IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)5.1 5.1 數(shù)字濾波類型與指標(biāo)數(shù)字濾波類型與指標(biāo) 5.2 5.2 模擬濾波器設(shè)計(jì)模擬濾波器設(shè)計(jì)5.3 5.3 設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)IIRIIR濾波器的脈沖響應(yīng)不變法濾波器的脈沖響應(yīng)不變法5.4 5.4 設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)IIRIIR濾波器的雙線性變換法濾波器的雙線性變換法5.5 5.5 設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)IIRIIR數(shù)字濾波器頻率變換法數(shù)字濾波器頻率變換法5.6 5.6 數(shù)字陷波器設(shè)計(jì)數(shù)字陷波器設(shè)計(jì)5.7 5.7 IIRIIR數(shù)字濾波器的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì) 第第5章章 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì) 第1頁/共133頁 5.1 數(shù)字濾波類型與指標(biāo)數(shù)字濾波

2、類型與指標(biāo) 第2頁/共133頁第3頁/共133頁0)()()(nnjezjenhzHeHj第4頁/共133頁0)()()(nnjezjenhzHeHj對(duì)因果穩(wěn)定的線性時(shí)不變系統(tǒng)：)(jeH:濾波器的傳輸函數(shù)H(z):系統(tǒng)函數(shù)h(n) :濾波器的單位脈沖響應(yīng))()()(jjeHeH)(Im)(Re)(22jjeHeHH)(Re)(Im)(jjeHeHarctg)(H：幅度響應(yīng))(：相位響應(yīng)第5頁/共133頁22Tfss2/s可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通特點(diǎn)為特點(diǎn)為l數(shù)字頻率以數(shù)字頻率以 周期周期2l頻率特性只限于頻率特性只限于 范圍，依取樣定理，范圍，依取

3、樣定理， 對(duì)應(yīng)于實(shí)際模擬抽樣頻率的一半對(duì)應(yīng)于實(shí)際模擬抽樣頻率的一半 )(sfT頻率變量以數(shù)字頻率頻率變量以數(shù)字頻率 表示表示 其中其中 模擬角頻率，模擬角頻率，T抽樣時(shí)間間隔，抽樣時(shí)間間隔，fs 抽樣頻率抽樣頻率第6頁/共133頁第7頁/共133頁)e (Hj0sp1p：通帶波紋：通帶波紋s：阻帶波紋：阻帶波紋：過渡帶：過渡帶：通帶截止頻率：通帶截止頻率p：阻帶截止頻率：阻帶截止頻率s11112cst)(jeH第8頁/共133頁)(為時(shí)延常數(shù)具有群恒時(shí)延特性 常數(shù))()(dd)(相位響應(yīng)第9頁/共133頁n問題1、3與實(shí)際的要求及實(shí)現(xiàn)的硬件條件有關(guān)n本章主要討論問題2，即系統(tǒng)函數(shù)的設(shè)計(jì)(或逼近

4、)問題。第10頁/共133頁11101)(zazbzHkNkkNk 設(shè)計(jì)IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，就是要確定H(z)的階數(shù)N（通常稱N為濾波器的階數(shù)）以及分子分母多項(xiàng)式的系數(shù)jezjkkzHeHba)()(，使其、 滿足指定的頻率特性第11頁/共133頁第12頁/共133頁第13頁/共133頁)(jdeH 希望濾波器的幅頻響應(yīng)： )(jeH 設(shè)計(jì)濾波器的幅頻響應(yīng)： 選擇一種最優(yōu)化的準(zhǔn)則，例如采用最小均方誤差準(zhǔn)則 )()(jjdeHeH、設(shè)在指定的一組離散的頻率點(diǎn) Mii,2, 1,的均方誤差 第14頁/共133頁212)()(jjdMieHeH求解H(z)的系數(shù)，、kkba使均方誤差最小 當(dāng)濾波

5、器階數(shù) N 較高時(shí)，轉(zhuǎn)換為一個(gè)多變量最優(yōu)化問題，需要大量的迭代運(yùn)算，因此必須采用CAD的方法。 第15頁/共133頁第16頁/共133頁濾波器的頻率特性主要取決于構(gòu)成濾波器系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) jssHjH| )()( 工程設(shè)計(jì)中給定的指標(biāo)往往是通帶和阻帶的衰減，它一般用反映功率增益的幅度平方函數(shù)或稱模方函數(shù)來定義dBjHjHA| )(|lg20| )(|lg10)(2 當(dāng)要求濾波器具有線性相位特性（延時(shí)為常數(shù)）時(shí)濾波器的頻率特性為H jH jej()|()|()(，第17頁/共133頁第18頁/共133頁|()|H j2a、是一個(gè)具有實(shí)系數(shù)的s有理函數(shù) )(/ )()(sDsNsHb、所有極點(diǎn)必須

