專題2圓錐曲線的綜合應(yīng)用范圍定點定值最值問題解析版

1、6.2圓錐曲線的綜合應(yīng)用（范圍 定點 定值 最值問題）一、選擇題：一共16道題，每小題 5分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.【陜西師大附中2019-2020學(xué)年度第一學(xué)年高 2020屆期中考試高三年級】已知拋物線24x的一條弦AB恰好以P 1,1為中點，則弦 AB所在直線的方程是（a. yb. y 2x 1c. y x 2d. y 2x 3【答案】【解析】由題意得：設(shè)A xn y1 , B x2, y2，都在拋物線上2Y12Y24X1,4x2y12 y2 4x1X2y1yxx2y1y22，直線還經(jīng)過P 1,1所以直線方程為y 2x 12 2已知為雙曲線C:：2 1 0

2、,b0的左、右焦點，P為其漸近線上一點,a bPF2R30o,則該雙曲線的離心率是（)7 A.-B.VC.7 3D.衛(wèi)3333【答案】D2 j3cb【解析】由已知得：IPF1I雙去線的漸近線方程為y -x,3a2.【陜西師大附中2019-2020學(xué)年度第一學(xué)年高 2020屆期中考試高三年級】PR x軸，且be2/5c be求得點pe盲，所以得二-；c，解得：ee,21a33.【四川省成都市2016級成都一診理科數(shù)學(xué)】2 x 設(shè)橢圓C2 y a b20的左右頂點為A,B.P是橢圓上不同于A,B的一點，設(shè)直線AP,BP的斜率分別為m,n，則當(dāng)b23mn23ln|m| mnIn |n |取得最小值時

3、，橢圓C的離心率為（1A.-52B.-24C. D.52【答案】D2 2【解析】設(shè)A a,O,Ba,O,P x。，y。，點P在雙曲線上，得C :篤 鳥a b2 2 2b (axo)2 a所以m 丄 ,m xo a丄，化簡mnxo ab2，a原式a 3b23b22 a2小,b23 a2小 a小a a6 ln 2 -36ln b2a3bbbb2a所以設(shè)tab 1 '函數(shù) f（t）-t3 2t2 3t 6lnt，求導(dǎo)可以得到:3t 2時，函數(shù)取得最小值=f （2），.32【點評】（1）橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點Axi,yi, B (xi,yi),另個動點 P Xo,yo，則 kpAkpBb2

4、；a（2 ）雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點A xi，yi ,B（ xi，y）另一個動點 p x°,y°，則 kpAkpB4 【四川省成都市成都第七中學(xué)萬達(dá)學(xué)校高2O2O屆高三（上）第一次月考數(shù)學(xué)】拋物線x 2 py2p 0的焦點坐標(biāo)為（A P,020,8po,2【答案】D【解析】分析:2py2 p0 ，焦點坐標(biāo)i8p,o .【點睛】考查拋物線的焦點坐標(biāo)。5.【西安交大附中2019-2020學(xué)年高2020屆高三上四診理科數(shù)學(xué)】已知（2,0）是雙曲線2x -1的一個焦點，則該雙曲線的漸近線方程為（k(A) y -x3(B) y x(C) y 2x (D) y 3x【答案】D【解析】

5、由已知得：1 k 4, k 3,所以漸近線方程為：y ,3x2 2x y6如圖，P為橢圓E1：_2 1 a b 0a b上的一動點，過點P作橢圓2xE2 : 2ao 1的兩條k2為定值，則44【答案】C【解析】設(shè)過P (x0, y0)的直線方程:yo直線方程與橢圓 E2聯(lián)立可得:b2x2kx化簡：b2 a2k2 x2 2kayo kxo因為相切，=0化簡：y0kxo 2b2在整理成關(guān)于k的二次函數(shù),2xoD.k(x xo),yo kxoa2 yo kxoa2k20,k2 2x°y°ka2b2a2b202 2yo b0有兩個不相等的實數(shù)根,y 2 b2Kk2 馬常數(shù),Xo a

