畢業(yè)論文函數(shù)最值問題的求解方法

1、 高等教育自學考試本科生畢業(yè)論文函數(shù)最值問題的求解方法專專 業(yè)：業(yè)： 數(shù)數(shù) 學學 教教 育育 準考證號：準考證號： 070105100111070105100111 姓姓 名：名： 徐徐 妍妍 婕婕 指導教師：指導教師： 翟翟 昌昌 盛盛 完成時間：完成時間： 20132013 年年 1111 月月 2525 日日 高等教育自學考試本科生畢業(yè)論文- 2 -函數(shù)最值問題的求解方法摘 要 函數(shù)最值問題是數(shù)學領(lǐng)域中的重要研究內(nèi)容。它不僅僅只在教學中解決一些數(shù)學問題，而且經(jīng)常運用于解決實際問題。在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟管理和經(jīng)濟核算中，常常遇到一些解決在滿足一定條件下怎樣使產(chǎn)出最多、效益最高但投入最小等之類

2、的問題。生活中也時常會見到求用料最省、效率最高、利潤最大等問題。而這些生活和經(jīng)濟問題一般都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學中的函數(shù)類問題來分析研究，進而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最大（?。┲档膯栴}，即為函數(shù)的最值探討，這尤其對研究實際問題的人們來說尤為重要。而函數(shù)最值問題的解法包括一元函數(shù)和多元函數(shù)，同時也有初等與高等解法之分。本文主要通過從初等解法方面對一元函數(shù)最值問題進行研究，探討各種不同的求解方法，闡述函數(shù)最值問題研究的重要性，得到求解函數(shù)最值的幾種方法及求解時應(yīng)注意的一些問題. 關(guān)鍵詞 函數(shù) 最值 高等解法 初等解法 微分高等教育自學考試本科生畢業(yè)論文- 3 -目錄1 1 引言引言.- 4 -2 2 求函數(shù)最值的幾種

3、解法探討求函數(shù)最值的幾種解法探討.- 5 -2.1 判別式法.- 5 -2.2 配方法.- 6 -2.3 均值不等式法.- 6 -2.4 換元法.- 7 -2.5 三角函數(shù)法.- 8 -2.6 單調(diào)性法.- 9 -2.7 導數(shù)法.- 9 -3 3 求解函數(shù)最值時應(yīng)注意的一些問題求解函數(shù)最值時應(yīng)注意的一些問題.- 10 -3.1 注意定義域.- 10 -3.2 注意值域.- 11 -3.3 注意參變數(shù)的約束條件.- 12 -3.4 注意對判別式的運用.- 13 -3.5 注意均值不等式的運用.- 13 -4 4 函數(shù)最值在實際問題中的應(yīng)用函數(shù)最值在實際問題中的應(yīng)用.- 15 -4 4 結(jié)論結(jié)論.

4、- 19 -致謝致謝.- 20 -參考文獻參考文獻.- 21 -高等教育自學考試本科生畢業(yè)論文- 4 -1 1 引言引言函數(shù)是中學數(shù)學的主體內(nèi)容，貫穿于整個中學階段，而函數(shù)最值問題是函數(shù)的重要組成部分處理函數(shù)最值的過程就是實現(xiàn)未知向已知、新問題向舊問題以及復雜問題向簡單問題的轉(zhuǎn)化，雖然解決問題的具體過程不盡相同，但就其思維方式來講，通常是將待解決的問題通過一次又一次的轉(zhuǎn)化，直至劃歸為一類很容易解決或已解決的問題，從而獲得原問題的解答函數(shù)最值問題是一類特殊的數(shù)學問題，它在生產(chǎn)、科學研究和日常生活中有著廣泛的應(yīng)用，而且在中學數(shù)學教學中也占據(jù)著比較重要的位置，是近幾年數(shù)學競賽中的常見題型也是歷年高考

5、重點考查的知識點之一由于其綜合性強，解法靈活，故而解決這類問題，要掌握各數(shù)學分支知識，并能綜合運用各種所學知識技巧，靈活選擇合適的解題方法函數(shù)最值的定義：一般地，函數(shù)的最值分為最小值和最大值:設(shè)函數(shù)在處的函數(shù)值是 yf x0 x 0f x如果對于定義域內(nèi)任意，不等式都成立，那么叫做函數(shù)x 0f xf x 0f x的最小值，記作； yf x min0yf x如果對于定義域內(nèi)任意，不等式都成立，那么叫做函數(shù)x 0f xf x 0f x的最大值，記作. yf x max0yf x函數(shù)的最值一般有兩種特殊情況：（1）如果函數(shù)在上單調(diào)增加(減少)， 則是在上的最小0()f x , a b( )f a(

