(浙江專版)高中數(shù)學(xué)第一章解三角形1.2應(yīng)用舉例學(xué)案新人教A版必修5

1、11.2應(yīng)用舉例第一課時解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例預(yù)習(xí)課本 P1116,思考并完成以下問題(1)方向角和方位角各是什么樣的角？怎樣測量物體的高度？(3)怎樣測量物體所在的角度？新知初探實(shí)際測量中的有關(guān)名稱、術(shù)語名稱定義圖示仰角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時 I與水平線的夾角謝水屮:堆水平線俯角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線I 下方時與水平線的夾角方向角從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角(指定方向線是指正北或正南或正東或正西， 方向角小于 90)方位角從正北的方向線按順時針到目標(biāo)方向線所轉(zhuǎn)過的水平角小試身手1.判斷下列命題是否正確.(正確的打“V”，錯誤的打“X”)(1) 已知三角形的三個角，能

2、夠求其三條邊()(2) 兩個不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離無法求得()(3) 方位角和方向角是一樣的()課前自走學(xué)習(xí)，站軽才能樓麗2解析：（1）錯誤，要解三角形，至少知道這個三角形的一條邊長.（2）錯誤，兩個不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離我們可以借助第三個點(diǎn)和第四個點(diǎn)量出角度、距離求得.（3）錯誤方位角是指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，而方向角是以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角答案：(1)X(2)X(3)X（一般指銳32.若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東 30,點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東 60,且AC= BC則點(diǎn)A在點(diǎn)BA. 北偏東 15B.北偏西 15C. 北偏東 10D.北

3、偏西 10解析：選 B 如圖所示，/ACB=90,又AC=BCCBA=45,而3= 30,.a= 90 45 30 =15點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏西 15 .故選 B.3.從A處望B處的仰角為a，從B處望A處的俯角為3，則3的關(guān)系為（）A.a3B.a=3C.a+卩=90D .a+3= 180解析：選 B 根據(jù)題意和仰角、俯角的概念畫出草圖，如圖知=卩，故應(yīng)選 B.4.已知船A在燈塔C北偏東 85且到C的距離為 1 km 船B在燈塔C西偏北 25且到C的距離為；3 km，則 A,B兩船的距離為km.解析：由題意得/ACB=(90 25 ) + 85= 150,又AC=1,BC= ,：3,由余弦定理得AB

4、=AC+BC2AC- BCCos 150 = 7,.AB=答案：課耳片戲垛計*舉一能通類J30測量高度問題4典例如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平 面內(nèi)的兩點(diǎn)C與D現(xiàn)測得/BCD=a，/BDC=卩，CD= s，并在點(diǎn)C測得塔 頂A的仰角為0，求塔高AB解在厶BCD中,/CB3n （a+卩）.CDtin/BDgssin卩sin/CBDsina+卩亠亠s sinBtan0在RtABC中，AB= BCan/ACB=麗 +卩測量高度問題的解題策略（1）“空間”向“平面”的轉(zhuǎn)化：測量高度問題往往是空間中的問題，因此先要選好所 求線段所在的平面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.（2）“解直角

5、三角形”與“解斜三角形”結(jié)合，全面分析所有三角形，仔細(xì)規(guī)劃解題思 路.由正弦定理得BCCDsin /BDCsin /CBD5_ 53+V5 sin 45sin 45cos 60 +cos 45sin 60=10 3 n mile.又/DB(=ZDBA-/ABC=60,BC=20 - 3 n mile在厶DBC中，由余弦定理，得CD=jBD+BC-2BDBOS/DBC=.300+1 2002X1 0 3X2 0,3x=30 n mile ,30D點(diǎn)需要的時間為 30= 1 h.30在厶ABS中,AB=AS -sin 135sin 30 1 000 x221 000：2所以BC= AB-sin 4

6、5 = 1 000 2x= 1 OOO(m).答案：1 000題型二 A測量角度問題n mile 的兩個觀測點(diǎn).現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東 45方向、B點(diǎn)北偏西 60 方向的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點(diǎn)南偏西 60且與B點(diǎn)相距 20：3 n mile 的C點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為 30 nmile/h ，則該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長時間？解 由題意，知AB=5(3 +：3) n mile ,/DBA=90 60= 30,/DAB=90 45= 45/ADB=180 (45 + 30 ) =105在。人沖，由正弦定理得BDABsin /DABsin /ADB即BD-ABsin/DAB5s

7、in /ADB=3 +!3sin 45sin 105 測量角度問題主要是指在海上或空中測量角度的問題,如確定目標(biāo)的方位，觀察某一建典例如圖所示，A,B是海面上位于東西方向相距5(3 + ,3)則救援船到達(dá)筑物的視角等.解決它們的關(guān)鍵是根據(jù)題意和圖形及有關(guān)概念，確定所求的角在哪個三角形中，該三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根據(jù)題意，從實(shí)際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后通過解這些三角形，得到所求的量，從而得到實(shí)際問題的解.6活學(xué)活用在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東 45方向，距離A處（丿 3 1）n mile 的B處有一艘走私船， 在A處北偏西 75的方向，距離A2 n mile 的C處的緝私船