6、在化簡得到7.【2oi9屆湖南師大附中高三上學(xué)期月考三已知兩定點 A 1,o和B 1,0，動點P x,y在直線丨:y x 3上移動 橢圓C以A,B為焦點且經(jīng)過點 P,則橢圓C的離心率的最大值為()5【答案】A【解析】A 1,0關(guān)于直線丨:yx 3的對稱點為A3,2，連接AB交直線l于點P,則橢圓C的長軸長的最小值為AB2、5,所以橢圓C的離心率的最大值為 ca善，故選A.【點評】求解本題的關(guān)鍵是利用對稱性求距離的最小值8 已知F1,F2是雙曲線2 x2ab21 （a 0,b0）的左、右兩個焦點，以線段F1F2為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點 M,與雙曲線交于點N （點M,N均在第一象限）,

7、當(dāng)直線MF1與直線ON平行時，雙曲線離心率取值為e。,則eo所在區(qū)間為（B.（邁八3）C. ( .3,2)(2,3)【答案】A【解析】因為a2b2,c，雙曲線的漸近線方程為yab22x，與圓x yac2 聯(lián)立，得 Ma, b與雙曲線方程b 0聯(lián)立,得交點N.a2c2a2b2. c4a2c2a2b2,直線MFi與直線ON平行時，即有一a2 2c a22aa、2c22a 2c2 c2已知橢圓 C的焦點為匕（1,0）,F2（1,0），過F2的直線與C交于B兩點.若 IAF2I 2IF2BI,即有3 c2ac2c 2c 32a c 2a即有3e02e°22e)20 ,令fx3 x2x2 2x

8、 2 ,由于f1 v 0,f 2 > 0, f則e01,2 .故選A.09.【2019全國I理10】,3 > 0, f 2 > 0, f| AB | | BF1 |，則C的方程為（)22 22 22 2x2.A.y 1B.£仏1C a 11D.冬乂 1234354【答案】B【解析】如圖所示，設(shè) 阿2 x，則 AFj 2x, 所以 |BF2 I AB 3x.由橢圓定義BFi BF2 2a，即4x 2a .又AFiAF2 2a 4x , IAF2 2x，所以 AFi2x.因此點A為橢圓的上頂點，設(shè)其坐標(biāo)為0,b .由AF22 BF2可得點B因為點2 2B在橢圓篤爲(wèi)a b

9、1 a b 0上，所以94a2解得a23 .又c 1，所以2b22 .所以橢圓方程為I2專1.故選B.10 【河北省石家莊市 2018屆高三下 學(xué)期一?！? 2x V已知F1， F2分別為雙曲線 2 1(a 0,b 0)的左焦點和右焦點，過 F2的直線I與雙曲線的右支交a b于A， B兩點，AF1F2的內(nèi)切圓半徑為A，BF1F2的內(nèi)切圓半徑為 h，若* 2r2，則直線I的斜率為()A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2【答案】D【解析】 設(shè) AF1F2的內(nèi)切圓圓心為h, ,BF1F2的內(nèi)切圓圓心為丨2,，邊AFj、AFj F1F2上的切點分別為M、N、E，易見E橫坐標(biāo)相等，則 AM AN，

10、F1MF1E，F(xiàn)2NF2E，由AF1 AF2 2a，即 AM MF1 ( AN NF2 ) 2a，得 M NF2 2a,即 F1E F2E 2a ，記Ii的橫坐標(biāo)為xo，則E（Xo,O），于是xo c （cXo）2a，得Xoa,同理內(nèi)心I?的橫坐標(biāo)也為a,則有hl2 x軸，設(shè)直線的傾斜角為，則 OF2 I 22I1F2O 90-，則2叫 F2i，tan IlF20 tan 90tan 2riFE，Q * 2r2F2Etan2 21,ta n-2 2_22tan2ta n_亠 2/2.故選D.1 tan2 -22 211.已知F1, F2是雙曲線篤當(dāng)a bF2 0,c，拋物線C2:y 丄x2的4

