小學奧數(shù)解題方法大全

1、學習好資料歡迎下載41、簡單方程的解法【一元一次方程解法】求方程的解（或根）的過程，叫做解方程。解一元一次方程的一般步驟（或解法）是：去分母，去括號，移項，合并同類項，兩邊同除以未知數(shù)x 的系數(shù)。解去分母，兩邊同乘以6，得3（x-9 ）-2（11-x ）=12 去括號，得 3x-27-22+2x=12 移項，得 3x+2x=12+27+22 合并同類項，得 5x=61 【分式方程解法】分母中含未知數(shù)的方程是“分式方程”。解分式方程的一般步驟（或方法）是：（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化成整式方程；（2）解這個整式方程；（3）把整式方程的根代入最簡公分母，看結果是不是零，使最簡公分母

2、為零的根，是原方程的增根，必須舍去。解方程兩邊都乘以x（x-2 ），約去分母，得5（x-2 ）=7x 解這個整式方程，得x=-5，檢驗：當 x=-5 時，學習好資料歡迎下載x（x-2 ）=（-5）（-5-2 ）=350，所以， -5 是原方程的根。解方程兩邊都乘以（ x+2）（x-2 ），即都乘以（ x2-4 ），約去分母，得（x2）2-16（x+2）2解這個整式方程，得x=-2。檢驗：當 x=-2 時，（x+2）（x-2 ）=0，所以， -2 是增根，原方程無解。學習好資料歡迎下載42、加法運算定律【加法交換律】兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置， 它們的和不變。 這叫做“加法的交換定律” ，簡稱“

3、加法交換律”。加法交換律用字母表達，可以是a+b=b+a。例如： 864+1，236=1，236+864=2 ，100 【加法結合律】三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，再加上第三個數(shù)；或者先把后兩個數(shù)相加，再和第一個數(shù)相加，它們的和不變。這叫做“加法的結合定律”，簡稱“加法結合律”。加法結合律用字母表達，可以是（a+b）+c=a+（b+c）。例如：（ 48928+2735）+7265 =48928+（2735+7265）=48928+10000 = 58928 學習好資料歡迎下載43、幾何圖形旋轉【長方形（或正方形）旋轉】將一個長方形（或正方形）繞其一邊旋轉一周，得到的幾何體是“圓柱”。如圖 1.

4、37 ，將矩形 abcd 繞 ab旋轉一周，得圓柱 ab 。 其中 ab為圓柱的軸， 也是圓柱的高。bc或 ac是圓柱底面圓的半徑， cd叫做圓柱的母線?！局苯侨切涡D】 將一個直角三角形繞著它的一條直角邊旋轉一周，所形成的幾何體是“圓錐”。例如圖 1.38 ，將直角三角形 abc ，繞直角邊 ac旋轉一周，便形成了圓錐ac 。其中 ac是圓錐的軸，也是圓錐的高；cb是圓錐底面的半徑； ab叫做圓錐的母線?！局苯翘菪涡D】 將一個直角梯形繞著它的直角腰旋轉一周所形成的幾何體，叫做“圓臺”。例如圖 1.39 ，將直角梯形 abcd 繞著它的直角腰ab旋轉一周。便形成了圓臺ab 。其中，ab是圓

5、臺的軸，也是圓臺的高，上下底ad 、bc ，分別是圓臺上、下底面圓的半徑，斜腰dc ，是圓臺的母線。學習好資料歡迎下載【半圓旋轉】 將一個半圓繞著它的直徑旋轉一周所形成的幾何體，叫做“球”。例如圖 1.40 ，半圓繞著它的直徑ab旋轉一周， 便形成了球 o 。原來的半圓圓心 o是球心；原來半圓的半徑和直徑，分別叫做球的半徑和直徑；原來半圓的直徑也是球的軸和直徑。學習好資料歡迎下載44、幾何圖形的計數(shù)【點與線的計數(shù)】例 1 如圖 5.45，每相鄰的三個圓點組成一個小三角形，問：圖中是這樣的小三解形個數(shù)多還是圓點的個數(shù)多？（全國第二屆“華杯賽”決賽試題）講析：可用“分組對應法”來計數(shù)。將每一排三角

6、形個數(shù)與它的下行線進行對應比較。第一排三角形有1 個，其下行線有 2點；第二排三角形有 3 個，其下行線有 3 點；第三排三角形有 5 個，其下行線有 4 點；以后每排三角形個數(shù)都比它的下行線上的點多。所以是小三角形個數(shù)多。例 2 直線 m上有 4 個點，直線 n 上有 5 個點。以這些點為頂點可以組成多少個三角形？（如圖 5.46 ）學習好資料歡迎下載（哈爾濱市第十一屆小學數(shù)學競賽試題）講析：本題只要數(shù)出各直線上有多少條線段，問題就好解決了。直線 n 上有 5 個點，這 5 點共可以組成 43+21=10（條）線段。以這些線段分別為底邊，m上的點為頂點，共可以組成410=40（個）三角形。同

7、理，m上 4 個點可以組成 6 條線段。以它們?yōu)榈走?，?n 上的點為頂點可以組成65=30（個）三角形。所以，一共可以組成70 個三角形?！鹃L方形與三角形的計數(shù)】例 1 圖 5.47 中的正方形被分成9 個相同的小正方形， 它們一共有 16 個頂點，以其中不在一條直線上的 3 點為頂點，可以構成三角形。 在這些三角形中， 與陰影三角形有同樣大小面積的有多少個？（全國第三屆“華杯賽”復賽試題）為 3 的三角形，或者高為2，底為 3 的三角形，都符合要求。底邊長為 2，高為 3 的三角形有 244=32（個）；高為 2，底邊長為 3 的三角形有 82=16（個）。所以，包括圖中陰影部分三角形共有

