矩陣可逆的判別方法

1、矩陣可逆的若干判別方法學(xué)院：數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院班級(jí)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)1 班姓名：黃新菊學(xué)號(hào)： 1250411025 內(nèi)容摘要：學(xué)了這么久高等代數(shù)，從學(xué)了矩陣之后，幾乎每節(jié)都離不開矩陣。矩陣是一個(gè)主要研究對(duì)象和重要工具，其中在這期間，可逆矩陣是貫穿其中出現(xiàn)的最頻繁的詞語(yǔ)?？赡婢仃囀蔷仃囘\(yùn)算理論的整體不可或缺的一部分。例如，分塊矩陣的運(yùn)算、二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型再化為規(guī)范型、線性子空間、同構(gòu)、矩陣線性變換、特征值與特征向量、對(duì)角矩陣等，都有用到可逆矩陣，矩陣可逆的性質(zhì)，可以解決很多數(shù)學(xué)問(wèn)題，是解決實(shí)際問(wèn)題比較常用的工具之一。并且還可以物理、經(jīng)濟(jì)等各種問(wèn)題。有重要的理論和實(shí)踐意義。所以，研究、學(xué)習(xí)矩陣可逆的

2、若干判別方法，還是很有必要的，有重要的意義。關(guān)鍵詞：矩陣、可逆矩陣、線性方程組、特征值與特征向量、初等變換、線性變換、線性子空間、判別方法。導(dǎo)言：高等代數(shù)已經(jīng)學(xué)了差不多兩個(gè)學(xué)期。自從開始學(xué)了矩陣，矩陣在高等代數(shù)中就起到了不可或缺的作用。前面學(xué)的多項(xiàng)式、行列式、線性方程組原來(lái)也是為了學(xué)習(xí)矩陣奠定了基礎(chǔ)。而矩陣的可逆性在其中起到了非常大的作用。突然發(fā)現(xiàn)，在矩陣的乘法運(yùn)算中，可逆矩陣就像有理數(shù)的倒數(shù)一樣，可逆矩陣是構(gòu)成矩陣運(yùn)算體系中非常重要的部分。為了更加深入了解、學(xué)習(xí)、解決處理矩陣計(jì)算體系的各種題目，我決定用“矩陣可逆的若干判別方法”為題目作為論文的題目。我在圖書館查了很長(zhǎng)時(shí)間的資料，并且還上網(wǎng)百

3、度瀏覽了很多有關(guān)的網(wǎng)頁(yè)。希望可以由此更加深入理解矩陣的逆的性質(zhì)、定義、判別方法等。整理了所有資料，總結(jié)了以下的矩陣的逆的判別方法。正文矩陣可逆的若干判別方法首先介紹一些下面要用性質(zhì)及定義。有關(guān)矩陣的逆的定義：定義 1：n級(jí)方陣a稱為可逆的，如果有n 級(jí)方陣 b，使得 ab=ba=e ，這里 e 是級(jí)單位矩陣 . 即稱 a 可逆， b 為 a 的逆。 (ab1) 定義 2：設(shè) 矩陣aaaaaaaaaannnnnn.212222111211中元素aij的代數(shù)余子式，矩陣aaaaaaaaaannnnnn.212222111211*稱為a的伴隨矩陣。定義 3：矩陣a是可逆的充分必要條件是a非退化，而)

4、0(1*1addaa。定義 4：數(shù)域 p上的 nn矩陣a稱為非退化的，如果0a；否則稱為退化的。定義 5：矩陣的三種初等行（列）變換：互換某兩行（列）的位置；用非零的數(shù)乘某一行（列） ；把某一行（列）的倍數(shù)加到另一行（列） 。有關(guān)矩陣的逆的性質(zhì) : 性質(zhì) 1:aa11;性質(zhì) 2:abab111; 性質(zhì) 3:akka111; 性質(zhì) 4:aa11; 性質(zhì) 5:矩陣 a 與它的伴隨矩陣a*具有相同的可逆性 .即 a 可逆aaa*1*矩陣可逆的若干判別方法 定義判別法設(shè)對(duì)于n階方陣 a,如果存在 n 階方陣 b 滿足條件 ab=e 且 ba=e,就稱 a 可逆，并且稱b 為 a 的逆，記 b=a1。這

5、種方法可以直接找到矩陣的逆，進(jìn)而根據(jù)矩陣可逆的定義來(lái)證明矩陣是可逆的。此種方法大多適用于簡(jiǎn)單矩陣和一些非具體矩陣的判斷。eg：求解：取矩陣，由于，。即 矩陣行列式判別法矩陣 a 可逆的充分必要條件是a 是方陣且（非退化）。aaaaaaaaaannnnnn.2122221112110.212222111211aaaaaaaaannnnnnaeg：a=，判斷是否可逆。解：由于則 a 可逆。 秩判別法n 階矩陣 a 可逆的充分必要條件是矩陣a 的秩為 n. (r(a)=n）. eg：設(shè)矩陣 a=762741321，判斷矩陣可逆。解：由300210321120420321762741321知，矩陣 a

