二階常微分方程解存在的問題

1、二階常微分方程解的存在問題分析摘要本文首先介紹了二階常系數(shù)齊次線性微分方程的一般解法特征方程法及二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的待定系數(shù)法，然后又介紹了一些可降階的微分方程類型。接著，討論了二階變系數(shù)微分方程的冪級數(shù)解法并論述了如何利用變量代換法將某些變系數(shù)方程化為常系數(shù)方程。另外，本文還介紹了求解初值問題的另一種方法拉普拉斯變換法。最后，給出了二階微分方程的存在唯一性定理的證明以及它在科學(xué)研究、工程技術(shù)以及數(shù)學(xué)建模中解決實際問題的一些應(yīng)用。1.引言1.1常微分方程的發(fā)展過程與研究途徑二階線性微分方程是常微分方程中一類很重要的方程。這不僅是因為其一般理論已經(jīng)研究地比較清楚，而且還因為它是研究非線

2、性微分方程的基礎(chǔ)，在工程技術(shù)和自然科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。在科學(xué)研究、工程技術(shù)中，常常需要將某些實際問題轉(zhuǎn)化為二階常微分方程問題。因此，研究不同類型的二階常微分方程的求解方法及探討其解的存在唯一性問題是十分重要的。常微分方程已有悠久的歷史，而且繼續(xù)保持著進(jìn)一步發(fā)展的活力，主要原因是它的根源深扎在各種實際問題之中。牛頓最早采用數(shù)學(xué)方法研究二體問題，其中需要求解的運動方程就是常微分方程。他把兩個物體都理想化為質(zhì)點，得到3個未知函數(shù)的3個二階方程組，經(jīng)簡單計算證明，可化為平面問題，即兩個未知函數(shù)的兩個二階微分方程組。用現(xiàn)在叫做“首次積分”的辦法，完全解決了它的求解問題。17世紀(jì)就提出了彈性問題，這類問

3、題導(dǎo)致懸鏈線方程、振動弦的方程等等。20世紀(jì)30年代直至現(xiàn)在，是常微分方程各個領(lǐng)城迅速發(fā)展、形成各自相對獨立的而又緊密聯(lián)在一起的分支學(xué)科的時期。19271945年間定性理論的研究主要是跟無線電技術(shù)聯(lián)系在一起的。第二次世界大戰(zhàn)期間由于通訊等方面的要求越來越高，大大地激發(fā)了對無線電技術(shù)的研究，特別是非線性振動理論的研究得到了迅速的發(fā)展。40年代后數(shù)學(xué)家們的注意力主要集中在抽象動力系統(tǒng)的拓?fù)涮卣? 如閉軌是否存在、結(jié)構(gòu)是否穩(wěn)定等, 對于二維系統(tǒng)已證明可以通過奇點及一些特殊的閉軌和集合來判斷結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性與否；而對于一般系統(tǒng)這個問題尚未解決。在動力系統(tǒng)理論方面, 我國著名數(shù)學(xué)家廖山濤教授, 用從典范方程組

4、到阻礙集一整套理論和方法, 解決了一系列主要問題, 特別是C封閉引理的證明, 對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的充要條件等方面都作出了主要貢獻(xiàn)。1.2問題的研究現(xiàn)狀在當(dāng)代由電力網(wǎng)、城市交通網(wǎng)、自動運輸網(wǎng)、數(shù)字通訊網(wǎng)、靈活批量生產(chǎn)網(wǎng)、復(fù)雜的工業(yè)系統(tǒng)、指令控制系統(tǒng)等提出大系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是常微分方程組描述的。對這些系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究, 引起了越來越多學(xué)者的興趣, 但目前得到的成果仍然只是初步的。常微分方程的概念、解法和其它理論很多，比如，方程和方程組的種類及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理論等等。下面就方程解的有關(guān)幾點簡述一下，以了解常微分方程的特點。求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標(biāo)，一旦求出通解的表達(dá)式，就

