保險精算學-躉繳純保費培訓課件

1、第四章第四章人壽保險躉繳純保費的厘定人壽保險躉繳純保費的厘定 第三節(jié)第三節(jié)死亡即刻賠付死亡即刻賠付躉繳純保費的厘定躉繳純保費的厘定死亡即刻賠付死亡即刻賠付n死亡即刻賠付的含義死亡即刻賠付的含義n死亡即刻賠付就是指如果被保險人在保障期死亡即刻賠付就是指如果被保險人在保障期內發(fā)生內發(fā)生保險責任范圍內的死亡保險責任范圍內的死亡 ，保險公司將，保險公司將在死亡事件發(fā)生之后，立刻給予保險賠付。在死亡事件發(fā)生之后，立刻給予保險賠付。它是在實際應用場合，保險公司通常采用的它是在實際應用場合，保險公司通常采用的理賠方式。理賠方式。n由于死亡可能發(fā)生在被保險人投保之后的任由于死亡可能發(fā)生在被保險人投保之后的任意

2、時刻，所以死亡即刻賠付時刻是一個連續(xù)意時刻，所以死亡即刻賠付時刻是一個連續(xù)隨機變量，它距保單生效日的時期長度就等隨機變量，它距保單生效日的時期長度就等于被保險人簽約時的剩余壽命。于被保險人簽約時的剩余壽命。利息強度利息強度回顧回顧: 利息力與利率的關系利息力與利率的關系回顧回顧: 死亡效力死亡效力n定義：定義： 的瞬時死亡率，簡記的瞬時死亡率，簡記n死亡效力與生存函數的關系死亡效力與生存函數的關系( )xx( )( )ln ( )( )( )xs xf xs xs xs x 0( )expexpxsx ttxsxs xdspds回顧回顧: 死亡效力與剩余壽命死亡效力與剩余壽命n死亡效力與密度函

3、數的關系死亡效力與密度函數的關系n死亡效力表示死亡效力表示剩余壽命的密度函數剩余壽命的密度函數0( )( )expxxxsf xs xds( )()( )1( )()( )()( )( )( )( )txx ttxx ts xs xtG tps xs xtdds xs xtg tG tpdtdts xs x ( )g t即即剩余壽剩余壽命的分布命的分布函數函數tqx基本符號基本符號n 投保年齡投保年齡 的人。的人。n 人的極限年齡人的極限年齡n 保險金給付函數。保險金給付函數。n 貼現函數。貼現函數。n 保險給付金在保單生效時的現保險給付金在保單生效時的現時值時值)(xxtbtvtztttvb

4、z1、n年定期壽險年定期壽險n定義定義n保險人只對被保險人在投保后的保險人只對被保險人在投保后的n年內發(fā)生的保險年內發(fā)生的保險責任范圍內的死亡給付保險金的險種，又稱為責任范圍內的死亡給付保險金的險種，又稱為n年年死亡保險。死亡保險。n假定：假定： 歲的人，保額歲的人，保額1元元n年定期壽險年定期壽險n基本函數關系基本函數關系)(x , 0 , 1 , 0 , 0 , tttttttvvtvtnzbvtnbtntn躉繳純保費的厘定躉繳純保費的厘定n符號：符號：n厘定：厘定：1:nxAdtpedtpvdttfzzEAtxxtnttxxtntTnttnx0001:)()(現值隨機變量的方差現值隨機變

5、量的方差n方差公式方差公式n記記（相當于利息力翻倍以后求（相當于利息力翻倍以后求n年期壽險的躉繳保費）年期壽險的躉繳保費）n所以方差等價為所以方差等價為 20222)()()()()(tnTttttzEdttfezEzEzVardttfeAnTtnx)(021:221:1:2)()(nxnxtAAzVar例4.3.1n設n計算( )1 , 01001000.1xS xxi 130:101 (2)( )tAVar z（）例4.3.1答案055. 0092. 021. 1ln21. 1701 092. 07011 . 1 )()(2092. 01 . 1ln1 . 1701 7011 . 1)(1

