2006_全國(guó)數(shù)學(xué)建模C題易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì).解析

1、易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)摘要本題在建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，用 LINGO 實(shí)證分析了各種標(biāo)準(zhǔn)下易拉罐的優(yōu)化 設(shè)計(jì)問(wèn)題，并將實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)和模型摸擬結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。結(jié)論表明，易拉罐的設(shè) 計(jì)不但要考慮材料成本（造價(jià)），還要滿足結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、美觀、方便使用等方面的要 求。在第二個(gè)問(wèn)題中，易拉罐被假定為圓柱體，針對(duì)材料最省的標(biāo)準(zhǔn)，得到了不同 頂部、底部與側(cè)面材料厚度比時(shí)的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。針對(duì)材料厚度的不同，建立兩個(gè) 模型：模型一， 設(shè)易拉罐各個(gè)部分厚度和材料單價(jià)完全相同， 最優(yōu)設(shè)計(jì)方案為半徑 與高的比R：H =1:2（H為圓柱的高，R為圓柱的半徑）；模型二，設(shè)易拉罐頂蓋、 底部厚度是罐身的 3 倍，通過(guò)計(jì)算得

2、到半徑與高R:H=1:6時(shí)，表面積最小。一般 情況下，當(dāng)頂蓋、底部厚度是罐身的b倍時(shí)，最優(yōu)設(shè)計(jì)方案為R:H =2b。在第三問(wèn)中，針對(duì)圓柱加圓臺(tái)的罐體，本文也建立了兩個(gè)模型：模型三，設(shè)易 拉罐整體厚度相同，利用 LINGO 軟件對(duì)模型進(jìn)行分析，得出當(dāng)H h = 2R = 4r（h為 圓臺(tái)的高，r 為圓臺(tái)上蓋的半徑）時(shí)，設(shè)計(jì)最優(yōu)；模型四，假設(shè)罐頂蓋、底部的厚 度是罐身的 3倍，同樣利用軟件 LINGOS其進(jìn)行分析，得出H 4.5R，r 0時(shí) 材料最省，即頂部為圓錐時(shí)材料最省，模型的結(jié)果在理論上成立，但與實(shí)際數(shù)據(jù)不符。 原因是廠商在制作易拉罐時(shí)，不僅要考慮材料最省，還要考慮開(kāi)蓋時(shí)所受到的壓力、 制造

3、工藝、外形美觀、堅(jiān)固耐用等因素。在第四問(wèn)中，本文根據(jù)第三問(wèn)中模型最優(yōu)設(shè)計(jì)結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的誤差，調(diào)整了 的設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，在材料最省的基礎(chǔ)上，加入了方便使用，物理結(jié)構(gòu)更穩(wěn)定等標(biāo)準(zhǔn)。通 過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，前面四個(gè)模型中，模型二和模型四體現(xiàn)了硬度方面的要求。進(jìn)一步對(duì) 模型二、四進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)模型四的結(jié)論更優(yōu)。為此，將模型四結(jié)論中的底部也設(shè) 計(jì)為圓錐。此時(shí)，材料最省。但是，兩端都設(shè)計(jì)為圓錐時(shí)，無(wú)法使用。因此，將項(xiàng) 部和底部設(shè)計(jì)為圓臺(tái)，并考慮拉環(huán)長(zhǎng)度和手指厚度（易于拉動(dòng)拉環(huán)）時(shí)，得到圓臺(tái) 頂端和底部半徑都為 2.7。此時(shí)，易拉罐形狀和尺寸最優(yōu)。如果設(shè)計(jì)為旋轉(zhuǎn)式拉環(huán)，r =2.2,h =0.75,R =3.93, H