8、48 個。例 2 圖 5.48 中共有_個三角形。學習好資料歡迎下載（現(xiàn)代小學數(shù)學）邀請賽試題）講析：以 ab邊上的線段為底邊，以c為頂點共有三角形 6 個；以 ab邊上的線段為底邊，分別以g 、h、f 為頂點共有三角形3 個；以 bd邊上的線段為底邊，以c為頂點的三角形共有6 個。所以，一共有 15 個三角形。例 3 圖 5.49 中共有_個正方形。（現(xiàn)代小學數(shù)學邀請賽試題）講析：可先來看看圖5.50 的兩個圖中，各含有多少個正方形。圖 5.50（1）中，正方形個數(shù)是635241=32（個）；圖 5.50（2）中，正方形個數(shù)是44+33+2211=30（個）如果把圖 5.49 中的圖形，分成

9、 56 和 411 兩個長方形，則：56 的長方形中共有正方形56+45342312=70（個）；411 的長方形中共有正方形411+310+2918=100（個）。學習好資料歡迎下載兩個長方形相交部分45 的長方形中含有正方形45+342312=40（個）。所以，原圖中共有正方形70100-40=130（個）。例 4 平面上有 16個點，排成一個正方形。 每行、每列上相鄰兩點的距離都相等 如圖 5.51（1） ，每個點上釘上釘子。以這些點為頂點，用線將它們圍起來，一共可圍成_個正方形。（小學生科普報奧林匹克通訊賽試題）講析：能圍成圖 5.51 （2）的正方形共 14（個）；能圍成圖 5.51

10、（3）的正方形共 2（個）；能圍成圖 5.51（4）的正方形共 4（個）。所以，一共可圍成正方形20 個?！玖Ⅲw圖形的計數(shù)】例 1 用 125塊體積相等的黑、白兩種正方體，黑白相間地拼成一個大正方體 （如圖 5.52 ） 。那么，露在表面上的黑色正方體的個數(shù)是_。學習好資料歡迎下載（1991年全國小學數(shù)學奧林匹克決賽試題）講析：本題要注意不能重復計數(shù)。八個頂點上各有一個黑色正方體，共8 個；每條棱的中間有一個黑色正方體，共12 個；除上面兩種情況之外，每個面有5 個黑色正方體，共 56=30（個）。所以，總共有 50 個黑色正方體露在表面上。例 2 把 1 個棱長為 3 厘米的正方體分割成若干

11、個小正方體，這些小正方體的棱長必須是整數(shù)。如果這些小正方體的體積不要求都相等，那么，最少可以分割成_個小正方體。（北京市第九屆“迎春杯小學數(shù)學競賽試題）講析：若分成的小正方體，則共可分成27 個。但是分割時， 要求正方體盡可能地少， 也就是說能分成大正方體的，盡可能地分。 則在開始的時候，可分出一個222 的正方體（如圖 5.53 ），余下的都只能分成111 的正方體了。所以，最少可分成20 個小正方體。學習好資料歡迎下載45、幾何體側面展開【正棱柱、圓柱側面展開】正棱柱（底面是正多邊形，側棱與底面垂直的棱柱）和圓柱的側面展開， 攤在同一個平面上， 是一個矩形。 矩形的上、 下對邊，是柱體上、

12、下底面的周長；矩形左右兩對邊，是柱體的側棱或母線。例如圖 1.41 ，將正六棱柱 abcdefa払扖扗扙扚捈霸倉鵒o1a抇 1a抇2a2。圖中畫出的是棱柱側面展開圖。圓柱側面展開后，也是一矩形，只是中間沒有那些虛線。% 學習好資料歡迎下載【正棱錐側面展開】 正 n 棱錐（底面為正n 邊形，頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐）側面展開，攤在同一平面上，是頂點公共、腰與腰相連的n 個全等的等腰三角形。例如圖 1.42 ，將正三棱錐 sabc的側面展開，攤在同一個平面上，便形成了三個全等的等腰三角形 sab 、sbc和 sca【圓錐側面展開】 圓錐側面展開，攤在同一個平面上，變成的是一個扇形。扇形

13、的弧長是圓錐底面圓的周長，扇形的兩條半徑，是圓錐的母線。例如圖 1.43 ，將圓錐 so的側面展開，攤在同一個平面上，便成了扇形徑 sa 、sa挼募薪鉛瓤砂聰旅嫻氖階蛹撲悖篲式中 r 是圓錐底面圓半徑， l 是圓錐母線的長。【正棱臺側面展開】 正 n 棱臺（用一平行于正n 棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面間的幾何體）側面展開，攤在同一個平面上，得到的是n 個全等的等腰梯形，并且腰腰相連。學習好資料歡迎下載例如圖 1.44 ，將正三棱臺 abc a【圓臺側面展開】 圓臺側面展開，攤在同一個平面上的圖形，是圓環(huán)的一部分，叫做“扇環(huán)”。這個扇環(huán)像梯形，它的兩“腰”是圓臺的母線，它的上、下“底”是兩