6、全部分布在s的左半平面內(nèi) c、分子多項(xiàng)式式N(s)的階次必須小于或等于分母多項(xiàng)式D(s)的階次 正實(shí)函數(shù)正實(shí)函數(shù) 第19頁/共133頁HjHj*()()()(| )(|2jHjHjH)()(sHsHjs|()|()*()()()H jH jHjH jHj2有 得平面的虛軸，解析延拓代表sj第20頁/共133頁a、解析延拓,令s= 代入模方函數(shù)得到 ,并求其零極點(diǎn) jH s Hs( )()b、取 所有在左半平面的極點(diǎn)作為 的極點(diǎn) )(sHH s Hs( )()c、按需要的相位條件(最小相位,混合相位等)取一半的零點(diǎn)構(gòu)成 的零點(diǎn) )(sHH s Hs( )()第21頁/共133頁pAsA：通帶衰減

7、：通帶衰減：阻帶衰減：阻帶衰減,：與通帶衰減、：與通帶衰減、阻帶衰減有關(guān)的阻帶衰減有關(guān)的系數(shù)系數(shù) ：通帶截止頻率：通帶截止頻率：阻帶截止頻率：阻帶截止頻率ps第22頁/共133頁)1log(20)11log(102ppAssAlog20)11log(102之間的關(guān)系、與sPAA,第23頁/共133頁BW濾波器以巴特沃思函數(shù)來近似濾波器的系統(tǒng)函數(shù)BW的低通模平方函數(shù)表示 , 2 , 1)/(11| )(|22NjjjHNc指定 、 后，帶 到上式，得pApp21 . 0222)1 (1011)/(11| )(|pANcpppjH10101 . Ap13時(shí)，當(dāng)dBAp第24頁/共133頁指定 、

8、后，帶 到上式，得sAss21 . 02221011)/(11| )(|sANcsssjH1010 1 . As用3dB截止頻率 來規(guī)一化：對(duì)頻率進(jìn)行 ，下式變?yōu)?c /c, 2 , 1)/(11| )(|22NjjjHNc|()|()H jN2211第25頁/共133頁|()|( )H jN2211當(dāng) =0 時(shí)， =1 ,取最大值|()|H j2當(dāng) 時(shí)， =0.5,取3dB值)( 1c|()|H j21)(/, 1/22接近時(shí)，很小，通帶jHNNcc0)(/, 1/22接近時(shí)，很大，通帶jHNNcc第26頁/共133頁阻帶內(nèi)，由于|() |()HjjjcN221 或 AH jNjjsc 10

9、202lg|()|lg()幅度隨著 N的增加阻帶衰減近似為6N db/倍頻程。 N越大，頻帶特性越接近理想矩形特性 第27頁/共133頁|()|( )H jN2211上式的臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開為 ：NNjH4221| )(|12 , 2 , 1, 0| )(|02NkjHddk =0處函數(shù)對(duì)2Nl階導(dǎo)數(shù)都等于零曲線在 =0附近是最“平坦”,巴特沃思濾波器又叫做“最大平坦濾波器”第28頁/共133頁第29頁/共133頁(a)按給定指標(biāo)確定階次按給定指標(biāo)確定階次N 222)(Nps)/lg()110/() 110lg(21)/lg()/lg(1 . 01 . 0psAApspsN)/lg()110lg()

10、/lg()lg()/lg()/lg(1 . 0csAcscssN實(shí)際計(jì)算時(shí)，要對(duì)上式求得的數(shù)值取整加1。若給定的指標(biāo) =3dB, 即通帶邊頻 時(shí), =1,可求得cppA第30頁/共133頁求得極點(diǎn)求得極點(diǎn) , 2 , 1)/(11| )(|22NjjjHNc帶入上式，得： js0)(12Ncjs)12() 1(kje由于NkesNNkjck2 , 2 , 12/)12(第31頁/共133頁c在歸一化頻率的情況 =1，極點(diǎn)均勻分布在單位圓上 NkesNNkjk2 , 2 , 12/)12(對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng),它的所有極點(diǎn)均應(yīng)在 s的左半平面上 第32頁/共133頁濾波器的極點(diǎn)求出后，可取左平面上

11、的所有極點(diǎn)構(gòu)成系統(tǒng)函數(shù) )(1)(1iNissAsH對(duì)于低通濾波器，為了保證在頻率零點(diǎn) =0處， =1，可取| )(|jHNiiNsA1) 1()() 1()(1iiNiNssssH因此得 第33頁/共133頁設(shè)計(jì)一巴特沃思濾波器，使其滿足以下指標(biāo): 通帶邊頻 =100k rad/s, 通帶的最大衰減為 =3dB，阻帶邊頻為 =400k rad/s,阻帶的最小衰減為 =35 dBpApsAs解解:由于通帶邊頻就是3dB 截止頻率，即 cp11101 . 0pA2 .561101 . 0sA確定階次N，9 . 24lg2 .56lg)/lg()/lg(csN3N取第34頁/共133頁求左半平面的

