備考2022數(shù)學專題05 分式方程（解析版）

1、決勝2021中考數(shù)學壓軸題全揭秘精品專題05分式方程及應用【考點1】解分式方程【例1】（2020·湖南郴州·中考真題）解方程：【答案】x=3【解析】【分析】觀察可得方程最簡公分母為(x2-1)，去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程求解，結(jié)果要檢驗【詳解】解：去分母得， 解得，x=3，經(jīng)檢驗，x=3是原方程的根，所以，原方程的根為：x=3【點睛】（1）解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要檢驗【變式1-1】（2020·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）解方程：.【答案】.【解析】【分析】首先去掉分母，觀察可得最簡公分母是x（x2

2、），方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，然后解一元一次方程，最后檢驗即可求解【詳解】去分母，得，去括號，得，移項，合并同類項，得，化x的系數(shù)為1，得，經(jīng)檢驗，是原方程的根，原方程的解為【點睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟以及注意事項是解題的關(guān)鍵【變式1-2】（2020·山東莘縣·初三學業(yè)考試）解方程：【答案】原方程無解【解析】【分析】觀察可得最簡公分母是（x1）（x+1），方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解【詳解】解：方程的兩邊同乘（x1）（x+1），得，解得x=1檢驗：把x=1代入（x1）（x+1）=0所以原方程的

3、無解【點睛】本題考查解分式方程【考點2】已知分式方程的解，求字母參數(shù)的值【例2】（2020·臨潭縣第二中學初三二模）若x=4是分式方程的根，則a的值為a6b6c4d4【答案】a【解析】【分析】把x=4代入方程進行求解即可.【詳解】由題意得：=，解得：a=6，故選a.【點睛】本題考查了分式方程的解，熟練掌握分式方程解的意義是解題的關(guān)鍵.【變式2-1】若關(guān)于x的分式方程m-3x-1=1的解為x2，則m的值為（）a5b4c3d2【答案】b【解析】關(guān)于x的分式方程m-3x-1=1的解為x2，xm22，解得：m4故選：b點睛：此題主要考查了分式方程的解，正確解方程是解題關(guān)鍵【考點3】分式方程的

4、特殊解問題【例3】（2020·四川眉山·中考真題）關(guān)于的分式方程的解為正實數(shù)，則的取值范圍是_【答案】且【解析】【分析】利用解分式方程的一般步驟解出方程，根據(jù)題意列出不等式，解不等式即可【詳解】解：方程兩邊同乘（x-2）得，1+2x-4=k-1，解得，且故答案為：且【點睛】本題考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步驟、分式方程無解的判斷方法是解題的關(guān)鍵【變式3-1】（2020·四川廣元·中考真題）關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍是_【答案】m<2且m0【解析】【分析】首先解方程求得方程的解，根據(jù)方程的解是正數(shù)，

5、即可得到一個關(guān)于m的不等式，從而求得m的范圍【詳解】解：去分母得：m+4x-2=0，解得：x，關(guān)于x的分式方程的解是正數(shù)，0，m<2，2x-10，m0，m的取值范圍是m<2且m0故答案為：m<2且m0【點睛】本題主要考查了分式方程的解的符號的確定，正確求解分式方程是解題的關(guān)鍵【變式3-2】（2020·湖北荊門·中考真題）已知關(guān)于x的分式方程的解滿足，且k為整數(shù)，則符合條件的所有k值的乘積為（ ）a正數(shù)b負數(shù)c零d無法確定【答案】a【解析】【分析】先解出關(guān)于x的分式方程得到x=，代入求出k的取值，即可得到k的值，故可求解【詳解】關(guān)于x的分式方程得x=，解得-

6、7k14整數(shù)k為-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，又分式方程中x2且x-3k35且k0所有符合條件的k中，含負整數(shù)6個，正整數(shù)13個，k值的乘積為正數(shù),故選a【點睛】此題主要考查分式方程與不等式綜合，解題的關(guān)鍵是熟知分式方程的求解方法【考點4】分式方程的無解（增根）問題【例4】（2020·山東濰坊·中考真題）若關(guān)于x的分式方程有增根，則_【答案】【解析】【分析】先把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，然后由分式方程有增根求出的值，代入到轉(zhuǎn)化以后的整式方程中計算即可求出的值【詳解】解：去分母得：，整理得：，關(guān)于的分式

