第四章 時變電磁場修改

1、 本章內容本章內容 4.1 波動方程波動方程 4.2 電磁場的位函數電磁場的位函數 4.3 電磁能量守恒定律電磁能量守恒定律 4.4 惟一性定理惟一性定理 4.5 時諧電磁場時諧電磁場4.1 波動方程波動方程 在無源空間中，設媒質是線性、各向同性且無損耗的均勻媒在無源空間中，設媒質是線性、各向同性且無損耗的均勻媒質，則有質，則有 無源區(qū)的波動方程無源區(qū)的波動方程 波動方程波動方程 二二階矢量微分方程，階矢量微分方程，揭示電磁場的波動性。揭示電磁場的波動性。 麥克斯韋方程麥克斯韋方程 一階矢量微分方程組，描述電場與磁場一階矢量微分方程組，描述電場與磁場 間的相互作用關系。間的相互作用關系。 麥克

2、斯韋方程組麥克斯韋方程組 波動方程。波動方程。 問題的提出問題的提出0222tHH0222tEE電磁波動方程電磁波動方程0222tHH0222tEE22)(tHHH2)(tEH00HtHtH同理可得同理可得 推證推證 問題問題 若為有源空間，結果如何？若為有源空間，結果如何？ 若為導電媒質，結果如何？若為導電媒質，結果如何？4.2 電磁場的位函數電磁場的位函數 位函數的性質位函數的性質 位函數的定義位函數的定義 位函數的規(guī)范條件位函數的規(guī)范條件 位函數的微分方程位函數的微分方程引入位函數來描述時變電磁場，使一些問題的分析得到簡化。引入位函數來描述時變電磁場，使一些問題的分析得到簡化。 引入位函

3、數的意義引入位函數的意義 位函數的定義位函數的定義0)(tA0 BABtBtAE 位函數的不確定性位函數的不確定性()()()AAAAAAtttt ）、（A 滿足下列變換關系的兩組位函數滿足下列變換關系的兩組位函數 和和 能描述同能描述同一個電磁場問題。一個電磁場問題。）、（AAAt 即即也就是說，對一給定的電磁場可用不同的位函數來描述。也就是說，對一給定的電磁場可用不同的位函數來描述。 不同位函數之間的上述變換稱為規(guī)范變換。不同位函數之間的上述變換稱為規(guī)范變換。A 原因原因：未規(guī)定：未規(guī)定 的散度。的散度。為任意可微函數為任意可微函數除了利用洛侖茲條件外，另一種常用的是庫侖條件，即除了利用洛

4、侖茲條件外，另一種常用的是庫侖條件，即 在電磁理論中，通常采用洛侖茲條件，即在電磁理論中，通常采用洛侖茲條件，即 位函數的規(guī)范條件位函數的規(guī)范條件0A0tA 造成位函數的不確定性的原因就是沒有規(guī)定造成位函數的不確定性的原因就是沒有規(guī)定 的散度。利用的散度。利用位函數的不確定性，可通過規(guī)定位函數的不確定性，可通過規(guī)定 的散度使位函數滿足的方程得的散度使位函數滿足的方程得以簡化。以簡化。AAtDJH)(tAtJA)(222tAJtAAtEJBJtAA222 位函數的微分方程位函數的微分方程BHEDtAEABAAA2)(0tA D)(tA222t同樣同樣tAEED、0tA 達朗貝爾方程達朗貝爾方程2

5、22tJtAA222 說明說明 應用洛侖茲條件的特點：應用洛侖茲條件的特點： 位函數滿足的方程在形式上是對稱位函數滿足的方程在形式上是對稱 的，且比較簡單，易求解；的，且比較簡單，易求解； 解的物理意義非常清楚，明確地解的物理意義非常清楚，明確地 反映出電磁場具有有限的傳遞速度；反映出電磁場具有有限的傳遞速度； 矢量位只決定于矢量位只決定于J，標，標 量位只決定于量位只決定于，這對求解方程特別有利。只需解出這對求解方程特別有利。只需解出A，無需，無需 解出解出 就可得到待求的電場和磁場。就可得到待求的電場和磁場。 電磁位函數只是簡化時變電磁場分析求解的一種輔助函數，應電磁位函數只是簡化時變電磁