12、極點(diǎn): sekkcjkNN() /, ,21212 3,3/21jces,2jcessecj323/得極點(diǎn)：構(gòu)成巴特沃思濾波器傳輸函數(shù)H(s)為 H ss s sssssssssscccc( )()()()1 231233322322相對(duì)截止頻率 歸一化，得歸一化巴特沃思濾波器傳輸函數(shù) cHsa( )Hssssa( ) 122132第35頁/共133頁Hsssa sa sassaiNiNNN( )()111112211是 =1時(shí)的極點(diǎn)，分布在單位圓上 sic分母一般稱為巴特沃思多項(xiàng)式，其系數(shù)可通過查表求得,見表5-2-1 第36頁/共133頁 Na1a2a3a4a5a6a7a8a9 21.41

13、42 32.00002.0000 42.61313.41422.6131 53.23615.23615.23613.2361 63.86377.46419.14167.46413.8637 74.494010.09714.59214.59210.0974.4940 85.152813.13721.84625.68821.84613.1375.1528 95.758816.58131.16341.98641.98631.16316.5815.7588106.392520.43142.80264.88274.23364.88242.80220.4316.3925第37頁/共133頁N 巴 特 沃

14、思 多 項(xiàng) 式1 s+12s2+1.4142s+13(s+1)(s2+s+1)4(s2+0.7654s+1)(s2+1.8478s+1)5(s+1)(s2+0.6180s+1)(s2+1.6180+1)6(s2+0.5176s+1)(s2 +1.412s+1)(s2 +1.9319s+1)7(s+1)(s2+0.4450s+1)(s2+1.2470s+1)(s2+1.8019s+1)8(s2+0.3092s+1)(s2+1.1111s+1)(s2+1.6629s+1)(s2+1.9616s+1)9(s+1)(s2+0.3473s+1)(s2+s+1)(s2+1.5321s+1)(s2+1.87

15、94s+1)第38頁/共133頁ssPpAA,ccc第39頁/共133頁第40頁/共133頁nTtthnh)()(如果： )(,)(1）（則由：已知sHLthsH則可有下式求的H（z）： )()()(nThZnhZzH第41頁/共133頁kkNkssAsH1)(其拉氏反變換為 得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng) 對(duì)上式兩邊取Z變換得 )()(1tueAthtskNkkNknTskNknTsknueAnTueAnhkk11)()()()(111)(zeAzHTskNkk（5-2-3） 第42頁/共133頁111)(zeAzHTskNkk（5-2-3） 0kesR 對(duì)Z平面的極點(diǎn)有 1Tskkez 位于

16、單位園內(nèi)。因此H(z)是一個(gè)穩(wěn)定的離散系統(tǒng)函數(shù)，這說明由一個(gè)穩(wěn)定的模擬濾波器得到了一個(gè)穩(wěn)定的數(shù)字濾波器 第43頁/共133頁原模擬濾波器的頻率響應(yīng)為 ，)( jH由于h(n)是h(t)的等間隔抽樣 H eTH jTjTmjn()()12第44頁/共133頁如果模擬濾波器的頻率響應(yīng)是帶限于折疊頻率之內(nèi)，即 這樣數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)才能等于模擬濾波器的頻率響應(yīng) 然而，高通和帶阻濾波器不能滿足(-2-)式的要求，將會(huì)產(chǎn)生混疊脈沖響應(yīng)不變法不適合用來設(shè)計(jì)高通和帶阻數(shù)字濾波器。脈沖響應(yīng)不變法不適合用來設(shè)計(jì)高通和帶阻數(shù)字濾波器。 H jTs()02H eTH jTj()()1第45頁/共133頁H eTH

17、 jTj()()1由由上上式可見，式可見，數(shù)字頻率響應(yīng)與模擬頻率響應(yīng)的第一差別是具有一個(gè)乘法因子數(shù)字頻率響應(yīng)與模擬頻率響應(yīng)的第一差別是具有一個(gè)乘法因子(1/(1/T)=T)= f fS S，當(dāng)采樣頻率當(dāng)采樣頻率f fS S很高時(shí)，將會(huì)使濾波器的增益很大，這往往是不希望的，為此可對(duì)很高時(shí)，將會(huì)使濾波器的增益很大，這往往是不希望的，為此可對(duì)下下式作修正式作修正：nTtthnh)()(h nTh ttnT( )( )令令第46頁/共133頁在實(shí)際濾波器設(shè)計(jì)中，因模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的表格大都是歸一化低通原型在實(shí)際濾波器設(shè)計(jì)中，因模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的表格大都是歸一化低通原型 ，其濾波器，其濾波器3 3d