7、方程有增根，即，把代入到中得：，解得：，故答案為：【點睛】本題主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最簡公分母為零的未知數(shù)的值；解決此類問題的步驟：化分式方程為整式方程；讓最簡公分母等于零求出增根的值；把增根代入到整式方程中即可求得相關(guān)字母的值【變式4-1】（2020·四川遂寧·中考真題）關(guān)于x的分式方程1有增根，則m的值（）am2bm1cm3dm3【答案】d【解析】【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根，確定出m的值即可【詳解】解：去分母得：m+3x2，由分式方程有增根，得到x20，即x2，把x2代入整式方程得：m+30，解得：m3，故選：d【點睛】此題

8、考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進行：化分式方程為整式方程；把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值【考點5】分式方程的應用問題【例5】（2020·吉林長春·中考真題）在國家精準扶貧的政策下，某村企生產(chǎn)的黑木耳獲得了國家綠色食品標準認證，綠標的認證，使該村企的黑木耳在市場上更有競爭力，今年每斤黑木耳的售價比去年增加了20元預計今年的銷量是去年的3倍，年銷售額為360萬元已知去年的年銷售額為80萬元，問該村企去年黑木耳的年銷量為多少萬斤？【答案】2萬斤【解析】【分析】由題意設(shè)該村企去年黑木耳的年銷量為x萬斤，則今年黑木耳的年銷量為3x萬斤，根據(jù)單價=總價÷

9、數(shù)量結(jié)合今年每斤黑木耳的售價比去年增加了20元，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論【詳解】解：設(shè)該村企去年黑木耳的年銷量為萬斤依題意得解得：經(jīng)檢驗是原方程的根，且符合題意答：該村企去年黑木耳的年銷量為2萬斤【點睛】本題考查分式方程的應用，根據(jù)題意找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵【變式5-1】（2020·江蘇泰州·中考真題）近年來，我市大力發(fā)展城市快速交通，小王開車從家到單位有兩條路線可選擇，路線為全程的普通道路，路線包含快速通道，全程，走路線比走路線平均速度提高，時間節(jié)省，求走路線的平均速度【答案】75km/h【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)走線路a的

10、平均速度為，則線路b的速度為，由等量關(guān)系列出方程，解方程即可得到答案【詳解】解：設(shè)走線路a的平均速度為，則線路b的速度為，則，解得：，檢驗：當時，是原分式方程的解；走路線的平均速度為：（km/h）；【點睛】本題考查分式方程的應用，以及理解題意的能力，解題的關(guān)鍵是以時間做為等量關(guān)系列方程求解【變式5-2】（2020·貴州黔西·中考真題）“節(jié)能環(huán)保，綠色出行”意識的增強，越來越多的人喜歡騎自行車出行，也給自行車商家?guī)砩虣C某自行車行經(jīng)營的a型自行車去年銷售總額為8萬元今年該型自行車每輛售價預計比去年降低200元若該型車的銷售數(shù)量與去年相同，那么今年的銷售總額將比去年減少10%，

11、求：（1）a型自行車去年每輛售價多少元；（2）該車行今年計劃新進一批a型車和新款b型車共60輛，且b型車的進貨數(shù)量不超過a型車數(shù)量的兩倍已知，a型車和b型車的進貨價格分別為1500元和1800元，計劃b型車銷售價格為2400元，應如何組織進貨才能使這批自行車銷售獲利最多【答案】(1) 2000元；（2） a型車20輛，b型車40輛【解析】【分析】（1）設(shè)去年a型車每輛售價x元，則今年售價每輛為（x200）元，由賣出的數(shù)量相同列出方程求解即可；（2）設(shè)今年新進a型車a輛，則b型車（60a）輛，獲利y元，由條件表示出y與a之間的關(guān)系式，由a的取值范圍就可以求出y的最大值【詳解】解：（1）設(shè)去年a型

12、車每輛售價x元，則今年售價每輛為（x200）元，由題意，得，解得：x=2000經(jīng)檢驗，x=2000是原方程的根答：去年a型車每輛售價為2000元；（2）設(shè)今年新進a型車a輛，則b型車（60a）輛，獲利y元，由題意，得y=a+（60a），y=300a+36000b型車的進貨數(shù)量不超過a型車數(shù)量的兩倍，60a2a，a20y=300a+36000k=3000，y隨a的增大而減小a=20時，y最大=30000元b型車的數(shù)量為：6020=40輛當新進a型車20輛，b型車40輛時，這批車獲利最大【點睛】本題考查分式方程的應用；一元一次不等式的應用1（2020·四川廣元·中考真題）按照如

