四川省閬中中學(xué)2019-2020學(xué)年高二4月月考數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、閬中中學(xué)新城校區(qū)2020 年春高 2018 級(jí)四月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（理科）第 i 卷（選擇題 ) 一、單選題（第小題5 分，共計(jì) 60分）1.拋物線28yx的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）a. 0, 2b. 2,0c. 10,32d. 1,032【答案】 c 【解析】【分析】先將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而可得出焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】因?yàn)?8yx可化為218xy，所以128p，且焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸，因此焦點(diǎn)坐標(biāo)為10,32故選 c【點(diǎn)睛】本題主要考查由拋物線的方程求焦點(diǎn)問題，熟記拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可，屬于基礎(chǔ)題型.2.已知方程22112xymm表示雙曲線，則m的取值范圍是（）a. 1mb. 2mc. 1m或2m

2、d. 12m【答案】 c 【解析】【分析】雙曲線焦點(diǎn)可能在x 軸，也可能在y 軸上，分別寫出兩種情況下的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，22112xymm或22121yxmm，可得10,20,mm或20,10,mm，解不等式可得答案.【詳解】當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x 軸上，雙曲線方程22112xymm，則10,20,mm解得：2m；當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y 軸上，雙曲線方程22112xymm22121yxmm，所以20,10,mm解得：1m；故選 c.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，求解的關(guān)鍵在于雙曲線方程標(biāo)準(zhǔn)形式的認(rèn)識(shí).3.若雙曲線22221xyab的離心率2e，則其漸近線方程為（）a. 2yxb. 32yxc. 3

3、yxd. 22yx【答案】 c 【解析】【分析】通過雙曲線的離心率，推出a、b關(guān)系，然后直接求出雙曲線的漸近線方程【詳解】解：由雙曲線的離心率2e，可知2ca，又222abc，所以3ba，所以雙曲線22221xyab的漸近線方程為：3byxxa故選：c【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的基本性質(zhì)，漸近線方程的求法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題4.曲線方程2222+4)+4)10 xyxy（的化簡(jiǎn)結(jié)果為（）a. 2212516xyb. 2212516yxc. 221259xyd. 221259yx【答案】 d 【解析】【分析】根據(jù)題意得到給出的曲線方程的幾何意義，是動(dòng)點(diǎn), x y到兩定點(diǎn)的距離之和等于定值，符合

4、橢圓定義， 然后計(jì)算出相應(yīng)的, ,a b c得到結(jié)果 .【詳解】曲線方程2222+4+410 xyxy，所以其幾何意義是動(dòng)點(diǎn), x y到點(diǎn)0, 4和點(diǎn)0,4的距離之和等于10，符合橢圓的定義. 點(diǎn)0, 4和點(diǎn)0,4是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn).因此可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程222210yxabab，其中210a，所以5a4c，所以223bac所以曲線方程的化簡(jiǎn)結(jié)果為221259yx.故選 d 項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查曲線方程的幾何意義，橢圓的定義，求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于簡(jiǎn)單題.5.若雙曲線22221xyab的離心率為43，且過點(diǎn)3 2,7，則該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為（）a4b. 2 5c. 4 2d. 6【答案】 d 【解析】

5、【分析】利用雙曲線的離心率與雙曲線經(jīng)過的點(diǎn)，列出方程求出a，即可得到結(jié)果【詳解】解：雙曲線22221xyab的離心率為43，且過點(diǎn)3 2,7，可得43ca，221871ab，222cab，解得3a，所以 26a故選：d【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題6.（ 2016 新課標(biāo)全國(guó)理科）已知f1（f2是雙曲線e（22221xyab的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)m 在 e 上， m f1與x軸垂直， sin2113mf f,則 e 的離心率為.a. 2b. 32c. 3d. 2【答案】 a 【解析】試題分析：由已知可得，故選 a. 考點(diǎn)： 1、雙曲線及其方程；2、雙曲線的離心率. 【方法點(diǎn)晴】