18、BdB點(diǎn)截止頻率都?xì)w一化在點(diǎn)截止頻率都?xì)w一化在c 1Hsa( )原因：可將設(shè)計(jì)公式及有關(guān)參數(shù)表格化，使之更通用。我們只要知道濾波器的階數(shù)，就可直接查出低通原型的系統(tǒng)函數(shù)。原因：可將設(shè)計(jì)公式及有關(guān)參數(shù)表格化，使之更通用。我們只要知道濾波器的階數(shù)，就可直接查出低通原型的系統(tǒng)函數(shù)。Hsa( )c當(dāng)濾波器的實(shí)際截止頻率不等于當(dāng)濾波器的實(shí)際截止頻率不等于1 1時(shí)，須進(jìn)行所謂反歸一化，以時(shí)，須進(jìn)行所謂反歸一化，以( (s/ )s/ )代替代替 中的中的s s，即實(shí)際低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)即實(shí)際低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H( (s) )應(yīng)為應(yīng)為H sHsac( )(/)第47頁/共133頁H sHsAssAssac

19、kNkckkNkckc( )()(/)11H sHsac( )(/)H sAsskNkk( ) 1為模擬歸一化原型系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn) skH zZ Th tTAezkNkcs Tkc( )( )111有由,TccH zAezkNkcskc( ) 111第48頁/共133頁kHzfsradfTcccc102,/1020102.035有由,Tcc解：先計(jì)算模擬截止頻率，第49頁/共133頁設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器分三步：4 , 1,) 18478. 1)(17654. 0(1)(8)142(22kessssssHkjka第一步 查巴特沃斯數(shù)字低通濾波器原型表，求得系統(tǒng)函數(shù) 第50頁/共133頁HsAssAs

20、skakkkkkiik( ),(),144114第51頁/共133頁第三步 將 代入下式，kcksA及、整理并化簡(jiǎn)求得H(z)的實(shí)系數(shù)二次形式 H zAezkNkcskc( ) 111H zAezkkcskc( ) 1411101847760884821 1314950618231847760409811 108704031317112112.zzzzzz第52頁/共133頁1 1設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)方法)( jH)(jeH 從頻域響應(yīng)出發(fā)，直接使數(shù)字濾波器的頻域響應(yīng)從頻域響應(yīng)出發(fā)，直接使數(shù)字濾波器的頻域響應(yīng) ，逼近模擬濾波器的頻域響應(yīng)逼近模擬濾波器的頻域響應(yīng) , ,進(jìn)而求出進(jìn)而求出H H( (z z

21、) )。第53頁/共133頁第54頁/共133頁雙線性變換的映射過程 脈沖響應(yīng)不變法的映射過程 第55頁/共133頁 為避免為避免頻域的混疊頻域的混疊，分兩步完成，分兩步完成S S平面到平面到Z Z平面的映射平面的映射TT，v將將S S平面壓縮到某一中介的平面壓縮到某一中介的S S1 1平面的一條橫帶域平面的一條橫帶域v通過標(biāo)準(zhǔn)的變換將此橫帶域映射到整個(gè)通過標(biāo)準(zhǔn)的變換將此橫帶域映射到整個(gè)Z Z平面上去，平面上去，第56頁/共133頁 t gT()12再通過Z變換，將1映射到Z平面的單位圓上 通過下面的正切變換，將S平面的j軸壓縮到S1平面的j1軸上的 TjTj,Tsez1第57頁/共133頁s

22、t hs Tees Ts T()121111再將S1平面按關(guān)系式 映射到Z平面得到 zes T1szz1111zss11雙線性變換雙線性變換 或第58頁/共133頁（1）S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上；（2）位于S左半平面的極點(diǎn)應(yīng)映射到Z平面的單位圓內(nèi)。 seej t gjjj112(),jez 令szz1111帶入表達(dá)式得：說明S平面的虛軸 映射成了Z平面的單位圓第59頁/共133頁sj令 ,帶入表達(dá)式zss11得：zjj112222)1()1(z顯然當(dāng) 時(shí)， 1， 0zS平面的左半平面軸映射到了Z平面的單位圓內(nèi)，保證系統(tǒng)函數(shù)經(jīng)映射后穩(wěn)定性不變 第60頁/共133頁 模擬頻率與數(shù)字頻率是

23、一種非線性的關(guān)系 t gT()12模擬濾波器與數(shù)字濾波器的響應(yīng)與對(duì)應(yīng)的頻率關(guān)系上發(fā)生了畸變，也造成了相位的非線性變化，這是雙線性變換法的主要缺點(diǎn) 雙線性變換法除了不能用于線性相位濾波器設(shè)計(jì)外，仍然是應(yīng)用最為廣泛的設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的方法。 在上刻度為均勻的頻率點(diǎn)映射到上時(shí)變成了非均勻的點(diǎn)，而且隨頻率增加越來越密第61頁/共133頁為了保證各邊界頻率點(diǎn)為預(yù)先指定的頻率，在確定模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)之前必須按下式進(jìn)行所謂頻率預(yù)畸變 cct g()2然后將預(yù)畸變后的頻率代入歸一化低通原型Ha(s) 確定H sHsac( )(/)最后求得數(shù)字系統(tǒng)函數(shù) H zH sszz( )( )111111111