14、條弧，其弧長分別是圓臺上、下底面圓的周長。例如圖 1.45 ，將圓臺 o1o2的側面展開，攤在同一個平面上，就形成了46、幾何公式【平面圖形計算公式】一般的平面圖形計算公式，如下表。學習好資料歡迎下載【立體圖形計算公式】(1) 柱體公式。學習好資料歡迎下載（2）錐體公式。正 n 棱錐（如圖 113）的公式：圓錐的公式（圓錐如圖114 所示）：學習好資料歡迎下載（3）棱臺、圓臺公式。正 n 棱臺（如圖 115）的公式：圓臺（如圖 116）的公式：（4）球的計算公式。球的圖形如圖 117 所示。s表=4r2；附錄：其他常用公式學習好資料歡迎下載【整數(shù)約數(shù)個數(shù)公式】 一個大于 1 的整數(shù)，約數(shù)的個數(shù)

15、等于它的質因數(shù)分解式中，每個質因數(shù)的個數(shù)（指數(shù)）加1 的連乘積。例如，求 4500 的約數(shù)個數(shù)。解4500=2232534500的約數(shù)個數(shù)是（2+1）（ 2+1）（ 3+1）=36（個）?！炯s數(shù)之和的公式】一個大于1 的自然數(shù) n，將它分解質因數(shù)為為自然數(shù)，則 n的所有約數(shù)的和為 s（n），可用下列公式計算：例如求 1992 的所有約數(shù)的和。解 s（1992）=s（2331831）=5040【分數(shù)拆項公式】在奧賽中，為使計算簡便，經(jīng)常用到下面四個分數(shù)拆項公式：（1）連續(xù)兩個自然數(shù)積的倒數(shù)， 可拆成較小的自然數(shù)的倒數(shù)，減去較大的自然數(shù)的倒數(shù)。即（2）連續(xù)三個自然數(shù)的積的倒數(shù)，可拆成前兩個自然數(shù)的

16、積的倒數(shù)，減去后兩個自然數(shù)的積的倒數(shù)的差的一半。即學習好資料歡迎下載（3）連續(xù)四個自然數(shù)的積的倒數(shù)，可拆成前三個自然數(shù)的積的倒數(shù)，（4）一般分數(shù)拆項公式。當n、d 都是自然數(shù)時，有【堆垛計算公式】（1）三角形堆垛。計算每堆三角形物體總個數(shù)s時，可將底邊個數(shù)”乘以（ n+1）再乘以（n+2），然后除以 6。用式子表示就是例如，“一些桔子堆成三角形堆垛，底邊每邊4 個，頂尖 1 個（如圖 118）。桔子總數(shù)是多少個？”學習好資料歡迎下載解依據(jù)三角形堆垛公式，得=20（個）。（2）正方形堆垛。計算底層為正方形的堆垛物體總個數(shù)s時，可將底邊個數(shù)n 乘以底邊數(shù)加 05 的和，再乘以底邊個數(shù)加1 的和，最

17、后將乘積除以3。用式子表示，就是例如，“一些蘋果堆成正方形堆垛（如圖119），底層每邊放 4 個，頂尖放一個。蘋果總數(shù)是多少個？”解依據(jù)公式，得（3）長方形堆垛。計算底層為長方形（近似于橫放的三棱柱形，圖120。）的堆垛物體的總個數(shù) s時，可將底層寬邊的個數(shù)n1，長邊的個數(shù) n2，按照下面的公式計算：學習好資料歡迎下載例如，“有一盤饅頭，底邊寬5 個，長邊上放 8 個，如圖 120所示，這盤饅頭共有多少個？”解此題中， n1=5，n2=8。依據(jù)長方形堆垛公式，得=45+55=100 （個）或者是（4）梯形堆垛。計算梯形的堆垛（近似于棱臺形堆垛）物體總個數(shù)s時，可將最上層總數(shù) s1，加上最下層總

18、數(shù)s2后，乘以層數(shù) n，再除以 2。（梯形堆垛如圖121所示。）用式子表示就是例如，“一些酒壇，堆成梯形的堆垛（圖121），最上層為 32 只，最下層為 45 只，共堆有 14 層（每層差 1 只）。酒壇的總數(shù)是多少只？”解依計算公式，得學習好資料歡迎下載【數(shù)線段條數(shù)的公式】若線段ab上共有 n 個分點（不包括 a、b端點），則 ab線段上共有的線段條數(shù) s，計算的公式是：s=（n+1）+n+（n-1）+3+2+1 例如，求下圖（圖122）中所有線段的條數(shù)。解在線段 ab上，共有五個分點。根據(jù)數(shù)線條數(shù)的公式，得s=（5+1）+5+4+3+2+1 注意：這一公式，還可以用來數(shù)形如圖123 的三角

19、形個數(shù)。在這個圖形中，因為底邊bc上有 4 個分點，可依據(jù)數(shù)線段條數(shù)的計算公式，得三角形的個數(shù)為【數(shù)長方形個數(shù)的公式】 若長方形的一邊有m個小格，另一邊有 n 個小格，那么這個圖形中長方形的總個數(shù)s為s=（m+m-1+m-2+ +3+2+1）（ n+n-1+n-2+3+2+1）例如，請數(shù)出下圖124 中共有多少個不同的長方形。學習好資料歡迎下載解長方形 abcd 長邊上有 6 個小格，寬邊上有4 個小格。根據(jù)數(shù)長方形總數(shù)的公式，可得=2110=210（個）。（答略）注意：這一公式，還可以用來數(shù)形如圖125 中的梯形的個數(shù)。顯然，這個圖形中除了 ade以外，其余均為大大小小的梯形。最大的梯形下底