11、c1 （a 0,b0）的左、右兩個焦點，以線段F1F2為直徑的圓與雙曲線的一率取值為e0,則e0所在區(qū)間為（)A .(1八 2)B. C-2, .3)C. G-3, 2)D.(2,3)【答案】A【解析】因為c 22 ,2a b ,e0，雙曲線的漸近線方程呈為 yb22x，與圓x y2c 聯(lián)立，得 Ma, baa2與雙曲線方程仔2y21 ab 0聯(lián)立,得交點N2 2 a c2 242 2a b . c a c72以，即條漸近線交于點 M,與雙曲線交于點N （點M,N均在第一象限）,當(dāng)直線MF1與直線ON平行時，雙曲線離心a bccaa2 4ca2、/一bc2 a2N,直線MF1與直線ON平行時，

12、即有2-,即cca c a、2c2 a2222222322332a cca a2c a ，即有 c 2ac 2a c 2a 0，即有 62®2®20，令f xxx y準(zhǔn)線與G交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓過F2，則橢圓二 2 1的離心率的平方為（）a c2x22x2 ,由于f 1 v0,f x 2 >0, f .3 >0, f 2 >0, f 3>0，則e01,2 .故選 A.K12聯(lián)盟）2018屆高三上學(xué)期期末】12.【安徽省安慶一中、山西省太原五中等五省六校（2 2雙曲線C1七x21 ( a 0, b 0 )的焦點為F1 0, ca bA.

13、.2 1 b. 2. 2 C. 2 2 2 D. 3 2,2【答案】C【解析】拋物線 C2的方程為y1 2x4c拋物線C2的焦點坐標(biāo)為 0,c，準(zhǔn)線方程為y c2雙曲線C1 :2a0)的焦點為 Fi 0, c、F2 0,c,且拋物線C2的準(zhǔn)線與Ci交兩點b2,c a-,c ，以MN為直徑的圓過UJUTF2 , MF2uuurNF20，即4c2£a0 ,a2 b2 , 4c44c2b2b42 橢圓篤 a2yr 1的離心率為cb，橢圓c2y_2c的離心率的平方為22 2故選C.二.填空題13.【河南省鄭州市2018屆高三畢業(yè)年級第二次質(zhì)量預(yù)測】如圖，已知拋物線 g的頂點在坐標(biāo)原點，焦點在

14、 x軸上,且過點22,4，圓 C2: x4x 30,過圓心C2的直線l與拋物線和圓分別交于P,Q,M,N,則PN 4QM|的最小值為【答案】23【解析】由題意拋物線過定點（2 , 4 ）,得拋物線方程y28x ,焦點為F（2,0）.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x 2 2 y2 1，所以圓心為（2, 0）,半徑r=1.由于直線過焦點，所以有 112 -，又PF QF P 21155PN 4QMPF 1 4QF 4 PF 4QF 52 PF 4QFPF QF25 4QFPFPFQF23，當(dāng)且僅當(dāng)PF 2QF時等號成立。214拋物線y8x的焦點為F，點(x, y)為該拋物線上的動點，又已知點A( 2,0)，則常胃

15、的取值范圍【答案】1,2【解析】由拋物線的定義可得|PF | x 2,又 |PA| (x 2)2y2、(x 2)2 8x,i12|PA| 、(x 2) 8x|PF|1 x2 8x4x 41 ;當(dāng)x 0時,巴j128x| PF |, x 4x 44,當(dāng)且僅當(dāng)x4即x 2時取等號，于是xx8,84x -x1,綜上所述1 84xx(1, 2,L?"的取值范圍 是1, .2.|PF|2x15.已知橢圓a2b2 1(a b 0)上一點A關(guān)于原點。的對稱點為B,F為其右焦點，若AF BF,設(shè)ABF ,且石，4,則橢圓離心率的取值范圍是 【答案】【解析】左焦點対耳連結(jié)-九昭可得四邊形榨F是矩肢所以