4、 =6.86時(shí)，可以得到優(yōu)于現(xiàn)實(shí)中易拉罐的設(shè)計(jì)方案。最后，本文總結(jié)了此次數(shù)學(xué)建模中有益的經(jīng)驗(yàn) -在數(shù)學(xué)建模過(guò)程必須靈活應(yīng)用 從簡(jiǎn)到繁、由易到難不斷擴(kuò)展的研究方法，并且要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)軟件在優(yōu)化設(shè)計(jì)中 無(wú)可比擬的優(yōu)勢(shì)；同時(shí)，通過(guò)此次數(shù)學(xué)建模比賽深刻體會(huì)到了數(shù)學(xué)工具在生產(chǎn)實(shí)踐 中的重要作用。關(guān)鍵詞：易拉罐最優(yōu)設(shè)計(jì)材料體積 lin go 軟件文中符號(hào)注解R:圓柱半徑r:圓臺(tái)半徑H:圓柱高h(yuǎn):圓臺(tái)咼S:易拉罐表面積V:易拉罐體積MIN:最小化為方便在 LINGO 軟件中計(jì)算，定義：X1:在軟件 LINGO 中的圓柱半徑（R）X2:在軟件 LINGO 中的圓柱高（H）X3:在軟件 LINGO 中的圓臺(tái)半徑

5、（r）X4:在軟件 LINGO 中的圓臺(tái)高（h）第一問(wèn)： 取一個(gè)飲料量為355毫升的易拉罐， 例如355毫升的可口可樂(lè) 飲料罐，測(cè)量你們以為驗(yàn)證模型所需要的數(shù)據(jù)，例如易拉罐各部分的直 徑、高度、厚度等，并把數(shù)據(jù)列表加以說(shuō)明：如果數(shù)據(jù)不是你們自己測(cè)量得到的，那么你們必須注明出處表 1 ：數(shù)據(jù)測(cè)量結(jié)果1(mm)2(mm)3(mm)4(mm)平均（mrj）D1（罐蓋直徑）57.8458.3058.0458.6058.20D2 （罐身直徑）65.7065.5665.5165.5865.60D3 （罐底直徑）47.5647.6247.1847.7447.53關(guān)鍵詞：易拉罐最優(yōu)設(shè)計(jì)材料體積 lin go

6、軟件X1 （罐蓋厚度）0.3140.3020.3150.3100.310X2 （罐身厚度）0.1080.1100.1140.1100.111X3 （罐底厚度）0.3270.3200.3390.3440.333H1 （罐蓋高度）10.3010.9810.429.9610.42H2 （罐身高度）101.98102.06102.36101.92102.08H3 （罐底高度）5.625.305.124.865.23L （罐蓋斜邊長(zhǎng)度）0.1930.2040.2100.2010.202拉環(huán)長(zhǎng)度42. 5342. 4842. 4842. 5142. 50注：數(shù)據(jù)由測(cè)量可口可樂(lè) 355ml 易拉罐所得本文測(cè)

7、量以上數(shù)據(jù)是為了在以下建模中， 提供數(shù)據(jù)和驗(yàn)證結(jié)果。重要的是，拉環(huán) 長(zhǎng)度與易拉罐項(xiàng)部直徑相差約 1.53 厘米左右，正好是指頭厚度。顯然是使用方便設(shè) 計(jì)的。第二問(wèn) 設(shè)易拉罐是一個(gè)正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理地說(shuō)明你們所測(cè)量的易拉罐的形狀和尺寸，例如說(shuō)，半徑和高一問(wèn)題重述一個(gè)飲料量為 355 毫升的易拉罐，找出易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)。假設(shè)它是一個(gè)正圓柱體，在不考慮易拉罐受外界影響下，求在正圓柱體的表面積最小時(shí)，底半徑r 與高度 h 的比值。二問(wèn)題分析假設(shè)最優(yōu)化條件為保證容積的情況下，使制作易拉罐所需材料最?。ū砻娣e為 最?。?。在表面積為最小時(shí)，設(shè)圓柱形的體積 V 為常數(shù)，求底半徑

