【0410數(shù)學(xué)課】34基本不等式

1、如圖，這是如圖，這是20022002年在北京年在北京召開的第召開的第2424屆國(guó)際數(shù)學(xué)家屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)顏色的明暗使大會(huì)會(huì)標(biāo)顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客。表中國(guó)人民熱情好客。古代數(shù)學(xué)家古代數(shù)學(xué)家 趙爽趙爽勾股弦圖勾股弦圖 你能用四個(gè)全等的直角三角形拼成一幅勾股弦圖嗎？ab22ba 22ba ab21、正方形、正方形ABCD的的面積面積S=、四個(gè)直角三角形的、四個(gè)直角三角形的面積和面積和S = =、S與與S有什么有什么樣的不等關(guān)系？樣的不等關(guān)系？S_S探究：圖型中的面積關(guān)系ab（當(dāng)時(shí)取等號(hào)）0,0, ,ababa b如果我們用分別代換可得到什么結(jié)

2、論？22,2a bRabab若則ab（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）重要不等式重要不等式：2abab 0,0,ab若基本不等式基本不等式：(0,0)2a bab ab重要不等式：重要不等式：222(,)abab aR bR如何證明基本不等式證明基本不等式呢？呢？ 基本不等式基本不等式：(0,0)2abab ab 我們把我們把 叫做正數(shù)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)， 叫做正數(shù)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)；的幾何平均數(shù)；2abab文字?jǐn)⑹觯何淖謹(jǐn)⑹觯簝蓚€(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們 的幾何平均數(shù)的幾何平均數(shù).做差綜合書本 證明：(0,0)2abab ab作差法作差法2ab

3、ab,.2ababab所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立22abab 2()02ab做差綜合書本若aR,bR2abab 則222abab則2()4abab則0,0ab數(shù)與形的完美結(jié)合數(shù)與形的完美結(jié)合做差綜合書本12002 100 xyxyxy2 取等219282xyxyxyyxyx 取等利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值積為定，和最小積為定，和最小和為定，積最大和為定，積最大各項(xiàng)皆為各項(xiàng)皆為正數(shù)正數(shù)；和或積為和或積為定值定值；注意注意等號(hào)等號(hào)成立的條件成立的條件.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值 注意以下三點(diǎn)注意以下三點(diǎn)一一“正正”二二“定定”三三“相等相等”整體消元整體消元利用基本不等式求

4、最值利用基本不等式求最值變式變式：用基本不等式求最值，判斷一下正誤：用基本不等式求最值，判斷一下正誤min4(3)0sin=4sinxxx若若si n，si n， 可 可得得1(1)2xxmin1(2)1,=21xxx 若若0 x 11,112131xxx ：若若改改 正 正 40sin5sinxxx若若s s正正i i改改， ：n n錯(cuò)誤；變量未取正。錯(cuò)誤；變量未取正。加上條件：加上條件：錯(cuò)誤；未滿足錯(cuò)誤；未滿足“定值定值”錯(cuò)誤；取不到錯(cuò)誤；取不到“=”結(jié)合對(duì)勾函數(shù)結(jié)合對(duì)勾函數(shù)1例例證法：證法：cabcabcbaRba 222，求證：，求證：，已知已知)()(222cabcabcba )22

5、2222(21222cabcabcba )()()(21222accbba Rba ，又又0)(0)(0)(222 accbba，0)()()(21222 accbba.222cabcabcba cabcabcba 222（比較法）（比較法）：證法證法2cabcabcbaRba 222，求證：，求證：，已知已知1例例Rba ，abba222 bccb222 caac222 相加相加cabcabcba222222222 得得.222cabcabcba 即即（綜合法）（綜合法）整體構(gòu)造消元整體構(gòu)造消元消元消元解：.111200的最小值求，且，已知yxyxyx，且，1200yxyxyyxxyxyx2

6、211221yxxyyxxy23yxxy223223yxxy2當(dāng)且僅當(dāng)12 yx時(shí)，且22112yx.223)11(minyx小結(jié)例30, 0yx解：xyyx1211812212xyxyyx由已知得：2482)11( ,81minyxxy時(shí)當(dāng).111200的最小值求，且，已知yxyxyx小結(jié)例3兩次使用，取等條件要相同兩次使用，取等條件要相同取等條件一致取等條件一致消元思想和意識(shí)消元思想和意識(shí)消元思想和意識(shí)消元思想和意識(shí)消元思想和意識(shí)消元思想和意識(shí)1. 重要不等式重要不等式和和基本不等式基本不等式的的代數(shù)代數(shù)、幾何背景幾何背景及及證明證明2. 強(qiáng)化強(qiáng)化“數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想。的數(shù)學(xué)思想。3. 函數(shù)與方程思想，函數(shù)與方程思想，代入消元