6、本題考查雙曲線及其方程、雙曲線的離心率.，涉及方程思想、 數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，綜合性較強(qiáng)，屬于較難題型. 由已知可得，利用雙曲線的定義和雙曲線的通徑公式，可以降低計(jì)算量，提高解題速度. 7.已知向量( ,3, 4),(6,12)axbyrr，且/ /abrr，則xy的值為（）a. 11b. 6c. 7d. 15【答案】 a 【解析】【分析】利用向量共線定理即可求出.【詳解】q向量( ,3,4),(6, ,12)axbyrr，且/ /abrr，存在實(shí)數(shù)使得barr，63124xy，解得29xy，11xy故選：a.【點(diǎn)睛】本題追要考查是向量共線

7、定理的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，及空間向量的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.8.在平行六面體1111abcda b c d中，m 為11ac與11b d的交點(diǎn)，若,aba adbuuu rr uu u rr,1aacu uu rr， 則與bmuuuu r相等的向量是（）a. 1122abcrrrb. 1122abcrrrc. 1122abcrrrd. 1122rrrabc【答案】 d 【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，用, ,a b cr r r作基底表示bmuuuu r即可得解 .【詳解】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可知11bmbbb mu uu u ruu u ruu uu r11112aab du uu r

8、u uu ur1111112aab aadu uu ruu uu ruuu u r112aaabadu uu ruu u ruuu r因?yàn)?aba adbuuu rr uu u rr,1aacuuu rr，則112aaabaduuu ruu u ruu u r1122abcrrr即1122bmabcuuu u rrrr，故選： d.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的線性運(yùn)算，用基底表示向量，屬于基礎(chǔ)題.9.已知abcd為平行四邊形，且(4 1 3)(251)(3 75)abc， ， ， ，則頂點(diǎn)d的坐標(biāo)（）a. 7412，b. (2 41)，c. ( 2141)， ，d. (5133)，【答案】 d

9、 【解析】【分析】設(shè)出d的坐標(biāo)，利用abdcuu u ruuu r列方程，由此求得d的坐標(biāo) .【 詳 解 】 設(shè), ,d a b c， 由 于 四 邊 形abcd是 平 行 四 邊 形 ， 所 以abdcuuu ruu u r， 即2, 6, 23,7, 5abc，即236725abc，解得5,13,3abc，即5,13, 3d，故選d.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查空間向量相等的條件，屬于基礎(chǔ)題.10.o為空間任意一點(diǎn),a b c三點(diǎn)不共線 ,若opuuu v=111326oaobocu uu vuuu vuuu v,則,a b c p四點(diǎn)a一定不共面b. 不一定共面c. 一

10、定共面d. 無法判斷【答案】 c 【解析】【分析】點(diǎn) p在平面 abc 內(nèi)， o 是平面 abc 外的任意一點(diǎn)，則opxoayobzocu uu vuu u vu uu vu uu v且1xyz利用此推論可直接證明一定共面【詳解】因?yàn)閛puuu v=111326oaobocuu u vuu u vuu u v（且1111326（所以,a b c p四點(diǎn)共面 .【點(diǎn)睛】四點(diǎn)共面問題，在空間向量中經(jīng)常涉及，要熟練掌握共面向量定理11.o為坐標(biāo)原點(diǎn)，f為拋物線2:4cyx的焦點(diǎn)，p為c上一點(diǎn)，若4pf，則pofv的面積為a. 2b. 3c. 2d. 3【答案】 b 【解析】.【分析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方

11、程24yx可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,設(shè)出( ,)p x y,由 pf=4 以及拋物線的定義列 式 可 得( 1)4x,即3x,再 代 入 拋 物 線 方 程 可 得 點(diǎn)p 的 縱 坐 標(biāo) ,再 由 三 角 形 的 面 積 公 式1|2sy of可得 .【詳解】由24yx可得拋物線的焦點(diǎn)f(1,0),準(zhǔn)線方程為1x,如圖 :過點(diǎn) p 作準(zhǔn)線1x的垂線 ,垂足為m,根據(jù)拋物線的定義可知pm=pf=4,設(shè)( , )p x y,則( 1)4x,解得3x,將3x代入24yx可得2 3y,所以pof的面積為1|2yof=12 3132.故選 b.【點(diǎn)睛】 本題考查了拋物線的幾何性質(zhì),定義以及三角形的