8、 r 與高度 h 的比值, 如果能求出一定比例，就能找出模型最優(yōu)設(shè)計(jì)。在建立模型之前，必須考慮易拉罐 的厚度，一種是在考慮節(jié)約材料前提下，另一種是在考慮材料受力的情況。三模型假設(shè)、建立與求解（一）易拉罐整體厚度相同時(shí)的最優(yōu)設(shè)計(jì)模型1、假設(shè)：（1）易拉罐是正圓柱體之比,等等。(2)易拉罐整體厚度均相同2、 確定變量和參數(shù)：設(shè)易拉罐內(nèi)半徑為R,高為 H,厚度為 a,體積為 V,其中 r和 h 是自變量，所用材料的面積 S 是因變量，而 V 是固定參數(shù)，則 S 和 V 分別為：2 2 2S二2| R a a亠| R a H - ：R H2233=2二aR 4二a R 2二a 2二HRa二Ha2VV

9、- : R2H，H2nR2設(shè) g R,H = :R2H -V3、 模型建立：min S r, hR 0,H0g R, H 嚴(yán) 0其中 S 是目標(biāo)函數(shù)，g R,H =0 是約束條件，V 是已知的，即要在體積一定的條件下求 S 的最小值時(shí)，r 和 h 的取值是多少4、模型求解因?yàn)榘凑諏?shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)可知 a r，所以帶a2,a3的項(xiàng)可以忽略，且H二 蘭，則S R,H Ri；A2二aR2型R則S3 V1丫2兀丿求 S r,h r 的最小值，令其導(dǎo)數(shù)為零,即 S R,H R =0,解得臨界點(diǎn)為因?yàn)镾 R =4a二4aVR32二RV，則 HV兀25.模型結(jié)論在假設(shè)易拉罐是正圓柱體且厚度均相同的條件下，當(dāng)體積

10、為固定參數(shù)，而表面積最小時(shí)，通過(guò)對(duì)面積求導(dǎo)，得到高是半徑的兩倍，r:h=1:2，此時(shí)，模型最優(yōu)。（二）易拉罐頂蓋、底蓋厚度與罐體厚度不同時(shí)的最優(yōu)設(shè)計(jì)模型1、 假設(shè)：（1）易拉罐是正圓柱體（2）易拉罐頂蓋、底蓋厚度為 3a,其它部分厚度為 a2、 確定變量和參數(shù)：設(shè)飲料內(nèi)半徑為 R,高為 H,體積為 V,易拉罐頂蓋、 底蓋厚度為 a,其它部分厚度為 b。其中 r 和 h 是自變量，所用材料的體積 S 是因變量，而 a,b,c 和 V 是固定參數(shù)。則 S 和 V 分別為：2 2 2S二2二R a 3a亠I R a H-二R H=6a二R212a2二R 6a3二2二RaH二a2HV = :R2H，H

11、算R2設(shè)V R（x1丫（x2）g（R,H 尸兀 R2H -V3、 模型建立：min S R, H R 0,H0g R,H =0其中 S 是目標(biāo)函數(shù)，g R,H =0 是約束條件，厚度比例與 V 是已知的，即要在體積 V定的條件下求 r 和 h 的取值是多少時(shí)體積 S 最小4、 模型求解因?yàn)榘凑諏?shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)可知a R，所以帶a2，a3的項(xiàng)可以忽略，且H二巴，則兀RS =6a二R2 2aVR求 S r,h r 的最小值，令其導(dǎo)數(shù)為零，即 S R,H R =0,解得臨界點(diǎn)為因?yàn)镾“ R =12a二 詈，則汽.=4時(shí)0，因此當(dāng)H=6R時(shí)，S為最優(yōu)解觀察模型（一）與模型（二），可見(jiàn)當(dāng)厚度比例不同時(shí)，半徑

12、與高的比不同，似 乎有一定的聯(lián)系，因此我們假設(shè)頂與底蓋厚度為ab，壁的厚度為 a，其中 b 為比例系數(shù)，則2 22S =2- R a ba亠 R a H R H=2二abR24二a2bR 2- a3b 2- HRa二Ha2因?yàn)榘凑諏?shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)可知a R，所以帶a2，a3的項(xiàng)可以忽略，且H=亠，則兀R七22aV有S=2ab二R2R求 S r,h r 的最小值，令其導(dǎo)數(shù)為零，即 S R,H R =0,解得臨界點(diǎn)為R =V，貝yH=-V- = 2b 乂= 2bR怙 b界3畑:2 二 b因?yàn)镾R =4ab智，則S，3 V=12ab二0，因此當(dāng) R：H=1:2b 時(shí)，S 為最R0（2丿優(yōu)解5.模型結(jié)論在

