《通信原理》第六版_樊昌信、曹麗娜課后答案_第三章__隨機過程[1]

1、本章練習題:3-1 .設匸是> - 的高斯隨機變量，試確定隨機變量；，的概率密度函數(shù)旳)其中均為常數(shù)。查看參考答案«因為高斯隨機變量經(jīng)過線個卓換后仍是副型，所嘆F也是高 斷隨機變量.的均值:IY=EcX = r的方差:WI = £ -i/)1 = £():1 = - (A?: = *(7 - =3-2 .設一個隨機過程匚可表示成扌f)二 2 cos(2flt + &)式中，U是一個離散隨機變量，且'"=:叫憐試求町(1)及如叮)。查看參考答案堺在zi時，w:的均值:【訂=£2 ccH 2-rr + 歹.；二 2-T(ci；

2、2 * ?'=2Zco?甸=1+二血 ! = 1在t=C, r = l時，門的自相關函數(shù)&0 , 1(0) fI.J 5lccstf ； f <1ES=-tC£5；t =-3-3 .設隨機過程Y(t) = Xx cos 一 X sin ®ot,若一與-是彼此獨立且均值為0、方差為的高斯隨機變量，試求:(1) LX、兒-(2) 的一維分布密度函數(shù)(3) 和查看參考答案解(1)Fr(r： = EX. cos J r 5ina)j =込 心應 + £y.-占in *y：x ;I = 0JTa(f) = £(Jr； toadv - Jl-!

3、曲1 dJf)a»cos1血 2at *EX.XJ 十沁 © "£就 j因?qū)澢o和匚相互獨立，所以FXLXJ> ZXJ»£XJ又因砂小,所以£"i' 1(r)J co* "冊/ _ *iii3 曲護)* c ©F 0的方差DF(r) = rFa(i -"；"< 2)因?qū)漐和疋：服從鬲斯分布我if ；是工;和兀的線性組合 所以(J :也服從高斯分布其一維厲率窸度函數(shù)C3)丘厲並)= £】ST(叩£I(XL c« 如i -X； si

4、n 矣JKX cos 0 -X2 總)3 ? Jcos jyer. co& + $ui(y；r, silt fitjJ =a ' cos 3(rt -r: ； = £F; cos 出：匚一 t. -a : cos *yr5r.= Jl(J!Fr 一 E：:. Zi(i3)J因為£二兀=：所以1和【自相關函3(;.= J!；:. f t:, = J J mjj fi? <3-4 已知i'1和門 是統(tǒng)計獨立的平穩(wěn)隨機過程，且它們的均值分別為(1 )試求乘積 z no 的自相關函數(shù)。(2 )試求之和 Z(i) = X(i) + y(t) 的自相關函數(shù)

5、。查看參考答案&仇£： - Z(ra) -£JT(r.yt'(r3)-£Z(/t)X(r;) 7 一匚)y = £JT(ft皿)> £T0,)7( (Xt?W立*Z：.j) =耳XQ+F“【航0十環(huán)=£Ai:AXr.)+A7r.疋(r J+ F (r.)Ar; ) + T(j,遼習=.(r) + 召丹-t-Oj-CT- + 7(r) 評注；兩個獨立的平穩(wěn)施機過程，苴慈的哥目關函數(shù)等于它們各 自的卽跌函數(shù)的秦積:苴和的自相關函數(shù)等于它D&自的自相其函 數(shù)的之和”并外抑兩者均值之積的£倍3-5 已知

6、隨機過程 -.、一丁 ，其中是廣義平穩(wěn)過程，且其自相關函數(shù)為-1< r<00<r<l苴它隨機變量在(0，2 * )上服從均勻分布，它與"1 I彼此統(tǒng)計獨立(1) 證明：丨I是廣義平穩(wěn)的；試求功率譜密度及功率(2) 試畫岀自相關函數(shù)匚的波形; 查看參考答案解 0欲證隨機過程二（r廣義平穩(wěn) > 只需驗證二的均佰與時間 無關，自相關函數(shù)僅與時間間隔:有關即可。由題意可知，加的均值為常數(shù)；/丄（0£6"»所以£X01-£Wr)co5<+)-£?n(x)e £co畑-&) OS為