12、面積公式,關(guān)鍵是利用拋物線的定義求p 點(diǎn)的坐標(biāo);利用 of 為三角形的底,點(diǎn) p 的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為高計(jì)算三角形的面積.屬中檔題 .12. 如圖，正方體abcd -a1b1c1d1的棱長(zhǎng)為2，e 是棱 ab 的中點(diǎn)， f 是側(cè)面 aa1d1d 內(nèi)一點(diǎn)，若ef平面bb1d1d，則 ef 長(zhǎng)度的范圍為（）a. 2,3b. 2,5c. 2,6d. 2,7【答案】 c 【解析】【分析】過f作1/ /fgdd， 交ad于點(diǎn)g， 交11a d于h， 根據(jù)線面垂直關(guān)系和勾股定理可知222efaeaf；由,/ /ef fg平面11bdd b可證得面面平行關(guān)系， 利用面面平行性質(zhì)可證得g為ad中點(diǎn)，從而得到af

13、最小值為,f g重合，最大值為,f h重合，計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】過f作1/ /fgdd，交ad于點(diǎn)g，交11a d于h，則fg底面abcd2222222221efegfgaeagfgaeafaf/ /efq平面11bdd b，/ /fg平面11bdd b，effgf平面/ /efg平面11bdd b，又ge 平面efg/ /ge平面11bdd b又平面abcd i平面11bdd bbd，ge 平面abcd/ /gebdeq為ab中點(diǎn)g 為ad中點(diǎn)，則h為11a d中點(diǎn)即f在線段gh上min1afag，max145afahmin1 12ef，max156ef則線段ef長(zhǎng)度的取值范圍為：2,6本

14、題正確選項(xiàng)：c【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中線段長(zhǎng)度取值范圍的求解，關(guān)鍵是能夠確定動(dòng)點(diǎn)的具體位置，從而找到臨界狀態(tài)；本題涉及到立體幾何中線面平行的性質(zhì)、面面平行的判定與性質(zhì)等定理的應(yīng)用.第 ii 卷（非選擇題 ) 二、填空題（每小題5 分，共計(jì) 20分）13.已知拋物線22(0)ypx p的過焦點(diǎn)的弦為ab，且9ab，6abxx，則p_. 【答案】 3 【解析】由題意知 |ab|=abxx+p,即 p=|ab|-(abxx)=9-6=3.故答案為3.14. 設(shè)正方體1111abcda b c d的棱長(zhǎng)為2，則點(diǎn)1d到平面1a bd的距離是 _.【答案】2 33【解析】【分析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系

15、，利用向量法求點(diǎn)1d到平面1a bd的距離 . 【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則1(0,0,2)d，1(2,0, 2)a，(0,0,0)d，2,2 0b （， ），11(2,0,0)uuuu rd a，1(2,0,2)dauuu u r，(2,2,0)dbuuu r，設(shè)平面1a bd的一個(gè)法向量為( , , )nx y zr，1220220n daxzn dbxyu uu u vru uu vr，令1x，則(1, 1, 1)nr，點(diǎn)1d到平面1a bd的距離11|22 3|33d a ndnuuuu rrr.故答案為：2 33.【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到平面的距離的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)

16、的理解掌握水平.15. 已知3, 2, 3av，1,1,1bxv，且av與bv的夾角為鈍角，則x的取值范圍是_.【答案】552,33u【解析】【分析】由題意可知0a br r且ar與br不共線，由此可得出實(shí)數(shù)x的取值范圍 .【詳解】由題意可知0a br r且ar與br不共線，則31213 1240a bxxr r，解得2x.若ar與br共線，則111323x，得53x，arq與br不共線，則53x，因此，實(shí)數(shù)x取值范圍是552,33u.故答案為：552,33u.【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量的夾角為鈍角求參數(shù)的取值范圍，一般轉(zhuǎn)化為兩向量數(shù)量積為負(fù)，且兩向量不共線，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出不等式

