2023年新高考(新課標)全國2卷數學試題真題(含答案解析)

2023年新高考全國Ⅱ卷數學試題一、單選題1．在復平面內，對應的點位于（）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．設集合和，若，則（）．A．2 B．1 C． D．3．某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（）．A．種 B．種C．種 D．種4．若為偶函數，則（）．A． B．0 C． D．15．已知橢圓的左、右焦點分別為和，直線與C交于A，B兩點，若面積是面積的2倍，則（）．A． B． C． D．6．已知函數在區(qū)間上單調遞增，則a的最小值為（）．A． B．e C． D．7．已知為銳角和，則（）．A． B． C． D．8．記為等比數列的前n項和，若和，則（）．A．120 B．85 C． D．二、多選題9．已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，和，點C在底面圓周上，且二面角為45°，則（）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側面積為C． D．的面積為10．設O為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則（）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形11．若函數既有極大值也有極小值，則（）．A． B． C． D．12．在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為D．當時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率三、填空題13．已知向量，滿足和，則______．14．底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為______．15．已知直線與交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值______．16．已知函數，如圖A，B是直線與曲線的兩個交點，若，則______．四、解答題17．記的內角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．(1)若，求；(2)若，求．18．已知為等差數列和，記，分別為數列，的前n項和，和．(1)求的通項公式；(2)證明：當時，．19．某研究小組經過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異，經過大量調查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設數據在組內均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率．(1)當漏診率％時，求臨界值c和誤診率；(2)設函數，當時，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．20．如圖，三棱錐中，和和，E為BC的中點．(1)證明：；(2)點F滿足，求二面角的正弦值．21．已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點分別為和，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.22．（1）證明：當時；（2）已知函數，若是的極大值點，求a的取值范圍。

2023年新高考全國Ⅱ卷數學試題答案解析1．（2023·新高考Ⅱ卷·1·★）在復平面內，對應的點位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限答案：A解析：，所以該復數對應的點為，位于第一象限.2．（2023·新高考Ⅱ卷·2·★）設集合和，若，則（）（A）2（B）1（C）（D）答案：B解析：觀察發(fā)現(xiàn)集合A中有元素0，故只需考慮B中的哪個元素是0。因為和，所以，故或，解得：或1。注意不能保證，故還需代回集合檢驗。若，則和，不滿足，不合題意；若，則和，滿足.故選B.3．（2023·新高考Ⅱ卷·3·★）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（）（A）種（B）種（C）種（D）種答案：D解析：應先找到兩層中各抽多少人，因為是比例分配的分層抽取，故各層的抽取率都等于總體的抽取率。設初中部抽取x人，則，解得：，所以初中部抽40人，高中部抽20人。故不同的抽樣結果共有種.4．（2023·新高考Ⅱ卷·4·★★）若為偶函數，則（）（A）（B）0（C）（D）1答案：B解法1：偶函數可抓住定義來建立方程求參。因為為偶函數，所以，即①。而，代入①得：?；喌茫海?解法2：也可在定義域內取個特值快速求出答案。，所以或。因為為偶函數，所以，故①。而，代入①得：，解得：.5．（2023·新高考Ⅱ卷·5·★★★）已知橢圓的左、右焦點分別為和，直線與C交于A，B兩點，若的面積是面積的2倍，則（）（A）（B）（C）（D）答案：C解析：如圖，觀察發(fā)現(xiàn)兩個三角形有公共的底邊AB，故只需分析高的關系。作于點G，于點I，設AB與x軸交于點K，由題意。所以，由圖可知，所以，故。又橢圓的半焦距，所以，從而。故，所以，代入可得，解得：.6．（2023·新高考Ⅱ卷·6·★★★）已知函數在區(qū)間單調遞增，則a的最小值為（）（A）（B）e（C）（D）答案：C解析：的解析式較復雜，不易直接分析單調性，故求導。