20、上有五個小格， 腰邊上有 4 個小格。利用數(shù)長方形個數(shù)的計算公式，可得梯形的總個數(shù) s為=1510=150（個）。（答略）【數(shù)正方形個數(shù)的公式】若一個長方形的長被分成了m等份，寬被分成了 n（nm ）等份（長和寬上的每一份長度是相等的），那么這個長方形中的正方形總數(shù)s為：s=mn+ （m-1）(n-1)+ （m-2）(n-2 ）+（m-n+1）1 特殊的，當一個正方形的邊長被分成n 等分時，則這個圖形中正方形的總個數(shù)s為：學習好資料歡迎下載例 1 求下圖中正方形的總個數(shù)（如圖126）。解圖中 ab邊上有 7 個等分， ad邊上有 3 個等份。根據(jù)在長方形中數(shù)正方形個數(shù)的公式，可得：s73+62

21、+51 =21+12+5 =38（個）。（答略）例 2 求下圖（圖 127）中的正方形有多少個。解圖形中正方形每邊上有4 等分。根據(jù)數(shù)正方形個數(shù)的計算公式，得（答略）【平面內 n 條直線最多分平面部分數(shù)的公式】 平面內有 n 條直線，其中注意兩條直線都不平行， 每條直線都與其他直線相交，且不交同一點。那么，這幾條直線將平面劃分的部分數(shù)s為例平面內有 8 條直線，它們彼此都相交， 但不交于同一點， 求這 8 條直線能把平面劃分出多少個部分？學習好資料歡迎下載解根據(jù)平面內 n 條直線，最多分平面部分數(shù)的計算公式，得s=2+2+3+4+5+6+7+8 【n 個圓將平面分成最多的部分數(shù)公式】若平面上有

22、n 個圓，每個圓都與其他圓相交，且不交于同一點，那么這個圓將平面劃分的最多的部分數(shù)s為s=2+1 2+22+（n-1）2 =n2-n+2 例在一個平面上有20 個圓，這 20 個圓最多可將平面劃分為多少個部分？解根據(jù)平面內 n 個圓將平面劃分成最多的部分數(shù)的計算公式，可得s=2+1 2+22+192 =202-20+2 =400-20+2 =382（塊）（答略）【格點面積公式】每個小方格的面積都是1 個面積單位的方格紙上， 縱橫兩組平行線的交點， 叫做“格點”，這樣的方格紙，叫做“格點平面”。在格點平面上求圖形的面積，可以按照上面的公式去計算：圖形面積 =圖形內部格點數(shù) +圖形周界上的格點數(shù)

23、2-1。例如圖 128，求格點平面內 a、b兩個圖形的面積。解 a 圖內部無格點， b圖內部有 9 個格點；a圖周界上有 9 個格點， b圖周界上有 7 個格點。學習好資料歡迎下載根據(jù)格點面積公式，得：a圖面積 =92-1=3.5 （面積單位）b圖面積 =（9+7）2-1=115（面積單位）（答略）如果格點是由形如“”或“”構成（如圖129），且每相鄰的三點所形成的三角形面積為 1 的等邊三角形，則計算多邊形面積公式為多邊形面積 =2圖形內部格點數(shù) +圖形周界上格點數(shù) -2。47、幾何公理、定理或性質【直線公理】經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線?！局本€性質】根據(jù)直線的公理，可以推出下面的性

24、質：兩條直線相交，只有一個交點?！揪€段公理】在所有連結兩點的線中，線段最短。（或者說：兩點之間線段最短。）【垂線性質】（1）經(jīng)過一點，有一條而且只有一條直線垂直于已知直線。（2）直線外一點與直線上各點連結的所有線段中，垂線段最短。（也可以簡單地說成：垂線段最短。）學習好資料歡迎下載【平行公理】經(jīng)過直線外一點，有一條而且只有一條直線和這條直線平行?！酒叫泄硗普摗咳绻麅蓷l直線都和第三條直線平行，那么，這兩條直線也相互平行?！居嘘P平行線的定理】（1）如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線平行。（2）如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，那么，這條直線也和另一條垂直?！救切蔚奶匦浴?三角形

25、有不變形的特性， 一般稱其為三角形的穩(wěn)定性。由于三角形有這一特性，所以在實踐中它有廣泛的應用?！救切蔚男再|】三角形的性質（或定理及定理的推論），一般有：（1）三角形任意兩邊的和大于第三邊；三角形任意兩邊的差小于第三邊。（2）三角形三內角之和等于180。由三角形上述第（ 2）條性質，還可以推出下面的兩條性質：三角形的一個外角，等于它不相鄰的兩個內角之和。如圖1.1 ，4=1+2。三角形的一個外角，大于任何一個同它不相鄰的內角。如圖1.1 ，41，42。【勾股定理】在直角三角形中，兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方。用字母表達就是 a2+b2=c2。（a、b 表直角邊長， c 表斜邊長。）我國古

26、代把直角三角形叫做“勾股形”，直立的一條直角邊叫做“股”，另一條直角邊叫做“勾”，斜邊叫做“弦”。所以我國將這一定理稱為“勾股定理”。勾股定理是我國最先發(fā)現(xiàn)的一條數(shù)學定理。而古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯 （pythagoras ）較早地證明了這個定理。因此，國外常稱它為“畢達哥拉斯定理”?！酒叫兴倪呅蔚男再|】（1）平行四邊形的對邊相等。（2）平行四邊形的對角相等。（3） 平行四邊形鄰角的和是180。 如圖 1.2 ， a+b=b+c= c+d= d+ a=180。學習好資料歡迎下載（4）平行四邊形的對角線互相平分。如圖1.2 ，ao=co，bo=do。平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點是對稱中心