13、假設(shè)易拉罐是正圓柱體，且頂蓋、底部的厚度是罐身的三倍的條件下，當(dāng)體 積為固定參數(shù)，而表面積最小時(shí)，通過(guò)對(duì)表面積求導(dǎo)，得到半徑與高的比是一比六， R:H=1:6，此時(shí)，觀察模型（一）與模型（二），可見(jiàn)當(dāng)厚度比例不同時(shí)，半徑與高 的比不同，似乎有一定的聯(lián)系，因此本題假設(shè)頂與底蓋厚度為ab，壁的厚度為 a，其中 b 為比例系數(shù)，貝UR:H=1:2b四、模型評(píng)價(jià)在不考慮厚度的情況下，考慮節(jié)約材料前提下得到，底半徑r 是高度 h 的一半時(shí)，圓柱的表面積最小?？紤]易拉罐頂蓋、底蓋厚度與罐體厚度不同的情況下，考 慮了材料的厚度，因此，建立頂端是側(cè)壁的三倍厚度（因?yàn)榇吮壤欣诠奚硎芰Γ?便于開(kāi)蓋），高度 h

14、是底半徑 r 的 6 倍時(shí)，圓柱的表面積最小。第一二種模型相較之 下，第二種模型更費(fèi)材料，第一種模型設(shè)計(jì)更優(yōu)。所以，在不受力的情況下，假設(shè) 易拉罐是一個(gè)正圓柱體，當(dāng)?shù)装霃?r 是高度 h 的一半時(shí)，模型最優(yōu)。不過(guò)，本文通 過(guò)實(shí)際數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，廠商制作易拉罐時(shí)，不單單是考慮材料最省，可能還考慮到開(kāi)蓋 時(shí)所受到的壓力，外形美觀等因素，由于能力有限暫時(shí)無(wú)法解釋。第三問(wèn)：設(shè)易拉罐的中心縱斷面如下圖所示，即上面部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下面部分是一個(gè)正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理地說(shuō)明你們所測(cè)量的易拉罐的形狀和尺寸。一、 問(wèn)題描述通常，在現(xiàn)實(shí)生活中，本文所見(jiàn)地易拉罐都不是單純的正圓柱體，一般都是混

15、 合的三維圖形。由于實(shí)際生活中，易拉罐是受到外力的影響（如開(kāi)蓋時(shí)的拉力，堆 放時(shí)的壓力等等），因此，本文依照生活中的易拉罐，設(shè)易拉罐的中心縱斷面如圖 1 所示，即上面部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下面部分是一個(gè)正圓柱體。通過(guò)計(jì)算和測(cè)量，在 理論的基礎(chǔ)上，建立易拉罐最優(yōu)設(shè)計(jì)的模型。二、問(wèn)題分析本文假設(shè)最優(yōu)化條件為保證容積的情況下，使制作易拉罐所需材料最?。ū砻?積為最?。?。由于易拉罐形狀不是單純的正圓柱體，所以本文建立模型時(shí)，先假設(shè)易拉罐上部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下部分是一個(gè)正圓柱體。然后，考慮易拉罐的厚度，在 厚度一致時(shí)，利用 lingo 軟件，計(jì)算出模型的最優(yōu)解；通過(guò)本文觀察發(fā)現(xiàn)易拉罐頂 蓋的厚度是罐身的三

16、倍，所以，假設(shè)另一種模型當(dāng)易拉罐頂蓋、底蓋厚度為a,其余部分為 b,且 a:b=3 : 1,體積 V=355ml 時(shí)，同樣利用 lingo 軟件，計(jì)算出模型的 最優(yōu)解。三模型假設(shè)、建立與求解（一）第三種易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)模型1、 假設(shè)：（1）易拉罐上部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下部分是一個(gè)正圓柱體（2 易拉罐整體厚度均相同2、 確定變量和參數(shù)：設(shè)易拉罐頂蓋、底部半徑為 R,正圓柱體高為 H,正圓臺(tái)高為 h,體積為 V,其中 R,r,H,h 是自變量，所用材料的體積 S 是因變量，而 V 是固定參 數(shù)，則 S 和 V 分別為：S 二: R2r22 RH ：忑R r、h2R-r2V hR2H 1二R