17、組求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.16. 設(shè) e，f分別是正方體abcd a1b1c1d1的棱 dc上兩點(diǎn)，且ab2， ef 1，給出下列四個(gè)命題： 三棱錐 d1b1ef的體積為定值； 異面直線d1b1與 ef所成的角為45； d1b1平面 b1ef ； 直線 d1b1與平面 b1ef所成的角為60其中正確的命題為_【答案】 【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出三棱錐d1b1ef的體積為定值；求得異面直線d1b1與 ef所成的角為45；判斷 d1b1與平面 b1ef不垂直；直線 d1b1與平面 b1ef所成的角不一定是為60【詳解】由題意，如圖所示，三棱錐d1b1ef的體積為11

18、1111222 13323d efvsb c為定值，正確；ef d1c1，b1d1c1是異面直線d1b1與 ef所成的角，為45，正確；d1b1與 ef不垂直，由此知d1b1與平面 b1ef不垂直，錯(cuò)誤；直線 d1b1與平面 b1ef所成的角不一定是為60，錯(cuò)誤綜上，正確的命題序號(hào)是故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中的直線與平面之間的位置關(guān)系應(yīng)用問題，其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)定理，以及幾何體的體積的計(jì)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題 . 三、解答題（ 17 小題 10分， 1822每小題 12分，共計(jì) 70分）17. 已知空間三點(diǎn)2,0,2 ,

19、1,1,2 ,3,0,4abc，設(shè),aab bacruu u r ruuu r.（1）求ar和br的夾角的余弦值；（2）若向量,2kkababrrrr互相垂直，求k的值 .【答案】（ 1）1010； （2）52k或 2【解析】【分析】（1）結(jié)合空間向量夾角的余弦公式求解即可；（2）分別結(jié)合向量的坐標(biāo)公式表示出,2kkababrrrr，由20kababkrrrr即可求解【詳解】（ 1）由題可知1,1,0 ,1,0,2aabbacruuu rruu u r，則110cos1025a babr rrr；（2）由220kababkbbkakarrrrrrrr，1,1,01,0,21, ,2kabkkk

20、rr，1,1,021,0,222, , 4abkkkkrr則221280kabakkbkkrrrr，即2520kk，解得125,22kk【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的夾角求法，由兩向量垂直求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題18. 如圖，在正方體1111abcda b c d中，點(diǎn)e為ab的中點(diǎn)，f為1d c的中點(diǎn) .（1）證明：/ef平面11add a；（2）若2ae，求二面角defc的余弦值 .【答案】（ 1）證明見解析（2）19【解析】【分析】（1）以d為原點(diǎn)，da為x軸，dc為y軸，1dd為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，4,0,2efuuu r，平面11add a的法向量10,1,0nu r，10ef nuu

21、u r ur，得到證明 .（2）計(jì)算平面def的法向量1, 2,2nr，平面cef的法向量1,2,2mu r，計(jì)算夾角得到答案.【詳解】（ 1）以d為原點(diǎn)，da為x軸，dc為y軸，1dd為z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)4ab，則4,2,0e，0,2,2f，4,0,2efu uu r，平面11add a的法向量10,1,0nur，10ef nuuu r u r，ef平面11add a，/ef平面11add a.（2）2ae，0,0,0d，4,2,0e，0,2,2f，0,4,0c，4,2,0deu uu r，0,2,2dfuuu r，4, 2,0ceu uu r，0, 2,2cfuu u r，設(shè)平

22、面def的法向量, ,nx y zr，則420220n dexyn dfyzuuu vvuuu vv，取1x，得1, 2,2nr，設(shè)平面cef的法向量, ,ma b cu r，則420220m ceabm cfbcu uu vvu uu vv，取得1a，得1,2,2mu r，設(shè)二面角defc的平面角為，則二面角defc的余弦值為11cos339m nmnu rru rr.、【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行，二面角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.19.在如圖所示的四棱錐pabcd中，已知pa平面abcd，/ /abdc，90dab，1paaddc，2ab，m為pb的中點(diǎn) .（1）求異面直線pb