6、場分析求解的一種輔助函數，應 用不同的規(guī)范條件，矢量位用不同的規(guī)范條件，矢量位A和標量位和標量位 的解也不相同，但最終的解也不相同，但最終 得到的電磁場矢量是相同的。得到的電磁場矢量是相同的。4.3 電磁能量守恒定律電磁能量守恒定律 坡印廷定理坡印廷定理 電磁能量及守恒關系電磁能量及守恒關系 坡印廷矢量坡印廷矢量 進入體積進入體積V的能量體積的能量體積V內增加的能量體積內增加的能量體積V內損耗的能量內損耗的能量電場能量密度電場能量密度：e12w ED磁場能量密度磁場能量密度：m12wHB電磁能量密度電磁能量密度：em1122wwwE DHB空間區(qū)域空間區(qū)域V中的電磁能量中的電磁能量：11d()

7、d22VVWw VE DHBV 特點特點：當場隨時間變化時，空間各點的電磁場能量密度也要隨：當場隨時間變化時，空間各點的電磁場能量密度也要隨 時間改變，從而引起電磁能量流動。時間改變，從而引起電磁能量流動。 電磁能量守恒關系：電磁能量守恒關系： 電磁能量及守恒關系電磁能量及守恒關系ddWtVS其中其中： 單位時間內體積單位時間內體積V 中所增加中所增加 的電磁能量。的電磁能量。 單位時間內電場對體積單位時間內電場對體積V中的電流所做的功；中的電流所做的功； 在導電媒質中，即為體積在導電媒質中，即為體積V內總的損耗功率。內總的損耗功率。 通過曲面通過曲面S 進入體積進入體積V 的電磁功率。的電磁

8、功率。 表征電磁能量守恒關系的定理表征電磁能量守恒關系的定理積分形式積分形式：VVSVJEVBHDEtSHEdd)2121(ddd)(VVJEdVVBHDEtd)2121(ddSSHEd)(JEBHDEtHE)2121()( 坡坡印廷定理印廷定理微分形式微分形式：在線性和各向同性的媒質中，當參數都不隨時間變化時，則有在線性和各向同性的媒質中，當參數都不隨時間變化時，則有將以上兩式相減，得到將以上兩式相減，得到由由tBtDJHtBHHtDJHtBHtDJHH)21()(21DttttD)21()(21BHttHHtHHtBH 推證推證即可得到坡印廷定理的微分形式即可得到坡印廷定理的微分形式再利用

9、矢量恒等式再利用矢量恒等式：)(HHHJBHDtH)2121()(在任意閉曲面在任意閉曲面S 所包圍的體積所包圍的體積V上，對上式兩端積分，并應用散上，對上式兩端積分，并應用散度定理，即可得到坡印廷定理的積分形式度定理，即可得到坡印廷定理的積分形式VVSVJEVBHDEtSHEdd)2121(ddd)( 物理意義：物理意義：單位時間內，通過曲面單位時間內，通過曲面S 進入體積進入體積V的電磁能量等于的電磁能量等于 體積體積V 中所增加的電磁場能量與損耗的能量之和。中所增加的電磁場能量與損耗的能量之和。 定義：定義： ( W/m2 )HS 物理意義物理意義： 的方向的方向 電磁能量傳輸的方向電磁

10、能量傳輸的方向S 的大小的大小 通過垂直于能量傳輸方通過垂直于能量傳輸方 向的單位面積的電磁功率向的單位面積的電磁功率S 描述時變電磁場中電磁能量傳輸的一個重要物理量描述時變電磁場中電磁能量傳輸的一個重要物理量 坡印廷矢量（電磁能流密度矢量）坡印廷矢量（電磁能流密度矢量） H S 能能流流密密度度矢矢量量 E O 例例4.3.1 同軸線的內導體半徑為同軸線的內導體半徑為a 、外導體的內半徑為、外導體的內半徑為b，其間，其間填充均勻的理想介質。設內外導體間的電壓為填充均勻的理想介質。設內外導體間的電壓為U ，導體中流過的電，導體中流過的電流為流為I 。（。（1）在導體為理想導體的情況下，計算同軸