8、奉命以 10 .;3 n mile 的速度追 截走私船.此時，走私船正以10 n mile/h的速度從B處向北偏東 30方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？解：設(shè)緝私船用th 在D處追上走私船，畫出示意圖，則有CD=10：3t,BD=10t,在厶ABC中，TAB= . 3 1,AC=2，/BAC=120,由余弦定理，得BC=AB+AC 2AB- AC-cos/BAC=（出一10tsin 120 = 110 3t= 2，/BC= 30 .即緝私船沿北偏東60方向能最快追上走私船題點(diǎn)一：兩點(diǎn)間不可通又不可視1.如圖所示，要測量一水塘兩側(cè)A,B兩點(diǎn)間的距離，其方法先選定適當(dāng)?shù)奈恢肅,用經(jīng)緯

9、儀測出角a，再分別測出AC BC的長b,a,則可求出A,B兩點(diǎn) 間的距離.即AB=；a +b 2abcosa.若測得CA=400 m,CB=600 m，/ACB=60,試計算AB的長.解：在ABC中，由余弦定理得AB=AC+BC2AC- BGCos /ACB1)2+222(,31)-2-cos 120 =6,AC- B(=：6，且 sinZAB(=BC*sinZBAC=2222， ZABC=45,BC與正北方向成 90 角.得 sinBD-sin /CBDCDTl測量距離問題f)；?Q/CB圧 90+ 30= 120,在厶BCD中,由正弦定理,7AB=4002+60022X400X600cos

10、 60 =280 000. AB= 200 7 (m).即A,B兩點(diǎn)間的距離為 200 7 m.題點(diǎn)二：兩點(diǎn)間可視但有一點(diǎn)不可到達(dá)2.如圖所示，A,B兩點(diǎn)在一條河的兩岸，測量者在A的同側(cè)，且B點(diǎn)不可到達(dá)，要測出A B的距離，其方法在A所在的岸邊選定一點(diǎn)C,可以測出代C的距離m再借助儀器， 測出/ACB=a， /CAB=卩， 在ABC中，運(yùn)用正弦定理就可以求出AB若測出AC=60 m，ZBAC=75，/BCA=45，貝UA，B兩點(diǎn)間的距離為 _ m.解析：/ABC=180 75 45= 60，間的距離.解：/ADC=/ADBF/CDB=60,/AC= 60, /DA= 60,AC=DC=_3DC

11、2在厶BCD中, /DBC=45,由正弦定理，得BC= sin /BDC=- sinsin /DBCsin 45所以由正弦定理得,AB=ACsinCsin BAB= AC%：型普sinBsin 60=20 6(m).即A，B兩點(diǎn)間的距離為 20 6 m.答案：20 6題點(diǎn)三：兩點(diǎn)都不可到達(dá)3.如圖，A，B兩點(diǎn)在河的同側(cè)， 且A, B兩點(diǎn)均不可到達(dá)，測出A, B的距離，測量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C D,測得CD= a，同時在C D兩點(diǎn)分別測得/BCA=a，/ACD-卩，/CDB=丫，/BDA=S.在ADCnBDC中，由正弦定理分別計算出AC和BC再在ABC中，應(yīng)用余弦定理計算出AB若測得CD-k

12、m，/ADB=/CD= 30，/AC= 60，/ACB=45，求A, B兩點(diǎn)830=-4-.4在厶ABC中，由余弦定理，得AB=AC+BC 2AC* BGCos 45 A, B兩點(diǎn)間的距離為-4km.當(dāng)A,B兩點(diǎn)之間的距離不能直接測量時，求AB的距離分為以下三類：（1）兩點(diǎn)間不可通又不可視（如圖）：可取某點(diǎn)C,使得A B與C之間的距離可直接測量，測出AC= b,BC= a以及/ACB=丫，利用余弦定理得：AB= /a2+b2 2abcos丫.（2）兩點(diǎn)間可視但不可到達(dá)（如圖）：可選取與B同側(cè)的點(diǎn)C,測出BC= a以及/ABC和/ACB先使用內(nèi)角和定理求出/BAC再利用正弦定理求出AB（3）兩點(diǎn)

13、都不可到達(dá)（如圖）：在河邊測量對岸兩個建筑物之間的距離，可先在一側(cè)選取兩點(diǎn)C, D,測出CD= m/ACB/BCD/ADC/ADB再在BCD中求出BC在厶ADC中求出AC最后在ABC中 ,由余弦定理求出ABC. 3 3 mD. 4 3 m38.其跨度AB的長為（A. 12 mB. 8 m曾9解析：選 D 由題意知，/A=ZB= 30 ,所以/C= 180 30 30= 120 ,10即AB.ACJ晉4-sin3120=432一艘船自西向東勻速航行，上午10 時到達(dá)一座燈塔P的南偏西 75距塔 68 n mile的M處，下午 2 時到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為（）A.打6n