6、 為 3 階矩陣，其秩也為3. 則矩陣 a=762741321可逆。 伴隨矩陣判別法矩陣a是可逆的充分必要條件是a非退化，而)0(1*1addaa。證明：當(dāng)0ad，由eaddaaa*11可知， a 可逆，且aad*11。反過(guò)來(lái)，如果 a 可逆，那么有a1使eaa1，兩邊取行列式，得11eaa. 因?yàn)?a即 a 非退化。)0(1*1addaa即是求可逆矩陣的公式。eg：a=，判斷是否可逆。求解：由于。則， 初等變換判別法對(duì)矩陣 a 施行初等行（列）變換得到的矩陣b，則 b 可逆?？赏浦?a 可逆。因?yàn)槌醯刃辛凶儞Q是等價(jià)變換，即不會(huì)改變a的秩，所以 a和 b秩相同，故 a與 b有相同的可逆性。從而

7、 b可逆可推知 a可逆。求矩陣的逆矩陣的方法初等行變換初等列變換 初等矩陣判別法a是可逆的充分必要條件是a 可以表示成一些初等矩陣的乘積：qqqqas.321根據(jù)舉例設(shè)012411210a，求a1。解：21123100124010112001123200124010112001123200001210010411120830001210010411100012001210010411100012010411001210于是211231241121a上面給出用初等行變換的方法求出矩陣的逆矩陣。當(dāng)然，同樣可逆矩陣也能用初等列變換化成單位矩陣來(lái)求出矩陣的逆矩陣。 線性方程組判別法齊次線性方程組.0;

8、 0;0.221122221211212111xaxaxaxaxaxaxaxaxannnnnnnnn即 ax=0（a 為該方程組的系數(shù)矩陣）只有零解。即a 可逆。非齊次線性方程組.;.22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxannnnnnnnnn即 ax=0（a 為該方程組的系數(shù)矩陣）有唯一解。即a 可逆。證明： ，齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為aaaaaaaaaannnnnn.212222111211，用n.,21分別代表矩陣各列，)1(21,.,njnjjjaaatj。則齊次線性方程組可以寫成向量形式0.2211nnxxx且只有零解，則0.21xxxn從

9、而n.,21線性無(wú)關(guān)，且n.,21線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是a 可逆。非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為aaaaaaaaaannnnnn.212222111211，用n.,21分別代表矩陣各列，)1(21,.,njnjjjaaatj。則齊次線性方程組可以 寫 成 向 量 形 式nnxxx.2211由0a知 ，n. . . . . .,21為nnxxx.2211的一組基，則每一都可以寫成n.,21的線性組合的形式，則xxxn,.,21由唯一確定。即方程組有唯一解。反過(guò)來(lái)，若方程組有唯一解，則必然有0a則矩陣 a 可逆。 特征值判別法nn矩陣 a 可逆，即矩陣 a 的特征值全部不為零。證明: 充分性：因?yàn)?/p>

10、所有特征值全不為零，而所以特征值之積等于a ，故 a0，從而 a 可逆。必要性 :假設(shè) nn 的矩陣 a 的特征多項(xiàng)式為，則，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可知所有特征值之積等于 a ，又由 a 可逆，知 a0，故所有特征值全不為零。eg:矩陣 a=，用特征值的方法判斷矩陣是否可逆。解：特征方程式（）則，由于時(shí)，特征值， . 那么沒有特征值為0，則矩陣可逆。 多項(xiàng)式判別法nn 矩陣 a可逆，即有特征多項(xiàng)式f （x） ，滿足 f （a）=0，且常數(shù)項(xiàng)不為零。 標(biāo)準(zhǔn)形判別法n 階方陣 a可逆的充分必要條件是矩陣a的標(biāo)準(zhǔn)形是. 證明：任何一個(gè)矩陣都可經(jīng)過(guò)初等行或列變換化成標(biāo)準(zhǔn)的對(duì)角陣。那么，如果n 階方陣 a可逆，那么 a的矩陣的秩只能為n，即標(biāo)準(zhǔn)形一定為單位矩陣。反過(guò)來(lái)，如果矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是，即n階單位矩陣，則矩陣a的秩為n，故 a可逆。結(jié)語(yǔ)判斷矩陣的可逆性，一定不止上上面所述的十種，而根據(jù)這些方法，我們已經(jīng)可以解決一些常見有關(guān)矩陣和矩陣的逆的問(wèn)題，對(duì)于學(xué)習(xí)高等代數(shù)有關(guān)矩陣的部分有著很大的作用。希望老師在課堂授課時(shí)多提及這類問(wèn)題的研究思想方向，幫助我們更好的理解矩陣和矩陣的逆。并且，應(yīng)該好好學(xué)習(xí)高等代數(shù)，不管以后要不要考研究生，高等代數(shù)作為一門基礎(chǔ)數(shù)學(xué)學(xué)科，是高等學(xué)校數(shù)學(xué)類本科生的重要必修課程，特別是數(shù)學(xué)專業(yè)。學(xué)好高等代數(shù)為以后的學(xué)習(xí)