6、001)()()() 1 (2010210022110:30110:30201010010030110:30ttttttTdtAAzVardtdttfvAxxStxStf）（2、終身壽險、終身壽險n定義定義n保險人對被保險人在投保后任何時刻發(fā)生的保險保險人對被保險人在投保后任何時刻發(fā)生的保險責任范圍內的死亡均給付保險金的險種。責任范圍內的死亡均給付保險金的險種。n假定：假定： 歲的人，保額歲的人，保額1元終身壽險元終身壽險n基本函數關系基本函數關系)(x , 0 , 01 , 0 tttttttvvtzbvvtbt躉繳純保費的厘定躉繳純保費的厘定n符號：符號：n厘定：厘定：xA000( )(

7、)xttTtttxx ttxx tAE zz ft dtvpdtepdt現值隨機變量的方差現值隨機變量的方差 n方差公式方差公式n記記n所以方差等價為所以方差等價為 22220( )()( )( )( )ttttTtVar zE zE zeft dtE z220( )txTAeft dt22)()(xxtAAzVar例例4.3.2n設設(x)投保終身壽險，保險金額為投保終身壽險，保險金額為1元元n保險金在死亡即刻賠付保險金在死亡即刻賠付n簽單時，簽單時，(x)的剩余壽命的密度函數為的剩余壽命的密度函數為n計算計算1 , 060(t)600 , Ttf 其它0.90.91(2)( )(3)Pr(

8、)0.9.xtAVar zz（）的例例4.3.2答案答案0606002260220120602(1)( )1160602( )() 1()6011()12060txTttxxtxAeft dteedtVar zAAedtAee（ ）例例4.3.2答案答案0.90.90.90.90.90.960lnln660.90.9(3)Pr()Pr() ln=Pr( lnln)()lnln60ln( )0.960ln6lnttTvzvtvP tvvft dtvve3、延期終身壽險、延期終身壽險n定義定義n保險人對被保險人在投保保險人對被保險人在投保m年后發(fā)生的保險責年后發(fā)生的保險責任范圍內的死亡均給付保險金

9、的險種。任范圍內的死亡均給付保險金的險種。n假定：假定： 歲的人，保額歲的人，保額1元，延期元，延期m年的終身壽險年的終身壽險n基本函數關系基本函數關系)(x , 0 , 1 , 0 , 0 , tttttttvvtvtmzb vtmbtmtm死亡即付定期壽險躉繳純保費的厘定死亡即付定期壽險躉繳純保費的厘定n符號：符號：n厘定：厘定：xmA001:( )( )( )( )mxttTmmtTtTxx mAE zz ft dtz ft dtz ft dtAA現值隨機變量的方差現值隨機變量的方差 n方差公式方差公式n記記n所以方差等價于所以方差等價于2222( )()( )( )( )ttttTtm

10、Var zE zE zeft dtE z22( )txTmmAeft dt22( )()txxmmVar zAA例例4.3.3n假設（假設（x）投保延期投保延期10年的終身壽險，年的終身壽險，保額保額1元。元。n保險金在死亡即刻賠付。保險金在死亡即刻賠付。n已知已知n求：求：0.040.06( ),0 xS xex，t10(1) (2)Var(z )xA例例4.3.3答案答案0.040.060.040.110100.161020.120.041022()(1)( )0.04( )0.040.040.1470.04(2)0.040.050470.16( )()0.0288tTtttxmtttxm

11、txxmmS xtfteS xAeedtedteAeedtVar zAA 4、n 年定期生存保險年定期生存保險n定義定義n被保險人投保后生存至被保險人投保后生存至n年期滿時，保險人年期滿時，保險人在第在第n年末支付保險金的保險。年末支付保險金的保險。n假定：假定： 歲的人，保額歲的人，保額1元，元，n年定期生存保險年定期生存保險n基本函數關系基本函數關系)(x , 0 , 1 , 0 , 0 , ntnttttvvtvtnzbvtnbtntn躉繳純保費的厘定躉繳純保費的厘定n符號：符號：n躉繳純保費厘定躉繳純保費厘定n現值隨機變量的方差：現值隨機變量的方差：1: x nA1:( )nnx nt