27、?！鹃L方形的性質】長方形除具有平行四邊形的性質以外，還具有下列性質：（1）長方形四個角都是直角。（2）長方形對角線相等。長方形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。它每一組對邊中點的連線，都是它的對稱軸?！玖庑蔚男再|】菱形除具有平行四邊形的性質以外，還具有下列性質：（1）菱形的四條邊都相等。（2）菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角。例如圖1.3 ，ac bd ，ao=co，bo=do，ac平分 a和c，bd平分 b和d 。菱形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，它每一條對角線都是它的對稱軸?！菊叫蔚男再|】正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質?！径噙呅蝺冉呛投ɡ怼?n 邊形的內

28、角的和，等于（ n-2）180。（又稱“求多邊形內角和”的公式。）例如三角形（三邊形）的內角和是（3-2）180=180；學習好資料歡迎下載四邊形的內角和是（4-2）180=360?！径噙呅蝺冉呛投ɡ淼耐普摗浚?）任意多邊形的外角和等于360。這是因為多邊形每一個內角與它的一個鄰補角（多邊形外角）的和為180，所以， n 邊形 n 個外角的和等于 n180-（n-2）180=360。（2）如果一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補。例如圖 1.4 ，1 的兩邊分別垂直于 a的兩邊，則 1+a=180 ，即 1 與a互補。又2、3、4 的兩邊也分別垂直于 a的兩邊，則 3

29、和a也互補，而 2=a，4=a?！緢A的一些性質或定理】（1）半徑相等的兩個圓是等圓；同圓或等圓的半徑相等。（2）不在同一直線上的三個點確定一個圓。（3）垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。（4）在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。（5）一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半?！据S對稱圖形的性質】軸對稱圖形具有下面的性質：（1）如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對應點的連結線段被對稱軸垂直平分。例如圖 1.5 ， 圖中的 aa 對稱點連結線段， 被對稱軸 l 垂直且平分，即 laa ，ap=pa 。學習好資料歡迎下載（2）兩個圖形關于某直線對

30、稱，如果它們的對應線段或其延長線相交，那么，交點在對稱軸上。例如圖 1.5 中，ba與 ba的延長線相交，交點m在對稱軸 l 上。（3）兩個關于某直線對稱的圖形，一定是全等形。例如，圖 1.5 中abc 與abc全等。【中心對稱圖形的性質】 如果把一個圖形繞著一個點旋轉180后，它和另一個圖形重合，那么，這兩個圖形就是關于這個點的“中心對稱圖形”。中心對稱圖形具有以下性質：（1）關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。例如，圖 1.6 中對稱點 a與 a，b與 b，c與 c ，它們的連線都經(jīng)過o （對稱中心），并且 oa=oa ，ob=ob，oc=oc。（2）關于

31、中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或在同一直線上）且相等。48、和差積商的變化規(guī)律學習好資料歡迎下載【和的變化規(guī)律】（1）如果一個加數(shù)增加（或減少）一個數(shù)，另一個加數(shù)不變，那么它們的和也增加（或減少）同一個數(shù)。用字母表達就是如果 a+b=c，那么（ a+d）+b=c+d；（a-d）+b=c-d。（2）如果一個加數(shù)增加一個數(shù)，另一個加數(shù)減少同一個數(shù)，那么它們的和不變。用字母表達就是如果 a+b=c，那么（ a+d）+（b-d）=c?！静畹淖兓?guī)律】（1）如果被減數(shù)增加（或減少）一個數(shù)，減數(shù)不變，那么，它們的差也增加（或減少）同一個數(shù)。用字母表達，就是如果 a-b=c，那么（ a+d）-b=c+d

32、，（a-d）-b=c-d 。（ad+b）（2）如果減數(shù)增加（或減少）一個數(shù)，被減數(shù)不變，那么它們的差反而減少（或增加）同一個數(shù)。用字母表達，就是如果 a-b=c，那么 a-（b+d）=c-d（ab+d），a- （b-d）=c+d。（3）如果被減數(shù)和減數(shù)都增加（或都減少）同一個數(shù)，那么，它們的差不變。用字母表達，就是如果 a-b=c，那么（ a+d）-（b+d）=c，（a-d）-（b-d）=c?！痉e的變化規(guī)律】（1）如果一個因數(shù)擴大 （或縮小） 若干倍，另一個因數(shù)不變，那么， 它們的積也擴大（或縮小）同樣的倍數(shù)。用字母表達，就是如果 ab=c，那么（ an）b=cn，（an）b=cn。學習好資料

33、歡迎下載（2）如果一個因數(shù)擴大若干倍，另一個因數(shù)縮小同樣的倍數(shù)，那么它們的積不變。用字母表達，就是如果 ab=c，那么（ an）（ bn）=c，或（an）（ bn）=c?！旧袒蛴鄶?shù)的變化規(guī)律】（1）如果被除數(shù)擴大（或縮?。┤舾杀?，除數(shù)不變，那么它們的商也擴大（或縮小）同樣的倍數(shù)。用字母表達，就是如果 ab=q，那么（ an）b=qn，（an）b=qn。（2）如果除數(shù)擴大（或縮?。┤舾杀叮怀龜?shù)不變，那么它們的商反而縮?。ɑ驍U大）同樣的倍數(shù)。用字母表達，就是如果 ab=q，那么 a（bn）=qn，a（bn）=qn。（3）被除數(shù)和除數(shù)都擴大（或都縮?。┩瑯拥谋稊?shù)，那么它們的商不變。用字母表達，就是