24、)(zzsacsH第62頁/共133頁11112zzTsszz1111與右式有一個(gè)2/T的系數(shù)的差別?，F(xiàn)說明T的取值。 第63頁/共133頁上式可由用數(shù)值計(jì)算的方法求解一階輸入-輸出模擬系統(tǒng)的過程中推得。設(shè)一階模擬系統(tǒng)函數(shù)為 bsasHa)(對(duì)應(yīng)的一階微分方程為 )()()(taxtbytyaaa)(tya將 表示成 的積分形式 )(tya)()()(00tydtytyattaa11112zzTs第64頁/共133頁采用梯形法近似計(jì)算定積分，令步長(zhǎng)為T，并設(shè)t=nT，t0=（n-1）T，用T代替d，以上積分式可近似為： ) 1() 1()(21)(TnyTTnynTynTyaaaa帶入一階微分

25、方程) 1() 1()()(2) 1()(TnaxTnbynTaxnTbyTTnynTyaaaaaa第65頁/共133頁令 、)()(nTxnxa)()(nTynya)1()()1()(2)1()(nxnxanynybTnyny一階差分方程化為： bzzTazXzYzH11112)()()(對(duì)上式兩邊進(jìn)行Z變換，得到： 第66頁/共133頁得到了雙線性變換的關(guān)系 11112zzTs其中T為用梯形法近似計(jì)算定積分的步長(zhǎng)，或?qū)⒛M信號(hào)離散為抽樣信號(hào)時(shí)的抽樣間隔抽樣間隔 由以上的推導(dǎo)過程可見，T的取值可以任選，只要滿足 Ts即只要保證將模擬頻率帶限在之間，不會(huì)產(chǎn)生因多值映即只要保證將模擬頻率帶限在之

26、間，不會(huì)產(chǎn)生因多值映射產(chǎn)生頻率混迭現(xiàn)象。射產(chǎn)生頻率混迭現(xiàn)象。 第67頁/共133頁另一方面，當(dāng)變換關(guān)系采用下式時(shí) 11112zzTs將有關(guān)系式sTsTz)2/(1)2/(1)2(2tgT和第68頁/共133頁11)2/tan(1112)2/tan(12zzzzTTspccc當(dāng)由歸一化的模擬變量p變到數(shù)字變量Z的過程中，系數(shù)2/T已被消去。這再一次說明T取值的大小是不重要的。 考慮到利用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的過程 cspapHsH| )()(11112)()(zzTssHzH第69頁/共133頁設(shè)計(jì)參數(shù)：通帶數(shù)字截止率 ，通帶內(nèi)最大衰減 阻帶數(shù)字截止率 ，阻帶內(nèi)最小衰減 dBAp5 . 0

27、dBAs1525. 0p55. 0s解 第一步 進(jìn)行頻率預(yù)畸變求 sp 、0.4142136tg0.125)2(pptg1.1708496tg0.275)2(sstg第70頁/共133頁第二步 計(jì)算巴特沃斯型數(shù)字低通濾波器的階數(shù) 2.6586997)/lg()110/() 110lg(21)/lg()/lg(1 . 01 . 0psAApspsN取N=3 第三步 通過查表求得3階巴特沃斯低通濾波器原型的系統(tǒng)函數(shù) )1)(1(1)(2ssssHa第71頁/共133頁第四步 求3dB截止頻率 ，并反歸一化求得 cH sHsac( )(/)pANcppjH1 . 02210)/(11| )(|解得：

28、 ，反歸一化求 得0.588148c)345918.0588148.0)(588148.0(203451.0)/()(2ssssHsHca第五步 求得H(z)代入雙線性變換公式，化簡(jiǎn)后求得 1111)()(zzssHzH)3917468.06762858.01)(259328.01()1(0662272.0)(21131zzzzzH第72頁/共133頁11111)()(zzsacsHzH也可按下式將第三步與第四步可合并在一起進(jìn)行，求出H(z) 設(shè)計(jì)濾波器的幅度響應(yīng)與相位響應(yīng) 第73頁/共133頁進(jìn)行頻率變換有以下兩種基本方法 ：第74頁/共133頁第75頁/共133頁1歸一化模擬低通原型到數(shù)字