6、)f x , a b值(最大值)，是在上的最大值(最小值).( )f b( )f x , a b（2）如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個極大(小)值，而沒有極小(大)值，則此0()f x( , )a b極大(小)值就是函數(shù)在區(qū)間上的最大(小)值. , a b高等教育自學考試本科生畢業(yè)論文- 5 -2 2 求函數(shù)最值的幾種解法探討求函數(shù)最值的幾種解法探討2.1 判別式法對于某些特殊形式的函數(shù)的最值問題，經(jīng)過適當變形后，使函數(shù)出現(xiàn)在一( )f x個有實根的一元二次方程的系數(shù)中，然后利用一元二次方程有實根的充要條件來0 求出的最值.( )f x例例. . 求函數(shù)的最值.2(0)yaxbxc a解：解：

7、因為，所以， )0(2acbxaxy2()0axbxcy+-=而，所以有rx 0440)(422ayacbycab 244bacay abacyaabacya4404402max2min時，時，所以，當時，；0a abacy442min 當時，.0a 當或時，（設(shè)）22kx) 12( kxmaxyab=-+0a例例. . 求函數(shù)的最大值.sin cossincosyxxxx=+解：解：因為sin cossincosyxxxx=+ )2sin(sin2sin21xxx )4cos(4sin22sin21xx =)4cos(22sin21xx 當時，；4222kxkxmax(sin2 )1x=高等

8、教育自學考試本科生畢業(yè)論文- 9 - 當時， )( ,4zkkx1cos)44cos()4cos(kkx即，所以，當時，.1)4cos(maxx4 kxmax122y=+2.6 單調(diào)性法當自變量的取值范圍為一區(qū)間時，有時也用單調(diào)性法來求函數(shù)的最值在確定函數(shù)在指定區(qū)間上的最值時，首先要考慮函數(shù)在這個區(qū)間上的單調(diào)情況若函數(shù)在整個區(qū)間上是單調(diào)的，則該函數(shù)在區(qū)間端點上取得最值若函數(shù)在整個區(qū)間上不是單調(diào)的，則把該區(qū)間分成各個小區(qū)間，使得函數(shù)在每一個區(qū)間上是單調(diào)的，再求出各個小區(qū)間上的最值，從而可以得到整個區(qū)間上的最值5例例. . 設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，對任意、均有關(guān)系，( )f xxyr()( )( )f x

9、yf xf y若時，且求在上的最大值和最小值.x0( )0f x (1)2f ( )f x3,3解：解：先確定在上的單調(diào)性，設(shè)任意、且，則( )f x3,31x23,3x 12xx. .210 xx所以有212121()()()()()0f xf xf xfxf xx即. .21()()f xf x所以，在上是減函數(shù).( )f x3,3因此，的最大值是;( )f x( 3)(3)(2 1)fff (1)(1)(1)6fff 的最小值是. .( )f x(3)3 (1)6ff 高等教育自學考試本科生畢業(yè)論文- 10 -2.7 導數(shù)法設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上可導，則在上的最大值和( )f xab，()

10、ab，( )f xab，最小值為在內(nèi)的各極值與，中的最大值與最小值( )f x()ab，( )f a( )f b要求三次及三次以上的函數(shù)的最值，以及利用其他方法很難求的函數(shù)式的最值，通常都用該方法導數(shù)法往往就是最簡便的方法，應(yīng)該引起足夠重視例例. . 求函數(shù)，的最大值和最小值32( )362f xxxx=-+- 1 , 1x解：解：求導得.663)(2xxxf令，方程無解.0)(xf因為，所以函數(shù)在上時增函03) 1(3663)(22xxxxf( )f x 1 , 1x數(shù).故 當時，;1x =-min( )( 1)12fxf=-=- 當時，.1x =max( )(1)2fxf=綜上可知，函數(shù)最

11、值問題內(nèi)涵豐富，解法靈活.沒有通用的方法和固定模式，在解題時要因題而異，而且上述介紹的幾種求解方法也并非彼此孤立，而是相互聯(lián)系、相互滲透的，有時一個問題需要多法并舉，互為補充，有時一個題目又會有多種解法，函數(shù)的最值解題方法是靈活多樣性的，除了以上講的，還有很多種方法，如：消元法、數(shù)形結(jié)合法、復數(shù)法、幾何法、待定系數(shù)法、萬能公式法等等.因此，解題的關(guān)鍵在分析和思考，因題而異地選擇恰當?shù)慕忸}方法，減少解題時間高等教育自學考試本科生畢業(yè)論文- 11 -3 3 求解函數(shù)最值時應(yīng)注意的一些問題求解函數(shù)最值時應(yīng)注意的一些問題3.1 注意定義域遇到求最值問題的時候，我們切記在求解的過程當中，要注意觀察定義域

