備考2022數(shù)學(xué)專題17 全等三角形判定與性質(zhì)定理（解析版）

1、專題17 全等三角形判定與性質(zhì)定理1.基本概念（1）全等形：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.（2）全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形. （注意對應(yīng)的頂點寫在對應(yīng)的位置上）（3）對應(yīng)頂點：全等三角形中互相重合的頂點叫做對應(yīng)頂點.（4）對應(yīng)邊：全等三角形中互相重合的邊叫做對應(yīng)邊.（5）對應(yīng)角：全等三角形中互相重合的角叫做對應(yīng)角.2全等三角形的表示全等用符號“”表示，讀作“全等于”。如abcdef，讀作“三角形abc全等于三角形def”。注：記兩個全等三角形時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。3全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等。4三角形全等的判定定理（

2、1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“sas”）（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“asa”）（3）邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“sss”）。（4）角角邊定理：兩角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（簡寫成aas）.5直角三角形全等的判定：hl定理：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“hl”）【例題1】（2020甘孜州）如圖，等腰abc中，點d，e分別在腰ab，ac上，添加下列條件，不能判定abeacd的是（）aadae

3、bbecdcadcaebddcbebc【答案】b【解析】利用等腰三角形的性質(zhì)得abcacb，abac，然后根據(jù)全等三角形的判定方法對各選項進(jìn)行判斷abc為等腰三角形，abcacb，abac，當(dāng)adae時，則根據(jù)“sas”可判斷abeacd；當(dāng)aebadc，則根據(jù)“aas”可判斷abeacd；當(dāng)dcbebc，則abeacd，根據(jù)“asa”可判斷abeacd【對點練習(xí)】如圖，已知abc=dcb，添加以下條件，不能判定abcdcb的是（）aa=d bacb=dbc cac=db dab=dc【答案】c【解析】全等三角形的判定方法有sas，asa，aas，sss，根據(jù)定理逐個判斷即可aa=d，abc=

4、dcb，bc=bc，符合aas，即能推出abcdcb，故本選項錯誤；babc=dcb，bc=cb，acb=dbc，符合asa，即能推出abcdcb，故本選項錯誤；cabc=dcb，ac=bd，bc=bc，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出abcdcb，本選項正確；dab=dc，abc=dcb，bc=bc，符合sas，即能推出abcdcb，故本選項錯誤?！纠}2】（2020北京）如圖，在abc中，abac，點d在bc上（不與點b，c重合）只需添加一個條件即可證明abdacd，這個條件可以是 （寫出一個即可）【答案】bdcd【解析】由題意可得abcacd，abac，即添加一組邊對應(yīng)相等，可證a

5、bd與acd全等abac，abdacd，添加bdcd，在abd與acd中ab=acabd=acdbd=cd，abdacd（sas），【對點練習(xí)】（2019齊齊哈爾）如圖，已知在abc和def中，be，bfce，點b、f、c、e在同一條直線上，若使abcdef，則還需添加的一個條件是 （只填一個即可）【答案】abde【解析】添加abde；bfce，bcef，在abc和def中，abcdef（sas）【例題3】（2020菏澤）如圖，在abc中，acb90°，點e在ac的延長線上，edab于點d，若bced，求證：cedb【答案】見解析。【解析】由“aas”可證abcaed，可得aeab，

6、acad，由線段的和差關(guān)系可得結(jié)論證明：edab，adeacb90°，aa，bcde，abcaed（aas），aeab，acad，cebd【對點練習(xí)】如圖，點a、d、c、f在同一條直線上，ad=cf，ab=de，bc=ef（1）求證：abcdef；（2）若a=55°，b=88°，求f的度數(shù)【答案】見解析?！窘馕觥壳蟪鯽c=df，根據(jù)sss推出abcdef由（1）中全等三角形的性質(zhì)得到：a=edf，進(jìn)而得出結(jié)論即可證明：（1）ac=ad+dc，df=dc+cf，且ad=cfac=df在abc和def中，abcdef（sss）（2）由（1）可知，f=acba=55&#

