(完整版)高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)點(diǎn)歸納(全)

1、高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)點(diǎn)（文） 的平均數(shù)就是中位數(shù)。求平均數(shù)時(shí)，就用各數(shù)據(jù)的總和除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，得數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的平 均數(shù)。 四、 中位數(shù)與眾數(shù)的特點(diǎn)。 中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)中唯一的，可能是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù)，也可能不是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù)； 求中位數(shù)時(shí)，先將數(shù)據(jù)有小到大順序排列，若這組數(shù)據(jù)是奇數(shù)個(gè)，則中間的數(shù)據(jù)是中位數(shù)；若 這組數(shù)據(jù)是偶數(shù)個(gè)時(shí)，則中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)； 中位數(shù)的單位與數(shù)據(jù)的單位相同； 眾數(shù)考察的是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的頻數(shù)； 眾數(shù)的大小只與這組數(shù)的個(gè)別數(shù)據(jù)有關(guān)，它一定是一組數(shù)據(jù)中的某個(gè)數(shù)據(jù)，其單位與數(shù)據(jù)的單 位相同； （6） 眾數(shù)可能是一個(gè)或多個(gè)甚至沒(méi)有； （7） 平均數(shù)、眾數(shù)和中

2、位數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量。 五、 平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)的異同： 平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量； 平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都有單位； 平均數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的平均水平， 與這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都有關(guān)系， 所以最為重要，應(yīng)用最廣; 中位數(shù)不受個(gè)別偏大或偏小數(shù)據(jù)的影響； 眾數(shù)與各組數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)有關(guān)，不受個(gè)別數(shù)據(jù)的影響，有時(shí)是我們最為關(guān)心的數(shù)據(jù)。 六、 對(duì)于樣本數(shù)據(jù) Xi, X2,，Xn,設(shè)想通過(guò)各數(shù)據(jù)到其平均數(shù)的平均距離來(lái)反映樣本數(shù)據(jù)的分散 程度，那么這個(gè)平均距離如何計(jì)算？ |Xi - x| + |X2- X| + L + |Xn - x| 思考 4：反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小

3、， 最常用的統(tǒng)計(jì)量是標(biāo)準(zhǔn)差， 一般用 s 表示假設(shè)樣本數(shù)據(jù) Xi , X2,，Xn的平均數(shù)為X，則標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式是: (Xi - X)2 + (X2 - x)2 + L +(xn- X)2 七、簡(jiǎn)單隨即抽樣的含義 一般地，設(shè)一個(gè)總體有 N 個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取 n個(gè)個(gè)體作為樣本（nW N）,如果每次 抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等 ，則這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽 樣 一、 眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)。 眾數(shù)與平均數(shù)的區(qū)別：眾數(shù)表示一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)； 平均每份的數(shù)量。 二、 中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，位于最中間的一個(gè)數(shù)據(jù) 個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)） 三

4、眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的求法。 眾數(shù)由所給數(shù)據(jù)可直接求出；求中位數(shù)時(shí)，首先要先排序 數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，當(dāng)數(shù)據(jù)為奇數(shù)個(gè)時(shí)，最中間的一個(gè)數(shù)就是中位數(shù) 平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)中表示 （當(dāng)有偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)，為最中間兩 （從小到大或從大到?。?， 然后根據(jù) ；當(dāng)數(shù)據(jù)為偶數(shù)個(gè)時(shí)，最中間兩個(gè)數(shù) 八、 根據(jù)你的理解，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣有哪些主要特點(diǎn)？ （1） 總體的個(gè)體數(shù)有限； （2） 樣本的抽取是逐個(gè)進(jìn)行的，每次只抽取一個(gè)個(gè)體； （3） 抽取的樣本不放回，樣本中無(wú)重復(fù)個(gè)體； （4） 每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，抽樣具有公平性 九、 抽簽法的操作步驟？ 第一步，將總體中的所有個(gè)體編號(hào)，并把號(hào)碼寫(xiě)在形狀、大小相同的號(hào)簽上 第二步，將號(hào)

5、簽放在一個(gè)容器中，并攪拌均勻 第三步，每次從中抽取一個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取 n次，就得到一個(gè)容量為 n的樣本 十一、抽簽法有哪些優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)？ 優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單易行，當(dāng)總體個(gè)數(shù)不多的時(shí)候攪拌均勻很容易，個(gè)體有均等的機(jī)會(huì)被抽中，從而 能保證樣本的代表性 缺點(diǎn)：當(dāng)總體個(gè)數(shù)較多時(shí)很難攪拌均勻，產(chǎn)生的樣本代表性差的可能性很大 十一、 利用隨機(jī)數(shù)表法從含有 N 個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為 n的樣本，其抽樣步驟如何？ 第一步，將總體中的所有個(gè)體編號(hào) 第二步，在隨機(jī)數(shù)表中任選一個(gè)數(shù)作為起始數(shù) 第三步，從選定的數(shù)開(kāi)始依次向右（向左、向上、向下）讀，將編號(hào)范圍內(nèi)的數(shù)取出，編號(hào) 范圍外的數(shù)去掉，直到取滿 n個(gè)號(hào)碼為止，就得到