17、2Rr r2h1設(shè)g R, r,H,h - -：R2HR2Rr r2h -V33、模型建立：min S R, r, H , hR 0, r 0, H 0, h 0g R,r,H,h =0其中 S 是目標(biāo)函數(shù)，g R,r,H,h =0 是約束條件，V 是已知的，即要在體積一定的條件下求表面積最小值時(shí)，R, r, H, h 的取值各是多少4、模型求解利用 LINGO 求解，設(shè) R=x1,r=x3,H=x2,h=x4,貝 U2 2/ 22S =x1 | 亠 | x3 | | 亠2-x1 x2 | 亠 11 x1 | 亠 | x3 11；i x4 | 亠 11 x1 ： - ； x3212 2V =二

18、x1 | i x2x1 |亠I x1 x3 i亠i x3 i ii x43利用 LINGO 計(jì)算結(jié)果（見(jiàn)附表一），得H+h=2R=4 時(shí)，S 為最優(yōu)解 5.模型結(jié)論在易拉罐上部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下部分是一個(gè)正圓柱體，且厚度均相同的前 提下，當(dāng)體積為固體參數(shù)，表面積最小時(shí)，利用軟件(LINGO 計(jì)算，得到圓臺(tái) 的高與圓拄的高等于兩倍圓拄的半徑，同時(shí)也等于四倍的圓臺(tái)的半徑，H+h=2R=4,模型最優(yōu)。(二)第四種易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)模型1、( 1)易拉罐上部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下部分是一個(gè)正圓柱體(2) 易拉罐整體厚度(3) V=355ml2、 確定變量和參數(shù)：設(shè)易拉罐頂蓋半徑為，底蓋半徑為 R,

19、正圓柱體高為 H,正圓 臺(tái)高為 h,體積為 V,其中 R,r,H,h 是自變量，所用材料的體積 S 是因變量，而 V 是 固定參數(shù)，則 S 和 V分別為：S =a 兀(R2+r2)+2 兀 RHb +兀 b(R + r )Jh2+(R_r ,212 2V R H二R Rr r h3設(shè)g R, r, H ,h i=MR2H1- R2Rr r2h -V 33、模型建立：min S R, r, H , hR 0,r0, H 0, h 0g R,r,H,h =0其中 S 是目標(biāo)函數(shù)，g R,r,H,h =0 是約束條件，V 是已知的，即要在體積一定的條件下求表面積最小值時(shí)，R, r，H, h 的取值各

20、是多少4、 模型求解利用 LINGO 求解，設(shè) R=x1,r=x3,H=x2,h=x4,且 a=0.333,b=0.111貝 U2 2 / 2 2S =0.333, ix1 | 亠 ix3 j 廠 2 二 x1 x2 0.111 0.111 口 x1 |亠x3 j * x4 | 亠i x1：;-x321 .2 2LV mx1 x2x1 I亠X1 x3|亠X3 x43利用 LINGO 計(jì)算結(jié)果（見(jiàn)附表二），得H h : 4.5R，r 0時(shí)，S 為最優(yōu)解5. 模型結(jié)論：在假設(shè)易拉罐上部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下部分是一個(gè)正圓拄體，且厚度不同，頂蓋、底部半徑是罐身 3 倍的條件下，當(dāng)體積為固定參數(shù)，而表面積