7、176;，b=88°acb=180°（a+b）=180°（55°+88°）=37°f=acb=37°一、選擇題1（2020鄂州）如圖，在aob和cod中，oaob，ocod，oaoc，aobcod36°連接ac，bd交于點m，連接om下列結(jié)論：amb36°，acbd，om平分aod，mo平分amd其中正確的結(jié)論個數(shù)有（）個a4b3c2d1【答案】b【分析】由sas證明aocbod得出ocaodb，acbd，正確；由全等三角形的性質(zhì)得出ocaodb，由三角形的外角性質(zhì)得：cmd+ocacod+odb，得出c

8、mdcod36°，ambcmd36°，正確；作ogam于g，ohdm于h，如圖所示：則ogaohb90°，由aas證明ogaohb（aas），得出ogoh，由角平分線的判定方法得出om平分amd，正確；假設(shè)om平分aod，則domaom，由全等三角形的判定定理可得amoomd，得aood，而ocod，所以oaoc，而oaoc，故錯誤；即可得出結(jié)論【解析】aobcod36°，aob+boccod+boc，即aocbod，在aoc和bod中，oa=obaoc=bodoc=od aocbod（sas），ocaodb，acbd，故正確；ocaodb，由三角形的外

9、角性質(zhì)得：cmd+ocacod+odb，得出cmdcod36°，ambcmd36°，故正確；作ogam于g，ohdm于h，如圖所示，則ogaohb90°，在oga和ohb中，oga=ohb=90°oag=obhoa=ob，ogaohb（aas），ogoh，om平分amd，故正確；假設(shè)om平分aod，則domaom，在amo與dmo中，aom=domom=omamd=dmo，amoomd（asa），aood，ocod，oaoc，而oaoc，故錯誤；正確的個數(shù)有3個.2.如圖，若abcdef，a=45°，f=35°，則e等于（）a35&#

10、176; b45° c60° d100°【答案】d【解析】abcdef，a=45°，f=35°d=a=45°e=180°df=100°3.（2020安順模擬）如圖，點d，e分別在線段ab，ac上，cd與be相交于o點，已知ab=ac，現(xiàn)添加以下的哪個條件仍不能判定abeacd（）ab=cbad=aecbd=cedbe=cd【答案】d【解析】欲使abeacd，已知ab=ac，可根據(jù)全等三角形判定定理aas、sas、asa添加條件，逐一證明即可ab=ac，a為公共角，a如添加b=c，利用asa即可證明abeacd；b如

11、添ad=ae，利用sas即可證明abeacd；c如添bd=ce，等量關(guān)系可得ad=ae，利用sas即可證明abeacd；d如添be=cd，因為ssa，不能證明abeacd，所以此選項不能作為添加的條件4如圖，abcd，且ab=cde、f是ad上兩點，cead，bfad若ce=a，bf=b，ef=c，則ad的長為（）aa+cbb+ccab+cda+bc【答案】d【解析】只要證明abfcde，可得af=ce=a，bf=de=b，推出ad=af+df=a+（bc）=a+bc；abcd，cead，bfad，afb=ced=90°，a+d=90°，c+d=90°，a=c，a

12、b=cd，abfcde，af=ce=a，bf=de=b，ef=c，ad=af+df=a+（bc）=a+bc5如圖，acb=90°，ac=bcadce，bece，垂足分別是點d、e，ad=3，be=1，則de的長是（）a b2 c2 d【答案】b【解析】根據(jù)條件可以得出e=adc=90°，進(jìn)而得出cebadc，就可以得出be=dc，就可以求出de的值bece，adce，e=adc=90°，ebc+bce=90°bce+acd=90°，ebc=dca在ceb和adc中，cebadc（aas），be=dc=1，ce=ad=3de=eccd=31=26