11、線中傳輸的）在導體為理想導體的情況下，計算同軸線中傳輸的功率；（功率；（2）當導體的電導率）當導體的電導率為有限值時，計算通過內導體表面為有限值時，計算通過內導體表面進入每單位長度內導體的功率。進入每單位長度內導體的功率。同軸線同軸線 解：解：（1）在內外導體為理想導體的情況下，電場和磁場只存）在內外導體為理想導體的情況下，電場和磁場只存在于內外導體之間的理想介質中，內外導體表面的電場無切向分在于內外導體之間的理想介質中，內外導體表面的電場無切向分量，只有電場的徑向分量。利用高斯定理和安培環(huán)路定理，容易量，只有電場的徑向分量。利用高斯定理和安培環(huán)路定理，容易求得內外導體之間的電場和磁場分別為求

12、得內外導體之間的電場和磁場分別為,ln()UEeb a()ab2IHe2()ln()22ln()zUIUISEHeeeb ab a內外導體之間任意橫截面上的坡印廷矢量內外導體之間任意橫截面上的坡印廷矢量電磁能量在內外導體之間的介質中沿軸方向流動，即由電源流向電磁能量在內外導體之間的介質中沿軸方向流動，即由電源流向負載，如圖所示。負載，如圖所示。2d2d2ln()bzSaUIPSeSUIb a穿過任意橫截面的功率為穿過任意橫截面的功率為同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（理想導體情況）（理想導體情況） （2）當導體的電導率）當導體的電導率為有限值時，導體內部存在沿電

13、流方為有限值時，導體內部存在沿電流方向的電場向的電場內內2zJIEea根據邊界條件，在內導體表面上電場的切向分量連續(xù)，即根據邊界條件，在內導體表面上電場的切向分量連續(xù)，即因此，在內導體表面外側的電場為因此，在內導體表面外側的電場為zzEE外 內2ln()zaUIEeeab aa外2aIHea外磁場則仍為磁場則仍為內導體表面外側的坡印廷矢量為內導體表面外側的坡印廷矢量為2232()22ln()zaaIUISEHeeaab a 外外外同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（非理想導體情況）（非理想導體情況）22122320()d2 d2SaIIPSSa zRIaa e外2

14、1Ra式中式中 是單位長度內導體的電阻。由此可見，進入內導是單位長度內導體的電阻。由此可見，進入內導體中功率等于這段導體的焦耳損耗功率。體中功率等于這段導體的焦耳損耗功率。由此可見，內導體表面外由此可見，內導體表面外側的坡印廷矢量既有軸向側的坡印廷矢量既有軸向分量，也有徑向分量，如分量，也有徑向分量，如圖所示。圖所示。進入每單位長度進入每單位長度內導體的功率為內導體的功率為 以上分析表明電磁能量是由電磁場傳輸的，導體僅起著定向以上分析表明電磁能量是由電磁場傳輸的，導體僅起著定向引導電磁能流的作用。當導體的電導率為有限值時，進入導體中引導電磁能流的作用。當導體的電導率為有限值時，進入導體中的功率

15、全部被導體所吸收，成為導體中的焦耳熱損耗功率。的功率全部被導體所吸收，成為導體中的焦耳熱損耗功率。同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（非理想導體情況）（非理想導體情況）4. 5 時諧電磁場時諧電磁場 復矢量的麥克斯韋方程復矢量的麥克斯韋方程 時諧電磁場的復數表示時諧電磁場的復數表示 復電容率和復磁導率復電容率和復磁導率 時諧場的位函數時諧場的位函數 亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程 平均能流密度矢量平均能流密度矢量 時諧電磁場的概念時諧電磁場的概念 如果場源以一定的角頻率隨時間呈時諧（正弦或余弦）變化，如果場源以一定的角頻率隨時間呈時諧（正弦或余弦）變化，則所產生電磁場也