6、一個(gè)容量為 n的樣本 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣一般采用兩種方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法 。 思考：如果從 100 個(gè)個(gè)體中抽取一個(gè)容量為 10 的樣本，你認(rèn)為對(duì)這 100 個(gè)個(gè)體進(jìn)行怎樣編號(hào)為宜？ 解法 1：（抽簽法）將 100 件軸編號(hào)為 1, 2,，100,并做好大小、形狀相同的號(hào)簽，分別寫(xiě)上 這 100 個(gè)數(shù)，將這些號(hào)簽放在一起，進(jìn)行均勻攪拌，接著連續(xù)抽取 10 個(gè)號(hào)簽，然后測(cè)量這個(gè) 10 個(gè)號(hào)簽對(duì)應(yīng)的軸的直徑。 解法 2:（隨機(jī)數(shù)表法）將 100 件軸編號(hào)為 00，01，99,在隨機(jī)數(shù)表中選定一個(gè)起始位置，女口 取第 21 行第 1 個(gè)數(shù)開(kāi)始，選取 10 個(gè)為 68，34，30，13，70，55，74

7、，77, 40，44，這 10 件即 為所要抽取的樣本。 小結(jié)、 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是一種最簡(jiǎn)單、最基本的抽樣方法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣有兩種選取個(gè)體的方法： 放回和不放回，我們?cè)诔闃诱{(diào)查中用的是不放回抽樣， 常用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法有抽簽法和隨機(jī) 數(shù)法 抽簽法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易行，缺點(diǎn)是當(dāng)總體的容量非常大時(shí)，費(fèi)時(shí)、費(fèi)力，又不方便， 如 果標(biāo)號(hào)的簽攪拌得不均勻，會(huì)導(dǎo)致抽樣不公平， 隨機(jī)數(shù)表法的優(yōu)點(diǎn)與抽簽法相同，缺點(diǎn)上當(dāng)總體 容量較大時(shí)，仍然不是很方便，但是比抽簽法公平，因此這兩種方法只適合總體容量較少的抽樣 類(lèi)型 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣每個(gè)個(gè)體入樣的可能性都相等，均為 n/N ,但是這里一定要將每個(gè)個(gè)體入樣的 可能性、第

8、n次每個(gè)個(gè)體入樣的可能性、特定的個(gè)體在第 n次被抽到的可能性這三種情況區(qū)分開(kāi) 來(lái)，避免在解題中出現(xiàn)錯(cuò)誤 解題應(yīng)用 如果從 600 件產(chǎn)品中抽取 60 件進(jìn)行質(zhì)量檢查，按照上述思路抽樣應(yīng)如何操作？ _ 第一步，將這 600 件產(chǎn)品編號(hào)為 1，2，3,，600. 第二步，將總體平均分成 60 部分，每一部分含 10 個(gè)個(gè)體 _ 第三步，在第 1 部分中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取一個(gè)號(hào)碼（如 8 號(hào)）._ 第四步，從該號(hào)碼起，每隔 10 個(gè)號(hào)碼取一個(gè)號(hào)碼，就得到一個(gè)容量為 60 的樣本.（如 8, 18, 28, 598） _ 十二、系統(tǒng)抽樣的定義： 一般地，要從容量為 N 的總體中抽取容量為 n的樣本，可

9、將總體分成均衡的若干部分，然后 按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個(gè)個(gè)體，得到所需要的樣本，這種抽樣的方法叫做系統(tǒng)抽 樣. 由系統(tǒng)抽樣的定義可知系統(tǒng)抽樣有以下特征： （1） 當(dāng)總體容量 N 較大時(shí)，采用系統(tǒng)抽樣。 （2） 將總體分成均衡的若干部分指的是將總體分段，分段的間隔要求相等，因此系統(tǒng)抽樣又 N 稱(chēng)等距抽樣，這時(shí)間隔一般為 k= n . （3）預(yù)先制定的規(guī)則指的是：在第 1 段內(nèi)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定一個(gè)起始編號(hào)，在此編號(hào)的 基礎(chǔ)上加上分段間隔的整倍數(shù)即為抽樣編號(hào) . 思考.下列抽樣中不是系統(tǒng)抽樣的是 （C ） A 從標(biāo)有 115 號(hào)的 15 號(hào)的 15 個(gè)小球中任選 3 個(gè)作為樣本，按