13、如圖，abcaef，ab=ae，b=e，則對于結(jié)論ac=af，fab=eab，ef=bc，eab=fac，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）a1個 b2個 c3個 d4個【答案】c【解析】abcaef，ac=af，故正確；eaf=bac，fac=eabfab，故錯誤；ef=bc，故正確；eab=fac，故正確；綜上所述，結(jié)論正確的是共3個二、填空題7（2020齊齊哈爾）如圖，已知在abd和abc中，dabcab，點a、b、e在同一條直線上，若使abdabc，則還需添加的一個條件是 （只填一個即可）【答案】adac（dc或abdabc等）【解析】利用全等三角形的判定方法添加條件dabcab，abab，當(dāng)添

14、加adac時，可根據(jù)“sas”判斷abdabc；當(dāng)添加dc時，可根據(jù)“aas”判斷abdabc；當(dāng)添加abdabc時，可根據(jù)“asa”判斷abdabc8（2020遼陽）如圖，在abc中，m，n分別是ab和ac的中點，連接mn，點e是cn的中點，連接me并延長，交bc的延長線于點d若bc4，則cd的長為【答案】2【解析】依據(jù)三角形中位線定理，即可得到mn=12bc2，mnbc，依據(jù)mnedce（aas），即可得到cdmn2m，n分別是ab和ac的中點，mn是abc的中位線，mn=12bc2，mnbc，nmed，mnedce，點e是cn的中點，nece，mnedce（aas），cdmn29（202

15、0黑龍江）如圖，rtabc和rtedf中，bd，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件 ，使rtabc和rtedf全等【答案】abed【解析】本題是一道開放型的題目，答案不唯一，可以是abed或bcdf或acef或aecf等，只要符合全等三角形的判定定理即可添加的條件是：abed，理由是：在abc和edf中b=dab=eda=def，abcedf（asa）10.(2019四川成都）如圖，在abc中，ab=ac，點d，e都在邊bc上，bad=cae，若bd=9，則ce的長為_.【答案】9 【解析】此題考察的是全等三角形的性質(zhì)和判定，因為abc是等腰三角形，所以有ab=ac，bad=cae，

16、abd=ace，所以abdace(asa)，所以bd=二次，ec=9.11.（2019湖南邵陽）如圖，已知adae，請你添加一個條件，使得adcaeb，你添加的條件是（不添加任何字母和輔助線）【答案】abac或adcaeb或abeacd?！窘馕觥扛鶕?jù)圖形可知證明adcaeb已經(jīng)具備了一個公共角和一對相等邊，因此可以利用asa.sas、aas證明兩三角形全等aa，adae，可以添加abac，此時滿足sas；添加條件adcaeb，此時滿足asa；添加條件abeacd，此時滿足aas，故答案為abac或adcaeb或abeacd。12（2019山東臨沂）如圖，在abc中，acb120°，b

17、c4，d為ab的中點，dcbc，則abc的面積是【答案】8【解析】根據(jù)垂直的定義得到bcd90°，得到長cd到h使dhcd，由線段中點的定義得到adbd，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ahbc4，hbcd90°，求得cd2，于是得到結(jié)論dcbc，bcd90°，acb120°，acd30°，延長cd到h使dhcd，d為ab的中點，adbd，在adh與bcd中，adhbcd（sas），ahbc4，hbcd90°，ach30°，chah4，cd2，abc的面積2sbcd2××4×28，故答案為：8三、解答題

18、13（2020南充）如圖，點c在線段bd上，且abbd，debd，acce，bcde求證：abcd【答案】見解析?！窘馕觥孔C明abccde（asa），可得出結(jié)論證明：abbd，edbd，acce，aceabccde90°，acb+ecd90°，ecd+ced90°，acbced在abc和cde中，acb=cedbc=deabc=cde，abccde（asa），abcd14（2020硚口區(qū)模擬）如圖，點d在ab上，點e在ac上，abac，bc，求證：bdce【答案】見解析?！窘馕觥恳Cbdce只要證明adae即可，而證明abeacd，則可得adae證明：在abe與a