14、 mile/hD. 34 2 n mile/hx解析：選 A 設(shè)AB= x，則在RtABC中，CB=寸xxxa在 Rt ABD中BD=，所以BD= a+=，從中求得x=tanatan3tana11tanatan3asinasin 3_=asinasin3故選 Atan3 tanasin3cosa sinacos3sin3a 4設(shè)甲、乙兩幢樓相距 20 m,從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0,從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?30,則甲、乙兩幢樓的高分別是（）廠 40 書AB AC由正弦定理得，sin Lsin BB. 34：6 n mile/hn mile/hasina- sin3sin3aasina- s

15、in3cosa3asina- cos3sin3aacosa- sin3cosa3，所以BD= a+六，又因?yàn)閍tanatan3B. 10 3 m,203 m3.如圖，D, C, B三點(diǎn)在地面同一直線上,a（a3），貝 UA點(diǎn)離地面的高度AB等于（A.B.C.DC= a,從C, D兩點(diǎn)測得11A. 20 3 m,3 mC. 10( 3 2)m,20 3 mD. 5m,20m12解析：選 A 由題意，知h甲=20tan 60 = 20/3(m),4OJ3h乙=20tan 60 20tan 30 = (m).5.甲船在島B的正南A處，AEB= 10 km，甲船以 4 km/h 的速度向正北航行，同時

16、乙船 自島B出發(fā)以 6 km/h 的速度向北偏東 60的方向駛?cè)?，?dāng)甲、乙兩船相距最近時，它們的 航行時間是( )15015A. minB. hC. 21.5 min解析：選 A 由題意可作出如圖所示的示意圖，設(shè)兩船航行t小時后，甲船位于C點(diǎn)，乙船位于D點(diǎn)，如圖.則BC= 10 4t,BD=6t, /CB= 120,此時兩船間的距離最近，根據(jù)余弦定理得CD=BC+BD2BC- BtCos /CBD5=(10 4t)2+ 36t2+ 6t(10 4t) = 28t2 20t+ 100,所以當(dāng)t=和時，CD取6某人從A處出發(fā)，沿北偏東 60行走 3 3 km 到B處，再沿正東方向行走 2 km 到

17、C處，貝 UA,C兩地的距離為解析：如圖所示，由題意可知AB=3.3,BC=2,/AB(= 150.由余弦定理，得AC=27+42X33X2Xcos 150則A,C兩地的距離為 7 km.答案：7解析:DA-tan 455/2X1廠所以X= tan 30。-DA=弋廠5曲3=50(冷 6 一叮 2)m.D. 2.15 h得最小值，即兩船間的距離最近，所以它們的航行時間是150 -7min,故選 A.km.7坡度為 45。的斜坡長為 100 m現(xiàn)在要把坡度改為30,則坡底要伸長m.=49,AC=7.如圖，BD=100,/BDA=45,/BCA=30,設(shè)CD= x，所以(x+DA- tan 30

18、又DA= BD-cos 45 =100X于=DA-tan 45 ,50 2,北到另一只小蟲，這時它向右轉(zhuǎn)135爬行回它的出發(fā)點(diǎn)，那么x=cm.13答案：50( ,6. 2)&一蜘蛛沿東北方向爬行xcm 捕捉到一只小蟲，然后向右轉(zhuǎn)105,爬行 10 cm 捕捉到另一只小蟲，這時它向右轉(zhuǎn)135爬行回它的出發(fā)點(diǎn)，那么x=cm.14解析：如圖所示，設(shè)蜘蛛原來在點(diǎn)，易知在厶AOB中AB=10 cm,則/AOB=60，由正弦定理知:AB-sin/ABO10Xsin 45X-sin /AOBsin 60 答案：罟9.如圖，甲船以每小時 30 2 海里的速度向正北方向航行，乙船按固 定方向勻速直線航行

19、，當(dāng)甲船位于A處時，乙船位于甲船的北偏西105方向的Bi處，此時兩船相距 20 海里，當(dāng)甲船航行 20 分鐘到達(dá)A處時，乙船航行到甲船的北偏西 120。方向的 R 處，此時兩船相距 10：2 海里，求 乙船航行的速度.解：如圖，連接 八,在厶 AAB 中，易知/ AAB= 60,又易求得AA=30羽X芬10也=AB2,AAB 為正三角形， AR= 1申.在厶 ABR 中，易知/ BAR= 45(BB2)2=400+200-2X20X10 :2X#= 200,- BB= 102,乙船每小時航行 30；2 海里.10.如圖所示，某旅游景點(diǎn)有一座風(fēng)景秀麗的山峰，山上有一條筆直的山路BC和一條索道AC