10、從小號(hào)到大號(hào)排序，隨機(jī)確定 起點(diǎn) i,以后為 i+5, i+10（ 超過(guò) 15 則從 1 再數(shù)起）號(hào)入樣_ B 工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品，用傳關(guān)帶將產(chǎn)品送入包裝車(chē)間前，檢驗(yàn)人員從傳送帶上每隔五分鐘抽一件 產(chǎn)品檢驗(yàn)_ C、 搞某一市場(chǎng)調(diào)查，規(guī)定在商場(chǎng)門(mén)口隨機(jī)抽一個(gè)人進(jìn)行詢問(wèn)，直到調(diào)查到事先規(guī)定的 調(diào)查人 數(shù)為止_ D、 電影院調(diào)查觀眾的某一指標(biāo)，通知每排（每排人數(shù)相等）座位號(hào)為 14 的觀眾留下來(lái)座談_ 十三、系統(tǒng)抽樣的一般步驟 用系統(tǒng)抽樣從總體中抽取樣本時(shí)，首先要做的工作是什么？將總體中的所有個(gè)體編號(hào) 如果用系統(tǒng)抽樣從 605 件產(chǎn)品中抽取 60 件進(jìn)行質(zhì)量檢查，由于 605 件產(chǎn)品不能均衡分成 60

11、部分， 應(yīng)先從總體中隨機(jī)剔除 5 個(gè)個(gè)體，再均衡分成 60 部分. 一般地，用系統(tǒng)抽樣從含有 N 個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為 n的樣本，其操作步驟如何？ 第一步，將總體的 N 個(gè)個(gè)體編號(hào). 第二步，確定分段間隔 k，對(duì)編號(hào)進(jìn)行分段. 第三步，在第 1 段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定起始個(gè)體編號(hào) I. 第四步，按照一定的規(guī)則抽取樣本 . 十四：分層抽樣的定義： 若總體由差異明顯的幾部分組成，抽樣時(shí)，先將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例， 從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，再將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本 分層抽樣又稱(chēng)類(lèi)型抽樣 十五.應(yīng)用分層抽樣應(yīng)遵循以下要求及具體步驟： (1) 分層：將相似的個(gè)

12、體歸入一類(lèi)，即為一層，分層要求每層的各個(gè)個(gè)體互不交叉，即遵循不重 復(fù)、不遺漏的原則。 (2) 分層抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，需遵循在各層中進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，每層樣本數(shù)量與 每層個(gè)體數(shù)量的比與這層個(gè)體數(shù)量與總體容量的比相等。 一般地，分層抽樣的操作步驟如何？ 第一步，計(jì)算樣本容量與總體的個(gè)體數(shù)之比 第二步，將總體分成互不交叉的層，按比例確定各層要抽取的個(gè)體數(shù) 第三步，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣在各層中抽取相應(yīng)數(shù)量的個(gè)體 第四步，將各層抽取的個(gè)體合在一起，就得到所取樣本 十六、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種抽樣的類(lèi)比學(xué)習(xí) 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣既有其共性，又有其個(gè)性，根據(jù)下表，你

13、能對(duì)三種抽樣方法作 一個(gè)比較嗎？ 方法 類(lèi)別 共同 特點(diǎn) 抽樣特征 相互聯(lián)系 適應(yīng)范圍 簡(jiǎn)單隨 機(jī)抽樣 抽樣過(guò) 程中每 個(gè)個(gè)體 被抽取 的概率 相等 從總體中 逐個(gè)不放 回抽取 總體中 的個(gè)體 數(shù)較少 系統(tǒng) 抽樣 將總體分成 均衡幾部 分，按規(guī)則 關(guān)聯(lián)抽取 用簡(jiǎn)單隨 機(jī)抽樣抽 取起始號(hào) 碼 總體中 的個(gè)體 數(shù)較多 分層 抽樣 將總體分 成幾層， 按比例分 層抽取 用簡(jiǎn)單隨 機(jī)抽樣或 系統(tǒng)抽樣 對(duì)各層抽 樣 總體由 差異明 顯的幾 部分組 成 據(jù)進(jìn)行分組，組距的確定沒(méi)有固定的標(biāo)準(zhǔn)，組數(shù)太多或太少，都會(huì)影響我們了解數(shù)據(jù)的分布情況 數(shù)據(jù)分組的組數(shù)與樣本容量有關(guān)，一般樣本容量越大，所分組數(shù)越多 十七列