19、cd中a=aab=acb=c，abeacdadaebdce15（2020銅仁市）如圖，be，bfec，acdf求證：abcdef【答案】見解析?！窘馕觥渴紫壤闷叫芯€的性質(zhì)得出acbdfe，進(jìn)而利用全等三角形的判定定理asa，進(jìn)而得出答案證明：acdf，acbdfe，bfce，bcef，在abc和def中，b=ebc=efacb=dfe，abcdef（asa）16（2020無錫）如圖，已知abcd，abcd，becf求證：（1）abfdce；（2）afde【答案】見解析?！痉治觥浚?）先由平行線的性質(zhì)得bc，從而利用sas判定abfdce；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得afbdec，由等角的補角

20、相等可得afedef，再由平行線的判定可得結(jié)論【解答】證明：（1）abcd，bc，becf，beefcfef，即bfce，在abf和dce中，ab=cdb=cbf=ce，abfdce（sas）；（2）abfdce，afbdec，afedef，afde17（2020溫州）如圖，在abc和dce中，acde，bdce90°，點a，c，d依次在同一直線上，且abde（1）求證：abcdce（2）連結(jié)ae，當(dāng)bc5，ac12時，求ae的長【答案】見解析?！痉治觥浚?）由“aas”可證abcdce；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得cebc5，由勾股定理可求解【解答】證明：（1）abde，bacd，

21、又bdce90°，acde，abcdce（aas）；（2）abcdce，cebc5，ace90°，ae=ac2+ce2=25+144=1318（2020常德）已知d是rtabc斜邊ab的中點，acb90°，abc30°，過點d作rtdef使def90°，dfe30°，連接ce并延長ce到p，使epce，連接be，fp，bp，設(shè)bc與de交于m，pb與ef交于n（1）如圖1，當(dāng)d，b，f共線時，求證：ebep；efp30°；（2）如圖2，當(dāng)d，b，f不共線時，連接bf，求證：bfd+efp30°【答案】見解析?！痉治?/p>

22、】（1）證明cbp是直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊中線可得結(jié)論；根據(jù)同位角相等可得bcef，由平行線的性質(zhì)得bpef，可得ef是線段bp的垂直平分線，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得pfebfe30°；（2）如圖2，延長de到q，使eqde，連接cd，pq，fq，證明qepdec（sas），則pqdcdb，由qede，def90°，知ef是dq的垂直平分線，證明fqpfdb（sas），再由ef是dq的垂直平分線，可得結(jié)論【解答】證明（1）acb90°，abc30°，a90°30°60°，同理edf60°，aedf6

23、0°，acde，dmbacb90°，d是rtabc斜邊ab的中點，acdm，bmbc=bdab=12，即m是bc的中點，epce，即e是pc的中點，edbp，cbpdmb90°，cbp是直角三角形，be=12pcep；abcdfe30°，bcef，由知：cbp90°，bpef，ebep，ef是線段bp的垂直平分線，pfbf，pfebfe30°；（2）如圖2，延長de到q，使eqde，連接cd，pq，fq，ecep，decqep，qepdec（sas），則pqdcdb，qede，def90°ef是dq的垂直平分線，qfdf，cdad，cdaa60°，cdb120°，fdb120°fdc120°（60°+edc）60°edc60°eqpfqp，fqpfdb（sas），qfpbfd，ef是dq的垂直平分線，qfeefd30°，qfp+efp30°，bfd+efp30°19（2020黔東南州）如圖1，abc和dce都是等邊三角形探究發(fā)現(xiàn)（1）bcd與ace是否全等？若全等，加以證明；若不全等，請說明理由拓展運用（