5、容易從中得到問題所需要的特解。也可以由通解的表達(dá)式，了解對某些參數(shù)的依賴情況，便于參數(shù)取值適宜，使它對應(yīng)的解具有所需要的性能，還有助于進(jìn)行關(guān)于解的其他研究。 后來的發(fā)展表明，能夠求出通解的情況不多，在實際應(yīng)用中所需要的多是求滿足某種指定條件的特解。當(dāng)然，通解是有助于研究解的屬性的，但是人們已把研究重點轉(zhuǎn)移到定解問題上來。 一個常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有幾個呢？這是微分方程論中一個基本的問題，數(shù)學(xué)家把它歸納成基本定理，叫做存在和唯一性定理。存在和唯一性定理對于微分方程的求解是十分重要的。由于大部分的常微分方程求不出十分精確的解，而只能得到近似解。當(dāng)然，這個近似解的精確程度是比較高的。

6、微分方程的近似解法（包括數(shù)值解法）具有十分重要的實際意義，而解的存在和唯一又是進(jìn)行近似計算的前提。因為如果解根本不存在，卻要去近似地求它，問題本身是沒有意義的；如果有解存在而不唯一，由于不知道要確定是哪一個解，卻要去近似地確定它，問題也是不明確的。解的存在唯一性定理保證了所要求的解的存在和唯一，因此它也是近似求解的前提和理論基礎(chǔ)。此外，我們將看到在定理的證明中還具體地提出了求近似解的途徑，這就更增添了存在唯一性定理的實用意義。由于種種條件的限制，實際測出的初始數(shù)據(jù)往往是不精確的，它只能近似地反映初始狀態(tài)。因此我們以它作為初值條件所得到的解是否能用做真正的解呢？這就產(chǎn)生了解對初值的連續(xù)依賴性問題

7、，即當(dāng)初值微小變動時，方程的解的變化是否也是很小呢？如果不然的話，這樣所求得的解就失去了實用的意義，因為它可能與實際情況產(chǎn)生很大的誤差。在科學(xué)研究、工程技術(shù)中，常常需要將某些實際問題轉(zhuǎn)化為二階常微分方程問題，因此，研究不同類型的二階常微分方程的求解方法及探討其解的存在唯一性問題，是十分重要的。1.3問題研究存在的不足與前景現(xiàn)今對于二階線性微分方程的研究已經(jīng)取得了不少成就，尤其在二階常系數(shù)線性微分方程的求解問題和解的存在唯一性定理等方面卓有成效。二階微分方程的解的存在唯一性定理不僅可判斷解的存在唯一性，而且還有著廣泛的應(yīng)用。而冪級數(shù)解法作為求解二階變系數(shù)齊次線性微分方程的一種方法，其過程還是比較

8、繁瑣的，計算量偏大，且需要考慮函數(shù)是否解析，冪級數(shù)在某個區(qū)間是否收斂等。另外，對于二階變系數(shù)非齊次微分方程，目前還尚有通用的求解方法，只有一些特殊類型是可以求解的。應(yīng)該說，應(yīng)用常微分方程理論已經(jīng)取得了很大的成就，但是，它的現(xiàn)有理論也還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足需要，還有待于進(jìn)一步的發(fā)展，使這門學(xué)科的理論更加完善。2.常系數(shù)線性微分方程的解法2.1 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法特征方程法若是二階常系數(shù)齊次線性微分方程，其中均為常數(shù)（2.1）的兩個線性無關(guān)的解，那么（2.1）的通解就可表示成（為任意常數(shù)）由此可知，只要找到方程（2.1）的兩個線性無關(guān)的解，就能求出（2.1）的通解。我們知道，當(dāng)為常數(shù)時，函數(shù)

9、和它的各階導(dǎo)數(shù)只相差一個常數(shù)。因此，可以設(shè)想（2.1）有形如的解，將代入方程（2.1）得：又，則必有（2.2）即如果是（2.1）的解，則必滿足方程（2.2）.反之，若滿足方程（2.2），則就是（2.1）的一個特解。我們稱方程（2.2）是方程（2.1）的特征方程，它的根就稱為特征根，且特征根.下面根據(jù)特征根的不同情況分別進(jìn)行討論。1）有兩個不相等的實根:，易知和是方程（2.1）的兩個線性無關(guān)的特解，則方程（2.1）的通解為：；2）有兩個相等的實根:易知是方程（2.1）的一個特解，設(shè)另一特解為，將代入到（2.1）得：（2.3)又，則可得，不妨取，代入（2.3）得：，則方程（2.1）的通解為： ；3