20、小王和小李打算不坐索道，而是花 2 個小時的時間進(jìn)行徒步攀登已知/ABC=120,/ADC=150,BD=1 千米，AC= 3 千米.假設(shè)小王和小李徒步攀登的速度為每小OAB=75,/ABO=45,O點(diǎn)，先爬行到A點(diǎn)，再爬行到到另一只小蟲，這時它向右轉(zhuǎn)135爬行回它的出發(fā)點(diǎn)，那么x=cm.15時 1.2 千米，請問：兩位登山愛好者能否在2 個小時內(nèi)徒步登上山峰（即從B點(diǎn)出發(fā)到達(dá)C在厶ADC中，由余弦定理得：AC=AD+DC 2AD- DC-cos 150。，即卩 32= ( . 3)2+DC，所以 AD= . 3.解：由/AD(= 150 知/2 ；3 Dos 150。，即DC+ 3 DC-6

21、= 0,解得Dj 二廠蘭 1.372 (千米),30I)16BO2.372 （千米），由于 2.3722.4 ,所以兩位登山愛好者能夠在2 個小時內(nèi)徒步登上山峰層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1.如圖，從氣球A上測得其正前下方的河流兩岸B, C的俯角分別為 75，30，此時氣球的高度AD是 60 m 則河流的寬度BC是( )A. 240( .;3 - 1)m解析：選 C 由題意知，在 RtADC中,ZC= 30,AD=60 m中，ZBA(= 75 30= 45,ZABC=180 45 30= 105，由正弦定理，得BC3.如圖所示，要測量底部不能到達(dá)的某電視塔AB的高度，在塔的同一側(cè)選擇C, D兩個觀測點(diǎn)，

22、且在C, D兩點(diǎn)測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為 45, 30,在水平ACsinZBACsinZABC-120 冷：6+：2=120(3 1)(m)2.如圖所示為起重機(jī)裝置示意圖.支桿BC= 10 m 吊桿AC= 15 m 吊索AB=5 19 m，起吊的貨物與岸的距離AD為（）A. 30 mB.15 ;32C. 15 3 mD. 45 m解析：選 B 在厶ABC中，AC=15 m,AB=5 19 m ,BC=10 m,由余弦定理得cosZAC=A22：BCBAB2XACX BC152+102-5 1922X15X10 sinZACB=又ZACBFZACD=180sinZACD=sinZACB=T.在 Rt

23、ADC中,AD= AC-sinZACD=15X=15 衍=2m.C. 120( :3 1)mD. 30(：3 + 1)mB. 180( ,2- 1)m AC= 120 m.在厶ABCfi17面上測得ZBCD=120,C, D兩地相距 500m,則電視塔AB的高度是（）18A. 100 2 mB. 400 mC. 200 訂 3 mD. 500 m解析：選 D 設(shè)AB= x，在 RtABC中，/ACB=45 BC= AB= x.在 RtABD中，/ADB=30,二BD=3x.在厶BCD中，/BCD=120,CD=500 m,由余弦定理得(3X)2=x2+ 5002-2X500 xcos 120

24、，解得x= 500 m.4.如圖所示，位于東海某島的雷達(dá)觀測站 A,發(fā)現(xiàn)其北偏東 45, 與觀測站A距離 20 2 海里的B處有一貨船正勻速直線行駛， 半小時后， 又測得該貨船位于觀測站A東偏北e（0 e45。）的c處，且 cose4=-.已知 A,C兩處的距離為 10 海里，則該貨船的船速為（）5A.485 海里/小時B. 3 85 海里/小時C. 2 7 海里/小時D. 4 6 海里/小時43解析：選 A 因?yàn)?cose= ，0einA= 3.故厶 ABC 的面積為 2 .;3 或：3.28(1) 求三角形面積時，應(yīng)先根據(jù)題目給出的已知條件選擇最簡便、最快捷的計算方法， 這樣不僅能減少一些

25、不必要的計算，還能使計算結(jié)果更加接近真實(shí)值.1 1 1(2) 事實(shí)上，在眾多公式中，最常用的公式是SMBC=gabsinC= ?bcsinA= gacsinB,即給出三角形的兩邊和夾角(其中某邊或角需求解)求三角形面積，反過來，給出三角形的面 積利用上述公式也可求得相應(yīng)的邊或角，應(yīng)熟練應(yīng)用此公式.活學(xué)活用ABC中，若a, b,c的對角分別為A,B C,且 2A=B+C, a= .3,AABC勺面積 &ABC=-23，求邊b的長和B的大小.解：A+B+ C= 180,又 2A=B+ C, A= 601/ SABC=2&CSinA=#sinA=23,bc= 2.1 又由余弦定理得