7、mfr)獨茁Ew(r) i 'Tcoii + 0)_5=0Rd =三垃：)改)】=Zw(r.)« cos(cr. + £ 劌) cos(叫-4)= £m(f.)e 曲(r J Ecos(g“ -6) costcy.h + ff)J ;lzos2(9 + cuG. +r,). +£1 二<(O 0 + -ycos <yc(r.-r2) jC8p& + 叫匕 + )+叫(I 一 ") =*=(：)+«>5 33廠-R.(r)可見，殆）的均值與無關，自#聯(lián)函數(shù)僅與時間間隔:有關，故io r義平穩(wěn)。(2)&a

8、mp;(C = 2d(r)cg 6)J = 1(1* r)cos o0r -1 < r < 0 X1-(1 - r)cos ocr 0 < r < 10其他<35因為比)廠義平穏所肚電t瘁譜密度三心.匕 由圖3-1可見的波老可視為余弦函數(shù)與三角函嫌稅.利用傅里葉婆描的頻域卷親陸質(zhì)町律【3士叫+去3-%】冉曲|軟11J.an. -''(1? - L1J. 平均功率J ：(>)苓3-6 已知噪聲：'.；的自相關函數(shù)為(匚為常數(shù)):門=(1 )試求其功率譜密度 RM 及功率-；(2)試畫岀丄"及 W) 的圖形。查看參考答案(1.對

9、于平穩(wěn)過程聰A /有巴個:= 心：”因此JJ,(®)- J*A,(r)ff_iXVdt -y |4*, iKrfr +£ J*廣嚀r - 耳|_ p.2 I K - io Jc H- 1 i; !討 再&(Q)=?C2) &(r和充"的圖形如圖3專所示-3-7 一個均值為_，自相關函數(shù)為廠."的平穩(wěn)隨機過程 ：通過一個線性系統(tǒng)后的輸岀過程J為延遲時間)(1試畫岀該線性系統(tǒng)的框圖；(2)試求打；的自相關函數(shù)和功率譜密度。查看參考答案ft C 1)性救框型DU3七所示n(2)很據(jù)平穩(wěn)過程龍工通過圈生萊撫后瞞出過程?。阂彩瞧椒€(wěn)的j臥及由錐纟 辛

10、欽定理可知兀i: = <、' K& »了：的自相關函數(shù)為* 捻左幕瓷呼匡&心 巫購甌F=司缺少澀一琳澀T - AV-一門=耳款艸 F + 衛(wèi)艸 + -T) +款£ -r)-hT(r-7>¥(?-7-7) =(rJ+JEffr-T)七堆(f+7)4兀2»左(巧+禺(匸_7)+禺住+7)功率諳窖度盜 2Pv:-P-.(£l s' -P："H e - = 2tl- zciT:已3另一種方法:利用公式至應=|£>吧住求解該系圻的單位響應苴相應的僅謹函數(shù)所以 真< Q =障:劇4

11、氏御=】；-d孫Pk *?;Aj.(r) -2Aj(r)i+丘拭*+&：(r*H3-8. 個中心頻率為丄、帶寬為的理想帶通濾波器如圖3-4所示。假設輸入是均值為零、功率譜密度為-I的高斯白噪聲，試求:圖3-4(1濾波器輸岀噪聲的自相關函數(shù)；(2) 濾波器輸出噪聲的平均功率；(3) 輸出噪聲的一維概率密度函數(shù)。查看參考答案(1 >已知高斯白噪聲的功率諸密度戶廣-壬 > 所以澹淡器輻出噪聲論的功率諸密度警何(Z)f -2 亠 亠c根據(jù)只打 二懇廣，輸岀噪聲g的自*跌函數(shù)兀-廣昱bw* 尹-疔-嚴子竽”“或” *-?#*>! 2磊T 二叫占Wh hB r : zes二兀匚r

12、c 2 >哄的平均的A",冬匚3)叫遲或圖3-5查看參考答案圖3-5查看參考答案圖3-5查看參考答案c 3 3肓斯過程通過線性翳充后如出仍為髙斯過程A HWrrr. If j= r>= ! > Jf；C =cb 亠 憐；'t) R-.'.: J 氏 y>) 嗎占因此"輔i出噪聲叮r的一維覘率密廈函數(shù)、空_J 斗何-_:- ” j的高斯白噪聲,3-9. 一個RC低通濾波器如圖3-5所示，假設輸入是均值為零、功率譜密度為 試求：(1) 輸岀噪聲的功率譜密度和自相關函數(shù);輸出噪聲的一維概率密度函數(shù)。圖3-5查看參考答案ROHraiBimia