16、以同樣的角頻率隨時間呈時諧變化。這種以一則所產生電磁場也以同樣的角頻率隨時間呈時諧變化。這種以一定角頻率作時諧變化的電磁場，稱為時諧電磁場或正弦電磁場。定角頻率作時諧變化的電磁場，稱為時諧電磁場或正弦電磁場。 研究時諧電磁場具有重要意義研究時諧電磁場具有重要意義 在工程上，應用最多的就是時諧電磁場。在工程上，應用最多的就是時諧電磁場。廣播、電視和通信廣播、電視和通信 的載波等都是時諧電磁場。的載波等都是時諧電磁場。 任意的時變場在一定的條件下可通過傅里葉分析方法展開為不任意的時變場在一定的條件下可通過傅里葉分析方法展開為不 同頻率的時諧場的疊加。同頻率的時諧場的疊加。4.5.1 時諧電磁場的復

17、數表示時諧電磁場的復數表示 時諧電磁場可用復數方法來表示，使得大多數時諧電磁場問時諧電磁場可用復數方法來表示，使得大多數時諧電磁場問題的分析得以簡化。題的分析得以簡化。 設設 是一個以角頻率是一個以角頻率 隨時間隨時間t t 作正弦變化的場量，它作正弦變化的場量，它可以是電場和磁場的任意一個分量，也可以是電荷或電流等變量，可以是電場和磁場的任意一個分量，也可以是電荷或電流等變量，它與時間的關系可以表示成它與時間的關系可以表示成( , )A r t 0( , )cos( )A r tAtrj()j0(, )R eeR e()etrtA r tAA r其中其中j()0( )erA rA時間因子時間

18、因子空間相位因子空間相位因子 利用三角公式利用三角公式式中的式中的A0為振幅、為振幅、 為與坐標有關的相位因子。為與坐標有關的相位因子。( )r 實數表示法或實數表示法或瞬時表示法瞬時表示法復數表示法復數表示法復振幅復振幅 時諧電磁場的時諧電磁場的復數表示復數表示 復數式只是數學表示方式，不代表真實的場。復數式只是數學表示方式，不代表真實的場。 有關復數表示的進一步說明有關復數表示的進一步說明 真實場是復數式的實部，即瞬時表達式。真實場是復數式的實部，即瞬時表達式。 由于時間因子是默認的，有時它不用寫出來，只用與坐標有由于時間因子是默認的，有時它不用寫出來，只用與坐標有 關的部分就可表示復矢量

19、。關的部分就可表示復矢量。 例例4.5.1 將下列場矢量的瞬時值形式寫為復數形式將下列場矢量的瞬時值形式寫為復數形式mm( , )cos()sin()xxxyyyE z te Etkze Etkz（2）mm( , )() sin() sin()cos() cos()xzaxHx z te Hkkztaxe Hkzta解：解：（1）由于）由于mm( , )cos()cos()2xxxyyyE z te Etkze Etkzj( / 2)j()mmReeeyxtkztkzxxyye Ee Ej( / 2)j()mmm( )eeyxkzkzxxyyEze Ee Ejjjmm(eje)eyxkzxxy

20、ye EeE（1）所以所以（2）因為）因為 cos()cos()kzttkzsin()cos()cos()22kztkzttkzjj 2jmmm( , )() sin()ecos()ekzkzxzaxxHx ze Hke Haa故故 mm( , )() sin() sin()cos() cos()xzaxHx z te Hkkztaxe Hkzta所以所以 mm() sin() cos()2cos() cos()xzaxe Hktkzaxe Htkza 例例4.5.2 已知電場強度復矢量已知電場強度復矢量mm( )jcos()xxzEzeEk z解解jmj()2m( , )Rejcos()eR