10、） 有一對共軛復(fù)根：，易知與是方程（2.1）的兩個線性無關(guān)的復(fù)值解。而，若取，由解的疊加性知，也是方程（2.1）的兩個特解，又，于是，就是方程（2.1）的兩個線性無關(guān)的實值解。從而方程（2.1）的通解為：。下面舉個例子進(jìn)行簡單說明。例1：解：特征方程為特征根為（二重），故所求同解為.例2：特征方程為特征根為,故所求同解為2.2 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法現(xiàn)在討論二階常系數(shù)非齊次線性微分方程（2.4）的求解問題。這里是常數(shù)，是連續(xù)函數(shù)。我們可以由其對應(yīng)的齊次線性微分方程(2.1)的通解出發(fā)，使用常數(shù)變易法求出（2.4）的特解。因而，只要能求出（2.1）的特征根，（2.4）的求解問題就已經(jīng)

11、解決。但是，這樣的方法往往是比較繁瑣的，而且必須經(jīng)過積分運算。事實上，只要求得方程（2.1）的通解，再求出該方程的一個特解，就可得出它的通解表達(dá)式。下面，我們討論當(dāng)是某些特殊形式的連續(xù)函數(shù)時，所適用的求解其特解的簡便方法待定系數(shù)法。2.2.1類型:設(shè)是次多項式，即（）（1）當(dāng)不是特征根時，（2.4）有形如的特解，其中是關(guān)于的次待定的多項式，即 （2）當(dāng)是重特征根時，（2.4）有形如的特解，其中也是形如上述的次多項式。其中中的系數(shù)可以由待定系數(shù)法求得。例3：解：對應(yīng)齊次方程的特征方程為特征根為，齊次方程的通解為由于0，1都不是特征根，故已知方程有形如的特解。將上式代入已知方程，得即因而，所求通解

12、為.2） 2.2.2類型：其中，分別為兩個已知的關(guān)于的次和次多項式，為常數(shù)。由歐拉公式，得.故可以改寫成（2.5）其中，分別是次和次多項式?？梢钥闯?，（2.5）式就相當(dāng)于兩個類型形狀的函數(shù)相加。由非齊次方程的疊加原理，就可求出類型的特解了。 設(shè)有二階非齊次方程（2.6）且分別是方程的解，則函數(shù)是方程（2.6）的解。根據(jù)疊加原理及類型討論的結(jié)果，我們有1） 當(dāng)不是特征根時，（2.4）有如下形式的特解即（2.7）2） 當(dāng)是重特征根時，（2.4）有如下形式的特解 （2.8）即（2.9）其中為兩個待定多項式，.注意：當(dāng)中有一個恒為零時，方程（2.4）仍具有形如（2.8）、（2.9）的特解。即不能當(dāng)時，

13、就令，而時，就令.例4：解：特征方程為，它有二重特征根。另一方面，方程的非齊次項為.由此可見，相應(yīng)的與特征根是不相等的。因此，我們可設(shè)方程有特解其中常數(shù)a和b待定。把它代入原方程，得出,由此推知.所以，原方程的通解為.3 二階微分方程的降階和冪級數(shù)解法3.1 可將階的一些方程類型1.方程不顯含未知函數(shù)和未知函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，即（3.1）若令,那么，則方程（3.1）即降為關(guān)于的一階微分方程，兩邊積分得：，兩邊再次積分，就能得到方程（3.1）的通解.2. 方程不顯含未知函數(shù),即（3.2）若令，則方程（3.2）就變?yōu)?，這是一個關(guān)于的一階微分方程.例5：解：將方程化為令,則上式化為兩邊積分得因此再積分一

14、次的通解3. 方程不顯含自變量，即（3.3）若令，那么則方程（3.3）就變?yōu)檫@是一個關(guān)于的一階微分方程.例6：求解解：這是不顯含的二階方程。易見為一解。若,方程兩邊同除以得令,則方程可化為即有所以上式通解為從而得到將變量分離，兩邊積分得化簡得原方程通解為為任意常數(shù)，這是特解包含于上述通解中。4.恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程型二階微分方程也可以表示成的形式。若方程（3.4）的左端恰為某一函數(shù)對的全導(dǎo)數(shù)，即則稱方程（3.4）為恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程。于是，方程（3.4）可寫成則有，（為任意常數(shù)）這樣就把原方程降為了一階微分方程。例7：解：這是一個不顯含二階方程。將原方程寫為積分一次得即兩邊積分得因而，原方程的通解為5.關(guān)于