13、mraiaiHraiBiaaii圖3-5查看參考答案體 C 1 ） BC愜通連滾韜的佞輸函敷33 -輸出瞬聲弋心的功率謹密度為根據(jù)丘:"Q翠g 幷利J用可傅餐工的自相共函數(shù)c 2工*豳隨機過程通逗議性系舜&理論可得揃出噪聲十的均值和方差因為高斯過程通過摘主耒読后的揃出仍対高斯過程"所以輸出噪走Jkrr評注：高斯迥程謹過線性系銃后的輸出仍為高斯過程*旦數(shù)宇恃征可電冒責化.3-10. 一個LR低通濾波器如圖3-6所示，假設輸入是均值為零、功率譜密度為I ；的高斯白噪聲,試求：（1）輸岀噪聲的自相關函數(shù);（2）輸出噪聲的方差。:率相等?，F(xiàn)假設任一間隔內(nèi)波形取值與任何別的間

14、隔內(nèi)取值統(tǒng)計無關，且具有寬平穩(wěn)性， 試證:(2)功率譜密度* CiK通濤波器的傳輔函數(shù)輸出噪詞的功率諳密度為職心 陽二訂;根據(jù)&紀八井利用可保輸岀疇聲的目相頰麹(2>j岀噪聲的方差3-11 .設有一個隨機二進制矩形脈沖波形，它的每個脈沖的持續(xù)時間為'一，脈沖幅度取 的概(1)自相關函數(shù)一L'.- ' '=3-12 .圖3-7為單個輸入、兩個輸岀的線性濾波器，若輸入過程是平穩(wěn)的，求 與丁的圖3-7查看參考答案互功率密度的表達式由題意可知 這是一個等槪發(fā)送的敲極性矩形脈沖序列I可參考C逋信原理第&版的第6章133頁式6 1-2&和1叩頁

15、【例5-2,不準征明（G?!=何GF彳駅綣納一一辛鐵是理：?利用掃畫數(shù)U門函數(shù)蔭個丹函數(shù)相乘Q兩個門函數(shù)篩，可氐證明自*咲函數(shù)為一空遞，即ytu I曲 八卞I柑匸證明過程省略.3-13 .設平穩(wěn)過程 X 的功率譜密度為 巴 ，其自相關函數(shù)為尺）。試求功率譜密度為卩m十叫）+P （砧叫）/2'"'°所對應的過程的自相關函數(shù)（其中， 叫為正常數(shù)）。石遲9 *他“為“所対應的過IV的*11變函歎具中*臨為|圧4y）.Wt所求為.f|F ：舟3+叫、十耳-+匸E "+兔匕cos2r£A?t (r)cusf-y,rjL二 11.4 -3-14 .-

16、''是功率譜密度為 門 的平穩(wěn)隨機過程，該過程通過圖3-8所示的系統(tǒng)。圖3-8（1 ）輸出過程是否平穩(wěn)?(2 )求 F(t) 的功率譜密度查看參考答案解(1)因為綾性琳的愉入£是平穩(wěn)過程 > 所以苴輸出過程 T :也是平穩(wěn)的。該務的傳輸函數(shù) J4 _ H li*,幻(隹”：# *" ) Jffl- 2cm-=? J0/訂的功率譜密度齊童! 闕P冷:-2-1 - m 加T ?£；： n：i3-15.設： I是平穩(wěn)隨機過程，其自相關函數(shù)在(-1,1 )上為 呂爐QT0 ，是周期為2的周期性函數(shù)。試求力的功率譜密度；.|：|，并用圖形表示 查看參考答案K 設貯；在區(qū)間C1J)上的戡頻函數(shù)為毛即則周期彳擁自*跌函數(shù)可表示為疋(f) 禺(r： *r(r)利用耳 7 03 N% +<-f)=二應遼 UV e?xyJGajm) T2并根據(jù)FJ# o工：和傅里葉變換的時域卷稅定瑾，可得丁吐的5 .: = ?./ -.: - S.r