14、頻率直分布表的步驟 列出一組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表可以分哪幾個(gè)步驟進(jìn)行? 第一步，求極差 第二步，決定組距與組數(shù) 第三步，確定分點(diǎn)，將數(shù)據(jù)分組 第四步，列頻率分布表. 0.5 0.4 0.3 0.2 十八、繪制頻率分布直方圖的步驟 O 樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖是根據(jù)頻率分布表畫(huà)出來(lái)的，一般地，頻率分布 直方圖的作圖步驟如何？ 第一步，畫(huà)平面直角坐標(biāo)系 第二步，在橫軸上均勻標(biāo)出各組分點(diǎn)，在縱軸上標(biāo)出單位長(zhǎng)度 第三步，以組距為寬，各組的頻率與組距的商為高，分別畫(huà)出各組對(duì)應(yīng)的小長(zhǎng)方形 小結(jié) 1. 頻率分布是指一個(gè)樣本數(shù)據(jù)在各個(gè)小范圍內(nèi)所占比例的大小，總體分布是指總體取值的 頻率分 布規(guī)律我們通常用樣本

15、的頻率分布表或頻率分布直方圖去估計(jì)總體的分布 2. 頻率分布表和頻率分布直方圖，是對(duì)相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達(dá)方式 .用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排 列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況 .通過(guò)作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖 形傳遞信息. 3. 樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表和頻率分布直方圖， 是通過(guò)各小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小來(lái)表示 數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，它可以讓我們更清楚的看到整個(gè)樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況， 并由此估計(jì)總體的 分布情況. 十九、如何根據(jù)樣本頻率分布直方圖，分別估計(jì)總體的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)？ （1）眾數(shù)：最高矩形下端中點(diǎn)的橫坐標(biāo) . （2） 中位數(shù)：直方圖面積平分線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

16、 （3） 平均數(shù)：每個(gè)小矩形的面積與小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積之和 二十：什么是莖葉圖 莖葉圖又稱(chēng)“枝葉圖”，它的思路是將數(shù)組中的數(shù)按位數(shù)進(jìn)行比較，將數(shù)的大小基本不變或變 化不大的位作為一個(gè)主干（莖），將變化大的位的數(shù)作為分枝（葉），列在主干的后面，這樣就可以 清楚地看到每個(gè)主干后面的幾個(gè)數(shù)，每個(gè)數(shù)具體是多少。 第二部分：概率 一、隨機(jī)事件的概率及概率的意義 1、基本概念： （1） 必然事件：在條件 S 下，一定會(huì)發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件 S 的必然事件； （2） 不可能事件：在條件 S 下，一定不會(huì)發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件 S 的不可能事件； （3） 確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱(chēng)為相

17、對(duì)于條件 S 的確定事件； （4）隨機(jī)事件：在條件 S 下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件 S 的隨機(jī)事件; (5) 頻數(shù)與頻率：在相同的條件 S下重復(fù) n次試驗(yàn)， 觀察某一事件 A是否出現(xiàn)，稱(chēng) n次試驗(yàn)中事 頻率分布直方圖中 小長(zhǎng)方形的高 頻率 組 匹 件 A 出現(xiàn)的次數(shù) nA 為事件 A 出現(xiàn)的頻數(shù)；稱(chēng)事件 A 出現(xiàn)的比例 fn(A)= n為事件 A 出現(xiàn)的概率：對(duì)于給定的隨機(jī)事件 A,如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件 A 發(fā)生的頻率 fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作 P( A)，稱(chēng)為事件 A 的概率。 (6) 頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機(jī)事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù) nA

18、 與試驗(yàn)總次數(shù) n的比值 nA n，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多， 這種擺動(dòng)幅度越來(lái)越小。我們把這個(gè)常數(shù)叫做隨機(jī)事件的概率，概率從數(shù)量上反映了 隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下可以近似地作為這個(gè)事 件的概率 二、 概率的基本性質(zhì) 1、基本概念： (1) 事件的包含、并事件、交事件、相等事件 (2) 若 An B 為不可能事件，即 An B=e，那么稱(chēng)事件 A 與事件 B 互斥； (3) 若 An B 為不可能事件， AU B 為必然事件，那么稱(chēng)事件 A 與事件 B 互為對(duì)立事件； (4) 當(dāng)事件 A 與 B 互斥時(shí)，滿足加法公式： P(AU B)= P(A)+ P(B);若事件 A 與 B 為對(duì)立事件，則 AU B 為必然事件，所以 P(AU B)= P(A)+ P(B)=1 ，于是有 P(A)=1 P(B) 2、概率的基本性質(zhì)： 1 )必然事件概率為 1，不可能事件概率為 0，因此 OW P(A) 0 時(shí)，變量x, y正相關(guān)；r 0 時(shí)，變量x, y負(fù)相關(guān)； （2） |r |越接近于 1,兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)； |r |接近于 0 時(shí)，兩個(gè)變量之間幾乎不 存在線性相關(guān)關(guān)系。 3. 回歸分析中回歸效果的判定: 總偏差平方