16、AO = OF=OS=e = 又AF丄耳E所肽=2c sin儀BF = 2"厲a 一又因為AF=BF AF,匕匹=九所限2c sin a - 2l-los' = 2lJ V： = 壬十 口 二T JT124，所臥學(xué)血如護(hù)耐垢 胡寧存孕故馴【點評】本題的關(guān)鍵是利用橢圓的定義建立等量關(guān)系式2csin 2ccos 2a撚后借助已知條件2已知p是橢圓xa1 (a20,b20)的一個交點，F(xiàn)F2是橢圓和雙曲線的公共焦點，e,e2分別為橢圓和雙曲線的離心率1 1,f1pf2,則的最大值為3 e e? -,利用三角函數(shù)的圖象求解離心率的范圍12 416.【2016屆安徽省六安一中高三上第五

17、次月考】22yx1 (a1 b10)和雙曲線da2皓案】寧【解析】根據(jù)啾鹹的定義得：閥十刖5呵十弘込二P用=口1 +殆尸爲(wèi)=°1 a1設(shè)|罕|4糾咎亍由鞍定理得4=(q十dj +(內(nèi)一礙丫 一2側(cè) 十小)(& -zij'lcos1亠腫 出門'灼化簡得隔化* ”變形得7+r4 .才去4呵干三.解答題17.【陜西師大附中2019-2020學(xué)年度第一學(xué)年高 2020屆期中考試高三年級(理科)試題廠22已知離心率為e f的橢圓拳1 a b 0的一個焦點為F 3,0(I)求橢圓C的方程;(n)設(shè)過原點 O且與坐標(biāo)軸不垂直的直線I交橢圓C于M,N兩點,且點A求厶MAN面積

18、的最大值【解析】：(I)由題可得,2,b1，橢圓2C的方程為41；（4分）(n)設(shè)直線I的方程為ykx k 0，由y kx,2x 2y41得14k設(shè) M 為， , N X2, y2 ,為X20,X1X2則MN1 k1 24x x24、-1 k21 4k2 'I的距離為,（8 分）1Saman = 2 I MN I d2k 11 4k21I，(10 分)當(dāng)k 0時,Sa man當(dāng)k 0時,1 ；2，當(dāng)且僅當(dāng)Sa man1-時取等號2綜上所述, MAN面積的最大值為.2 (12 分)18.【西安交大附中2019-2020學(xué)年高2020屆高三上四診理科數(shù)學(xué)】2 2已知橢圓G：1(m0, n

19、0, m n)的離心率為一，焦距為2 ,m n2與拋物線C2 : yx2 (0)有公共焦(I)求橢圓 C1與拋物線C2的方程;(n)已知直線I是圓x2 (y 1)2 1的一條切線，與橢圓 C1交于A,B兩點，若直線I斜率存在且不為0 ,l:y k(x t) (k0)，l與圓x2(y 1)22t(t0,t1)，l: y k(xt)代入21并整理得:3(43k2)x26k2tx3k2t2120 ,36k4t212(k2t24)(43k2) 0，即4 3k20,即4t2(t23)2 24 ，(1t2)2uur uuumui r一在橢圓Ci上存在點P，使PA PB OP 0，其中O為坐標(biāo)原點，求實數(shù)

20、入的取值范圍.【解析】(I)由題意，橢圓G的焦點在y軸上，c 12222c 2,e, a b c ,a 2解得a2,b3, c1橢圓C1的方程為2y2X1 , F(0,1) , p 2c2,4拋物線C2的方程為2X4y.(n)由題意，可設(shè)直線AX，%),，則有X26k2t4兀，y1y2 k(x!3kX2)2 kt8kt4 3k2uui 條件PAuiuPBOP0可化為OAluffOB(2uui)OP，由題意 (2uu)OP(XX2, yy2), - P(又點P在橢圓上,212k4t26k2t14 3k2 , 216k2t28kt )4 3k2)- (2)22 24k t24 3k(43k2)2

21、(2(412 2 2?3k2)2 (2)2- t20,t241(2)t1-(t 0,t1(22)4 且(2(”)1(*)13,2).的取值范圍為(2,2,4)2爲(wèi)2応U( ,0)U(0, )U33的取值范圍為(0, 2 32) U ( - 32,2) U(2, - -2) U3330 ,19.【浙江省溫州市2019 2020學(xué)年11月份普通高中高考適應(yīng)性測試一模數(shù)學(xué)試題】 如圖，F(xiàn)是拋物線y2 2px p 0的焦點，過F的直線交拋物線于 A右，為，B冷也 兩點，其中Y1Y2 4 過點A作y軸的垂線交拋物線的準(zhǔn)線于點H，直線HF交拋物線于點P , Q .(1 )求p的值；(2)求四邊形 APBQ

