高三數(shù)學(xué)-二項式定理(知識點(diǎn)和例題)

1、名師總結(jié)優(yōu)秀知識點(diǎn)二項式定理1 知識精講：（1）二項式定理：nnnrrnrnnnnnnbcbacbacacba110（nn）其通項是1rtrrnrnbac（r=0,1,2,n） ，知 4 求 1，如：555156bacttnn亦可寫成：1rtrnrnabac)(nnnnrrnrnrnnnnnbcbacbacacba11110（nn）特別地：nnnrnrnnnnnxcxcxcxcx101（nn）其中，rnc二項式系數(shù)。而系數(shù)是字母前的常數(shù)。例 1nnnnnncccc1321393等于（）an4b。n43c。134nd.314n解： 設(shè)nnnnnnnccccs1321393，于是：nnnnnnnc

2、cccs3333333221nnnnnnccccc故選 d 例 2 （1）求7(12 )x的展開式的第四項的系數(shù)；（2）求91()xx的展開式中3x的系數(shù)及二項式系數(shù)解： （1）7(12 )x的展開式的第四項是3333 17(2 )280tcxx，7(12 )x的展開式的第四項的系數(shù)是280（2）91()xx的展開式的通項是99 21991()( 1)rrrrrrrtc xc xx，923r，3r，3x的系數(shù)339( 1)84c，3x的二項式系數(shù)3984c（2）二項展開式系數(shù)的性質(zhì)：對稱性 , 在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即,22110

3、knnknnnnnnnnnncccccccc增減性與最大值：在二項式展開式中，二項式系數(shù)先增后減，且在中間取得最大值。如果名師總結(jié)優(yōu)秀知識點(diǎn)二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大，即n偶數(shù)：122maxnnnrntcc；如 果 二 項 式 的 冪 指 數(shù) 是 奇 數(shù) ， 中 間 兩 項 的 二 項 式 系 數(shù) 相 等 并 且 最 大 ， 即1211212121maxnnnnnnrnttccc。所有二項式系數(shù)的和用賦值法可以證明等于n2即nnnnnccc210；奇數(shù)項的二項 式系數(shù)和與偶 數(shù)項的二項式 系數(shù)和相等，即131202nnnnncccc例 3已知7270127(12 )xaa

4、xa xa x，求：（1）127aaa；（2）1357aaaa；（3）017|aaa. 解： （1）當(dāng)1x時，77(12 )(12)1x，展開式右邊為0127aaaa0127aaaa1，當(dāng)0 x時，01a，1271 12aaa，（2）令1x，0127aaaa1令1x，7012345673aaaaaaaa 得：713572()13aaaa，1357aaaa7132. （3）由展開式知：1357,a a aa均為負(fù)，0248,aa aa均為正，由（ 2）中 + 得：702462()13aaaa，70246132aaaa，017|aaa01234567aaaaaaaa702461357()()3aa

5、aaaaaa名師總結(jié)優(yōu)秀知識點(diǎn)例 4 （1）如果在nxx421的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項。（2）求321xx的展開式的常數(shù)項。解： （1）展開式中前三項的系數(shù)分別為1，2n，8) 1(nn，由題意得： 22n=1+8)1(nn得n=8。設(shè)第 r+1 項為有理項，43168121rrrrxct，則 r 是 4 的倍數(shù)，所以r=0，4， 8。有理項為295412561,835,xtxtxt?！舅季S點(diǎn)撥】求展開式中某一特定的項的問題時，常用通項公式，用待定系數(shù)法確定r。（2）321xx61xx，其展開式的通項為2266111rrrrrxxct22661rrrrxc，令02

6、r26r得3r所以，常數(shù)項為204t【思維點(diǎn)撥】密切注意通項公式的使用。（3）二項式定理的應(yīng)用：近似計算和估計、證不等式，如證明：nnnnn, 322取nn112的展開式中的四項即可。例 5、 若n為奇數(shù)，則777712211nnnnnnnccc被 9 除得的余數(shù)是（）a 0 b。2 c。7 d.8 解：777712211nnnnnnnccc11918nn=1191991111nnnnnnncc因為n為奇數(shù)，所以原式=291991111nnnnnncc所以，其余數(shù)為 9 2 = 7，選 c 例 6：當(dāng)nn且n1，求證3)11(2nn名師總結(jié)優(yōu)秀知識點(diǎn)證明 : 2111111)11 (1221ncncncncnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn12321!1! 321!2121122112112122121212!1! 31! 212112nnn.32131n從而3)11 (2nn【思維點(diǎn)撥】這類是二項式定理的應(yīng)用問題，它的取舍根據(jù)題目而定。2重點(diǎn)難點(diǎn) : 二項式定理，和二項展開式的性質(zhì)。3思維方式 :一般與特殊的轉(zhuǎn)化，賦值法的應(yīng)用。4特別注意 :二項式的展開式共有n+1 項，rrnrnbac是第 r+1 項。通項是1rtrrn