21、最小時(shí)，通過(guò)軟件（LINGO 得到 H+h 約等于 4.5R，rT0，模型最優(yōu)。四、模型評(píng)價(jià)以材料節(jié)約、實(shí)用為基礎(chǔ)，建立易拉罐的形狀和尺寸最有設(shè)計(jì)的模型。第三個(gè) 模型優(yōu)點(diǎn)在于實(shí)用，第四個(gè)模型更為優(yōu)化。因?yàn)?，本文在建立模型時(shí)發(fā)現(xiàn)，模型四 在制作過(guò)程中，所用材料更為節(jié)約，造價(jià)更低，所以，第四種模型更為優(yōu)化。第四問(wèn)：利用你們對(duì)所測(cè)量的易拉罐的洞察和想象力，做出你們自己的關(guān)于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)。一、對(duì)現(xiàn)有易拉罐的解釋如果增加兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，考慮易拉罐的穩(wěn)定性和使用的方便性。考慮穩(wěn)定性時(shí)，只 能采用模型二與模型四的設(shè)計(jì)。將厚度比例本題視為已知條件時(shí)， 代入測(cè)量所得的 數(shù)據(jù)，并利用 LINGO求解模型二

22、II”22目標(biāo)：求min S = a二6r 12ar 6a 2rh ah條件：v mr2h設(shè) r=x1,h=x2,V=355,a=0.111,在 LINGO 求解（見(jiàn)附錄三）。比較模型二與第三問(wèn)中模 型四的結(jié)果，易見(jiàn)模型四比較優(yōu)化。但模型四脫離了實(shí)際，因?yàn)閷?shí)際中需要在頂蓋 設(shè)計(jì)一個(gè)拉環(huán)，所以 r 必需大于零。下面考慮r取不同值時(shí)，模型的優(yōu)化程度。模型仍為：2 212 2min S =0.333 i）x1 jx3 j廠2二x1 x2 0.111 0.111兇廠ix3 j jx4 j亠x1 ;-?x321 ,2 2 .v = : x1 x2廠 I：i x1 x1 x3 x3 X43r 分別取 0.

23、5，1.0，1.5，2.0，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，3.0，3.5，4.0，5.0， 6.0 時(shí)，利用LINGOS 算模型中 R, H, h，S 的最優(yōu)值（見(jiàn)表 2）：表 2r 0.51.01.52.0R 3.1133.1153.1213.1333.1613.1703.180H 10.7010.6110.4910.3510.2110.1910.16h 2.432.191.961.701.361.281.18S 38.1338.6139.4640.7342.4942.9143.36表 2 （續(xù)）r3.54.05.06.0R 3.1923.206

24、2. 3941.9421.40100H 10.1410.120005.934.48h1.080.9615.4714.8614.3813.569.42S43.8344.3344.5345.1146.3251.3561.02由表 2 可見(jiàn)當(dāng) r 大于 3 時(shí)，圖形已非最優(yōu)，省去后面的結(jié)果。即當(dāng) r 小于 3 時(shí)，S 的值都小于模型二的結(jié)果，因此可以得出結(jié)論：模型四比模型二的設(shè)計(jì)更優(yōu)。既然模型四比模型二省材料，那么是否可以把模型四的正圓柱底部也改成一個(gè)正圓 臺(tái)？考慮上、下都為圓臺(tái)的設(shè)計(jì)方案（模型五），材料體積 S 的方程如下:min S = 2a 二 r22 二 RHb 2 二 b R r j、h2

25、R - r2利用軟件（LINGO 計(jì)算（見(jiàn)附錄四），得 S=30.20864將上述 S 與模型四的結(jié)果比較， 易見(jiàn)上下都為圓臺(tái)的設(shè)計(jì)方案更優(yōu)。 但考慮到 存放方便時(shí)，這樣易拉罐“站”不穩(wěn)，同時(shí)“易拉罐” 一定需要有一個(gè)拉環(huán)，如果 設(shè)計(jì)在項(xiàng)部（考慮使用方便），r 必需大于零。進(jìn)一步考慮上下都為圓臺(tái)時(shí)，r 的合理取值。2因?yàn)镾 二 2a 二 r22 二 RHb2-b R r h2R - r利用 LINGO 分析 r 分別取 0.5，1.0，1.5，2.0，2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，3.0 得出最優(yōu)解時(shí) R, H, h，S 的值（結(jié)果見(jiàn)表 3）：表 3r