29、高通濾波器的頻率變換歸一化模擬低通原型到數(shù)字高通濾波器的頻率變換 設(shè)歸一化模擬低通原型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 )(pHaLp為模擬域內(nèi)的拉氏變量 ，模擬域內(nèi)從低通到高通的變換為以p-1代替p： HpHpaHaL( )(/)1第76頁/共133頁反歸一化，即以 帶入上式 csp求得反歸一化后的高通濾波器的傳輸函數(shù)H(s) H sHsHsaHcaLc( )()()雙線性變換，得數(shù)字高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z) 11111111)()()(zzpaLzzscpHsHzHHpHpaHaL( )(/)1第77頁/共133頁1111zzpc 模擬濾波器與數(shù)字濾波器的頻率以及3dB截頻 與 之間的關(guān)系： cc2

30、cctg直接由歸一化低通原型變換成數(shù)字高通濾波器的由： 可得22ccctgcjp/第78頁/共133頁解 三階巴特沃斯型歸一化模擬低通原型的系統(tǒng)函數(shù)為 HppppaL( ) 122132頻率預(yù)畸變 /s)0.3249(rad)tg(0.12cctg得到數(shù)字高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 1111113249. 023111221)()(zzpzzpaLppppHzHc3213157016. 0241976. 23358. 3859208. 1)1 (zzzz第79頁/共133頁解 1、頻率預(yù)畸變求模擬低通的截頻 和阻帶下邊頻 cscs例例5-5-2 設(shè)計(jì)一巴特沃斯型高通數(shù)字濾波器，3dB的 0.2弧度

31、阻帶下邊頻 0.05弧度，阻帶衰減 AS48dB，求濾波器的系統(tǒng)函數(shù)/s)0.3249(rad)tg(0.12cctgad/s)1.341267(r 22scsctg2、計(jì)算低通濾波器的階數(shù)N , 3.8976)/lg()110lg(211.0csAsN取N4第80頁/共133頁4 、 利用直接變換關(guān)系求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z) 1111)()(zzpaLcpHzH4321414324. 04366. 2346. 54743. 53103. 2)1 (zzzzz3、查表5-2-2，得N=4時(shí)巴特沃斯低通原型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 HpppppaL( )(.)(.)107654118478122

32、第81頁/共133頁第82頁/共133頁直接尋求模擬低通到數(shù)字帶通之間的映射關(guān)系 l0uslsus ： 中心頻率 ：下邊頻和上邊頻 ：下阻帶上邊頻 ：上阻帶下邊頻 ：模擬的阻帶下邊頻 第83頁/共133頁 0000zesj(零點(diǎn)) 01,zsj(極點(diǎn)) 數(shù)字帶通到模擬低通的映射應(yīng)滿足的映射關(guān)系 第84頁/共133頁sszezezzzzzjj( )()()()()cos0011211202穩(wěn)定變換：S平面穩(wěn)定的函數(shù)變換到Z平面也是穩(wěn)定的 例如設(shè)0z=r1,則有 01)cos1 (2)1 (11cos2202202rrrrrrs表明：Z平面單位圓內(nèi)的極點(diǎn)變到了S平面的左半平面 第85頁/共133頁

33、jez 其次令 代入上式，可得頻率變換關(guān)系 jjeeesjjjsincoscos11cos20202表明：Z平面單位圓變換到了S平面的虛軸 第86頁/共133頁sususbsincoscos01c當(dāng) 時(shí)，反歸一化處理csp/) 1(1cos2202zzzspcc)2cos()2cos(cos0luuluucsincoscos0第87頁/共133頁例例5-5-3 設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴氏數(shù)字帶通濾波器對(duì)模擬信號(hào)濾波,上下邊帶的3dB截止頻率為 =12.5kHz, =37.5kHz,阻帶邊頻 = 45.125 kHz,采樣頻率為 =100kHz。并求阻帶的最小衰減。 f21f2sfsf解: 1）先確定上下

34、邊帶的3dB數(shù)字截止頻率，及上阻帶下邊頻 radffs75. 010/105 .372/25311radffs25. 010/105 .122/25322radffssu925. 010/10125.452/25322）確定數(shù)字中心頻率: 0)2cos()2cos(cos212105 . 00得：第88頁/共133頁3）求模擬低通截止頻率和阻帶下邊頻 c1011050750751coscossincos .cos .sin .1653. 4)925. 0sin()925. 0cos()5 . 0cos(sincoscos0uus4）求 , 當(dāng) =1時(shí),三階巴氏低通濾波器的傳輸函數(shù)為: Hsa(

35、 )cHssssa( ) 1221325）求H(z),將 代入上式得 szzzzz2022221111cosH zHszzzzaszz( )( )22112464121333第89頁/共133頁fs26）求相對(duì) =45.125kHz處的阻帶的最小衰減。由下式 sANcssjH1 . 02210)/(11| )(|得：)/(11log10210NcssA代入 和 及N=3，求得 csdBAs18.37第90頁/共133頁第91頁/共133頁第92頁/共133頁假定變換前的平面為z平面，變換后的為Z平面，這種變換就是要將z平面的系統(tǒng)函數(shù) 映射成Z平面的系統(tǒng)函數(shù) 。假設(shè)從z到Z的映射關(guān)系為 )(zH