12、nxnxAE zvpep222112:( )()()nntnxnxx nx nVar zvpvpAA5、n年定期兩全保險年定期兩全保險n定義定義n被保險人投保后如果在被保險人投保后如果在n年期內發(fā)生保險責任范圍內的死亡，年期內發(fā)生保險責任范圍內的死亡，保險人即刻給付保險金；如果被保險人生存至保險人即刻給付保險金；如果被保險人生存至n年期滿，保年期滿，保險人在第險人在第n年末支付保險金的保險。它等價于年末支付保險金的保險。它等價于n年生存保險年生存保險加上加上n年定期壽險的組合。年定期壽險的組合。n假定：假定： 歲的人，保額歲的人，保額1元，元，n年定期兩全保險年定期兩全保險n基本函數關系基本函

13、數關系)(x , , , , 1 , 0tttntttntvtnvvtnzb vvtnvtnbt躉繳純保費的厘定躉繳純保費的厘定n符號：符號：n厘定厘定記：記：n年定期壽險現值隨機變量為年定期壽險現值隨機變量為 n年定期生存險現值隨機變量為年定期生存險現值隨機變量為 n年定期兩全險現值隨機變量為年定期兩全險現值隨機變量為 已知已知則則: x nA1z2z3z312zzz11:312( )( )( )xnxnx nE zE zE zAAA現值隨機變量方差現值隨機變量方差因為因為所以所以31212121212()( )()( ,)( )()()( )()Var zVar zVar zCov z z

14、Var zVar zE zzE zE z120zz11:312:()( )()x nx nVar zVar zVar zAA2222例例4.3.4（例（例4.3.1續(xù)）續(xù)）n設設n計算計算( )1 , 01001000.1xS xxi 30:101 (2)( )tAVar z（）例例4.3.4答案答案1130:101101030:1010301130:1030:1030:10212030:10210301130:1031230:100.092( )0.05560(1)1.10.33700.422(2)( )0.0185( )( )( )0.0431tttttAVar zAvpAAAVar zv

15、pAVar zVar zVar zAA由例3.1已知：26、延期延期m年年n年定期兩全保險年定期兩全保險n定義定義n被保險人在投保后的前被保險人在投保后的前m年內的死亡不獲賠償，從第年內的死亡不獲賠償，從第m+1年開始為期年開始為期n年的定期兩全保險年的定期兩全保險n假定：假定： 歲的人，保額歲的人，保額1元，延期元，延期m年的年的n年定期兩全保險年定期兩全保險n基本函數關系基本函數關系)(x , 0, , , m0 , , 1 , ttmnttttmntvtmntmvvtmnzb vvtmntmvtmnbtm躉繳純保費的厘定躉繳純保費的厘定n符號：符號：n厘定厘定:mx nA1:11:mx

16、nx mxm nmx nmx nAAAAA現值隨機變量的方差現值隨機變量的方差n記：記： m年延期年延期n年定期壽險現值隨機變量為年定期壽險現值隨機變量為 m年延期年延期n年定期生存險現值隨機變量為年定期生存險現值隨機變量為 m年延期年延期n年定期兩全險現值隨機變量為年定期兩全險現值隨機變量為 已知已知則則1z2z3z312zzz11:312:()( )()mx nmx nVar zVar zVar zAA27、遞增終身壽險、遞增終身壽險n定義：遞增終身壽險是變額受益保險的一種特定義：遞增終身壽險是變額受益保險的一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞增殊情況。假定受益金額為剩余壽命的線性

17、遞增函數函數n特別：特別：n一年遞增一次一年遞增一次n一年遞增一年遞增m次次n一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）n保險利益：保險利益：n如被保險人在第一保單年度內死亡，如被保險人在第一保單年度內死亡，則在死亡時立即給付保險金則在死亡時立即給付保險金1元，元， n如被保險人在第二保單年度內死亡，如被保險人在第二保單年度內死亡，則在死亡時立即給付保險金則在死亡時立即給付保險金2元，元，n。 一年遞增一次一年遞增一次一年遞增一次一年遞增一次n現值隨機變量現值隨機變量n躉繳保費厘定躉繳保費厘定1ttztv011()( )1txttxx tkttxx tkkIAE ztvpdtkvpd