26、0.51.01.52.02.1R 3.9134413.9144763.9173703.9234573.925208H 6.9106286.8940536.8747746.8591966.857093h1.2265391.0912850.95875820.81639350.7859263S 30.5492631.5804033.3158535.7707236.34952表 3 （續(xù)）r2.52.6R 3.9271763.9293773.9318303.9345553.937572H 6.8554516.854324 ( ).8537686.8538366.854586h0.75

27、465600.72253170.68950600.65553520.6205793S36.9579437.5961438.2642938.9625539.69110表 3 （續(xù)）r3.03.5R 3.9409013.9445663.9485873.9529873.981513H 6.8560726.8583536.8614856.8655266.901350h0.58460140.54756810.50944940.47021860.2566850VFR2H2 2R Rr r h=355V mR2H1-R2Rr r2h=355S40.45011 4 H.2397742.060

28、2742.9117947.64180在現(xiàn)實(shí)中，拉環(huán)的測(cè)量值為 4.25,手指的大小約為 1.11，則最優(yōu)設(shè)計(jì)就是拉環(huán) 穿過(guò)直徑，所以 r=（4.25+1.11）/2=2.68, 近似為 r=2.7，此時(shí) H=6.85。二、比現(xiàn)實(shí)更優(yōu)的設(shè)計(jì)方案因?yàn)樯享?xiàng)半徑越小，材料越省，我們盡量減小上底半徑。一種可行方案是將設(shè)計(jì)旋轉(zhuǎn)型的拉環(huán)（現(xiàn)實(shí)中的拉環(huán)不可旋轉(zhuǎn)， 是直的，導(dǎo)致上底半徑大），拉環(huán)長(zhǎng)度可 減小半， 即 r=4.25/2=2.125,近似為r=2.2時(shí)， 設(shè)計(jì)最優(yōu)。 設(shè)計(jì)方案為r =2.2,h =0.75,R =3.93, H =6.86時(shí)，此時(shí) S=36.96,材料更省，優(yōu)于現(xiàn)實(shí)中的設(shè)計(jì)。第五問(wèn)：

29、用你們做本題以及以前學(xué)習(xí)和實(shí)踐數(shù)學(xué)建模的親身體驗(yàn)，寫(xiě)一篇短文（不超出1000字，你們的中心必須包括這篇短文），闡述什么是數(shù)學(xué)建模、它的關(guān)鍵步驟，以及難點(diǎn)。開(kāi)始接觸數(shù)學(xué)建模就讓筆者感覺(jué)到困惑一一不知道它是什么；有什么用。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的學(xué)習(xí)才對(duì)它有初步的了解，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)數(shù)學(xué)建模就是生活“數(shù)學(xué)化”。在這 3 天時(shí)間里本文體會(huì)到原來(lái)生活的一切都離不開(kāi)數(shù)學(xué)，一個(gè)看似和自然形 成的東西，卻要經(jīng)過(guò)許多步驟才實(shí)現(xiàn)的，如本文研究的易拉罐，要經(jīng)過(guò)力學(xué)，美學(xué) 和工程學(xué)等等。自己將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)活用到經(jīng)濟(jì)，管理，工程等各個(gè)領(lǐng)域，感受 到體會(huì)不到的成就感。這個(gè)過(guò)程中，本文的軟件應(yīng)用水平，文章寫(xiě)作水平，特別是 數(shù)學(xué)思維能力

30、大幅度得到提高。此次，我們?cè)跀?shù)學(xué)建模中得到有益得經(jīng)驗(yàn)，在數(shù)學(xué)建模過(guò)程必須靈活應(yīng)用，從 簡(jiǎn)到繁、由易到難，不斷擴(kuò)展的研究方法，并且要充分發(fā)揮到數(shù)學(xué)軟件在優(yōu)化設(shè)計(jì) 中無(wú)可比擬地優(yōu)勢(shì)；同時(shí)，通過(guò)此次數(shù)學(xué)建模比賽深刻體會(huì)到了數(shù)學(xué)工具在生產(chǎn)實(shí) 踐中的重要作用。就拿著次數(shù)學(xué)建模為例，本文建立模型首先假設(shè)易拉罐是一個(gè)正圓柱體，然后 考慮罐身厚度，其次假設(shè)易拉罐是上面部分是正圓臺(tái)，下面部分是正圓柱體，之后 再考慮厚度，最后建立我們認(rèn)為最優(yōu)化設(shè)計(jì)。在建立模型的過(guò)程中，利用數(shù)學(xué)軟件， 使我們能順利完成。數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程大體上可歸納為以下步驟：1 對(duì)某個(gè)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行觀察、分析（是否抓住主要方面）；2、對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行