26、3=b+c2bccosA=b+c 2x2x,即b2+c2= 5.解可得b= 1 或 2.證明：法一化角為邊b2RsinBsinBa= 2RsinA= sinA=右邊,其中只為厶ABC外接圓的半徑.由正弦定理知 sina b,A= sinBsinbsinA b Ba2當(dāng)b= 1 時，sin1B= 2, B= 30;pa羈*法 丟Si 4+三角恒等式證明問題2 i 2 .2c a+cba 亠、丄2ac左邊=百22c b+cab2a2bb2c2+a22bc當(dāng)b= 2 時，sinB= 1,B=90.典例在厶ABC中，求證:accosBsinB b-ccosAsinA29.accosBsinBbccos

27、AsinA法二化邊為角左、力sinA sinCcosBsinB+C sinCcosB左邊sinB sinCcosAsinAYC sinCcosAsinBcosCsin B ,=sinAcosC=礦右邊(cos* )，accosBsinBbccosAsinAIQ1 三角恒等式證明的三個基本原則(1) 統(tǒng)一邊角關(guān)系.(2) 由繁推簡.(3) 目標(biāo)明確，等價轉(zhuǎn)化.2 三角恒等式證明的基本方法(1) 把角的關(guān)系通過正、余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，然后進(jìn)行化簡、變形.(2) 把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，一般是通過正弦定理，然后利用三角函數(shù)公式進(jìn)行恒 等變形.活學(xué)活用2RsinC 2RsinBcosAsinA+

28、B sinBcosAsinAcosBcosB2RsinB 2RsinCcosAsinC sinCbosAsinAcosCcosC2 2 . 2 2 2 . 2a+cb a+cb2c2accosB72 2 2=72 2 2=.b+ac b+accosC在厶ABC中，角A, B,C的對邊分別為a,b, c.求證:cosB cbcosAcosC bccosA證明：法由正弦定理，得cbcosAbccosA法二：由余弦定理，得cbcosAbccosA.2 2 2b+ca2c22b+ca2b302b2b與三角形有關(guān)的綜合問題31題點(diǎn)一：與三角形面積有關(guān)的綜合問題b1.在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為

29、a,b,c.已知acosBc=求角A的大小；若bc= 6,a= 3+3，求BC邊上的高.b解：由acosB- c=及正弦定理可得，sinBsinAcos B sinC= 2,因?yàn)?sinC=sin(A+B)= sinAcos B+cosAsinB,所以還盧+ cosAsinB= 0.1因?yàn)?sinBM0,所以 cosA=,(2)由余弦定理可知,2 . 2 2a=b+c 2bccos所以(3 +=b+c+bc= (bc) + 3bc= 6+ 3bc, 解得bc= 2 + 2 3.1 1設(shè)BC邊上的咼為h,由 SABC=qbcsinA= ah,得 2(2 + 2 3)sin23n= *3 + 3)

30、h,解得h= 1.題點(diǎn)二：三角形中的范圍問題2.在ABC中，角A, B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足(2ca)cosBbcosA= 0.(1)求角B的大??；求,3sinA+ sinC才 的取值范圍.解：(1)由正弦定理得：(2sinC sinA)cosBsinBcosA= 0,即 sinC(2cosB 1) = 0,1nTsinCM0,. cosB= 2,B (0,n) , B=.23,.n2n(2)由(1)知B= y, C= A,因?yàn)?0An，所以A=2n亍2nT.2 2 .=b+c+bc,332 nlA+ sinC = : 3sinn=2sinA+6a6廠由正弦定理2R=爲(wèi)飛=2n=4

31、 3, sin A+ cosA :3sin/A2n0,可n 5n6，6n2sinA+ - (1,2,_ n：3sinA+ sinC的取值范圍是(1,2題點(diǎn)三：三角形中的最值問題3.設(shè)ABC的內(nèi)角A,B, C的對邊分別為a,sinb，已知晶ABA+Bb+cc(1)求角A的大?。划?dāng)a= 6 時，求ABC面積的最大值，并指出面積最大時ABC的形狀sinAB b+c解: (1)由=-,sinA+B c/曰 sin ABsinB+ sinC得 sinA+B sinC又 sin(A+B)=sin(nC)=sin C,sin(AE)=sinB+sinC,sin(AB)=sinB+sin(A+B).sinAc

32、osBcosAsinB=sinB+sinAcosB+cosAsinB,sinB+2 cosAsinB=0,1又 sinBM0 , cosA= / A(0 ,1(2)S= bcsin743bct3X2Rsin44=,3R2sinB - sinC=3R2sinB -sin B333R=2：；3.n nn*當(dāng) 2B+ =，即B=C=時，Smax=3 3,ABC面積的最大值為3 .:3，此時ABC為等腰鈍角三角形.題點(diǎn)四：多邊形面積問題4.已知圓內(nèi)接四邊形ABC的邊長AB=2，BC= 6，CD= DA=4，求四邊形ABC的面積1 1解：如圖，連接BD貝yS=ABD+SCBD= 2AB- ADSinA+