18、t n將每一個保單年度分為均等的將每一個保單年度分為均等的m個時間段，個時間段，n如被保險人在第一保單年度的第一個如被保險人在第一保單年度的第一個1/m年內死年內死亡，則在死亡時立即給付保險金亡，則在死亡時立即給付保險金1/m元，元， n如被保險人在第一保單年度的第二個如被保險人在第一保單年度的第二個1/m年內死年內死亡，則在死亡時立即給付保險金亡，則在死亡時立即給付保險金2/m元，元， n。 n如被保險人在第二保單年度的第一個如被保險人在第二保單年度的第一個1/m年內死年內死亡，則在死亡時立即給付保險金亡，則在死亡時立即給付保險金1+1/m元，元，n如被保險人在第二保單年度的第二個如被保險人

19、在第二保單年度的第二個1/m年內死年內死亡，則在死亡時立即給付保險金亡，則在死亡時立即給付保險金1+2/m元，元，n。 一年遞增一年遞增m次次一年遞增一年遞增m次次n現值隨機變量現值隨機變量n躉繳保費厘定躉繳保費厘定()01111()( )mtxttxx tmk smmttxx tksmk smmtIAE zvpdtmmksvpdtm 1ttmtzvm一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）n現值隨機變量現值隨機變量n躉繳保費厘定躉繳保費厘定ttztv0()( )txttxx tIAE ztvpdtn如被保險人在時刻如被保險人在時刻T時死亡，則在死亡時立時死亡，則在死亡時立即給付保

20、險金即給付保險金T元元8、遞減定期壽險、遞減定期壽險n定義：遞減定期壽險是變額受益保險的另一種定義：遞減定期壽險是變額受益保險的另一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞減函數減函數n特別：特別：n一年遞減一次一年遞減一次n一年遞減一年遞減m次次n一年遞減無窮次（連續(xù)遞減）一年遞減無窮次（連續(xù)遞減）一年遞減一次一年遞減一次n現值隨機變量現值隨機變量n躉繳保費厘定躉繳保費厘定 ,0,ttntvtnztn 1:011()( )(1)tttxx tx nknttxx tkkDAE zntvpdtnkvpdt一年遞減一年遞減m次次n現值隨機變量現值隨機變量n

21、躉繳保費厘定躉繳保費厘定,0,tttmnvtnzmtn()1:0111()( )1nmtttxx tx nmk smnmttxx tksmk smmtDAE znvpdtmsnvpdtm 一年遞減無窮次（連續(xù)遞減）一年遞減無窮次（連續(xù)遞減）n現值隨機變量現值隨機變量n躉繳保費厘定躉繳保費厘定(),0,ttnt vtnztn1:0()( )()ntttxx tx nDAE znt vpdt死亡即刻賠付與死亡年末賠付的關系死亡即刻賠付與死亡年末賠付的關系（剩余壽命在分數時期均勻分布假定）（剩余壽命在分數時期均勻分布假定） n以終身壽險為例，有剩余壽命等于整值以終身壽險為例，有剩余壽命等于整值剩余壽

22、命加死亡之年分數生存壽命：剩余壽命加死亡之年分數生存壽命：n則有則有 ( )( ) 1( ) 1( )( )( )T xK xS xT xK xS xvvv11110()()()TKSsxxxE vE vE viAAvdsA死亡年末給付與死亡即刻給付躉繳純保費死亡年末給付與死亡即刻給付躉繳純保費之間的關系之間的關系(UDD)n在滿足如下兩個條件的情況下，死亡即刻賠付凈躉繳在滿足如下兩個條件的情況下，死亡即刻賠付凈躉繳純保費是死亡年末賠付凈躉繳純保費的純保費是死亡年末賠付凈躉繳純保費的 倍。倍。條件條件1：條件條件2： 只依賴于剩余壽命的整數部分，即只依賴于剩余壽命的整數部分，即 i,lnttv

23、vv tb*1tKbb例例4.3.6n（x）歲的人投保歲的人投保5年期的兩全保險，保險金額為年期的兩全保險，保險金額為1萬元，保險金死亡即刻給付，按附錄萬元，保險金死亡即刻給付，按附錄2示例生命示例生命表計算表計算n（1）20歲的人按實質利率為歲的人按實質利率為2.5%計算的躉繳純保費。計算的躉繳純保費。n（2）60歲的人按實質利率為歲的人按實質利率為2.5%計算的躉繳純保費。計算的躉繳純保費。n（3）20歲的人按實質利率為歲的人按實質利率為6%計算的躉繳純保費。計算的躉繳純保費。n（4）60歲的人按實質利率為歲的人按實質利率為6%計算的躉繳純保費。計算的躉繳純保費。例4.3.6答案9404.