21、ecos()etxxztxxzE z teEk ze Ek zmcos() cos()2xxze Ek zt其中其中kz和和Exm為實常數。寫出電場強度的瞬時矢量為實常數。寫出電場強度的瞬時矢量mcos() sin()xxze Ek zt 以電場旋度方程以電場旋度方程 為例，代入相應場量的矢量，可得為例，代入相應場量的矢量，可得tBEjjmmR e(e)R e(e)ttEBt jjjmmmR e(e)R e(e)R ejetttEBBt tRe 將將 、 與與 交換次序，得交換次序，得4.5.2 復矢量的麥克斯韋方程復矢量的麥克斯韋方程mmR eR e jEB mmmmmmmmjj0HJDEB

22、BD 0tt DHJBEBDjj0HJDEBDB 從形式上講，只要把微分算子從形式上講，只要把微分算子 用用 代替，就可以把時諧電磁代替，就可以把時諧電磁場的場量之間的關系，轉換為復矢量之間關系。因此得到復矢量場的場量之間的關系，轉換為復矢量之間關系。因此得到復矢量的麥克斯韋方程的麥克斯韋方程jtjt 略去略去“.”和下標和下標m 例題例題：已知正弦電磁場的電場瞬時值為：已知正弦電磁場的電場瞬時值為),(),(),(21tzEtzEtzE8182(, )0 .0 3 sin (1 0 )(, )0 .0 4 co s(1 0 / 3)xxEz tetkzEz tetkz式中式中888888j(

23、10 / 2)j(10 / 3)j( / 2)j( / 3)j( , )0.03sin(10 )0.04 cos(10 / 3)0.03 cos(10 )0.04 cos(10 / 3)2Re0.03eRe0.04eRe0.03e0.04eexxxxtkztkzxxkzkzxxE z tetkzetkzetkzetkzeeee810 t 解解：（1）因為）因為j / 2j / 3j( )0.03e0.04eekzxE ze故電場的復矢量為故電場的復矢量為試求：（試求：（1）電場的復矢量）電場的復矢量;（2）磁場的復矢量和瞬時值。）磁場的復矢量和瞬時值。（2）由復數形式的麥克斯韋方程，得到磁場的

24、復矢量）由復數形式的麥克斯韋方程，得到磁場的復矢量00jjj32054321j( )( )j0.03e0.04ee7.610e1.0110eexykzyjjjkzyEHzE zezkee k j58( , )R e( )e7.610sin(10 )tyHz tHze ktkz481.0110cos(10 )3tkz磁場強度瞬時值磁場強度瞬時值實際的介質都存在損耗：實際的介質都存在損耗： 導電媒質導電媒質當電導率有限時，存在歐姆損耗。當電導率有限時，存在歐姆損耗。 電介質電介質受到極化時，存在電極化損耗。受到極化時，存在電極化損耗。 磁介質磁介質受到磁化時，存在磁化損耗。受到磁化時，存在磁化損耗

25、。 損耗的大小與媒質性質、隨時間變化的頻率有關。一些媒質損耗的大小與媒質性質、隨時間變化的頻率有關。一些媒質 的損耗在低頻時可以忽略，但在高頻時就不能忽略。的損耗在低頻時可以忽略，但在高頻時就不能忽略。4.5.3 復電容率和復磁導率復電容率和復磁導率 cjj(j)j HEEEE 導電媒質的等效介電常數導電媒質的等效介電常數其中其中 c= j/稱為導電媒質的等效介電常數。稱為導電媒質的等效介電常數。 對于介電常數為對于介電常數為 、電導率為、電導率為 的導電媒質，有的導電媒質，有 電介質的復介電常數電介質的復介電常數 同時存在極化損耗和歐姆損耗的介質同時存在極化損耗和歐姆損耗的介質c j(+)

26、磁介質的復磁導率磁介質的復磁導率c j 對于存在電極化損耗的電介質，有對于存在電極化損耗的電介質，有 ，稱為復介電，稱為復介電常數或復電容率。其虛部為大于零的數，表示電介質的電極化損常數或復電容率。其虛部為大于零的數，表示電介質的電極化損耗。在高頻情況下，實部和虛部都是頻率的函數。耗。在高頻情況下，實部和虛部都是頻率的函數。 對于同時存在電極化損耗和歐姆損耗的電介質，復介電常數對于同時存在電極化損耗和歐姆損耗的電介質，復介電常數為為c j 對于磁性介質，復磁導率數為對于磁性介質，復磁導率數為 ，其虛部為大于零，其虛部為大于零的數，表示磁介質的磁化損耗。的數，表示磁介質的磁化損耗。 損耗角正切損