33、-BC- CDinC./ A+C= 180,. sinA= sinC,1- S= gsinA（AB AM BCCD= 16sinA在厶ABC中，由余弦定理得BD=AB+AD 2AB- ACCosA= 20 16cosA,在厶CD沖，由余弦定理得BD=CD+BC 2CD BCCosC= 52 48cosC, 20 16cos A= 52 48cos C.1又 cosC= cosA, cosA= 2, A= 120,- S=16sinA= 8；.3.(1) 解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，將圖形中的已知條件與未知量之間的關(guān) 系轉(zhuǎn)化為三角形中的邊與角的關(guān)系，求解三角形使問題獲解.(2) 三角形

34、問題中，常涉及求邊、求角及求面積等幾個問題，用正、余弦定理作為解題 的工具進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.在涉及變量取值范圍或最值問題時，常常用到函數(shù)等數(shù)學(xué)相關(guān)知識.(3) 解三角形時，角的取值范圍至關(guān)重要.角的取值范圍往往隱含在題目中，不深入挖 掘很容易出錯.1.在ABC中,A= 60,AB=1,AC=2，貝 U &ABC的值為（）1334A. 2 B.1解析：選 BSAABqAB，AC-sin2 如果等腰三角形的周長是底邊長的5 倍，則它的頂角的余弦值為（7A8B.D.解析：選 B 設(shè)等腰三角形的底邊長為a,頂角為 0 ,則腰長為 2a,由余弦定理得，cos4a2+ 4a2a28a78.i3在ABC

35、中，已知面積S=：(a2+b2c2)，則角C的大小為()4A. 135B 45C 60D 12012 2 21解析：選 B/ S= 4(a+bc) = absinC由余弦定理得：sinC= cos C,. tanC=1.又 0C180, C= 45.八亠卄1 si nC口J15 rt4.在ABC中，若 cos B=;,= 2，且SAABC=，則b=()4 sinA4A. 4 B 3 C 2 D 1解析：選 C 依題意得,2 2 2 2 212c=2a,b=a+c2accosB= a+(2a)2xax2ax-4=4a,1511b所以b=c= 2a.因?yàn)锽 (0,n)，所以 sinB=；1 cos

36、2B= 4，又SAABC=acsinB=xbx二5=，所以b= 2,選 C.445.三角形的一邊長為14,這條邊所對的角為60,另兩邊之比為 8 : 5，則這個三角形的面積為（）A. 40 3 B 20 .3 C 40 2 D 20 2則 cos 60 =2 2 2=64X+820514，解得x=2或x=-2(舍去)解析：選 A 設(shè)另兩邊長為 8x,5x,故兩邊長分別為 16 與 10,1所以三角形的面積是 2x16x10 xsin 60 = 40 3.6.在ABC中,a= 32,b= 2 羽,cosC=丄則厶ABC的面積為_C.1335解析:VcosC=1,0Cn,. sinC=, &

37、; ABC= *absinC= 2x2X孕=4,3.答案：4 , 37.如圖，在ABC中，已知B= 45,D是BC邊上一點(diǎn)，AD=5,AC=7,DC=3,則AB解析：在厶ADC中cos C=AC+DCAD7+3-5112-AC- DC2X7X314又 0vC180,. sin C=片4,在厶ABC中,-TACB=BC,AB=AC=5X2X7=孚.sinB14*2&ABC勺兩邊長分別為 2,3，其夾角的余弦值為 則其外接圓的半徑為1解析：不妨設(shè)b= 2,c= 3, cosA=-,3則a2=b2+c2 2bc- cosA= 9,.a= 3.又VsinA=1 一 cos 2A= 3a外接圓半

38、徑為R=2A=2 22氣答案：竽9. 在ABC中，求證：b2cos 2Aa2cos 2B=b2a2.2222222222證明：左邊=b(1 2sinA) a(1 2sinB) =ba 2(bsinA- asinB),a b由正弦定理-:-A=爲(wèi)B(tài)得bsinA=asinB,2 2 2 2 2 2bsin A-asinB= 0，左邊=ba=右邊，.22sf.22bcos 2Aacos 2B=ba.10. 如圖所示，在梯形ABCD中,AD/ BC AB=5,AC=9，/BCAo=30,/ADB=45,求BD的長.37 sin /ABO A。 /BCA9X前30 AD/ BC, /BAD=180/AB

39、C9是sin/BAD=sin/AB=幣9仁ABMAB=5,sin/BAD=而/ADB=45,AB_BDsin /ADBsin /BADa+b+e= 20,1 gbesin 60a1 2=b2+e22beeos 60 , 則be= 40,2 2 2 2 2a=b+ebe=(b+e)3be=(20a)3x40,1 1所以 &ABC=besinA= ?x4x2xABAC解：在ABC中,AB=5,AC=9,/BCA=30，由正弦定理，得 sin/BC=sin /ABCAB由正弦定理，得解得BD=字,BD的長為竽A. 5層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)ABC的周長為20，面積為10 .3,A= 60,則BC的

