拉式變換分析材料動態(tài)本構(gòu)

1、目的得到動載荷下材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線。意義借助反算出的應(yīng)力應(yīng)變曲線，分析材料在動載荷下的力學(xué)性能。實驗手段介紹真實材料的動態(tài)本構(gòu)關(guān)系是相當(dāng)復(fù)雜的，國外從六十年代起便開展此項課題的研究。實驗研究的手段大體上分為兩類:一類是利用壓電應(yīng)力計測量待測材料和壓電材料界面上的應(yīng)力波形，利用激光速度干涉儀、斜電阻絲、高速條紋相機、電容器等手段測量待測材料自由表面的速度波形。這類測量統(tǒng)稱為材料外部的測量。由于界面、自由表面的運動過程是應(yīng)力波在界面、自由表面上反射的結(jié)果,因此在分析測試結(jié)果時,要么是作一些近似假定,或者,更一般地是先假定一個本構(gòu)關(guān)系模型,然后通過運動方程組的數(shù)值解結(jié)果與實驗結(jié)果的對比,不斷修正本構(gòu)

2、關(guān)系的模型,直至與實驗結(jié)果一致。這樣作,不僅是工作量龐大,更重要的是,所得的本構(gòu)關(guān)系往往不是唯一確定的。第二類實驗研究手段是在材料內(nèi)部埋沒應(yīng)力計、粒子速度計。測量材料內(nèi)部不同位置上的拉格朗日應(yīng)力波形、粒子速度波形。這類測量統(tǒng)稱為材料內(nèi)部的測量。拉格朗日反分析原理一維平面波的拉格朗日坐標(biāo)守恒方程：質(zhì)量守恒： (1)動量守恒： (2)式中： 初始密度，比容， 質(zhì)點速度， 拉格朗日坐標(biāo)， 時間坐標(biāo)。關(guān)于式(1)的推導(dǎo)：已知體應(yīng)變與位移矢量的關(guān)系為： (3)由式(3)有： (4)體應(yīng)變與體積和密度的關(guān)系： (5)聯(lián)合(4)、(5)得： (6)在一維應(yīng)變情況下式(6)便簡化為式(1)。另外由于在一維應(yīng)變

3、情況下體應(yīng)變等于一維應(yīng)變： (7)將式(7)代入式(4)中，并考慮一維應(yīng)變，便得： (8)式(1)和(2)或(1)和(9)便是拉式分析的基本方程。路徑線法的基本思想是以實驗測得的在不同 Lagrange 坐標(biāo)的某種力學(xué)量波形(量計線)的特征點(起點、終點和頂點等)為關(guān)鍵點，在每個實測的波形上選取 N 個點，人為構(gòu)造連接各波形的曲線，即構(gòu)筑成 N 條路徑線，當(dāng) N 足夠大時，這些足夠密的路徑線和量計線就構(gòu)成一個逼近實際流場曲面的網(wǎng)狀框架。某力學(xué)量(應(yīng)力或質(zhì)點速度)與路徑線有關(guān)系： (9)在路徑線h(t)取定后，式(9)右端均為已知,從而提供了求偏導(dǎo)數(shù)的方法。借助式(9)，基本方程(1)和(2)和

4、(8)可改寫為： (10) (11) (12)1，測量應(yīng)力波形反算應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系在路徑線足夠密的情況下，以路徑線和量計線為差分網(wǎng)格，寫成差分形式的守恒方程。在已知應(yīng)力波形時，可以很容易的由 (11)求出，再代入(12)求出。因為通常實驗條件下有初始條件：t=0時，應(yīng)變和速度等于0。但是在應(yīng)力實際測量中通常只能使用少數(shù)Lgarnage量計(2-4個)，故空間偏導(dǎo)數(shù)的精度是欠佳的。另一方面看，量計本身對力學(xué)量的測量精度和可靠性也是一個重要因素。質(zhì)點速度量計基于物理學(xué)中基本的Faraday電磁感應(yīng)定律，它的測量記錄可信，能達(dá)到較高的精度。目前所用的壓力傳感器如錳銅、憶、PVDF等，帶有很大的經(jīng)驗性，有