31、必要的抽象、簡(jiǎn)化，作出合理的假設(shè);3、確定要建立的模型中的變量和參數(shù)；4、根據(jù)某種“規(guī)律”（已知的各學(xué)科中的定律，甚至是經(jīng)驗(yàn)的規(guī)律）建立變量和參數(shù)間確定的數(shù)學(xué)關(guān)系（明確的數(shù)學(xué)問(wèn)題或在這個(gè) 層次上的一個(gè)數(shù)學(xué)模型）,這可能是一個(gè)非常具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問(wèn)題；5、解析或近似 地求解該數(shù)學(xué)問(wèn)題這往往涉及復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論和方法，近似方法和算法；6、數(shù)學(xué) 結(jié)果能否展示、解釋甚至預(yù)測(cè)實(shí)際問(wèn)題中出現(xiàn)的現(xiàn)象，或用某種方法（例如，歷史 數(shù)據(jù)或現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試數(shù)據(jù)等）來(lái)驗(yàn)證結(jié)果是否正確，這也是很不容易的；7、如果第 6 步 的結(jié)果是肯定的，那么就可以付之試用；如果是否定的，那就要回到第 1- 6 步進(jìn)行仔細(xì)分析，重復(fù)上述建模過(guò)程

32、。數(shù)學(xué)建模過(guò)程中難點(diǎn)是：1、怎樣從實(shí)際情況出發(fā)做出合理的假設(shè)，從而得到可 以執(zhí)行的合理的數(shù)學(xué)模型；2、怎樣求解模型中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，它可能是非常困難 的問(wèn)題；3、怎樣驗(yàn)證模型是正確、可行的參考文獻(xiàn)1 葉其孝，對(duì)一些問(wèn)題的思考。網(wǎng)址：http:/www.garde n.sh.c n:85/kjqk/bjlydxxb/bjly2003/0303pdf/030312.pdf2 王綿森、馬知恩，工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)（上冊(cè)），高等教育出版社，19983 吳英樺、俞加梁，容器設(shè)計(jì)，中國(guó)輕工業(yè)出版社，19954 解可新、韓立興、林友聯(lián)，最優(yōu)化方法，天津大學(xué)出版社，1997陳國(guó)桓，機(jī)械基礎(chǔ)，化學(xué)工業(yè)出版社，200

33、16盧險(xiǎn)峰，最優(yōu)化方法應(yīng)用基礎(chǔ)，同濟(jì)大學(xué)出版社，2003附錄一LINGO 最優(yōu)化軟件：在 LINGOAmin=(xM2+x3A2+2*x1*x2+(x1+x3)*(x4A2+(x1-x3F2)A(1/2)*3.1415926;3.14159*xM2*x2+(1/3)*3.14159*(x1A2+x1*x3+x3A2)*x4=355;init :x1=2;x2=4;x3=2;x4=1;endinitSolution Report - UNGO1中可應(yīng)JLocal optiiLal solution foundsObjective value:Jk263.849Extendedsolverstep

34、s:5Total solveriteratiQTLS:qVariableValueReduced Cose三XI4.0343250.000000X31.S7S2S60.000000X25.505弓石5O.OOOOOO2.531S60.000000RewSlack or SurplusDual Price1263.9B49-1*000000附錄二LINGO 最優(yōu)化軟件：在 LINGOAmin=(0.333*xM2+0.333*x3A2+2*x1*x2*0.111+0.111*(x1+x3)*(x4A2+(x1-x3F2)A(1/2)*3.1415926;3.14159*x1A2*x2+(1/3)*3.14159*(x1A2+x1*x3+x3A2)*x4=355;init :x1