15、未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是齊次的方程方程關(guān)于未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是齊次的是指滿足.作變換（是新未知函數(shù)），則有,代入到（3.4）中，有因為方程關(guān)于未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是齊次的，約去非零公因子，得到上式經(jīng)整理后可化為的形式，這就是關(guān)于新未知函數(shù)的一階微分方程。注意:若，則可作變換。實際問題中，我們作變換后，還要考慮是不是方程的解。例8：求解方程解：這是左端關(guān)于的三次齊次方程。令則代入原方程，消去公因子,得到 (*)令 (*)則 (*)將（*），（*）代入（*），得到因此或由得即再積分可得即原方程的通解為由得,即也是解，但此解包含在上述通解中。 3.2 二階線性微分方程的冪級數(shù)解法二階線性微分方

16、程(3.5)在近代物理學(xué)以及工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，但是，當(dāng)它的系數(shù)不為常數(shù)時，它的解往往不能用“有限形式”表示出來。而冪級數(shù)解法就解決了這個問題，它不但對于求解方程有意義，而且由此引出了很多新的超越函數(shù)，在理論上具有很重要的地位。定理1 如果在某點的鄰域內(nèi)解析，即它們可以展成的冪級數(shù)，且，則（3.5）的解在的鄰域內(nèi)也能展成的冪級數(shù)（3.6）定理2 如果在某點的鄰域內(nèi)解析，而是的重零點，是的不低于重的零點（若），是的不低于重的零點（若），則方程（3.7）至少有一個形如（3.7）的廣義冪級數(shù)解，其中是某一常數(shù)。3.3 二階變系數(shù)線性微分方程的常系數(shù)化對二階變系數(shù)齊次線性微分方程（3.8）（其中

17、均為連續(xù)函數(shù)）作變換，則有，代入到（3.8）中，得（3.9）不妨令的系數(shù)等于零，即從而則代入到方程中，整理得（）當(dāng)取某些特殊的函數(shù)時。我們有：1）（為常數(shù)），方程（3.9）可化為歐拉方程。2）（為常數(shù)），方程（3.9）可化為常系數(shù)線性方程。4.拉普拉斯變換我們已經(jīng)知道二階常系數(shù)線性方程（4.1）的通解結(jié)構(gòu)和求解方法，但是，在實際問題中往往還要求（4.1）的滿足初始條件的解。我們當(dāng)然可以先求出（4.1）的通解，然后由初始條件確定其中的任意常數(shù)。此外，還有另外一種方法可以求解初值問題，即拉普拉斯（Laplace）變換法.因為它無需求出已知方程的通解，而是直接求出它的特解來，從而在運算上得到很大簡化

18、。拉普拉斯變換的定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，如果含參量的無窮積分對的某一取值范圍是收斂的，則稱（4.2）為函數(shù)的拉普拉斯變換，稱為原函數(shù)，稱為象函數(shù)，并且記為一些特殊函數(shù)的拉普拉斯變換1）2）3）4）5）6）7）拉普拉斯變換的基本性質(zhì)1）線性性質(zhì)：設(shè)函數(shù)，滿足定理3的條件，則在它們的象函數(shù)共同的定義域上，有其中為任意常數(shù)。2）原函數(shù)的微分性質(zhì)：如果均滿足定理3的條件，則3） 象函數(shù)的微分性質(zhì)：如果，則 4） 如果，則5 二階微分方程的存在唯一性5.1 存在唯一性定理如果在二階微分方程 （5.1）中，令，則，它就可化為方程組（5.2）我們稱（5.2）為一階微分方程組。從而，要討論二階微分方程的初值