27、耗角正切 導電媒質導電性能的相對性導電媒質導電性能的相對性tantan，電介質電介質tan，導電媒質導電媒質磁介質磁介質1 弱導電媒質和良絕緣體弱導電媒質和良絕緣體1 一般導電媒質一般導電媒質1 良導體良導體 工程上通常用損耗角正切來表示介質的損耗特性，其定義為工程上通常用損耗角正切來表示介質的損耗特性，其定義為復介電常數或復磁導率的虛部與實部之比，即有復介電常數或復磁導率的虛部與實部之比，即有 導電媒質的導電性能具有相對性，在不同頻率情況下，導電導電媒質的導電性能具有相對性，在不同頻率情況下，導電媒質具有不同的導電性能。媒質具有不同的導電性能。導電媒質導電媒質理想介質理想介質4.5.4 亥姆

28、霍茲方程亥姆霍茲方程 在時諧時情況下，將在時諧時情況下，將 、 ，即可得到復即可得到復矢量的波動方程，稱為亥姆霍茲方程。矢量的波動方程，稱為亥姆霍茲方程。222t tj 瞬時矢量瞬時矢量復矢量復矢量22222200ttEEHH222200kkEEHH()k 22222200ttttEEEHHHkcc() 22c22c00kkEEHH4.5.5 時諧場的位函數時諧場的位函數 在時諧情況下，矢量位和標量位以及它們滿足的方程都可以在時諧情況下，矢量位和標量位以及它們滿足的方程都可以表示成復數形式。表示成復數形式。t BAAE洛侖茲條件洛侖茲條件達朗貝爾方程達朗貝爾方程瞬時矢量瞬時矢量復矢量復矢量j

29、BAEAt Aj A222222tt AAJ2222kk AAJ4.5.6 平均能量密度和平均能流密度矢量平均能量密度和平均能流密度矢量 二次式本身不能用復數形式表示，其中的場量必須是實數二次式本身不能用復數形式表示，其中的場量必須是實數形式，不能將復數形式的場量直接代入。形式，不能將復數形式的場量直接代入。00( , )cos( )( , )cos( )ttttE rErH rHr 設某正弦電磁場的電場強度和磁場強度分別為設某正弦電磁場的電場強度和磁場強度分別為 電磁場能量密度和能流密度的表達式中都包含了電磁場能量密度和能流密度的表達式中都包含了場量的平方場量的平方 關系關系，這種關系式稱為

30、，這種關系式稱為二次式二次式。 時諧場中時諧場中二次式的表示方法二次式的表示方法則能流密度為則能流密度為 200cos( )trSEHEH如把電場強度和磁場強度用復數表示，即有如把電場強度和磁場強度用復數表示，即有j()0()erErEj()0()erHrHj()j()jj00j2(0000Re(ee)ReeeRe ecos 22 ( )trtrtttr)trSEHEHEHEHj()j()00200ReeReecos( )trtrtrSEHEH先取實部，再代入先取實部，再代入 使用二次式時需要注意的問題使用二次式時需要注意的問題 二次式只有實數的形式，沒有復數形式。二次式只有實數的形式，沒有復數形式。 場量是實數式時，直接代入二次式即可。場量是實數式時，直接代入二次式即可。 場量是復數式時，應先取實部再代入，即場量是復數式時，應先取實部再代入，即“先取實后相乘先取實后相乘”。 如復數形式的場量中沒有時間因子，取實前先補充時間因如復數形式的場量中沒有時間因子，取實前先補充時間因 子。子。 二次式的時間平均值二次式的時間平均值 在時諧電磁場中，常常要在時諧電磁場中，常常要關心關心二次式二次式在一個時間周期在一個時間周期