(完整版)因式分解相關(guān)知識(shí)點(diǎn)整理【競賽專用】

1、若二次三項(xiàng)式ax bx c的系數(shù)和a b c 0，則ax bx c(x1)(ax c) 因式分解相關(guān)知識(shí)點(diǎn)整理【競賽專用】1.因式分解的思路：“一提、二代、三分組”2.常用公式：1a 2 b 2 (a b)(a b) 2(a b) 2 a 2 2ab b 2 3a 3 b3 (a b)(a 2?ab b 2 ) 4(a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b3 5若n為正奇數(shù)，則 a n b n (a b)(a n1 a n2b a n3b 2 ab n2 b n1 ) 6若n為正整數(shù)，則 a n b n (a b)(a n1 a n2b a n3b 2 ab n2 b n1 ) 應(yīng)用公式

2、時(shí)，按某個(gè)字母降冪排列是一個(gè)簡單而有用的措施，值得注意。3.常用分組方法（注意：每組項(xiàng)數(shù)須平均分配）：（1）按不同字母分組（2）b.按不同字母的冪分組（冪次相近的放在一起）（3）按不同項(xiàng)的系數(shù)分組注：當(dāng)分組不當(dāng)，無法繼續(xù)分解原式時(shí)，就應(yīng)回到分組前的狀況4.拆項(xiàng)與添項(xiàng)（1）若整式按某一字母的升冪或降冪排列，那么以拆開中項(xiàng)為宜。（2）可以配完全平方（配方法）5.十字相乘法（二次齊次式ax 2 bxy cy 2也可用此法分解，令y 1代入原式即可）ax + c 例子：bx + d x + 2 adx + cd x + 3 abx 2 + bcx 3x + 6 x 2 + 2 x abx 2 + (a

3、d bc) x + cd x 2 + 5x + 6 將以上豎式簡化，就可以得到十字相乘法的豎式：a b ab bc c d 5 1 1 2 3 補(bǔ)充一個(gè)結(jié)論：2 2 第1頁 - 2008.09 - v1.01三次齊次輪換式：l(x y z) m(xy yz zx) m(xy yz zx) kxyz 6.雙十字相乘法（應(yīng)用于形如ax 2 bxy cy 2 dy ey f的二元二次式，或者是形如ax 2 bxy cy 2 dxz eyz fz 2的三元齊次式.）把其中三組二元三項(xiàng)式或二元齊次式分別用十字相乘法來分解，如果其中兩組包含相同字母的分解式所得到的數(shù)字一樣.且另外兩個(gè)不同字母的結(jié)果符合某一

4、項(xiàng)的系數(shù)的話，分解式的系數(shù)就為第一行的三個(gè)數(shù)和第二行的三個(gè)數(shù)，直接代入原式即可. 7.換元法（略）8.余數(shù)定理（x、y的齊次式也可以采用同樣的方法）f ( x) an x n an1x n1 a1x a0 如果f (c) 0，那么( x c)是f ( x)的因式，反過來，如果( x c)是f ( x)的因式，那么f (c) 0 .（證明過程略）注：有理根cp q 的分子p是常數(shù)項(xiàng)a0的因數(shù)，分母q是首項(xiàng)系數(shù)an的因數(shù) . 如果整系數(shù)多項(xiàng)式f ( x)的系數(shù)為1. q 1，有理根都是整數(shù)根. 補(bǔ)充三個(gè)重要結(jié)論：（1）若多項(xiàng)式的系數(shù)和等于0，那么1 是它的根，即( x1)是它的一次因式. （2）若

5、多項(xiàng)式的偶次項(xiàng)系數(shù)的和減去奇次項(xiàng)系數(shù)的和等于0，那么 -1 是它的根，即( x 1) 是它的一次因式. （3）若多項(xiàng)式可以分解為幾個(gè)有理數(shù)系數(shù)的積，則其一定能分解為幾個(gè)整系數(shù)的多項(xiàng)式的積. 9.待定系數(shù)法設(shè)待定系數(shù)，通過比較系數(shù)得出方程組，利用系數(shù)為整數(shù)的條件求解即可. 10.輪換式與對(duì)稱式兩個(gè)輪換式（對(duì)稱式）的和、差、積、商仍然是輪換式（對(duì)稱式）. 基本輪換式一次齊次輪換式：l( x y z) 二次齊次輪換式：l( x 2 y 2 z 2 ) m( xy yz zx) 3 3 3 2 2 2 2 2 2 這里，l、m、n、k都是待定常數(shù)第2頁 - 2008.09 - v1.01（2）a b

6、c 3abc（3）當(dāng)a b c0時(shí)，a b c 3abc （2）代數(shù)基本定理：在復(fù)數(shù)集內(nèi)，對(duì)于多項(xiàng)式f(x) anx an1x ，并且1，（可將x代入1 1 設(shè)f(x) anx an1x 3.p不整除a0. 補(bǔ)充兩個(gè)常用公式：（1）a 3 b3 c 3 3abc (a b c)(a 2 b 2 c 2 ab bc ca) 3 3 3 1 2 (a b c)(a b) 2 (b c) 2 (c a) 2 ) 3 3 3 11.實(shí)數(shù)集與復(fù)數(shù)集內(nèi)的分解（1）利用二次方程求根公式來分解二次三項(xiàng)式. n n1 a1x a0（n 是正整數(shù)），一定有復(fù)數(shù)c使得f (c) 0 . （3）實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的虛數(shù)根是

7、兩兩共軛的.因而，在實(shí)數(shù)集內(nèi)每個(gè)多項(xiàng)式都可以分解為一次因式與二次因式的積. （4）1 的立方虛根1 3i 2 3 2 2 多項(xiàng)式，求得因式）（5）單位根：一般地，在復(fù)數(shù)集內(nèi)有n個(gè)n次單位根，它們是cos 2 kn i sin 2kn (k 1,2, , n)，其中cos 2 nn i sin 2 nn 1 如果k與n互質(zhì)，則cos 2 kn i sin 2 kn 稱為本原單位根. （6）分圓多項(xiàng)式：與n次本原單位根對(duì)應(yīng)的一次因式的積的整系數(shù)的多項(xiàng)式. 分圓多項(xiàng)式在有理數(shù)集內(nèi)不可約的. 12.既約多項(xiàng)式相關(guān)知識(shí)（1）艾森斯坦（eisenstein，18231852）判別法n n1 a1x a0是整系數(shù)多項(xiàng)式如果存在一個(gè)質(zhì)數(shù)p滿足以下條件：1. p不整除an；2.