13、圖所示的流程，若輸出的，則輸入的m為（ ）a3b1c0d-1【答案】c【解析】【分析】根據(jù)題目中的程序，利用分類討論的方法可以分別求得m的值，從而可以解答本題【詳解】解：當m2-2m0時，解得m=0，經(jīng)檢驗，m=0是原方程的解，并且滿足m2-2m0，當m2-2m0時，m-3=-6，解得m=-3，不滿足m2-2m0，舍去故輸入的m為0故選：c【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運算的計算方法2（2020·甘肅初三一模）關(guān)于x的分式方程的解為負數(shù)，則a的取值范圍是abc且d且【答案】d【解析】【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，表示出整式方程的解，根據(jù)分式方

14、程解為負數(shù)列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可確定出a的范圍【詳解】分式方程去分母得：，即，因為分式方程解為負數(shù)，所以，且，解得：且，故選d【點睛】本題考查了分式方程的解，熟練掌握解分式方程的一般步驟及注意事項是解題的關(guān)鍵.注意在任何時候都要考慮分母不為03（2020·四川宜賓·中考真題）學校為了豐富學生的知識，需要購買一批圖書，其中科普類圖書平均每本的價格比文學類圖書平均每本的價格多8元，已知學校用15000元購買科普類圖書的本數(shù)與用12000元購買文學書的本數(shù)相等，設(shè)文學類圖書平均每本x元，則列方程正確的是（ ）abcd【答案】b【解析】【分析】設(shè)文學類圖書平均每本

15、x元，根據(jù)購買的書本數(shù)相等即可列出方程【詳解】設(shè)文學類圖書平均每本x元，依題意可得故選b【點睛】此題主要考查分式方程的應用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系列方程4（2020·遼寧朝陽·中考真題）某體育用品商店出售毽球，有批發(fā)和零售兩種售賣方式，小明打算為班級購買鍵球，如果給每個人買一個毽球，就只能按零售價付款，共需80元；如果小明多購買5個毽球，就可以享受批發(fā)價，總價是72元已知按零售價購買40個毽球與按批發(fā)價購買50個毽球付款相同，則小明班級共有多少名學生？設(shè)班級共有x名學生，依據(jù)題意列方程得（ ）abcd【答案】b【解析】【分析】根據(jù)“按零售價購買40個毽球與按批發(fā)價

16、購買50個毽球付款相同”建立等量關(guān)系，分別找到零售價與批發(fā)價即可列出方程【詳解】設(shè)班級共有x名學生，依據(jù)題意列方程得，故選：b【點睛】本題主要考查列分式方程，讀懂題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵5（2020·遼寧鞍山·中考真題）甲、乙兩人加工某種機器零件，已知每小時甲比乙少加工6個這種零件，甲加工240個這種零件所用的時間與乙加工300個這種零件所用的時間相等，設(shè)甲每小時加工x個零件，所列方程正確的是（ ）abcd【答案】b【解析】【分析】根據(jù)“甲加工240個這種零件所用的時間與乙加工300個這種零件所用的時間相等”，列出方程即可【詳解】解：根據(jù)題意得：，故選b【點睛】本題考查

17、了由實際問題抽象出分式方程，找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵6（2020·湖北荊門·中考真題）已知關(guān)于x的分式方程的解滿足，且k為整數(shù)，則符合條件的所有k值的乘積為（ ）a正數(shù)b負數(shù)c零d無法確定【答案】a【解析】【分析】先解出關(guān)于x的分式方程得到x=，代入求出k的取值，即可得到k的值，故可求解【詳解】關(guān)于x的分式方程得x=，解得-7k14整數(shù)k為-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，又分式方程中x2且x-3k35且k0所有符合條件的k中，含負整數(shù)6個，正整數(shù)13個，k值的乘積為正數(shù),故選a【點睛】此

18、題主要考查分式方程與不等式綜合，解題的關(guān)鍵是熟知分式方程的求解方法7（2020·重慶市教科院巴蜀實驗學校）關(guān)于x的方程的解為正數(shù)，則k的取值范圍是（ ）abc且d且【答案】c【解析】【分析】先對分式方程去分母，再根據(jù)題意進行計算，即可得到答案.【詳解】解：分式方程去分母得：，解得：，根據(jù)題意得：，且，解得：，且故選c【點睛】本題考查分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的求解方法.8（2018·四川巴中·中考真題）若分式方程有增根，則實數(shù)a的取值是（）a0或2b4c8d4或8【答案】d【解析】【分析】先把分式方程化為整式方程，確定分式方程的增根，代入計算即可【詳解】解