12、的變化情況，在最初解題之時，應(yīng)當先把函數(shù)的定義域確定；在解題過程中，當函數(shù)變形時注意定義域是否發(fā)生改變，如果又引入新變量也要確定這個變量的取值范圍，以免在后面的求解過程中出現(xiàn)錯誤；在解題結(jié)束時，必須檢驗所求得的使函數(shù)取得最值的自變量是否包含在定義域的范圍內(nèi)例例. . 求函數(shù)的最值.12xyx-=-錯解：錯解：將兩邊同時平方并去分母得.12xyx-=-2222(41)410y xyxy-+-=因為，所以，化簡得.rx0) 14(4) 14(2222yyy142y所以，故，.2121ymin12y=-max12y=分析：分析：這個答案致錯原因是兩邊平方及去分母，使函數(shù)的定義域擴大了.正解：正解：將

13、兩邊平方并去分母，得.12xyx-=-2222(41)410y xyxy-+-=因為，所以，化簡得.rx0) 14(4) 14(2222yyy142y所以，注意到原函數(shù)的定義域是，則有，2121y1x01 x20 x-0y 所以可知原函數(shù)最小值.最大值由前面分析可知即為.min0y=12高等教育自學考試本科生畢業(yè)論文- 14 -3.5 注意均值不等式的運用注意當且僅當這些正數(shù)相等時，它們的積(和)才能取大(小)值.1例例. . 求函數(shù)的最小值.23(0)yxxx=+錯解：錯解：因為，所以，于是0 x 20 x 10 x20 x3222213213xxxxxxxxy 33 2=所以的最小值是.y

14、33 2分析：分析：上面解法錯誤，是沒有注意到當且僅當時，函數(shù)才能取得最212xxx=y小值，但顯然不等于，所以不能取.1x2xy33 2對均值不等式中等號成立的條件生搬硬套2例例. . 已知，且，求的最小值，并求的最小值時rzyx,1231xyz+=xyzxyz的，的值.xyz錯解：錯解：因為，rzyx,所以，從而，rzyx32106332133211333xyzzyxzyx16333xyz，當且僅當時，上式取等號，又，所以當3363xyz162xyzxyz=1231xyz+=且僅當時，有最小值 162.6xyz=xyz分析：分析：上面解法錯誤，是對均值不等式中等號成立的條件沒有理解而直接套

15、用高等教育自學考試本科生畢業(yè)論文- 15 -的結(jié)果，事實上，當時，不等于 162.正確的解法是：在6xyz=36216xyz =，即中，等號當且僅當，即，162xyz33213321zyxzyx12313xyz+=3x =，時成立，所以當，時，有最小值 162.6y =9z =3x =6y =9z =xyz連續(xù)進行幾次不等式變形，并且各次不等式中的等號不能同時成立而造成的錯3誤例例. . 已知，且，求的最小值.ryx,141xy+=xy+錯解：錯解：因為，所以，則，所以ryx,24121410yxyx16xy，因此的最小值是 8.81622xyyxxy+分析：分析：上面解法中，連續(xù)進行了兩次不

16、等變形：與xyyx2，且這兩次不等式中的等號不能同時成立，第一個不等式當且僅當2412141yxyx時等號成立，第二個是當且僅當即，時等號成立，因此xy=1412xy=2x =8y =不可能等于 8.事實上，題中的依然可以由替換，從而將轉(zhuǎn)化成關(guān)于的xy+yxxy+x函數(shù)：23( )1xxf xx+=-(1)(4)41xxx-+=-441xx=+ +- .4141xx=-+-由題意知，所以運用均值不等式即可求得該函數(shù)最小值,1x 即當時取最小值，求得，符合題意.所以最小值為 9.411xx-=-3x =6y =高等教育自學考試本科生畢業(yè)論文- 16 -4 函數(shù)最值在實際問題中的應(yīng)用例例 1.1.

17、 某工廠要建造一個長方形無蓋儲水池，其容積為 4800，深為，如果3m33m池底每平方米的造價為 150 元，池壁每平方米的造價為 120 元,怎樣設(shè)計水池能使總造價最低？最低總造價是多少？分析：分析：從題中分析可以得出，水池高度已知，進而問題轉(zhuǎn)化為求池壁的長和寬的問題，從而確定取什么值使總造價最低.即涉及到兩個變量，因為池壁的長和寬不可能為負數(shù)，由此我們可以想到利用均值不等式來求解.解：解：設(shè)底面的長為,寬為，水池的總造價為元.xmymz根據(jù)題意有：，由容積為)(720240000)3232(12034800150yxyxz4800，可得，因此，.由均值不等式與不等式的性質(zhì)，可得： 3m34