由題意，因為在上，所以在上恒成立，即①。觀察發(fā)現(xiàn)參數a容易全分離，故將其分離出來再看，不等式①等價于，令。則，所以在上，又和，所以。故，因為在上恒成立，所以，故a的最小值為.7．（2023·新高考Ⅱ卷·7·★★）已知為銳角和，則（）（A）（B）（C）（D）答案：D解析：。此式要開根號，不妨上下同乘以2，將分母化為。所以，故。又為銳角，所以，故.8．（2023·新高考Ⅱ卷·8·★★★）記為等比數列的前n項和，若和，則（）（A）120（B）85（C）（D）答案：C解法1：觀察發(fā)現(xiàn)，和，的下標都是2的整數倍，故可考慮片段和性質，先考慮q是否為。若的公比，則，與題意不符，所以。故，和，成等比數列①，條件中有，不妨由此設個未知數。設，則，所以和，由①可得。所以，解得：或。若，則，和，所以，故；到此結合選項已可確定選C，另一種情況我也算一下。若，則，而。所以與同號，故，與題意不符；綜上所述，m只能取，此時.解法2：已知和要求的都只涉及前n項和，故也可直接代公式翻譯，先看公比是否為1。若的公比，則，不合題意，所以，故①。又，所以，化簡得：②。又，代入②可得：③。兩端有公因式可約，但需分析是否可能為0，已經有了，只需再看q是否可能等于。若，則，與題意不符，所以，故式③可化為。整理得：，所以或（舍去），故要求的④。只差了，該結構式①中也有，可由整體計算它。將代入①可得，所以，代入④得.9．（2023·新高考Ⅱ卷·9·★★★）（多選）已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑和，點C在底面圓周上，且二面角為，則（）（A）該圓錐的體積為（B）該圓錐的側面積為（C）（D）的面積為答案：AC解析：A項，因為和，所以和。，從而圓錐的體積，故A項正確；B項，圓錐的側面積，故B項錯誤；C項，要求AC的長，條件中的二面角還沒用，觀察發(fā)現(xiàn)和都是等腰三角形，故取底邊中點即可構造棱的垂線，作出二面角的平面角。取AC中點Q，連接PQ，OQ，因為和，所以和。故即為二面角的平面角，由題意，所以。故，所以，故C項正確；D項，所以，故D項錯誤.10．（2023·新高考Ⅱ卷·10·★★★）（多選）設O為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則（）（A）（B）（C）以MN為直徑的圓與l相切（D）為等腰三角形答案：AC解析：A項，在中令可得，由題意，拋物線的焦點為，所以。從而，故A項正確；B項，此處可以由直線MN的斜率求得，再代角版焦點弦公式求，但觀察發(fā)現(xiàn)后續(xù)選項可能需要用M，N的坐標，所以直接聯(lián)立直線與拋物線，用坐標版焦點弦公式來算。設和，將代入消去y整理得：，解得或3對應的y分別為和，所以圖中和，從而。故B項錯誤；C項，判斷直線與圓的位置關系，只需將圓心到直線的距離d和半徑比較。的中點Q到準線的距離。從而以MN為直徑的圓與準線l相切，故C項正確；D項，M和N的坐標都有了，算出，即可判斷。和。所以和，均不相等，故D項錯誤.11．（2023·新高考Ⅱ卷·11·★★★）（多選）若函數既有極大值也有極小值，則（）（A）（B）（C）（D）答案：BCD解析：由題意。函數既有極大值，又有極小值，所以在上有2個變號零點。故方程在上有兩個不相等實根。所以，由①可得，故C項正確；由②可得，所以a，c異號，從而，故D項正確；由③可得a，b同號，所以，故B項正確；因為a，c異號，a和b同號，所以b，c異號，從而，故A項錯誤.12．（2023·新高考Ⅱ卷·12·★★★★）（多選）在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立.發(fā)送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復發(fā)送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.（）（A）采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為（B）采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為（C）采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為（D）當時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率答案：ABD解析：A項，由題意，若采用單次傳輸方案，則發(fā)送1收到1的概率為，發(fā)送0收到0的概率為。所以依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為，故A項正確；B項，采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則需獨立重復發(fā)送3次1，依次收到1，0，1的概率為，故B項正確；C項，采用三次傳輸方案，由B項的分析過程可知若發(fā)送1，則收到1的個數。而譯碼為1需收2個1，或3個1。所以譯碼為1的概率為，故C項錯誤；D項，若采用單次傳輸方案，則發(fā)送0譯碼為0的概率為；若采用三次傳輸方案，則發(fā)送0等同于發(fā)3個0，收到0的個數。且譯碼為0的概率為。要比較上述兩個概率的大小，可作差來看。。因為，所以。從而，故D項正確.13．（2023·新高考Ⅱ卷·13·★★）已知向量a，b滿足和，則_____.答案：解析：條件涉及兩個模的等式，想到把它們平方來看。由題意，①。又，所以，故，整理得：。代入①可得，即，所以.14．