐大,更重要的是,所得的本構(gòu)關(guān)系往往不是唯一確定的。第二類實(shí)驗(yàn)研究手段是在材料內(nèi)部埋沒應(yīng)力計(jì)、粒子速度計(jì)。測(cè)量材料內(nèi)部不同位置上的拉格朗日應(yīng)力波形、粒子速度波形。這類測(cè)量統(tǒng)稱為材料內(nèi)部的測(cè)量。拉格朗日反分析原理一維平面波的拉格朗日坐標(biāo)守恒方程：質(zhì)量守恒： (1)動(dòng)量守恒： (2)式中： 初始密度，比容， 質(zhì)點(diǎn)速度， 拉格朗日坐標(biāo)， 時(shí)間坐標(biāo)。關(guān)于式(1)的推導(dǎo)：已知體應(yīng)變與位移矢量的關(guān)系為： (3)由式(3)有： (4)體應(yīng)變與體積和密度的關(guān)系： (5)聯(lián)合(4)、(5)得： (6)在一維應(yīng)變情況下式(6)便簡(jiǎn)化為式(1)。另外由于在一維應(yīng)變

3、情況下體應(yīng)變等于一維應(yīng)變： (7)將式(7)代入式(4)中，并考慮一維應(yīng)變，便得： (8)式(1)和(2)或(1)和(9)便是拉式分析的基本方程。路徑線法的基本思想是以實(shí)驗(yàn)測(cè)得的在不同 Lagrange 坐標(biāo)的某種力學(xué)量波形(量計(jì)線)的特征點(diǎn)(起點(diǎn)、終點(diǎn)和頂點(diǎn)等)為關(guān)鍵點(diǎn)，在每個(gè)實(shí)測(cè)的波形上選取 N 個(gè)點(diǎn)，人為構(gòu)造連接各波形的曲線，即構(gòu)筑成 N 條路徑線，當(dāng) N 足夠大時(shí)，這些足夠密的路徑線和量計(jì)線就構(gòu)成一個(gè)逼近實(shí)際流場(chǎng)曲面的網(wǎng)狀框架。某力學(xué)量(應(yīng)力或質(zhì)點(diǎn)速度)與路徑線有關(guān)系： (9)在路徑線h(t)取定后，式(9)右端均為已知,從而提供了求偏導(dǎo)數(shù)的方法。借助式(9)，基本方程(1)和(2)和

4、(8)可改寫為： (10) (11) (12)1，測(cè)量應(yīng)力波形反算應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系在路徑線足夠密的情況下，以路徑線和量計(jì)線為差分網(wǎng)格，寫成差分形式的守恒方程。在已知應(yīng)力波形時(shí)，可以很容易的由 (11)求出，再代入(12)求出。因?yàn)橥ǔ?shí)驗(yàn)條件下有初始條件：t=0時(shí)，應(yīng)變和速度等于0。但是在應(yīng)力實(shí)際測(cè)量中通常只能使用少數(shù)Lgarnage量計(jì)(2-4個(gè))，故空間偏導(dǎo)數(shù)的精度是欠佳的。另一方面看，量計(jì)本身對(duì)力學(xué)量的測(cè)量精度和可靠性也是一個(gè)重要因素。質(zhì)點(diǎn)速度量計(jì)基于物理學(xué)中基本的Faraday電磁感應(yīng)定律，它的測(cè)量記錄可信，能達(dá)到較高的精度。目前所用的壓力傳感器如錳銅、憶、PVDF等，帶有很大的經(jīng)驗(yàn)性，有