34、如果 ab=q，那么（ an）（ bn）=q，（an）（ bn）=q。（4）在有余數(shù)的除法中，如果被除數(shù)和除數(shù)都擴大（或都縮?。┩瑯拥谋稊?shù)，不完全商雖然不變，但余數(shù)卻會跟著擴大（或縮?。┩瑯拥谋稊?shù)。這一變化規(guī)律用字母表示，就是如果 ab=q（余 r ），那么（ an）（ bn）=q（余 rn），（an）（ bn）=q（余 r n）。例如， 849=93，而（842）（ 92）=96（32），（843）（ 93）=91（33）。學習好資料歡迎下載49、估值計算【精確度計算】例 1 計算 12345678910111213 3l21l10l98765432l，它小數(shù)點后面的前三位數(shù)字是_。（199

35、1年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）講析： 被除數(shù)和除數(shù)都有17 位數(shù)，直接去除是極麻煩的。我們不妨將被除數(shù)和除數(shù)作適當?shù)姆趴s，再去進行解答：原式的值 12343121=0.3953原式的值 12353122=0.3955所以，答案是 3、9、5。例 2 以下四個數(shù)中有一個是30418.73 的近似值，請你估算一下，找出這個數(shù)。（1）570，（2）5697，（3）56967，（4）569673。（1989年日本小學數(shù)學總體評價測驗題）講析： 在做近似數(shù)的乘除法時，先要估算結果的粗略值。18.73 接近 20，304 接近 300，30020=6000，可知，乘積在 6000 左右。所以，答案是5

36、697。【整數(shù)部分的估算】（1990年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）講析：學習好資料歡迎下載所以，整數(shù)部分是517。（全國第三屆“華杯賽”復賽試題）講析： 將分母運用擴縮法進行估算，可得x，那么，與 x最接近的整數(shù)是 _。（1992年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）講析： 可將整數(shù)部分與分數(shù)部分分開計算，得答案是 25。例 4 已知問 a 的整數(shù)部分是多少？（全國第二屆“華杯賽”決賽第一試試題）講析： 本題計算較繁?？上葘⒎肿幼兂蓛纱蟛糠郑渲幸徊糠峙c分母相同，另一部分不同。學習好資料歡迎下載所以， a 的整數(shù)部分是 101。果取每個數(shù)的整數(shù)部分，并將這些整數(shù)相加，那么，這些整數(shù)之和是_。（19

37、90年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）講析： 解題的關鍵是要找出從哪一個數(shù)開始，整數(shù)部分是2。本身），整數(shù)部分都是1。在此以后的數(shù)，整數(shù)部分都是2。故答案是 49。大于 3，至少要選 _個數(shù)。（1989年全國小學數(shù)學奧林匹克復賽試題）講析： 要使選的個數(shù)盡量少，所選的數(shù)必須盡量大。由此可得學習好資料歡迎下載50、根據(jù)和、差、積、商變化規(guī)律速算【根據(jù)和的變化規(guī)律速算】和的變化規(guī)律有以下兩條。（1）如果一個加數(shù)增加（或減少）一個數(shù)，另一個加數(shù)不變，那么它們的和也增加（或減少）同一個數(shù)。利用這一規(guī)律，可以使計算簡便、快速。例如645+203=645+200+3 =8453 =848 397468=40

38、0468-3 =868-3 （2）如果一個加數(shù)增加一個數(shù)，另一個加數(shù)減少同一個數(shù)，那么它們的和不變。利用這一規(guī)律，也可以使計算簡便、快速。例如657309=（657+9）（309-9）=666+300 =966 154286=（1544）+（2864）=150290 學習好資料歡迎下載=（150-10）（ 29010）=140300 =440 【根據(jù)差的變化規(guī)律速算】差的變化規(guī)律有如下三條。（1）如果被減數(shù)增加（或減少）一個數(shù)，那么它們的差也增加（或減少）同一個數(shù)。運用這一規(guī)律的速算，如804355=8003554 =4454 449 593264=6002647 =3367 =329 （2）

39、如果減數(shù)增加（或減少）一個數(shù)，被減數(shù)不變，那么它們的差反而減少（或增加）同一個數(shù)。運用這一規(guī)律的速算，如675298=6753002 =3752 =377 458209=4582009 =2589 =249 （3）如果被減數(shù)和減數(shù)都增加（或都減少）同一個數(shù)，那么它們的差不變。運用這一規(guī)律的速算，如3520984=（352016）- （98416）=35361000 學習好資料歡迎下載=2526 803345=（8033）- （3453）=800342 =458 【根據(jù)積的變化規(guī)律速算】積的變化規(guī)律有如下兩條。（1）如果一個因數(shù)擴大 （或者縮?。?若干倍，另一個因數(shù)不變， 那么它們的積也擴大 （