19、：方程兩邊同乘x（x2），得3xa+x=2（x2），由題意得，分式方程的增根為0或2，當x=0時，a=4，解得，a=4，當x=2時，6a+2=0，解得，a=8，故選d【點睛】本題考查的是分式方程的增根，增根的定義：在分式方程變形時，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根9（2020·山東濟南·中考真題）代數(shù)式與代數(shù)式的值相等，則x_【答案】7【解析】【分析】根據(jù)題意列出分式方程，去分母，解整式方程，再檢驗即可得到答案【詳解】解：根據(jù)題意得：，去分母得：3x92x2，解得：x7，

20、經(jīng)檢驗x7是分式方程的解故答案為：7【點睛】本題考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵10（2020·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）分式與的最簡公分母是_，方程的解是_【答案】 x=-4 【解析】【分析】根據(jù)最簡公分母的定義得出結(jié)果，再解分式方程，檢驗，得解【詳解】解：，分式與的最簡公分母是，方程，去分母得：，去括號得：，移項合并得：，變形得：，解得：x=2或-4，當x=2時，=0，當x=-4時，0，x=2是增根，方程的解為：x=-4【點睛】本題考查了最簡公分母和解分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的解法11（2020·廣東廣州·中考真題）方程的

21、解是_【答案】【解析】【分析】根據(jù)分式方程的解法步驟解出即可【詳解】左右同乘2(x+1)得: 2x=3解得x=經(jīng)檢驗x=是方程的跟故答案為: 【點睛】本題考查解分式方程,關(guān)鍵在于熟練掌握分式方程的解法步驟12（2020·黃岡市啟黃中學初三二模）關(guān)于的分式方程的解為非負數(shù)，則的取值范圍為_【答案】且【解析】【分析】根據(jù)解分式方程的方法和方程的解為非負數(shù)，可以求得的取值范圍【詳解】解：，方程兩邊同乘以，得，去括號，得，移項及合并同類項，得，關(guān)于的分式方程的解為非負數(shù)，解得，且，故答案為：且【點睛】本題主要考查根據(jù)分式方程的根求解參數(shù)，難度系數(shù)稍微有點大，但是是必考點.13（2020

22、83;山東樂陵·初三二模）若關(guān)于x的分式方程=2a無解，則a的值為_【答案】1或 【解析】分析：直接解分式方程，再利用當1-2a=0時，當1-2a0時，分別得出答案詳解：去分母得：x-3a=2a（x-3），整理得：（1-2a）x=-3a，當1-2a=0時，方程無解，故a=；當1-2a0時，x=3時，分式方程無解，則a=1，故關(guān)于x的分式方程=2a無解，則a的值為：1或故答案為1或點睛：此題主要考查了分式方程的解，正確分類討論是解題關(guān)鍵14（2020·四川內(nèi)江·中考真題）若數(shù)a使關(guān)于x的分式方程的解為非負數(shù)，且使關(guān)于y的不等式組的解集為，則符合條件的所有整數(shù)a的積為

23、_【答案】40【解析】【分析】根據(jù)分式方程的解為正數(shù)即可得出a5且a3，根據(jù)不等式組的解集為，即可得出a>0，找出0<a5且a3中所有的整數(shù)，將其相乘即可得出結(jié)論【詳解】解：分式方程的解為x=且x1，分式方程的解為非負數(shù)，且1.a5且a3.解不等式，得.解不等式，得y<a.關(guān)于y的不等式組的解集為，a>0.0<a5且a3.又a為整數(shù)，則a的值為1，2，4，5.符合條件的所有整數(shù)a的積為.故答案為：40.【點睛】本題考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根據(jù)分式方程的解為正數(shù)結(jié)合不等式組的解集為，找出a的取值范圍是解題的關(guān)鍵15（2020·黑龍江大慶&#

24、183;中考真題）解方程：【答案】3【解析】【分析】去分母化成整式方程，求出x后需要驗證，才能得出結(jié)果；【詳解】，去分母得：，解得：檢驗：把代入中，得，是分式方程的根【點睛】本題主要考查了分式方程的求解，準確計算是解題的關(guān)鍵16（2020·陜西中考真題）解分式方程：【答案】x【解析】【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解【詳解】解：方程，去分母得：x24x+43xx22x，移項得：-5x=-4，系數(shù)化為1得：x，經(jīng)檢驗x是分式方程的解【點睛】本題考查了解分式方程利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程要注意檢驗17（2020·湖南中

