高中數(shù)學(xué)高考導(dǎo)數(shù)題型分析及解題方法

1、. . jz* 導(dǎo)數(shù)題型分析及解題方法一、考試容導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；兩個(gè)函數(shù)的和、 差、根本導(dǎo)數(shù)公式， 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)的最大值和最小值。二、熱點(diǎn)題型分析題型一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值。132( )32fxxx在區(qū)間1,1上的最大值是2 2函數(shù)2)()(2xcxxxfy在處有極大值，那么常數(shù)c6 ；3函數(shù)331xxy有極小值 1 ,極大值3 題型二：利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程1曲線34yxx在點(diǎn)1, 3處的切線方程是2yx2假設(shè)曲線xxxf4)(在 p 點(diǎn)處的切線平行于直線03yx，那么 p 點(diǎn)的坐標(biāo)為1， 03假設(shè)曲線4yx的一條切線l與

2、直線480 xy垂直，那么l的方程為430 xy4求以下直線的方程：1曲線123xxy在 p(-1,1)處的切線；2曲線2xy過(guò)點(diǎn) p(3,5)的切線；解： 1123|yk231) 1 ,1(1x/2/23上，在曲線點(diǎn)xxyxxyp所以切線方程為0211yxxy即，2顯然點(diǎn)p3，5不在曲線上，所以可設(shè)切點(diǎn)為),(00yxa，那么200 xy又函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為xy2/，所以過(guò)),(00yxa點(diǎn)的切線的斜率為0/2|0 xykxx， 又切線過(guò)),(00yxa、 p(3,5)點(diǎn)，所以有352000 xyx，由聯(lián)立方程組得，255110000yxyx或，即切點(diǎn)為 1，1時(shí)，切線斜率為; 2201xk；當(dāng)切

3、 點(diǎn) 為 5， 25 時(shí) ， 切 線 斜 率 為10202xk； 所 以 所 求 的 切 線 有 兩 條 ， 方 程 分 別 為251012)5(1025) 1(21xyxyxyxy或即，或題型三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值、最值. . jz* 1函數(shù))1 (, 1 ()(,)(23fpxfycbxaxxxf上的點(diǎn)過(guò)曲線的切線方程為y=3x+1 假設(shè)函數(shù)2)(xxf在處有極值，求)(xf的表達(dá)式；在的條件下，求函數(shù))(xfy在3，1上的最大值；假設(shè)函數(shù))(xfy在區(qū)間 2，1上單調(diào)遞增，數(shù)b 的取值圍解： 1由.23)(,)(223baxxxfcbxaxxxf求導(dǎo)數(shù)得過(guò))1(, 1()(f

4、pxfy上點(diǎn)的切線方程為：).1)(23()1(),1)(1()1(xbacbayxffy即而過(guò).13)1 (, 1)(xyfpxfy的切線方程為上故3023323cabacaba即124, 0)2(,2)(bafxxfy故時(shí)有極值在由得a=2，b=4，c=5 .542)(23xxxxf2).2)(23(443)(2xxxxxf當(dāng);0)(,322; 0)(,23xfxxfx時(shí)當(dāng)時(shí)13)2()(.0)(,132fxfxfx極大時(shí)當(dāng)又)(,4)1 (xff在3，1上最大值是13。3y=f(x) 在2，1上單調(diào)遞增，又,23)(2baxxxf由知 2a+b=0。依題意)(xf在2，1上恒有)(xf0

5、，即.032bbxx當(dāng)6,03)1()(,16minbbbfxfbx時(shí)；當(dāng)bbbfxfbx,0212)2()(,26min時(shí)；當(dāng).60, 01212)(,1622minbbbxfb則時(shí). . jz* 綜上所述，參數(shù)b 的取值圍是),02三次函數(shù)32( )f xxaxbxc在1x和1x時(shí)取極值，且( 2)4f(1) 求函數(shù)( )yf x的表達(dá)式；(2) 求函數(shù)( )yf x的單調(diào)區(qū)間和極值；(3) 假設(shè)函數(shù)( )()4(0)g xf xmm m在區(qū)間3, mn上的值域?yàn)?4,16，試求m、n應(yīng)滿足的條件解： (1) 2( )32fxxaxb，由題意得，1,1是2320 xaxb的兩個(gè)根，解得，0

6、,3ab再由( 2)4f可得2c3( )32f xxx(2) 2( )333(1)(1)fxxxx，當(dāng)1x時(shí)，( )0fx；當(dāng)1x時(shí)，( )0fx；當(dāng)11x時(shí)，( )0fx；當(dāng)1x時(shí)，( )0fx；當(dāng)1x時(shí)，( )0fx函數(shù)( )f x在區(qū)間(, 1上是增函數(shù)；在區(qū)間 1, 上是減函數(shù)；在區(qū)間1,)上是增函數(shù)函數(shù)( )f x的極大值是( 1)0f，極小值是(1)4f(3) 函數(shù)( )g x的圖象是由( )f x的圖象向右平移m個(gè)單位，向上平移4m個(gè)單位得到的，所以，函數(shù)( )f x在區(qū)間 3,nm上的值域?yàn)?44,164mm0m 而( 3)20f，4420m，即4m于是，函數(shù)( )f x在區(qū)間