22、的面積S的最小值.【解析】(I)易得直線 AB的方程為(yr y2)y 2px y1 y2,代入(p，。)，得 y1y2p24，所以 P 2 ；2 2(II)點 A(出,y) B(址,y2)，則 H( 1,yJ，直線 PQ： y44y(x21),代入 y2 4x，得 y：x2 (2y： 16)x y： 0.設(shè) P(X3,y3), Q(X4,y4)，則 | PQ | X3 X4 24( y2 4)2y1設(shè)A, B到PQ的距離分別為d1, d2，由PQ: y1x 2y y1 0，得d1 d2323匕 2% y1 (y42 2y2 y1)|% (444Jy： 4y22y2 y |(y； 4)2 ,4

23、y1 ,y12 43占 2y1 y2 |4 y： 4y34| ； 2y1|因此Sapbqd2)Y124)52y；設(shè)函數(shù)f(x)(X24)5(x 0)，則 f '(x)2424( x 4) (x 6)x7可得，當(dāng)x(0.6)時,f(x)單調(diào)遞減；當(dāng))時，f(x)單調(diào)遞增,從而當(dāng) 時，S取得最小值25 15920.【2019全國2XIII理21】已知曲線C： y=-2D為直線y=丄上的動點，過D作C的兩條切線，切點分2別為A, B.(1)證明：直線AB過定點:(2)若以 E(0,5 )為圓心的圓與直線 AB相切,2且切點為線段AB的中點，求四邊形 ADBE的面積.【解析】(1)設(shè) D t,

24、 1 , A x1,y1，則 x； 2y1.21由于y' x，所以切線DA的斜率為x1，故y1 2x-itXi，整理得2 tx!2力+1=0.設(shè)B X2,y2，同理可得2tx2 2 y2+1=0 .故直線AB的方程為2tx 2y 10.所以直線AB過定點(0,1).2(2 )由(1)得直線AB的方程為ytxtx12，可得X22tx 10.X22t,X1X21,y1y2t X1X212t21,|ab|X1X2.1 t2x1 x2 2 4x1x22 t2_2_t21 .t2 3.因此，四邊形ADBE的面積S 1|AB| d1 d22設(shè)M為線段AB的中點，貝U Mt,tAB，而 EMt,t2

25、2 , AB與向量(1, t)平行，所以t2t 2 t 0 .解得 t=0 或 t 1.當(dāng)t=0時,S=3 ；當(dāng) t 1 時，S4.2.因此，四邊形ADBE的面積為3或4邁.2x21.平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：二a2y21 a> b> 0的離心率是b2子，拋物線E： x2 2y的焦點F是C的一個頂點.(I)求橢圓C的方程;(n)設(shè)P是E上的動點，且位于第一象限E在點P處的切線I與C交與不同的兩點 A, B,線段AB的中點為D，直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點 M .(i)求證：點M在定直線上;(ii)直線I與y軸交于點6,記 PFG的面積為S1 , PDM的面積為S2，

26、求-Sl的最大值及取得最大S2值時點P的坐標(biāo).【解析】(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c.因為 F1(-1 , 0), F2(1 , 0)，所以 F1F2=2, c=1.又因為 DF1=5 , AF2丄x 軸，所以 DF2=. DFj F1F22 (5)2 223 ,2V 22因此 2a=DF 1+DF 2=4，從而 a=2.由 b2=a2-c2，得 b2=3.2 2因此，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 1.4 32 2(2)解法一：由(i)知，橢圓 C: L _L i , a=2,43因為AF2丄x軸，所以點A的橫坐標(biāo)為1將x=1代入圓F2的方程(x-1)2+y2=16，解得y=±4.A在x軸上方，所以A(1 , 4).又Fi(-1 , 0)，所以直線AFi： y=2x+2.y2x2由22，得 5x26xii0,(xi)yi6