25、考真題）第5代移動通信技術(shù)簡稱5g，某地已開通5g業(yè)務，經(jīng)測試5g下載速度是4g下載速度的15倍，小明和小強分別用5g與4g下載一部600兆的公益片，小明比小強所用的時間快140秒，求該地4g與5g的下載速度分別是每秒多少兆？【答案】該地4g的下載速度是每秒4兆，則該地5g的下載速度是每秒60兆【解析】【分析】首先設(shè)該地4g的下載速度是每秒x兆，則該地5g的下載速度是每秒15x兆，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：4g下載600兆所用時間5g下載600兆所用時間140秒然后根據(jù)等量關(guān)系，列出分式方程，再解即可【詳解】解：設(shè)該地4g的下載速度是每秒x兆，則該地5g的下載速度是每秒15x兆，由題意得：140，

26、解得：x4，經(jīng)檢驗：x4是原分式方程的解，且符合題意，15x =15×460，答：該地4g的下載速度是每秒4兆，則該地5g的下載速度是每秒60兆【點睛】本題主要考察的是分式方程的應用；解答此題，首先確定5g與4g下載的速度關(guān)系，在根據(jù)題意找出下載600兆的公益片所用時間的等量關(guān)系，是解答此題的關(guān)鍵18（2020·遼寧丹東·中考真題）為幫助貧困山區(qū)孩子學習，某學校號召學生自愿捐書，已知七、八年級同學捐書總數(shù)都是1800本，八年級捐書人數(shù)比七年級多150人，七年級人均捐書數(shù)量是八年級人均捐書數(shù)量的1.5倍，求八年級捐書人數(shù)是多少？【答案】八年級捐書人數(shù)是450人【解析

27、】【分析】設(shè)七年級捐書人數(shù)為x，則八年級捐書人數(shù)為（x+150），根據(jù)七年級人均捐書數(shù)量是八年級人均捐書數(shù)量的1.5倍，列出方程求解并檢驗即可【詳解】設(shè)七年級捐書人數(shù)為x，則八年級捐書人數(shù)為（x+150），根據(jù)題意得，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解， x+150=400+150=450，答：八年級捐書人數(shù)是450人【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列出方程求解并檢驗19（2020·山東淄博·中考真題）如圖，著名旅游景區(qū)b位于大山深處，原來到此旅游需要繞行c地，沿折線acb方可到達當?shù)卣疄榱嗽鰪娋皡^(qū)的吸引力，發(fā)

28、展壯大旅游經(jīng)濟，修建了一條從a地到景區(qū)b的筆直公路請結(jié)合a45°，b30°，bc100千米，1.4，1.7等數(shù)據(jù)信息，解答下列問題：（1）公路修建后，從a地到景區(qū)b旅游可以少走多少千米？（2）為迎接旅游旺季的到來，修建公路時，施工隊使用了新的施工技術(shù)，實際工作時每天的工效比原計劃增加25%，結(jié)果提前50天完成了施工任務求施工隊原計劃每天修建多少千米？【答案】（1）從a地到景區(qū)b旅游可以少走35千米；（2）施工隊原計劃每天修建0.14千米【解析】【分析】【詳解】解：（1）過點c作ab的垂線cd，垂足為d，在直角bcd中，abcd，sin30°，bc1000千米，cd

29、bcsin30°100×50（千米），bdbccos30°100×50（千米），在直角acd中，adcd50（千米），ac50（千米），ab50+50（千米），ac+bcab50+100（50+50）50+505035（千米）答：從a地到景區(qū)b旅游可以少走35千米；（2）設(shè)施工隊原計劃每天修建x千米，依題意有，50，解得x0.14，經(jīng)檢驗x0.14是原分式方程的解答：施工隊原計劃每天修建0.14千米（1）過點c作ab的垂線cd，垂足為d，在直角bcd中，解直角三角形求出cd的長度和bd的長度，在直角acd中，解直角三角形求出ad的長度和ac的長度，再求出ab的長度，進而求出從a地到景區(qū)b旅游可以少走多少千米；（2）本題先由題意找出等量關(guān)系即原計劃的工作時間實際的工作時間50，然