7、 3,4n上的值域?yàn)?20, 0令( )0f x得1x或2x由( )f x的單調(diào)性知，142n，即36n綜上所述，m、n應(yīng)滿足的條件是：4m，且36n3設(shè)函數(shù)( )()()f xx xaxb. . jz* 1假設(shè)( )f x的圖象與直線580 xy相切， 切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，且( )f x在1x處取極值，數(shù),a b的值；2當(dāng) b=1 時(shí)，試證明：不管a 取何實(shí)數(shù)，函數(shù)( )fx總有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)解： 12( )32().fxxab xab由題意(2)5,(1)0ff，代入上式，解之得：a=1，b=12當(dāng) b=1 時(shí)，( )0fx令得方程232(1)0.xaxa因, 0)1(42aa故方程有兩個(gè)不同

8、實(shí)根21,xx不妨設(shè)21xx，由)(3)(21xxxxxf可判斷)(xf的符號(hào)如下：當(dāng)時(shí)，1xx)(xf；當(dāng)時(shí)，21xxx)(xf；當(dāng)時(shí)，2xx)(xf因此1x是極大值點(diǎn)，2x是極小值點(diǎn) ，當(dāng) b=1 時(shí)，不管a取何實(shí)數(shù)，函數(shù)( )fx總有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)。題型四：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象1如右圖： 是 fx的導(dǎo)函數(shù)，)(/xf的圖象如右圖所示，那么 fx的圖象只可能是 d abcd 2函數(shù)的圖像為14313xxy( a ) 3方程內(nèi)根的個(gè)數(shù)為在)2, 0(076223xx( b ) x y o 4 -4 2 4 -4 2 -2 -2 x y o 4 -4 2 4 -4 2 -2 -2 x y

9、y 4 -4 2 4 -4 2 -2 -2 6 6 6 6 y x -4 -2 o 4 2 2 4 . . jz* a、 0 b、1 c、2 d 、3 題型五：利用單調(diào)性、極值、最值情況，求參數(shù)取值圍1設(shè)函數(shù).10,3231)(223abxaaxxxf 1求函數(shù))(xf的單調(diào)區(qū)間、極值. 2假設(shè)當(dāng)2, 1aax時(shí)，恒有axf|)(|，試確定a的取值圍 . 解： 122( )43fxxaxa=(3 )()xaxa，令( )0fx得12,3xa xa列表如下：x -，a a a，3a3a 3a，+( )fx- 0 + 0 - ( )f x極小極大( )f x在 a，3a上單調(diào)遞增，在-， a和 3

10、a，+上單調(diào)遞減xa時(shí)，34( )3fxba極小，3xa時(shí)，( )fxb極小222( )43fxxaxa01a，對(duì)稱軸21xaa，( )fx在 a+1，a+2上單調(diào)遞減22(1)4 (1)321maxfaa aaa，22min(2)4 (2)344faa aaa依題|( ) |fxa|maxfa，min|fa即|21|,|44 |aaaa解得415a，又01a a的取值圍是4,1)52函數(shù) fx x3ax2bxc在 x23與 x1 時(shí)都取得極值1求 a、b 的值與函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間2假設(shè)對(duì)x 1，2 ，不等式f xc2恒成立，求c 的取值圍。解： 1fx x3ax2bxc，f x 3x22ax

11、b . . jz* 由 f 23124ab093 ，f 1 32ab0 得 a12， b 2 f x 3x2 x2 3x2 x1 ，函數(shù) f x的單調(diào)區(qū)間如下表：x ，232323，11 1，f x 0 0 fx極大值極小值所以函數(shù)f x的遞增區(qū)間是，23與 1， ，遞減區(qū)間是23，12f x x312x22xc，x 1，2 ，當(dāng) x23時(shí)， fx2227c 為極大值，而f2 2c，那么 f2 2 c為最大值。要使 fxc2x 1，2 恒成立，只需c2 f 2 2c，解得 c 1 或 c 2 題型六：利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根1平面向量a=(3,1). b=(21,23). 1假設(shè)存在不同時(shí)為零的實(shí)

12、數(shù)k 和 t，使x=a+(t2 3)b，y=-ka+tb，xy，試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t) ；(2) 據(jù)(1)的結(jié)論，討論關(guān)于t 的方程 f(t) k=0 的解的情況 . 解： (1)xy，x y=0 即a+(t2-3) b ( -ka+tb)=0. 整理后得 -k2a+t-k(t2-3) a b+ (t2- 3) 2b=0 a b=0，2a=4，2b=1，上式化為-4k+t(t2-3)=0 ，即 k=41t(t2-3) (2)討論方程41t(t2-3)-k=0 的解的情況，可以看作曲線f(t)= 41t(t2-3)與直線 y=k 的交點(diǎn)個(gè)數(shù) . 于是 f(t)= 43(t2-1)= 43(t