5、待深入研究，其記錄精度遠(yuǎn)不如質(zhì)點(diǎn)速度計(jì)。因此盡管從方法上看，應(yīng)力流場(chǎng)更完備，但從實(shí)際觀點(diǎn)看，似乎更傾向于用質(zhì)點(diǎn)速度的測(cè)量。2，測(cè)量速度波形反算應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系當(dāng)我們測(cè)定的是不同拉氏位置的質(zhì)點(diǎn)速度波形時(shí)，問題的難點(diǎn)在于需在邊界位置同時(shí)測(cè)得質(zhì)點(diǎn)速度和應(yīng)力波形。因?yàn)橛少|(zhì)點(diǎn)速度求應(yīng)力時(shí)，其中的積分是對(duì)空間位置的積分。這時(shí)積分需要有邊界條件，即在x=0位置的應(yīng)力波形和質(zhì)點(diǎn)速度波形需同時(shí)為已知。這樣,在這類反分析中由質(zhì)點(diǎn)速度求應(yīng)力時(shí)，要在邊界位置同時(shí)測(cè)得應(yīng)力波形。然而，在實(shí)際研究中要同時(shí)測(cè)得質(zhì)點(diǎn)速度以及應(yīng)力量是當(dāng)前的難點(diǎn)。解決手段：Seaman法即假定沿路徑線求3階全導(dǎo)數(shù)，從而得到一組包括2階導(dǎo)數(shù)在內(nèi)的封閉的

6、代數(shù)遞推方程組，保證沿質(zhì)點(diǎn)速度從計(jì)線逐步解出相應(yīng)的應(yīng)力波形。日前路徑線法和Seaman法已編制成程序并已獲得實(shí)際應(yīng)用，不過此方法存在嚴(yán)重不足,有時(shí)甚至給出背離物理規(guī)律的結(jié)果。沖量時(shí)間積分法反解法前文己經(jīng)提及,單純使用速度量計(jì)時(shí),不能確定流場(chǎng)應(yīng)力。不過對(duì)于一個(gè)實(shí)際流場(chǎng)，速度波形上每一點(diǎn)總是與一個(gè)未知的但客觀上唯一確定的應(yīng)力相對(duì)應(yīng)，問題在于如何求出該應(yīng)力值。為此不妨先假定沿質(zhì)點(diǎn)速度流場(chǎng)路徑線上未知應(yīng)力的函數(shù)形式，然后由差分形式的式(12)反解出相應(yīng)的應(yīng)力波形，這就是所謂的反解法。李孝蘭，曾用反解法處理過PMMA的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。(3個(gè)傳感器情況下)首先是選定一簇n條路徑線,在三個(gè)實(shí)測(cè)波形上分別取對(duì)應(yīng)的n

7、個(gè)測(cè)點(diǎn)，uj,k， k=1,2,3分別表示h1、h2、h3處的u(t)波形，j =1,2,n表示在所要分析的波形區(qū)段上所選擇的測(cè)點(diǎn)。通過拋物線擬合給出路徑線在(u,h)平面及(t,h)平面上的投影線。 (13)給出沿第j條路徑線并位于第k個(gè)傳感器線上的u、t對(duì)h的全導(dǎo)數(shù)： (14) (15)式中，Ak,Bk,Ck是通過擬合路徑曲線時(shí)計(jì)算的結(jié)果。把式(13)寫成數(shù)值積分格式： 將式(15)、(16)代入上式得： (16)由式(17)便能通過測(cè)點(diǎn)速度波形計(jì)算應(yīng)變波形。下面用粒子速度波形的反演法計(jì)算應(yīng)力波形。設(shè)想，如果在h1、h2、h3處分別側(cè)得的是波形,欲由這三個(gè)波形確定波形的方法是:與上面確定應(yīng)變波形的方法一樣,導(dǎo)得如下的方程： (17)實(shí)際上現(xiàn)在測(cè)得的是3個(gè)波形,方程(18)對(duì)k=1,2,3可分別寫成三個(gè)方程，這三個(gè)方程在j,1、j,2、j,3已知的情況下僅包含三個(gè)未知數(shù): j+1,1、j+1,2、j+1,3。經(jīng)化簡(jiǎn)，得到反演計(jì)算的方程組為： (18)式中，波形可由方程組式(19)計(jì)算得到。式(17)和式(19)在求應(yīng)變和應(yīng)力波形時(shí)，取1,k=1,k=0。柴華友等人重新討論了Lagrange方法并導(dǎo)得反解法求解公式。對(duì)于K個(gè)速度量計(jì)的實(shí)驗(yàn)波形，當(dāng)采用多項(xiàng)式模擬待求應(yīng)力的變化時(shí),可得第j，j十1條路徑線上應(yīng)力的矩陣形式的遞推方程組 分量