23、與ac所成角的余弦值；（2）求直線mc與平面pac所成角的余弦值；【答案】（ 1）105； （2）155【解析】【分析】（ 1 ） 利 用 向 量 的 幾 何 運(yùn) 算 計(jì) 算=2pb acpaabacpa acab acuu u r u uu ruu u ruuu ru uu ruu u r uu u ruu u r u uu r， 利 用 公 式cos,pb ppb acpbaccuu u r uuu ruu uu uu rruuu ruuu r可求異面直線pb與ac所成角的余弦值；（2）取pc中點(diǎn)n，則可得mcn為直線mc與平面pac所成角，從而可求直線mc與平面pac所成角的余弦值 .【

24、詳解】解： （1）由圖可知pb acpaabacpa acab acuuu r uuu ruu u ruuu ruuu ruu u r uuu ruu u ru uu r，paq平面abcd，又ac平面abcd，paac，即0pa acuu u r uuu r，又2 12ab acabaddcab adab dcuuu r uu u ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu ruuu r uuu r，2pb acu uu r u uu r，2222210cos,51211ppb pcb acpbacuu u r uuu ruu u r uuuuu u ruru ur，所以異面直線pb

25、與ac所成角的余弦值為105；（2）取pc中點(diǎn)n，則/ / bcmn，22222acbcabq，acbc，又paq平面abcd，又bc平面abcd，pabc，bc平面pac，則mn平面pac，所以mcn為直線mc與平面pac所成角，2112+1=,=2222131+5222ncpcmcpbq，15cos5ncmcnmc.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角以及線面角的求解，難度不大.20. 已知直線: 400lxymm與拋物線2:20c ypx p交于a，b兩點(diǎn)，已知弦ab的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2（1）求p；（2）直線:4lym x與拋物線c交于m，n兩點(diǎn)，求mn的取值范圍【答案】（ 1）8p（ 2）3

26、2,【解析】【分析】（1）聯(lián)立l與c的方程，得出122yy即可（2）聯(lián)立l與c的方程得出m，n兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，然后用m表示出mn，運(yùn)用函數(shù)的知識(shí)求出范圍即可【詳解】解： （1）設(shè)11,a x y，22,b xy，聯(lián)立l與c的方程得220ypypm，則12224yyp，即8p（2）直線l經(jīng)過c的焦點(diǎn)（ 4， 0） ，設(shè)33,mxy，11,n x y，則31mnxxp聯(lián)立2416ym xyx，得2222816160m xmxm，則342168xxm因?yàn)?864640ppmm，且0m，所以01m所以342161632mnxxpm從而mn的取值范圍為32,【點(diǎn)睛】要注意31mnxxp，比用弦長(zhǎng)公式求

27、mn計(jì)算量要小些.21. 已知橢圓2222:10 xycabab的離心率為22，1f，2f分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)， 直線l過點(diǎn)2f與橢圓交于a、b兩點(diǎn)，且1f abv的周長(zhǎng)為4 2.（1）求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在直線l使1f abv的面積為43？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（ 1）2212xy（2）存在，直線l的方程為1yx或1yx.【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率公式、橢圓定義，結(jié)合橢圓性質(zhì)，解方程組即可求出橢圓方程；（2）分兩種情況討論，當(dāng)斜率不存在時(shí)，其面積為12f abs，不符題意，當(dāng)斜率存在時(shí)，可設(shè)出直線方程，代入橢圓方程可得2222120kykyk，結(jié)合韋達(dá)定理代入三角形面積公式1121212121122f absf fyyf fyy，即可得解 .【詳解】解： （1）由題意得2222,244 2,ceaaabc2,1,1,abc故橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為2212xy.（2）存在直線l滿足題意，由（1