18、800 xy =1600 xy =xyyx2720240000)(720240000即 .160002720240000z297600=當，即時，等號成立.所以，將水池的地面設(shè)計成邊長為 40的正xy=40 xy=m方體時總造價最低，最低總造價是 297600 元.例例 2.2. 某工廠 2003 年的純收入為 500 萬元，因設(shè)備老化等原因，工廠的生產(chǎn)能力將逐年下降.如果不對技術(shù)進行改造,從今年起預計每年將比上一年減少純收入 20 萬元, 所以今年年初該工廠為了進行技術(shù)改造，一次性投入資金 600 萬元，預計在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第年（第一年從今年算起）的利潤為萬元（為正n1500(

19、1)2n+n整數(shù)）.設(shè)從第一年起的前年，如果該工廠不進行技術(shù)改造的累計純收入為萬元，nna進行技術(shù)改造后的累計純收入為萬元（須扣除技術(shù)改造資金） ，則從今年起該工廠至nb少經(jīng)過多少年，進行技術(shù)改造后的累計純收入超過不進行技術(shù)改造的累計純收入？分析：分析：首先根據(jù)題意寫出、的nanb高等教育自學考試本科生畢業(yè)論文- 17 -表達式，可知它們都為數(shù)學上一個簡單的數(shù)列求和問題.繼而對它們作差就建立起一個函數(shù)關(guān)系式，即轉(zhuǎn)化為數(shù)學上的函數(shù)最值問題,再利用合適的方法進行求解即可.解：解：依題設(shè)有(50020)(50040)+(50020 )nan=-+-+-249010nn=- .2111500(1)(1

20、)(1) 600222nnb =+-5005001002nn=- 則2500(500100)(49010)2nnnbannn-=- 250010101002nnn=+- .5010 (1)102nn n=+-因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以50(1)102xyx x=+-), 0( 當時，；31 n0108501210250) 1(nnn當時，.4n01016502010250) 1(nnn所以，僅當時，.即至少要經(jīng)過 4 年，該企業(yè)進行技術(shù)改造后的累計4nnnba純利潤超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤. 例例 3.3. 某公司為資助尚有 26.8 萬元無息貸款尚未償還的化妝品商店，借出 20 萬元將

21、該店鋪改造成經(jīng)營狀況良好的某體育用品專賣店，并約好用該店賺取的利潤逐步對債務(wù)進行償還(全部債務(wù)均不算利息)已知該體育用品的進價為 40 元/件；該店月銷量(百件)與售價(元/件)之間的關(guān)系可用右圖qp(圖一)的一條折線表示；員工的月工資為 600 元/人，該店還需交納的其他費用為 13200 元/月 (1)若售價為 52 元/件時，該店正好收支平p衡，求該店的員工有多少；pq16024405881高等教育自學考試本科生畢業(yè)論文- 18 -(2)若該店只招聘了 40 名員工，則該店最快可在幾年后把所有債務(wù)還清，此時每件體育用品的價格定為多少元？分析：分析：由題中給出的圖可以看出，我們可以把它看做

22、是在閉區(qū)間上的一個分段函數(shù)問題，從而轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，利用函數(shù)圖象所表示的幾何意義，借助于幾何圖形的直觀性來求分段函數(shù)最值問題 解：解：(1)設(shè)該店的月利潤為元，有職工名.sm40(mpqs又由圖可知： )8158(82)5840(1402ppppq所以， )815840)(80()584040)(1402(pmpppmpps由此知，當 時，即，解52p =0s =013200600100)40)(1402(mpp得，即此時該店有 50 名職工.50m =(2)若該店只安排 40 名職工，則月利潤)8158(37200

23、100)40)(80()5840(37200100)40)(1402(pppppps當時，求得時，取最大值 7800 元；5840 p55p =s當時，求得時，取最大值 6900 元8158 p61p =s綜上，當時，有最大值 7800 元55p =s設(shè)該店最早可在 n 年后還清債務(wù)，依題意，有，0200000268000780012n解得5n所以，該店最早可在 5 年后還清債務(wù)， 此時消費品的單價定為 55 元圖一高等教育自學考試本科生畢業(yè)論文- 19 -由此我們可以總結(jié)出實際問題利用函數(shù)求最值的一般步驟： (1)分析實際問題中各量之間的關(guān)系，正確選擇自變量和因變量，找準等量關(guān)系，把實際問題化為數(shù)學問題，建立函數(shù)關(guān)系式，這是關(guān)鍵一步；(2)確定函數(shù)定義域，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式，選擇合適的求解方法；(3)求出滿足條件的定義域范圍，結(jié)合實際，確定最值或最值點.4 4 結(jié)結(jié)論論本文簡單的介紹了幾種有關(guān)求函數(shù)最值問題的解法，以及在解題時需要注意的一些問題，告訴我們在解題時要學會分析思考，選擇合適的解法，盡量用簡便的方法快速地解答出問題，通過幾個在實例問題中的運用分析，學好函數(shù)最值的求解方法是至關(guān)重要的,通過它可以解決科技、經(jīng)濟、