5、待深入研究，其記錄精度遠(yuǎn)不如質(zhì)點速度計。因此盡管從方法上看，應(yīng)力流場更完備，但從實際觀點看，似乎更傾向于用質(zhì)點速度的測量。2，測量速度波形反算應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系當(dāng)我們測定的是不同拉氏位置的質(zhì)點速度波形時，問題的難點在于需在邊界位置同時測得質(zhì)點速度和應(yīng)力波形。因為由質(zhì)點速度求應(yīng)力時，其中的積分是對空間位置的積分。這時積分需要有邊界條件，即在x=0位置的應(yīng)力波形和質(zhì)點速度波形需同時為已知。這樣,在這類反分析中由質(zhì)點速度求應(yīng)力時，要在邊界位置同時測得應(yīng)力波形。然而，在實際研究中要同時測得質(zhì)點速度以及應(yīng)力量是當(dāng)前的難點。解決手段：Seaman法即假定沿路徑線求3階全導(dǎo)數(shù)，從而得到一組包括2階導(dǎo)數(shù)在內(nèi)的封閉的

6、代數(shù)遞推方程組，保證沿質(zhì)點速度從計線逐步解出相應(yīng)的應(yīng)力波形。日前路徑線法和Seaman法已編制成程序并已獲得實際應(yīng)用，不過此方法存在嚴(yán)重不足,有時甚至給出背離物理規(guī)律的結(jié)果。沖量時間積分法反解法前文己經(jīng)提及,單純使用速度量計時,不能確定流場應(yīng)力。不過對于一個實際流場，速度波形上每一點總是與一個未知的但客觀上唯一確定的應(yīng)力相對應(yīng)，問題在于如何求出該應(yīng)力值。為此不妨先假定沿質(zhì)點速度流場路徑線上未知應(yīng)力的函數(shù)形式，然后由差分形式的式(12)反解出相應(yīng)的應(yīng)力波形，這就是所謂的反解法。李孝蘭，曾用反解法處理過PMMA的實驗結(jié)果。(3個傳感器情況下)首先是選定一簇n條路徑線,在三個實測波形上分別取對應(yīng)的n

7、個測點，uj,k， k=1,2,3分別表示h1、h2、h3處的u(t)波形，j =1,2,n表示在所要分析的波形區(qū)段上所選擇的測點。通過拋物線擬合給出路徑線在(u,h)平面及(t,h)平面上的投影線。 (13)給出沿第j條路徑線并位于第k個傳感器線上的u、t對h的全導(dǎo)數(shù)： (14) (15)式中，Ak,Bk,Ck是通過擬合路徑曲線時計算的結(jié)果。把式(13)寫成數(shù)值積分格式： 將式(15)、(16)代入上式得： (16)由式(17)便能通過測點速度波形計算應(yīng)變波形。下面用粒子速度波形的反演法計算應(yīng)力波形。設(shè)想，如果在h1、h2、h3處分別側(cè)得的是波形,欲由這三個波形確定波形的方法是:與上面確定應(yīng)變波形的方法一樣,導(dǎo)得如下的方程： (17)實際上現(xiàn)在測得的是3個波形,方程(18)對k=1,2,3可分別寫成三個方程，這三個方程在j,1、j,2、j,3已知的情況下僅包含三個未知數(shù): j+1,1、j+1,2、j+1,3。經(jīng)化簡，得到反演計算的方程組為： (18)式中，波形可由方程組式(19)計算得到。式(17)和式(19)在求應(yīng)變和應(yīng)力波形時，取1,k=1,k=0。柴華友等人重新討論了Lagrange方法并導(dǎo)得反解法求解公式。對于K個速度量計的實驗波形，當(dāng)采用多項式模擬待求應(yīng)力的變化時,可得第j，j十1條路徑線上應(yīng)力的矩陣形式的遞推方程組 分量