40、或者縮小）同樣的倍數(shù)。運用這一規(guī)律的速算，如1754=（257）4 =（257）25 425 =7425 =7（425）=700 6825681004 =68004 =1700 （2）如果一個因數(shù)擴大若干倍，另一個因數(shù)縮小同樣的倍數(shù)，那么它們的積不變。運用這一規(guī)律速算，如24025=（2404）（2504）=601000 =60000 4514=（452）（ 142）=902 =180 【根據(jù)商的變化規(guī)律速算】商的變化規(guī)律，有如下三條：學習好資料歡迎下載（1）如果被除數(shù)擴大（或者縮?。┤舾杀?，除數(shù)不變，那么它們的商也擴大（或者縮?。┩瑯拥谋稊?shù)。運用這一規(guī)律速算，如54009=（5400100）

41、9100 =549100 =6100 =600 （2）如果除數(shù)擴大（或者縮?。┤舾杀?，被除數(shù)不變，那么它們的商反而會縮小，（或者擴大）同樣的倍數(shù)。運用這一規(guī)律速算，如3600253600（254）4 =36001004 =364 =144 （3）被除數(shù)和除數(shù)都擴大（或者都縮?。┩瑯拥谋稊?shù)，它們的商不變。運用這一規(guī)律速算，如69000023000=（6900001000）（ 230001000）=69023 =30 1200025=（120004）（ 254）=48000100 =480 注意：在有余數(shù)的除法里，如果被除數(shù)和除數(shù)都擴大（或者都縮小）同樣的倍數(shù)，不完全商雖然不會變化，但余數(shù)會跟著擴

42、大（或者縮?。┩瑯拥谋稊?shù)。要使余數(shù)不變，所得的余數(shù)必須縮小（或者擴大）同樣的倍數(shù)。學習好資料歡迎下載51、割補、拼接、截割【割補】 在數(shù)學中，把圖形的某個部分割下，補到某一個新的位置，往往可以使新的圖形，更便于發(fā)現(xiàn)數(shù)量關系，從而較快地解答出數(shù)學題目。例如，在圖 4.38中，三個圓的面積都是12.56平方厘米， 且三個圓兩兩相交， 三個交點都是圓心，求三塊陰影部分的面積。從表面上看，題目是無法解答的。但只要仔細觀察就能發(fā)現(xiàn)，根據(jù)軸對稱性及割補方法，題目可作如下的解答：如圖 4.39，將圖形 1 翻折到圖形 2的位置； 再將圖形 3 和 4 割下來，合并在一起， 補到圖形 5 的位置上。于是，原來

43、的陰影部分就正好拼成了一個半圓。所以，三塊陰影部分的面積是12.562=6.28（平方厘米）學習好資料歡迎下載【拼接，截割】（1）平面圖形的拼接、截割。拼接和截割，是兩個相反的過程。平面圖形的拼接是把兩個或兩個以上的圖形拼接在一起；平面圖形的截割，是把一個圖形截割成兩個或兩個以上的圖形。平面幾何圖形拼接或截割以后，面積和周長的變化有以下規(guī)律：兩個或兩個以上的圖形拼接成一個新的幾何圖形，它的面積等于原來若干個幾何圖形的面積之和；而周長卻會比原圖形周長之和要短。如果拼接部分的總長度為a，那么拼接后減少的周長就是 2a。把一個平面幾何圖形截割以后，各小塊圖形的面積之和， 等于原圖形的面積； 但截割后

44、各小塊幾何圖形的周長之和，要比原圖形的周長要長。若所有截割部分長度為a，那么截割后增加的長度就是 2a。依據(jù)這一規(guī)律，可快速地解答一些幾何問題。例如，如圖4.40，正方形被均分為大小、形狀完全相同的三個長方形，每個長方形周長都是48 厘米，求正方形的周長。解題時，可以把大正方形看成是三個小長方形拼接而成的，三個小長方形的拼接部分， 都是小長方形的長，長度等于大正方形的“邊長”。拼接以后的圖形（大正方形）的周長，比原來的三個小長方形的周長之和，要減少4 個“邊長”，而這 4 個“邊長”正好相當于大正方形的周長。這就是說，三個小長方形的周長之和里，剛好包含有兩個大正方形的周長。所以，正方形的周長是

45、4832=1442=72（厘米）學習好資料歡迎下載（2）立體圖形的拼接、截割。立體幾何圖形拼接或截割以后，它的體積和表面積的變化，有以下規(guī)律：兩個或兩個以上的幾何體， 拼接成一個新幾何體以后， 它的體積等于原來若干個幾何體體積之和；但是它的表面積卻比原來若干個幾何體的表面積之和要小。如果重疊部分為s，那么減少的面積就是 2s。把一個幾何體截割以后， 各部分的體積之和等于原幾何體體積；但截割后的表面積之和， 卻大于原幾何體的表面積。如果其中的截割面積為s，那么，增加的表而積就是2s。依據(jù)這一規(guī)律，可以較快地解答出某些題目。例如，如圖4.41 ，把一個棱長為 5 厘米的正方體木塊鋸成兩個形狀大小完

46、全相同的長方體（不計損耗） ，表面積會增加多少平方厘米？因為正方體木塊的截割面積為55=25（平方厘米），依據(jù)上面的規(guī)律可知，表面積會增加252=50（平方厘米）又如，把長 10 厘米、寬 6 厘米、高 5 厘米的長方體木塊截成形狀、大小相同的兩個長方體，表面會增加多少平方厘米？由于此題未交代從何處下手截割，所以要分三種情況來解答題目。如圖 4.42 左圖的截法，表面積會增加。562=302=60（平方厘米）如圖 4.42 中圖的截法，表面積會增加。1062=602=12（平方厘米）學習好資料歡迎下載如圖 4.42 右圖的截法，表面積會增加1052=502=100（平方厘米）52、改變運算種類

