數(shù)學(xué)選修2-1第三章空間向量與立體幾何法向量求線面角

1、平面法向量及其應(yīng)用二面角的定義二面角的定義 從一條直線出發(fā)的兩個半平面一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫二面角所組成的圖形叫二面角; ;這條直線這條直線叫做二面角的棱叫做二面角的棱; ;這兩個半平面叫這兩個半平面叫二面角的面二面角的面. . 二面角的表示法二面角的表示法: : 棱為棱為AB,AB,面為面為 , , . . 記作二面角記作二面角 -AB-AB- A B復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): : 二面角的平面角二面角的平面角 1.1.定義定義: : 以二面角的棱上任意一點為端點以二面角的棱上任意一點為端點. . 在兩個平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線在兩個平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線, ,這兩條射線所成的

2、角叫二面角的平面角這兩條射線所成的角叫二面角的平面角. . AOBAOB為二面角為二面角 -a- 的的平面角平面角 A B定義要點定義要點: :.棱上的一點棱上的一點.兩條射線分別在兩個平兩條射線分別在兩個平 面內(nèi)面內(nèi).射線要垂直于棱射線要垂直于棱 a O 1.1.定義定義: : 平面法向量平面法向量 在立體幾何中的應(yīng)用在立體幾何中的應(yīng)用利用法向量求線面角向量與平面垂直向量與平面垂直 如果表示向量如果表示向量 的有向線段的有向線段所在的直線垂直于平面所在的直線垂直于平面 ，則稱，則稱這個向量垂直于平面這個向量垂直于平面 ， 記作記作 aaa( (一一) )平面的法向量的定義：平面的法向量的定義

3、：a如果如果a,那么那么向量向量a叫做平叫做平面面 的法向量的法向量平面的法向平面的法向量有無數(shù)個量有無數(shù)個,它們的方向它們的方向相同或相反相同或相反.如何求平面的法向量如何求平面的法向量? ?ABCDxyA1B1C1D1z1111ABCDABC D1ACD例例1 .在棱長為1的正方體中，(1)求平面的法向量 1n(2)求平面ABCD的法向量.2n（二）（二）: :平面的法向量的求法平面的法向量的求法 2、若已知平面內(nèi)不共線的兩個向量，、若已知平面內(nèi)不共線的兩個向量，常設(shè)常設(shè) 為平面的一個法向量，利為平面的一個法向量，利用用 平面內(nèi)兩個已知向量垂直，得出平面內(nèi)兩個已知向量垂直，得出 之間的關(guān)系

4、，進(jìn)而求出平面的之間的關(guān)系，進(jìn)而求出平面的法向量。法向量。),(zyxn nzyx,1、利用空間的線面垂直關(guān)系找法向量。、利用空間的線面垂直關(guān)系找法向量。1 1、利用平面法向量求直線、利用平面法向量求直線與平面所成的角：與平面所成的角：直線與平面所成的角直線與平面所成的角等于平面的法向量所等于平面的法向量所在的直線與已知直線在的直線與已知直線的夾角的余角。的夾角的余角。（三）平面法向量的應(yīng)用（三）平面法向量的應(yīng)用關(guān)鍵：求平面法向量與直線對應(yīng)的向量的關(guān)鍵：求平面法向量與直線對應(yīng)的向量的夾角，并取其銳角，最后再求其余角。夾角，并取其銳角，最后再求其余角。AB如圖如圖1：直線：直線AB與平面所成的角

5、與平面所成的角 = ( = )2 Cn利用平面法向量求直線與利用平面法向量求直線與平面所成的角：平面所成的角：如圖如圖2：直線：直線AB與平與平面所成的角面所成的角 = ( = )2 圖2ABCn|,cos|sinnBA例例2 2：如圖，正方體：如圖，正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E，F(xiàn) F，M M，N N分別是分別是A A1 1B B1 1，BCBC，C C1 1D D1 1，B B1 1C C1 1的中點，的中點，求求MFMF與面與面ENFENF所成的角的余弦值。所成的角的余弦值。AD1C1B1A1NMFEDCB（1 1）如圖，在正方體

6、）如圖，在正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，M M，N N分別為分別為BCBC、BBBB1 1的中點。求的中點。求ABAB與平面與平面AMNAMN所成的角的大小。所成的角的大小。ANMD1C1B1A1DCB答案：答案： /2-arccos(1/3)或或arcsin(1/3)練習(xí)（2 2）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，BC=2BC=2，原，原點點O O為為BCBC的中點，點的中點，點A A的坐標(biāo)是（的坐標(biāo)是（1 1，1 1，0 0）點）點D D在平面在平面yozyoz上，且上，且 BDC=90BDC=90， DCB=30DCB

7、=30, ,求求與平面所成角的大小。與平面所成角的大小。AOzyxDCB(0,-1,0)(1,1,0)(0,1,0)E30(0,-1/2, 3/2)平面法向量平面法向量 在立體幾何中的應(yīng)用在立體幾何中的應(yīng)用利用法向量求二面角 利用平面法向量求二面角的大小利用平面法向量求二面角的大小求二面角的大小，先求出兩個半平面的法向求二面角的大小，先求出兩個半平面的法向量的夾角，然后根據(jù)二面角與其大小相等或量的夾角，然后根據(jù)二面角與其大小相等或互補(bǔ)求出二面角的大小互補(bǔ)求出二面角的大小 mn如圖：二面角的大小等于如圖：二面角的大小等于 - 利用平面法向量求二面角的大小利用平面法向量求二面角的大小如圖：二面角的

8、大小等于如圖：二面角的大小等于 mn指入、指出平面的法指入、指出平面的法向量的夾角的大小就向量的夾角的大小就是二面角的大小。是二面角的大小。例例3 3：如圖，正方體：如圖，正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E，F(xiàn) F，M M，N N分別是分別是A A1 1B B1 1，BCBC，C C1 1D D1 1，B B1 1C C1 1的的中點，求二面角中點，求二面角M-EF-NM-EF-N的大小的大小AD1C1B1A1NMFEDCB（2 2）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，BC=2BC=2，原點原點O O為為BCBC的中點，點的中點，點A A的坐標(biāo)是（的坐標(biāo)是（1 1，1 1，0 0）點點D D在平面在平面yozyoz上，且上，且 BDC=90BDC=90， DCB=30DCB=30, ,求二面角求二面角D-BA-CD-BA-C的大小的大小AOzyxDCB(0,-1,0)(1,1,