36、L)(ZHd)(11ZGz)(11| )()(ZGzLdzHZH則有：第93頁/共133頁變換函數(shù) 必須滿足以下三個(gè)條件： )(1ZG（1）為滿足一定的頻率響應(yīng)要求，z域的頻率必須變換成Z域的頻率，也就是說平面的單位圓必須映射到Z平面的單位圓上； （2）為保證由因果穩(wěn)定的系統(tǒng)變換得到的系統(tǒng)也是因果穩(wěn)定的，要求平面的單位圓內(nèi)部必須映射到Z平面的單位圓內(nèi)部； （3）由于 是z-1的有理函數(shù)，為了保證變換后的 也是Z-1的有理函數(shù)，要求變換函數(shù) 必須是Z-1的有理函數(shù)。 )(zHL)(ZHd)(1ZG第94頁/共133頁設(shè) 和 分別為z 平面和Z 平面的數(shù)字頻率變量，即 jez jeZ 得帶入)(1

37、1ZGz)(arg| )(|)(jeGjjjeeGeGe有：1| )(|jeG)(argjeG表明函數(shù) 在單位圓上的幅度必須恒等于1全通函數(shù)，任何全通函數(shù)都可以表示為NiiiZZZG11*111)()(1ZG第95頁/共133頁保證極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，即 ，以保證變換后穩(wěn)定性不變 1|iNiiiZZZG11*111)()(1ZG的所有零點(diǎn)都是其極點(diǎn)的共軛倒數(shù) ，)/1 (*i當(dāng) 由0變到 時(shí)，全通函數(shù)相角 的變化量為 。選擇合適的N和 ，則可得到各類變換 )(argjeGNia第96頁/共133頁)(zHL)(ZHd 和 都是低通系統(tǒng)函數(shù)，只是截止頻率不同)(zHL)(ZHd 從0變到 時(shí)， 也應(yīng)

38、從0變到 ，由全通函數(shù)相角變化為 ，可確定此處階數(shù)應(yīng)為 ，故變換函數(shù)為一階全通函數(shù) N1N11111)(ZZZGzjjeZez,帶入，注意為實(shí)數(shù)。得頻率間關(guān)系為 ：jjjeee1第97頁/共133頁cos1sinarctan2cos)1 (2sin)1 (arctan22由此求得 與 之間的關(guān)系：，線性時(shí)，0時(shí)，頻率壓縮0時(shí)，頻率擴(kuò)張0第98頁/共133頁對(duì)于幅度響應(yīng)為分段常數(shù)的濾波器，變換后仍可得類似的頻率響應(yīng) 設(shè)低通原型的截止頻率為 ，變換后的對(duì)應(yīng)截止頻率為cc帶入下式得：jjjeee122sincccc 由截頻為 的 得到截頻為 的 變換關(guān)系：cc)(zHL)(ZHd1111| )()(

39、ZzzLdzHZH第99頁/共133頁低通變成高通，只需將頻率響應(yīng)旋轉(zhuǎn)180，即將Z變換成-Z即可旋轉(zhuǎn)變換 11111)(ZZZGz將下式中的 用 代替，1Z1 Z得到低通到高通的變換1111ZZz2cos2coscccc第100頁/共133頁數(shù)字帶通 數(shù)字低通 數(shù)字帶通 數(shù)字低通 1000zeZj11, 0zZ 從0變到 時(shí)， 也應(yīng)從0變到 ，因而全通函數(shù)的階數(shù)應(yīng)為22N第101頁/共133頁則有：111111*11*)(ZZZZZGz111222112ZZZZ變換函數(shù)參數(shù)的確定列于表5-5-4 第102頁/共133頁100zeZj110, 0zZ 從0變到 時(shí)， 也從0變到 ，因而全通函數(shù)

40、階數(shù)為22N時(shí)，當(dāng)11Z1) 1 (1Gz，得變換關(guān)系：1111111*1)(ZZZZZGz111222112ZZZZ變換函數(shù)參數(shù)的確定列于表5-5-4 第103頁/共133頁 截止頻率為 的低通數(shù)字濾波器變換成各型數(shù)字濾波器 c變換公式見表5-5-4 ，P第104頁/共133頁第105頁/共133頁設(shè)信號(hào)為 ， 為干擾頻率,需要將其濾掉 x ts tAt( )( )sin00則要求濾波器的傳輸函數(shù)為: |()|H j1000其數(shù)字域的傳輸函數(shù)為: |()|H ej1000/ fTs其中數(shù)字陷波器的頻率響應(yīng) 第106頁/共133頁二階模擬陷波器傳輸函數(shù)為 202202)(BssssH其幅度響應(yīng)

