排列組合講義

1、排列組合方法篇1、 兩個原理及區(qū)別1.分類計數(shù)原理(加法原理) 2.分步計數(shù)原理（乘法原理） 2、 排列數(shù)公式排列數(shù)公式 =.(，N*，且)注:規(guī)定.排列恒等式 （1） ; （2）. 會推以下恒等式（1）; （2）;（3）; （4）.組合數(shù)公式 =(N*，且).組合數(shù)的兩個性質(zhì) （1）= ; （2）+=. 注：規(guī)定. 三、組合數(shù)公式4、 排列數(shù)及組合數(shù)的關(guān)系排列組合解法特殊元素優(yōu)先排；合理分類及分步；先選后排解混合；正難則反用轉(zhuǎn)化；相鄰問題來捆綁；間隔插空處理法;定序需要用除法；分排問題直接法；集團問題先整體；有的問題選模型。5、 二項式定理公式： (1) (2) （3）= (4).解決排列組

2、合一般思路:1.審題要清2.分步還是分類3.排列還是組合4.牢記右側(cè)方法六、排列組合應用常見題型歸類及決策：1. 特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略1、由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數(shù)字五位奇數(shù).位置分析法和元素分析法位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其它條件2、有7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？二.相鄰元素捆綁策略1. 7人站成

3、一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法.要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再及其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.2. 某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為。三.不相鄰問題插空策略1.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出場順序有多少種？元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端2.某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，

4、那么不同插法的種數(shù)為四.定序問題倍縮空位插入策略1. 7人排隊,其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法定序問題可以用倍縮法(元素），還可轉(zhuǎn)化為占位插（位置）空模型處理2. 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？五.重排問題求冪策略1.把6名實習生分配到7個車間實習,共有多少種不同的分法允許重復的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數(shù)為種2.某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種

5、數(shù)為3、某8層大樓一樓電梯上來8名乘客,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法六.環(huán)排問題線排策略1. 8人圍桌而坐,共有多少種坐法?一般地,n個不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.如果從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列共有2. 6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈 七.多排問題直排策略1.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究.八.排列組合混合問題先選后排策略1.有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝法.解決排列組合混合問題,先選后排是最基本的指導思想.此法及相

6、鄰元素捆綁策略相似嗎?2. 一個班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務,每人完成一種任務,且正副班長有且只有1人參加,則不同的選法有種九.小集團問題先整體后局部策略1.用1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個偶數(shù)夾在1,兩個奇數(shù)之間,這樣的五位數(shù)有多少個？小集團排列問題中，先整體后局部，再結(jié)合其它策略進行處理。2.計劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,幅油畫,幅國畫, 排成一行陳列,要求同一品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為3. 5男生和女生站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰的排法有種十.元素相同問題隔板策略1.有10個運

7、動員名額，分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為2. 10個相同的球裝5個盒中,每盒至少1個，有多少裝法？ 3.求這個方程組的自然數(shù)解的組數(shù) 十一.正難則反總體淘汰策略1.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字中取出三個數(shù)，使其和偶數(shù),不同的取法有多少種？有些排列組合問題,正面直接考慮比較復雜,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中淘汰.2.我們班里有43位同學,從中任抽5人,正、副班長、團支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種?十

8、二.平均分組問題除法策略1. 6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以(為均分的組數(shù))避免重復計數(shù)。2、 將13個球隊分成3組,一組5個隊,其它兩組4個隊, 有多少分法？3、 10名學生分成3組,其中一組4人, 另兩組3人,但正副班長不能分在同一組,有多少種不同的分組方法3.某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為_十三. 合理分類及分步策略1.在一次演唱會上共10名演員,其中8人能能唱歌,5人會跳舞,現(xiàn)要演出一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派

9、方法解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標準明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終。2.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有3. 3成人2小孩乘船游玩,1號船最多乘3人, 2號船最多乘2人,3號船只能乘1人,他們?nèi)芜x2只船或3只船,但小孩不能單獨乘一只船, 這3人共有多少乘船方法. 十四.構(gòu)造模型策略1. 馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞,但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞,也不能關(guān)掉兩端的2盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少

10、種？一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決2.某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？十五.實際操作窮舉策略1.設(shè)有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,2,3,4,5的五個盒子,現(xiàn)將5個球投入這五個盒子內(nèi),要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號及盒子的編號相同,有多少投法?3號盒 4號盒 5號盒 對于條件比較復雜的排列組合問題，不易用公式進行運算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收到意想不到的結(jié)果2.同一寢室4人,每人寫一張賀年卡集中起來,然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不

11、同的分配方式有多少種？ 3.給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域不同色,現(xiàn)有4種可選顏色,則不同的著色方法有種十六. 分解及合成策略1. 30030能被多少個不同的偶數(shù)整除2.正方體的8個頂點可連成多少對異面直線分解及合成策略是排列組合問題的一種最基本的解題策略,把一個復雜問題分解成幾個小問題逐一解決,然后依據(jù)問題分解后的結(jié)構(gòu),用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理將問題合成,從而得到問題的答案 ,每個比較復雜的問題都要用到這種解題策略十七.化歸策略1. 25人排成5×5方陣,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種？處理復雜的排列組合問題時可以把一個問題退化成一個簡要的問題，

12、通過解決這個簡要的問題的解決找到解題方法，從而進下一步解決原來的問題2.某城市的街區(qū)由12個全等的矩形區(qū)組成其中實線表示馬路，從A走到B的最短路徑有多少種？十八.數(shù)字排序問題查字典策略1由0，1，2，3，4，5六個數(shù)字可以組成多少個沒有重復的比324105大的數(shù)？數(shù)字排序問題可用查字典法,查字典的法應從高位向低位查,依次求出其符合要求的個數(shù),根據(jù)分類計數(shù)原理求出其總數(shù)。 2.用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字組成沒有重復的四位偶數(shù),將這些數(shù)字從小到大排列起來,第71個數(shù)是十九.樹圖策略1人相互傳球,由甲開始發(fā)球,并作為第一次傳球,經(jīng)過次傳求后,球仍回到甲的手中,則不同的傳球方式有_ 對于條件比

13、較復雜的排列組合問題，不易用公式進行運算，樹圖會收到意想不到的結(jié)果2.分別編有1，2，3，4，5號碼的人及椅，其中號人不坐號椅（）的不同坐法有多少種？二十.復雜分類問題表格策略1有紅、黃、蘭色的球各5只,分別標有A、B、C、D、E五個字母,現(xiàn)從中取5只,要求各字母均有且三色齊備,則共有多少種不同的取法 一些復雜的分類選取題,要滿足的條件比較多, 無從入手,經(jīng)常出現(xiàn)重復遺漏的情況,用表格法,則分類明確,能保證題中須滿足的條件,能達到好的效果.二十一：住店法策略解決“允許重復排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可以重復，另一類不能重復，把不能重復的元素看作“客”，能重復的元素看作“店”，再利用乘法原理直