13、+1)(t-1). 令 f(t)=0,解得 t1=-1,t2=1. 當(dāng) t 變化時(shí)， f (t)、f(t)的變化情況如下表：t (-, -1) -1 (-1,1) 1 (1,+ )f(t) + 0 - 0 + f(t) 極大值極小值. . jz* 當(dāng) t= 1 時(shí)， f(t)有極大值， f(t)極大值 =21. 當(dāng) t=1 時(shí)， f(t)有極小值， f(t)極小值 = 21函數(shù) f(t)=41t(t2-3)的圖象如圖1321 所示，可觀察出：(1)當(dāng) k21或 k21時(shí) ,方程 f(t)k=0 有且只有一解；(2)當(dāng) k=21或 k=21時(shí),方程 f(t)k=0 有兩解；(3) 當(dāng)21k21時(shí)

14、,方程 f(t)k=0 有三解 . 題型七：導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合1設(shè)axxxfa3)(,0 函數(shù)在), 1 上是單調(diào)函數(shù). 1數(shù)a的取值圍；2設(shè)0 x1，)(xf 1，且00)(xxff，求證：00)(xxf. 解 ： 1 ,3)(2axxfy假 設(shè))(xf在, 1上 是 單 調(diào) 遞 減 函 數(shù) ， 那 么 須,3, 02xay即這樣的實(shí)數(shù)a不存在 .故)(xf在, 1上不可能是單調(diào)遞減函數(shù). 假設(shè))(xf在, 1上是單調(diào)遞增函數(shù)，那么a23x，由于33, 12xx故.從而 0a3. 2 方 法1、 可 知)(xf在, 1上 只 能 為 單 調(diào) 增 函 數(shù) . 假 設(shè)1)(00 xfx， 那 么

15、,)()(000矛盾xxffxf假設(shè) 1)(),()(,)(000000 xfxxfxffxxf即則矛盾，故只有00)(xxf成立 . 方法2 ： 設(shè)00)(,)(xufuxf則，,03030 xauuuaxx兩 式相減得. . jz* 00330)()(xuuxaux020200,0)1)(xauuxxux 1,u1，30, 32020auuxx又，012020auuxx2a為實(shí)數(shù)，函數(shù)23( )()()2f xxxa1假設(shè)函數(shù)( )f x的圖象上有與x軸平行的切線，求a的取值圍2假設(shè)( 1)0f， 求函數(shù)( )f x的單調(diào)區(qū)間證明對(duì)任意的12( 1,0)xx、，不等式125|()() |1

16、6f xf x恒成立解：3233( )22f xxaxxa，23( )322fxxax函數(shù)( )f x的圖象有與x軸平行的切線，( )0fx有實(shí)數(shù)解2344 302a，292a，所以a的取值圍是332222（，）( 1)0f，33202a，94a，2931( )33()(1)222fxxxxx由( )0,1fxx或12x；由1( )0, 12fxx( )f x的單調(diào)遞增區(qū)間是1(, 1),(,)2；單調(diào)減區(qū)間為1( 1,)2易知( )f x的最大值為25( 1)8f，( )f x的極小值為149()216f，又27(0)8f( )f x在 1 0，上的最大值278m，最小值4916m對(duì)任意12

17、,( 1,0)xx，恒有1227495|()() |81616f xf xmm題型八：導(dǎo)數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用. . jz* 1請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形狀是高為1m 的正六棱柱， 上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為3m 的正六棱錐如右圖所示 。試問(wèn)當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)o 到底面中心1o的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？解：設(shè) oo1 為x m，那么41x由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長(zhǎng)為：22228)1(3xxx， 單位：m故底面正六邊形的面積為：(43622)28xx=)28(2332xx， 單位：2m帳篷的體積為：)(v228233xxx）（ 1)1(31x)1216(233xx單位：3m求導(dǎo)得)312(23v2xx）（

18、。令0v）（x，解得2x不合題意，舍去 ，2x，當(dāng)21x時(shí)，0v）（x，）（xv為增函數(shù)；當(dāng)42x時(shí)，0v）（x，）（xv為減函數(shù)。當(dāng)2x時(shí)，）（xv最大。答：當(dāng) oo1 為2m時(shí)，帳篷的體積最大，最大體積為3163m。2統(tǒng)計(jì)說(shuō)明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y升關(guān)于行駛速度x千米 /小時(shí)的函數(shù)解析式可以表示為：3138(0120).12800080yxxx甲、乙兩地相距100千米。i當(dāng)汽車以40千米 / 小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？ii 當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？解： i當(dāng)40 x時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了1002.540小時(shí)，要耗沒(méi)313(40408)2.517.512800080升。 ii當(dāng)速度為x千米 /小時(shí)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了100 x小時(shí)，設(shè)耗油量為( )h x升，. . jz* 依題意得3213100180015( )(8).(0120),1280008012804h xxxxxxx332280080