41、為 22220220)(| )(|BjH3dB帶寬為 分別為在陷波頻率的上邊頻和下邊頻幅度增益為-3dB的頻率。 1212,、B采用雙線性變換，可求得二階數(shù)字陷波器傳輸函數(shù)如下 第107頁/共133頁1111| )()(zzssHzH2201202022012020)1 ()1 (2)1 ()1 ()1 (2)1 (zBzBzz2121)1 (1)1 ()1 (2)1 (21)(zzzzzHBB202011202011)2/tan(1)2/tan(1BB0cos采用雙線性變換，可求得二階數(shù)字陷波器傳輸函數(shù)如下 可改寫成 其中：陷波頻率 ，數(shù)字3dB帶寬 與 之間的關(guān)系： 012B,第108頁/

42、共133頁解解：先求數(shù)字陷波頻率和數(shù)字3dB帶寬： 3 . 0)400/60(2003. 0)400/6(2B0.8816186)2/tan(1)2/tan(1BB0.587785cos0數(shù)字傳輸函數(shù)為 2121881618. 0105987. 11940809. 0105987. 1940809. 0zzzz2121)1 (1)1 ()1 (2)1 (21)(zzzzzH第109頁/共133頁IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可表示為 H zb za zc zd zkNkkNkrMrkNk( )()()01111111111由于零極點(diǎn)的共軛成對(duì),先討論二階的情況: H zz ez ezpzpijjii(

43、 )()()()()*1111111100傳輸函數(shù)在 處具有無限大的衰減，為了保證在 時(shí),信號(hào)無衰減,必須在 附近配置上兩個(gè)極點(diǎn) ，使 000|( )|H z 1第110頁/共133頁若一個(gè)二階的系統(tǒng)不能滿足要求,可采用多個(gè)二階系統(tǒng)的級(jí)聯(lián) 三個(gè)二階系統(tǒng)的 級(jí)聯(lián) 第111頁/共133頁二階系統(tǒng)的零極點(diǎn) 分布：3個(gè)零點(diǎn)在 ，極點(diǎn)分布在以為半徑,以 為圓心的圓弧上，以保證 0jez 0jez |( )|H z 1第112頁/共133頁極點(diǎn)坐標(biāo)為 ：)(00ijjieep320111iiii其中總的傳輸函數(shù)為 H zH z Hz Hz( )( )( )( )123設(shè)計(jì)的問題就是如何選取 使 時(shí)，使即如

44、何選取參數(shù)及 pizzej00|( )|H z 1i3)、參數(shù)、參數(shù)及及 的選擇的選擇1將 和 代下式：pi1H zz ez ezpzpijjii( )()()()()*1111111100第113頁/共133頁可得： 2*1210)(1cos21)(zppppzzzzHiiiii其中：ppiii*coscos()200p piii*cos122設(shè)實(shí)際實(shí)現(xiàn)濾波運(yùn)算時(shí)存在的有限字長(zhǎng)差為 ， 20cos實(shí)際為 20cos，實(shí)際的零點(diǎn)將從 移到00表示由于計(jì)算誤差而產(chǎn)生的陷波頻率的偏移 從而有：2200coscos()或者cos()cos002第114頁/共133頁當(dāng) 很小時(shí)， 20sin表明實(shí)際的

45、陷波點(diǎn)移動(dòng)了 20sin為使濾波器仍然對(duì) 陷波 0要求移動(dòng)遠(yuǎn)小于，由此得出了確定的準(zhǔn)則 ：|sin2|0同時(shí),為了保證在 時(shí)， ，又要求0|( )|H z 1 1越小，越接近理想的幅度特性，但太小，計(jì)算舍入誤差將十分敏感，有時(shí)會(huì)發(fā)散，因而對(duì)參數(shù)的選取要根據(jù)實(shí)際情況反復(fù)調(diào)整試驗(yàn) 第115頁/共133頁參數(shù)參數(shù)及及 選定后，得到下述二階差分方程選定后，得到下述二階差分方程 1y nx nx nx nppy np p y niiiiiiiiii( )( )cos()()()()()*212120第116頁/共133頁0由于有限字長(zhǎng)的誤差，使傳輸函數(shù)的零極點(diǎn)到發(fā)生了偏移，在 點(diǎn)的實(shí)際衰減將變成了有限值，用矢量的方法，可求得在 點(diǎn)的幅度值為 0030|sin2| )(|0jeH其用dB來表示的衰減為 dBeHj|sin|lg6018| )(|log2000第117頁/共133頁第118頁/共133頁第119頁/共133頁設(shè)希望設(shè)計(jì)濾波器頻響為 ，實(shí)際設(shè)計(jì)濾波器頻響為其均方誤差E的表達(dá)式為 )(jeH)(jdeH21)()(ijdjiieHeHE第120頁/共133