（2023·新高考Ⅱ卷·14·★★）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為_____.答案：28解析：如圖，四棱錐與相似，它們的體積之比等于邊長之比的立方，故只需求四棱錐的體積。，所以，故所求四棱臺的體積。由題意，所以.【反思】相似圖形的面積之比等于邊長之比的平方，體積之比等于邊長之比的立方.15．（2023·新高考Ⅱ卷·15·★★★）已知直線與⊙交于A，B兩點，寫出滿足“的面積為”的m的一個值_____.答案：2（答案不唯一，也可填或或）解析：如圖，設圓心到直線AB的距離為，則。注意到也可用d表示，故先由求d，再將d用m表示，建立關于m的方程。又，所以。由題意，所以，結合解得或。又，所以或，解得：或.16．（2023·新高考Ⅱ卷·16·★★★★）已知函數，如圖A，B是直線與曲線的兩個交點，若，則_____.答案：解法1：這個條件怎么翻譯？可用求A，B橫坐標的通解，得到，從而建立方程求。不妨設，令可得或，其中。由圖知和，兩式作差得：，故。又，所以，解得：，則。再求，由圖知是零點，可代入解析式，注意，是增區(qū)間上的零點，且的增區(qū)間上的零點是，故應按它來求的通解。所以，從而，故。所以.解法2：若注意橫向伸縮雖會改變圖象在水平方向上的線段長度，但不改變長度比例，則可先分析與交點的情況，再按比例對應到本題的圖中來。如圖1，直線與函數在y軸右側的三個I，J，K的橫坐標分別為，和。所以和和，故在圖2中。因為，所以，故，又由圖2可知，所以。故，接下來同解法1.【反思】①對于函數，若只能用零點來求解析式，則需盡量確定零點是在增區(qū)間還是減區(qū)間.“上升零點”用來求，“下降零點”用來求；②對圖象進行橫向伸縮時，水平方向的線段長度比例關系不變，當涉及水平線與圖象交點的距離時，我們常抓住這一特征來求周期.17．（2023·新高考Ⅱ卷·17·★★★）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知的面積為，D為BC的中點，且.（1）若，求；（2）若，求b，c.解：（1）如圖，因為，所以。（要求，可到中來分析，所給面積怎么用？可以用它求出，從而得到BD）因為D是BC中點，所以，又，所以。由圖可知，所以，故。（此時已知兩邊及夾角，可先用余弦定理求第三邊AB，再用正弦定理求角B）在中，由余弦定理，所以。由正弦定理，所以。由可知B為銳角，從而，故.（2）（已有關于bc的一個方程，若再建立一個方程，就能求b和c，故把面積和中線都用b，c表示）由題意，所以①。（中線AD怎樣用b，c表示？可用向量處理）因為D為BC中點，所以。從而，故。所以。將代入上式化簡得②。（我們希望找的是b，c的方程，故由①②消去A，平方相加即可）由①②得，所以③。由可得。所以，結合式③可得.18．（2023·新高考Ⅱ卷·18·★★★★）已知為等差數列，記，分別為，的前n項和，和.（1）求的通項公式；（2）證明：當時，.解：（1）（給出了兩個條件，把它們用和d翻譯出來，即可建立方程組求解和d）由題意，①。②。由①②解得：和，所以.（2）由（1）可得。（要證結論，還需求，由于按奇偶分段，故求也應分奇偶討論，先考慮n為偶數的情形）當為偶數時，③。因為和分別也構成等差數列。所以。。代入③化簡得：。（要由此證，可作差比較）所以，故；（對于n為奇數的情形，可以重復上述計算過程，但更簡單的做法是補1項湊成偶數項，再減掉補的那項）當為奇數時，。所以，故；綜上所述，當時，總有.19．（2023·新高考Ⅱ卷·19·★★★）某研究小組經過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異，經過大量調查，得到如下的患病者和未患病者該項指標的頻率分布直方圖：利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性.此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為.假設數據在組內均勻分布.以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率.（1）當漏診率時，求臨界值c和誤診率；（2）設函數.當時，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值.解：（1）（給的是漏診率，故先看患病者的圖，漏診率為0.5%即小于或等于c的頻率為0.5%，可由此求c）由患病者的圖可知，這組的頻率為，所以c在內。且，解得：；（要求，再來看未患病者的圖，是誤診率，也即未患病者判定為陽性（指標大于c）的概率）由未患病者的圖可知指標大于97.5的概率為，所以.（2）（包含兩個分組，故應分類討論）當時。，所以。故①；當時，和。所以，故②；所以，且由①②可得.20．（2023·新高考Ⅱ卷·20·★★★）如圖，三棱錐中，和和。E為BC的中點.（1）證明：；（2）點F滿足，求二面角的正弦值.解：（1）（BC和DA是異面直線，要證垂直，需找線面垂直，可用逆推法，假設，注意到條件中還有，所以，二者結合可得到面ADE，故可通過證此線面垂直來證）因為和，所以和是全等的正三角形，故。又E為BC中點，所以和，因為AE，平面ADE和。所以平面ADE，又平面ADE，所以.（2）（由圖可猜想面BCD，若能證出這一結果，就能建系處理，故先嘗試證明）不妨設，則。因為，所以。故和。所以，故，所以EA，EB，ED兩兩垂直。以E為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，和。所以和，由可知四邊形ADEF是平行四邊形，所以。設平面DAB和平面ABF的法向量分別為和。則，令，則，所以是平面DAB的一個法向量。，令，則，所以是平面ABF的一