備考XXXX質(zhì)量專業(yè)理論與實務(wù)(中級)精講班-講義第10講

1、指數(shù)分布 3. 指數(shù)分布 用以下指數(shù)函數(shù) 表示的概率密度函數(shù)稱為指數(shù)分布。其中的稱為指數(shù)分布函數(shù)的參數(shù)，常記為Exp()。其概率密度函數(shù)的圖形如圖1.2-27所示。事件 "X在區(qū)間 (a, b)上取值"的概率為圖1.2-27上陰影的面積，它的計算公式為: 指數(shù)分布的參數(shù)Exp()的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為: 例1.2-17 某種熱水器首次發(fā)生故障的時間T（單位：小時）服從參數(shù)=0.002的指數(shù)分布，它的概率密度函數(shù)與分布函數(shù)分別為： 則該種熱水器在300到500小時內(nèi)需要維修的概率為：  該種熱水器首次發(fā)生故障的時間的均值與方差分別為:  &#

2、160;現(xiàn)將上述常用分布總結(jié)在表1.2-1常用分布表中心極限定理 五、中心極限定理 中心極限定理敘述了統(tǒng)計中的一個重要結(jié)論:多個相互獨立隨機(jī)變量的平均值 (仍然是一個隨機(jī)變量)服從或近似服從正態(tài)分布。為介紹這個定理先要作一項準(zhǔn)備。 (一) 隨機(jī)變量的獨立性兩個隨機(jī)變量X1與X2相互獨立是指其中一個的取值不影響另一個的取值，或者說是指兩個隨機(jī)變量獨立地取值。比如，拋兩顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)記為X1與X2，則X1與X2是相互獨立的隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的相互獨立性可以推廣到三個或更多個隨機(jī)變量上去。以下要用到一個假定:"幾是n個相互獨立且服從相同分布的隨機(jī)變量"。這個

3、假定有兩個含義:(1) 是n個相互獨立的隨機(jī)變量，如在生產(chǎn)線上隨機(jī)取n個產(chǎn)品，它們的質(zhì)量特性用表示，那么可認(rèn)為是n個相互獨立的隨機(jī)變量。(2) 有相同的分布，且分布中所含的參數(shù)也都相同，比如，都為正態(tài)分布，且都有相同均值和相同方差。又如，若都為指數(shù)分布，那么其中的參數(shù)也都相同。今后，把n個相互獨立且服從相同分布的隨機(jī)變量的均值稱為樣本均值，并記為，即:   (二)正態(tài)樣本均值的分布 定理1 設(shè)是n個相互獨立同分布的隨機(jī)變量，假如其共同分布為正態(tài)分布，則樣本均值仍為正態(tài)分布，其均值不變?nèi)詾椋讲?。這個定理表明:在定理1的條件下，正態(tài)樣本均值服從正態(tài)分布。例1.2-18 設(shè)是相互獨立同分

4、布的隨機(jī)變量，共同分布為正態(tài)分布N(10，52)，則其樣本均值: 服從。這表明: 的均值仍為10，方差為25/9=2.78，的標(biāo)準(zhǔn)差為： 非正態(tài)樣本均值的分布 (三)非正態(tài)樣本均值的分布定理2(中心極限定理) 設(shè)為n個相互獨立同分布的隨機(jī)變量，其共同分布不為正態(tài)或未知，但其均值和方差都存在，則在n相當(dāng)大時，樣本均值近似服從正態(tài)分布。 這個定理表明:無論共同的分布是什么 (離散分布或連續(xù)分布，正態(tài)分布或非正態(tài)分布),只要獨立同分布隨機(jī)變量的個數(shù)n相當(dāng)大時，的分布總近似于正態(tài)分布，這一結(jié)論是深刻的，也是重要的，這說明平均值運算常可從非正態(tài)分布獲得正態(tài)分布。 例1.2-

5、19 圖1.2-28中我們選了三個不同的共同分布: 均勻分布(無峰) 雙單分布 指數(shù)分布(高度偏斜)假如，n=2，那么在的場合，2個均勻分布的變量之均值的分布呈三角形，在的場合，的分布出現(xiàn)中間高，在的場合的分布的峰開始偏離原點。在n=5時，三種場合都呈現(xiàn)單峰狀，并且前兩個還有很好的對稱性。在n=30時，三種場合下的分布幾乎完全相同，只在位置上有些差別，這個差別是由原始共同分布的均值不同而引起的，另外，這時正態(tài)分布的峰都很高，那是因為平均后的標(biāo)準(zhǔn)差為：圖1.2-28有很強(qiáng)的直觀性和說服力，這就是中心極限定理的魅力。 在統(tǒng)計中一個統(tǒng)計量的標(biāo)準(zhǔn)差，稱為標(biāo)準(zhǔn)誤差，或簡稱為標(biāo)準(zhǔn)誤。特別地，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤，無論是正態(tài)樣本均值或非正態(tài)樣本均值都有或近似有:它隨著n的增加而減少。圖1.2-29表明這種關(guān)系，注意到在n<10時，下降較快，而當(dāng)n>10時，下降漸趨緩慢。 例1.2-20 我們常常對一個零件的質(zhì)量特性只測一次讀數(shù)，并用這個讀數(shù)去估計過程輸出的質(zhì)量特性，一個很容易減少測量系統(tǒng)誤差的方法是:對同一個零件的質(zhì)量特性作兩次或更多次重復(fù)測量，并用其均值去估計過程輸出的質(zhì)量特性