24、591000048881.3410000399.431910000258.8841)(10000100008790.049617815.956501000054.5110000005154. 0)1ln(005091. 0) 1 (%65 :60%5 . 25 :60%65 :201%5 . 25201%5 . 25 :20%5 . 2520520551%5 . 25201%5 . 25 :201%5 . 25 :201%5 . 25 :201%5 . 25 :201%5 . 25 :20AAAAAAvpvAAAiiAiAA）（）（）（再求已知：例4.3.7n對（對（50）歲的男性第一年死亡即

25、刻給付）歲的男性第一年死亡即刻給付5000元，第二年死亡即刻給付元，第二年死亡即刻給付4000元，元，以此按年遞減以此按年遞減5年期人壽保險，根據附錄年期人壽保險，根據附錄2生命表，以及死亡均勻分布假定，按年生命表，以及死亡均勻分布假定，按年實質利率實質利率6%計算躉繳純保費。計算躉繳純保費。例4.3.7答案307.88(100008837. 0)5(0297087. 1(06. 1ln06. 0(106. 05504050501106. 0550106. 0550106. 0550：）ADldvkDADAiADkkk第四節(jié)第四節(jié)遞歸方程式遞歸方程式離散型終身壽險的躉繳保費的遞推公式離散型終身

26、壽險的躉繳保費的遞推公式11110111011101|011xxxxxxxkxxkkkxxkxxkkxkxkxxkkkxkxxkkkxkkkxAvpvqASoAvpvqqpvvpvqqppvvvqqpvvqqpvqvA躉繳純保費遞推公式躉繳純保費遞推公式n公式一：公式一：n( (x)x)以躉繳純保費以躉繳純保費A Ax x元購買離散型單位金額終身壽元購買離散型單位金額終身壽險險, ,所得到保險利益是所得到保險利益是, ,如被保險人在第一個保單年如被保險人在第一個保單年度內死亡度內死亡, ,則在該保單年度末時給付保險金則在該保單年度末時給付保險金1 1元元. .n如在第一年末仍生存如在第一年末仍

27、生存, ,則保險人在此時以金額則保險人在此時以金額A Ax+1x+1元元為被保險人購買一張為被保險人購買一張1元的終身壽險保單元的終身壽險保單, ,作為對該作為對該保險人在保險人在x+1x+1歲時的歲時的”生存給付生存給付”. . 1xxxxAvpvqA躉繳純保費遞推公式躉繳純保費遞推公式n公式一：公式一：n理解理解:(x)(x)的單位金額終身壽險在第一年末的價的單位金額終身壽險在第一年末的價值等于值等于( (x)x)在第一年死亡的情況下在第一年死亡的情況下1單位的賠付單位的賠付額額, ,或生存滿一年的情況下凈躉繳保費或生存滿一年的情況下凈躉繳保費 。 1xxxxAvpvqA1xAn若在公式一

28、中用若在公式一中用(1-qx)代替代替px, 并兩邊乘并兩邊乘以以(1+i)lx, 則可得如下公式二則可得如下公式二.躉繳純保費遞推公式躉繳純保費遞推公式n公式二：公式二：n解釋：解釋：n 個個x x歲的被保險人所繳的躉繳保費之和經過一年歲的被保險人所繳的躉繳保費之和經過一年的積累，當年年末可為所有的被保險人提供次年的的積累，當年年末可為所有的被保險人提供次年的凈躉繳保費凈躉繳保費 ，還可以為所有在當年去世的被保，還可以為所有在當年去世的被保險人提供額外的險人提供額外的 。 )1 ()1 (11xxxxxxAdAlAilxl1xA11xAn若公式二兩邊除以若公式二兩邊除以lx, 則可得如下公式三則可得如下公式三:躉繳純保費遞推公式躉繳純保費遞推公式n公式三：公式三