(完整word版)高等代數(shù)2011-2012第一學期期末試卷答案

1、2009 級數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)高等代數(shù)I (A 卷)第 1 頁共 6 頁在Fx里一定能整除任意多項式的多項式是A.零多項式B.零次多項式C.本原多項式D.不可約多項式x6k2x44kx2x 4的一個因式，貝UkA.4B. 3C. 2D. 1A,B是n階方陣，則下列結論成立的是A.ABO AO且B O B.AO AOA.A 2I B.A I設A為 3 階方陣，且r(A) 1，則A.r(A*) 0B.r(A*) 1C.r(A*) 2D.r(A*) 3設A*為n階方陣A的伴隨矩陣，貝U A*A=【D】222A.|A|nB.| A|nC.| A|n nD.|A|n n 1下列對于多項式的結論正確的是【

2、D】A.如果f(x) g(x),g(x) f (x)，那么f (x) g(x)B.如果多項式在有理數(shù)域上可約，則它一定存在有理根C.每一個多項式都有唯一確定的次數(shù)D.奇數(shù)次實系數(shù)多項式必有實根4 2 2x x ax b,g(x) x x 2，若(f(x), g(x) g(x)，則1.2.3.4.5.6.7.8.1.2.設g(x) x 1是f (x)C.AB 0 A O或B OD.A I |A| 1設n階矩陣A滿足A2A 2I0,則下列矩陣哪個不可逆D.A方程組為AX b，且r A r Ar，則和原方程組同解的方程組為A.PAXPb(P為可逆矩陣)C.ATX bB.QAX b(Q為初等矩陣)D.

3、原方程組前r個方程組成的方程組把f (x)x45表成x1的多項式是(x 1)44(x 1)34(x 1)24(x 1) 4；設f (x)2009 級數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)高等代數(shù)I （A 卷）第2頁共 6 頁a_6_,b _ 8_2009 級數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)高等代數(shù)I （A 卷）第3頁共 6 頁3.當 k = _5_, l = _4_ 時，5 階行列式D的項a12a2ka31a4la53取“負”號;1312,C，則A1410145.設 n 2,a11a21.,an為互不相等的常數(shù)，則線性方程組11的解是 (1,0,0)_1三.計算題 （本大題共 4 個小題， 共 34 分.請寫出必要的推演步驟和

4、文字 說明） .得分評卷人1 x 11111x11111 y 11111 y4設A1 01 11 12 2X1盼2a1X3.aX2n1X1a2x2a?X3.a?Xn2n1X19nX2anX3.anX6.000n10000 L2 L0 L0 L=(1)n1n!.1.（本小題 6 分）-202n 12009 級數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)高等代數(shù)I （A 卷）第4頁共 6 頁1第一行（1）第二行解：第三行（1）第四行X第二列（1）第一列0第四列（1）第三列00X111XX00111y100yy101X001y100y2.（本小題 8 分）k為何值時，齊次線性若方程組kx1x2x30捲kx2x30有非零解，并

5、求出它的一般解k 111 k 10,得k 1311對系數(shù)矩陣施行行初變換如下- 6 分1故一般解為 為x3, x22得分評卷人3.（本小題 8 分）03設A=11得分評卷人3x-|X2X3解：組有非零解1x3（X3為自由未知量）- 8 分30,ABA 2B，求B.2009 級數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)高等代數(shù)I (A 卷)第5頁共 6 頁解：易知B(A21)1A-2 分1132332A2而(A2I)111 013- 6 分22121111222132A2033033故B13110123- 8 分得分評卷人(1)XiX2X3取何值時，線性方程組0Xi(1 )x2x33有唯一解？無解？有無窮多解？并XiX

6、2(1)X3在有解時寫出解解：對增廣陣施行行初變換如下：A 11131 1 1(2)3(1)1110300(3)(1)(3)- 4 分易知1)當(3)0,即0 且3時,r(A) r(A) 3,組有唯一解4.(本小題 12 分)2009 級數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)高等代數(shù)I (A 卷)第6頁共 6 頁221111 231102221 2X1, X2, X3- 8 分2)當3時，r(A) r(A) 2未知量個數(shù)，組有無窮多解2009 級數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)高等代數(shù)I (A 卷)第7頁共 6 頁Xi1 X3,X22 X3,(X3為自由未知量)- 10 分3)當0時，1 r(A) r(A) 2,組無解- 12

7、 分四證明題： (本大題共 2 個小題， 共 18 分.證明須寫出必要的推演步驟和文字說明)1.(本小題 10 分)證明：一個秩為 r 的矩陣總可以表為 r 個秩為 1 的矩陣的和證：設 A 為 mKn 矩陣且秩 A=r ,則存在 m 階可逆矩陣 p 及 n 階可逆矩陣 Q,使2.(本小題 8 分)設f (X)是一個整系數(shù)多項式，證明：若f (0)與f (1)都是奇數(shù)，則f(x)不能有整數(shù)根證明：用反證法假設f (x)有整數(shù)根，則f (x) (x )g(x),其中g(x)為整系數(shù)多項式，-3 分于是即| f (0),(1)| f(1)得分評卷人PAQIr 0A0 0- 2 分E11E22Err1 1 1A P1E11Q1P1E22Q由于秩 Bk=秩(P-1ErrQ-1)=秩 Ekk=1所以 A 可表成 r 個秩為 1 的矩陣之和.- 4 分1 1p ErrQ B1B2Br- 8 分- 10 分得分評卷人f(0)g(0), f(1) (1)g(1)- 5 分2)當3時，r(A) r(A) 2未知量個數(shù)，組有無窮多解2009 級數(shù)學與應用數(shù)