47、在四則運算中， 改變原題的運算種類， 如以乘代加、 以加代減、以加代乘、以減代除，往往可使一些題目的計算變得比較簡便、快速?！疽猿舜印?幾個加數(shù)雖然不同，但數(shù)字大小比較接近的時候，可以選擇一個數(shù)作“基準數(shù)”，采用“以乘代加”的方法速算。例如（1）1718161714+1913+14 解題時，可以選擇17 為基準數(shù)，以乘代加解答如下。1718+161714+19+13 14 學習好資料歡迎下載=1781-1-3 2-4-3 =178-8 =128 （2） 325 324318327323320 解題時，可以選取323 作為基準數(shù)，然后解答。325+324318+327323320 =3236+

48、21-5+4-3 = 3236+（214）- （53）=32367-8 =3236-1 =1937 運用基準數(shù)以乘代加速算， 對于一些隨報隨記而且數(shù)字又很接近的連加運算，是極為方便、快速的，它的算法可以是：選定一個數(shù)作基準數(shù)，把比基準數(shù)多的記“十”，比基準數(shù)少的記“一”，隨報隨算它的累計數(shù)。當要加的數(shù)報完后，結果也就計算出來了。例如，某組 10 個同學某次數(shù)學考試分數(shù)如下：72；71；70；68；74；69；73；67；70；73。計算時，可選擇 70 分作基準數(shù)。計算過程可如下表所示（實際計算時只需要算出累計數(shù)就行了）：所以，這組同學這次考試成績的總分數(shù)是70107=707（分）【以加代減】

49、 為說明問題，先看一個實際問題：“某人去商店購物，需要付款4.65 元。他交給售貨員 10 元，應找回多少錢？”學習好資料歡迎下載很明顯，這是個減法算題，應該用104.65=5.35 （元）去求答案。可是在找錢的時候，售貨員一般不做減法，而是采用“前位湊九，末位湊十”的加法運算，得 5.35 與 4.65 能湊成 10，從而得出要找的錢數(shù)是5.35 元。這是為什么呢？因為做減法會產(chǎn)生連續(xù)退位的問題，而用加法湊整，可以通過“前位九，末位十”的辦法口算。達到正確、快速、簡便地求差的目的。凡是整百、整千、整萬減去一個數(shù)，都可以用“以加代減”的方法“前位湊九，末位湊十”，去迅速地求差。請看下面的兩個例

50、子，特別是看一看列出的豎式：（1） 1000 675=325 (2)50000-3672=46328 【添 0 折半】 一個數(shù)乘以 5，可以看成是先乘以10 再除以 2。一個數(shù)乘以 10 非常簡便，只要在這個數(shù)的末尾添個0；再除以 2，也很容易口算。 這種添 0 后再除以 2 的方法，叫做“添0 折半法”。它也改變了原題的運算種類。例如（1）4865 48602 =2430 （2）4.37 5 =43.72 =21.85 【添 0 退減原數(shù)】一個數(shù)乘以 9，就是乘以 101。根據(jù)一個數(shù)乘以兩數(shù)之差的分配性質，一個數(shù)乘以 9，可以在這個數(shù)的末尾添一個0，再退一位減去原數(shù)，所得的就是所要求的積。這

51、種方法，可稱為“添0 退減原數(shù)法”。例如3969 學習好資料歡迎下載=3960-396 =3564 （退減原數(shù)可看式口算?？词娇谒悴皇炀殨r，可從低位減起，熟練之后可從高位減起，一下子就可直接寫出得數(shù)。）【添 0 折半加原數(shù)】 一個數(shù)乘以 6，可以看成是乘以（ 51）。運用乘法分配律，可以用這個數(shù)分別乘以 5 和 1，再求兩個積之和。一個數(shù)乘以5，可以用“添 0 折半法”，加上這個數(shù)與 1 的積，就是加上原數(shù)。所以這種速算方法可稱之為“添0 折半加原數(shù)法”。例如64896 =648902+6489 =324456489 =38934 這種方法還可以推廣到一個數(shù)乘以7 中去。不過，乘以 7 就必須

52、是“添 0 折半加原數(shù)的 2倍”了。例如24367 =2436024872 =12180+4872 =17052 234.27 =23422+468.4 =1171468.4 =1639.4 【以加代乘】 “以加代乘”又可以稱之為“添0 加原數(shù)”。例如72011 =7200720 =7920 學習好資料歡迎下載6720311 67203067203 =739233 這種方法還可以推廣到一個數(shù)乘以12 的計算中去。不過，一個數(shù)乘以12，需要添 0 加原數(shù)的 2 倍。例如：62312 =6230+1246 =7476 【原數(shù)加半，加半定積】 如果一個數(shù)乘以1.5 ，也就是乘以（ 10.5 ），那么根據(jù)乘法分配律，只要把這個數(shù)加上它的一半就可以了。這時，原來的乘法也可以改用加法來代替。例如481.5 =48（10.5 ）=48+24（48 的一半）=72 顯然，“原數(shù)加半”的方法速算乘法，也是“以加代乘”的一種方法。這種“原數(shù)加半”方法還可推廣到一個數(shù)乘以15、150、1500以及 0.15、0.015、0.0015中去。因為15=1.510 0.15=1.5 0.1 150=1