19、問題的存在唯一性，就只需討論一階微分方程組的初值問題的存在唯一性。令，并定義：，則（5.2）可記成向量形式（5.3）初始條件可記為，其中則二階微分方程（5.4） 的初值問題就可記為（5.5）此外，我們把二維向量的范數(shù)定義為. 下面，我們給出初值問題（5.5）的解的存在與唯一性定理。定理3 如果函數(shù)在三維空間的區(qū)域上滿足：1）連續(xù)；2）關(guān)于滿足李普希茲條件，即存在，使對于上任意兩點，有，則初值問題（5.5）的解在區(qū)間上存在唯一，其中.類似于一階微分方程的初值問題的存在唯一性定理的證明，下面來簡單證明一下定理3.引理：如果函數(shù)在三維空間的區(qū)域上連續(xù)，則初值問題（5.5）的解,與積分方程（5.6）在

20、區(qū)間上的連續(xù)解等價，其中，.由引理我們知道，要證明定理3，只要證明積分方程（5.6）的連續(xù)解在區(qū)間上存在唯一就行了。 存在性的證明下面用皮卡逐次逼近法來證明積分方程(6)的連續(xù)解的存在性，可分三個步驟進(jìn)行。（1） 構(gòu)造區(qū)間上的逐次近似的連續(xù)向量函數(shù)列.令，構(gòu)造畢卡逐次逼近向量函數(shù)序列如下：向量函數(shù) 稱為 （5.5）的第次近似解。 用數(shù)學(xué)歸納法可以證明： 即曲線未越出區(qū)域，保證了逐次逼近可以一直進(jìn)行下去。（2） 證明函數(shù)序列在區(qū)間上一致收斂?？紤]向量函數(shù)項級數(shù)（5.7）它的部分和是所以，要說明函數(shù)序列在區(qū)間上一致收斂，只需證明級數(shù)（5.7）在區(qū)間上一致收斂。 由數(shù)學(xué)歸納法，我們可以得到：而,易于

21、看出級數(shù)（5.7）每一項的絕對值都不會超過正項級數(shù)的對應(yīng)項。上面的級數(shù)顯然是收斂的。從而，級數(shù)（5.7）在區(qū)間上一致收斂。設(shè)其和函數(shù)為，從而函數(shù)序列在區(qū)間上一致收斂于。由于在區(qū)間上是連續(xù)的，因而也是連續(xù)的。（3） 證明是積分方程（5.6）的解。對兩邊取極限，得要證是積分方程（5.6）的解，只需證在區(qū)間上一致收斂，使時，有.則是積分方程（5.6）的解。 唯一性的證明設(shè)也是積分方程（6）的解，且滿足則有于是由Bellman不等式得：得出矛盾。因此，(5.6)在的解唯一。綜上，（5.5）的存在唯一性定理得證。結(jié)論關(guān)于二階線性微分方程的研究已經(jīng)取得了不少成就，尤其在二階常系數(shù)線性微分方程的求解問題和解

22、的存在唯一性定理等方面卓有成效。二階微分方程的解的存在唯一性定理不僅可判斷解的存在唯一性，而且還有著廣泛的應(yīng)用。而冪級數(shù)解法作為求解二階變系數(shù)齊次線性微分方程的一種方法，其過程還是比較繁瑣的，計算量偏大，且需要考慮函數(shù)是否解析，冪級數(shù)在某個區(qū)間是否收斂等。另外，對于二階變系數(shù)非齊次微分方程，目前還尚有通用的求解方法，只有一些特殊類型是可以求解的，還有待于進(jìn)一步的發(fā)展和研究。參考文獻(xiàn)1 吳美捷，淺談待定系數(shù)法A. 當(dāng)代經(jīng)理人，2006,(03).2朱思銘，王壽松，王高雄等. 常微分方程M.北京：高等教育出版社, 2006 .3 吳志堅,吳筱堅, 傅里葉變換與拉普拉斯變換J, 石油大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),1996,(10)4丁同仁,李承治,常微分方程教程M北京：高等教育出版社，2004.5朱乃明，李虹莉.常微分方程M重慶:西南師范大學(xué)出版社,2005.6 陳兆華,費仁允, 歐拉公式的證明與應(yīng)用J.數(shù)學(xué)通報,2005.7都長清，焦寶聰，焦炳照.常微分方程M北京：首都師范大學(xué)出版社，2001.8黃啟昌.常微分方程M北京：高等教育出版社，1982.9王克，潘家齊.常微分方程學(xué)習(xí)指導(dǎo)書M北京：高等教育出版社，2007.10田巍 ，李奇.二階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的特征根公式法J