40、邊長等于（）B. 6C.D. 8解析：選 C 如圖,由題意得10 ,3,2.在厶ABC中,已知b2be 2e2= 0,且a=6,eosA= 則厶ABC的面積等于（A.于 B.,15 C . 2 D . 3o=30,/ADB=45,求BD的長.38解析：選 A 因?yàn)閎2be 2c2= 0,所以(b 2e)(b+e) = 0,所以b= 2e. 由a2=b2+e2 2beeosA,因?yàn)?cosA=7所以 sin8AY1515 = .解得e= 2,b= 4,393.在ABC中，若b= 2,A= 120,其面積S= .3,則厶ABC外接圓的半徑為(A. 3 B .C . 2 3 D . 41 1解析：選

41、 B /S= bcs inA,： 3= dcsin 120 ,c= 2,：.a=：;b+c 2bccosA: R= 2.34.在ABC中, sinA= 4,a= 10，則邊長c的取值范圍是（15A. ,+sC. (0,10) r* Tn5已知ABC的面積S=J3,A=，則AB!ACI =_即 .3=廠矍圍/iuuuruxrLAB|-H AC|=4,luiurIruuunIUULTIrtutri1于是 IAB-AC=11ABIAC|- cosA=4x5= 2.答案：2b atanC6.在銳角三角形ABC中,角A,B, C的對邊分別是a,b,c,若-+二=6cosC,則Aa btanAtanC+t

42、anB=-.4+4-2X2X2X2=2一 3,設(shè)厶ABC外接圓的半徑為R,2R=asinA=2 苗=亞=24,B. (10，+m)40D0, 7解析：選 Dc a40sinC= sinA= 3 40:c=亍40C.：. 0cw .所以|1解析：SAABC=2| - sin A,解:40b a解析：尹b=6cos C，412 . 2 2 . 2 2a+b a+bc=6Xab2ab 2a3+2b22c2=c2,又 tan_C+tan_C=sinCeos人十sinCeosBtanAtanBsinAcosCsinBcosCsinCsinBcosA+ cosBsinAsinAsinBcosC3 22 2

43、 22abcosC , a+bc a+bcaba=4.答案：4解:42sinAsinBcosCsinAsinBcosC2 2c2ca=#c，且ABC勺面積為 4,求c的值.(1)由已知 sinAsinB= sinCtanC得 cos2 . 2 2口a+bc又cosC=20b_,22222a十b故a2+b2= 3c2，故 (2)由a=今。a2+b2= 3c2得b= c.由余弦定理得cosC=罕，故sinC=f.當(dāng)厶ABC的周長取最大值時，求b的值2B+C442cos -2- + sinA= 5? 1 + cos(B+C+ sinA= 5? sinA cossinCsinB+Asin2C所以1擰c

44、X尹CX- = 4，解得c= 4.&在ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,2b,c，且a= 2,2cosB+C+sin4A=5若滿足條件的ABC有且只有一個，求b的取值范圍;7在ABC中，內(nèi)角代B,C所對的邊分別是a,2十a(chǎn)+b求b,c.已知 sinAsinB= sinCtanC(1)2L 勺值;解:2于的值為 3.1A一5.433sin A=522又 0A b,則b的取值范圍為（0,2設(shè)厶ABC的周長為I，由正弦定理得ala+b+c=a+A(sinB+ sinC)A.102+ ysinB+ sin(A+B)102+ ysinB+ sinADOSB+ cosAsinB2+ 2(3s

45、 inB+ cosB)=2+ 2 10sin(B+B),冷 0時取到此時b= Asin10si nA.階段質(zhì)謹(jǐn)檢測（一）驚三角形.（時間 120 分鐘滿分 150 分）一、選擇題（本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只 有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.在ABC中,a=k,b= 3k（k 0） ,A= 45,則滿足條件的三角形有（）A. 0 個B. 1 個C. 2 個D .無數(shù)個a b解析：選 A 由正弦定理得=,sinAsinBbsinA x/6 sinB=蔦- 1,即 sinB 1，這是不成立的.所以沒有滿足此條件的三角a2sin10而,其中e為銳角，且c

46、os3 10=右lmax= 2+2 10，當(dāng)cosB=,1070，sinB=10.解:44形.C.等腰三角形D.等腰直角三角形0),b+c= 4k,5貝y c+a= 5k,解得b= 2k,a+b= 6k,3c= 2k./ sinA: sin B: sinC=a:b:c= 7 : 5 : 3.2A cb5.在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且 sin 7=匚，則ABC的形狀22c為()A.等邊三角形B.直角三角形nC.4/BC= 3,AB=6, AC,貝U C為銳角,故C=n43.在厶ABC中,a= 15,b= 20, A= 30 ，貝 U cos B=()A.2B.-3C.解析:

47、 選 A 因?yàn)?sinAsinB所以15osin 3020 2后，解得sinB=3.因?yàn)閎a,所以BA,故B有兩解,所以 cosB=4. 在厶ABC中, 已知(b+c) : (c+a):(a+b) = 4 : 5 : 6,貝 U sin A：sin B: sinC等k7一46解析：選 B由已知可得1 cosA2=b2c，即 cosA=b=ccos A.由余弦定理得cosA=b2+c2a22bc，所以c2=a2+b2,由此知ABC為直角三角形.法二：由正弦定理，得sinB=sinCcos人在厶ABC中, sinB= sin(A+C),從而有 sinAcosC+ cosAsinC= sinCcos

48、A,即 sinAcosC= 0.在厶ABC中, sinAM0,所以 cosC= 0.由此得nC=2，故ABC為直角三角形.6.已知圓的半徑為 4,a,b,c為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，若abc= 16 2，則三角形的面積為(A.2 .2C. 2B. 8 2O2解析:sinAsinBc爲(wèi)C=2R=8,/ sincc=8s1ABC= 2absinabc16 216=7.的面積為()15A.?B泌B. 4C21.4D泌4解析：選 B 三邊不等，最大角大于60 .設(shè)最大角為a,故a所對的邊長為a7在ABC中，三邊長分別為a2,a,a+ 2，最大角的正弦值為#,則這個三角形a= 120 .由余弦定理得+2

49、, vsina.32 ,15a,故a= 5,故三邊長為 3,5,7 ,SMBC=X3X5Xsin 120222卄2(a+ 2) = (a 2) +a+a(a 2)，即a=C.等腰三角形D.等腰直角三角形488.如圖，在厶ABC中，D是邊AC上的點(diǎn)，且AB= AD2AB=.3BD BC= 2BD貝 U sinC的值為（）B.f解析：選 D 設(shè)BD=a,貝 UBC= 2a, AB= AD=_23a.在厶ABD中，由余弦定理，得2 2a13a上a32a2a又A為厶ABC勺內(nèi)角， sinC ABAsinC=BosinA=解析：由正弦定理得 sinB= 2sinAcosB,AB+ADBDcosA=2AB

50、- AD2X在厶ABC中， 由正弦定理得,BC ABCsinAsin二、填空題（本大題共 7 小題，多空題每題6 分，單空題每題 4 分，共 36 分把答案填在題中橫線上）9.在ABC中，已知acosA= cos B- cosC則這個三角形的形狀是c心 sinAsinBsinCa -解析：由正弦定理 snA=編B=爲(wèi)C得 cosA= cosB= cosC tanA= tanB=tanC,A=B=C,三角形ABC為等邊三角形.答案：等邊三角形10.在ABC中,B= 30,O120,貝 UA=,a:b:c=解析:A= 180B- C= 30,由正弦定理得a:b:c= sin A：sin B：sin

51、 C,答案:b:c= sin 30 : sin 30301 : 1 :3:sin 1201 : 1 :3.11.已知ABC中，內(nèi)角A,B,nC所對邊長分別為a,b,c,若A=,b= 2acos B ,c3=1，則 B=,ABC勺面積等于49ACAB BC13.已知三角形ABC中，BC邊上的高與BC邊長相等，則AB+AC+ABAC勺最大值是1122AC AB BC b c a2解析：由題意得，2bcsinA= 2a?bcsinA=a，因此AB+AC+AB-Acfc+b+丘=C=sin n (A+B)=sin(A+B)4531256AcosB+cosAsinB=5x五+5x后=65.n故 tanB

52、=2sinA=2sin = ,/ sinA= 5. cos5B=護(hù),12sinB=石/ sin=sin350b由正弦定理知拆B(yǎng)sinC51c 563X bsinC6514C=sinB=12=5135614答案：65 石15.太湖中有一小島，沿太湖有一條正南方向的公路，一輛汽車測得小島在公路的南偏西 15的方向上，汽車行駛 1 km 后，又測得小島在南偏西75 的方向上，則小島到公路的距離是_ km.解析：如圖，/CAB=15,/CBA=180 75= 105,/AC= 180 105 15= 60,AB=1(km).BCAB由正弦定理得 sin /CABsinZACB“1o72 BC= sin

53、 15= = 亠(km).sin602 羽設(shè)C到直線AB的距離為d,則d=BC-sin 75 =：=半(km).答案：13三、解答題(本大題共 5 小題，共 74 分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)16. (14 分)在厶ABC中,a= 3,b= 2 6,B= 2A(1)求 cosA的值;求c的值.解：(1)因?yàn)閍= 3,b= 2 寸 6,B= 2A,所以在ABC中，由正弦定理得由(1)知 cosA=又因?yàn)锽= 2代3 =沁sinA= sin 2A所以2sinAPOSAsinA.故 cosA=_6T.所以sinA= 1 cos2A=352所以 cosB=2COS2A1 = 3.53=15(km),即所求 D,A之間的距離為 15 km.18.（15 分）如圖，某海輪以 60 海里/小時的速度航行，在A點(diǎn)測得 海面上油井P在南偏東 60,向北航行 40 分鐘后到達(dá)B點(diǎn)，測得油井P在南偏東 30,海輪改為北