河南專升本高數(shù)復(fù)習(xí)資料

1、第一章極限和連續(xù) 第一節(jié)極限 復(fù)習(xí)考試要求1 .理解極限的概念對(duì)極限定義 -W等形式的描繪不作要求。會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn) 處的左極限與右極限，理解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。2理解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四那么運(yùn)算法那么。3理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量的性質(zhì)、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系 會(huì)進(jìn)展無(wú)窮小量階的比較高階、低階、同階和等價(jià)。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量代換求 極限。4純熟掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性復(fù)習(xí)考試要求1理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與連續(xù)的概念，理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與極限存在之間的關(guān) 系，掌握判斷函數(shù)含分段函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)性的方法。2 .會(huì)求函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)。3

2、 .掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)會(huì)用它們證明一些簡(jiǎn)單命題。4理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會(huì)利用函數(shù)連續(xù)性求極限。第二章一元函數(shù)微分學(xué) 第一節(jié)導(dǎo)數(shù)與微分 復(fù)習(xí)考試要求1理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義， 理解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會(huì)用定義求函數(shù)在一點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)。2會(huì)求曲線上一點(diǎn)處的切線方程與法線方程。3純熟掌握導(dǎo)數(shù)的根本公式、四那么運(yùn)算法那么以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法。4 .掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法與對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。5 .理解高階導(dǎo)數(shù)的概念。會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。6理解微分的概念，掌握微分法那么，理解可微和可導(dǎo)的關(guān)系，會(huì)求函數(shù)的一階微分。 第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)考試要求“0 心、&

3、; -8型未定式的極限的方法。2 .掌握利用導(dǎo)數(shù)斷定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法。會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性證明簡(jiǎn)單的不等式。3 .理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的駐點(diǎn)、極值點(diǎn)、極值、最大值與最小值的方法， 會(huì)解簡(jiǎn)單的應(yīng)用題。4 .會(huì)判斷曲線的凹凸性，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)第三章一元函數(shù)積分學(xué)第一節(jié)不定積分復(fù)習(xí)考試要求1理解原函數(shù)與不定積分的概念及其關(guān)系，掌握不定積分的性質(zhì)。2純熟掌握不定積分的根本公式。3純熟掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法僅限三角代換與簡(jiǎn)單的根式代換。4純熟掌握不定積分的分部積分法。5 .掌握簡(jiǎn)單有理函數(shù)不定積分的計(jì)算。第二節(jié)定積分及其應(yīng)用復(fù)習(xí)考試要求1理解定積分的概念

4、及其幾何意義，理解函數(shù)可積的條件3.理解變上限積分是變上限的函數(shù)，掌握對(duì)變上限積分求導(dǎo)數(shù)的方法。萊布尼茨公式。5.掌握定積分的換元積分法與分部積分法。6理解無(wú)窮區(qū)間的廣義積分的概念，掌握其計(jì)算方法。7.掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計(jì)算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成 的旋轉(zhuǎn)體的體積。第四章多元函數(shù)微分學(xué)復(fù)習(xí)考試要求1理解多元函數(shù)的概念，會(huì)求二元函數(shù)的定義域。理解二元函數(shù)的幾何意義。2理解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念。3理解二元函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念， 掌握二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。 掌握 二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的求法，掌握二元函數(shù)的全微分的求法。4.掌握復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)

5、的求法。5會(huì)求二元函數(shù)的無(wú)條件極值和條件極值。6會(huì)用二元函數(shù)的無(wú)條件極值及條件極值解簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。第五章概率論初步復(fù)習(xí)考試要求1理解隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn)的根本特點(diǎn)；理解根本領(lǐng)件、樣本空間、隨機(jī)事件的概念。2.掌握事件之間的關(guān)系：包含關(guān)系、相等關(guān)系、互不相容關(guān)系及對(duì)立關(guān)系。3理解事件之間并和、交積、差運(yùn)算的意義，掌握其運(yùn)算規(guī)律。4理解概率的古典型意義，掌握事件概率的根本性質(zhì)及事件概率的計(jì)算。5會(huì)求事件的條件概率；掌握概率的乘法公式及事件的獨(dú)立性。6理解隨機(jī)變量的概念及其分布函數(shù)。7理解離散性隨機(jī)變量的意義及其概率分布掌握概率分布的計(jì)算方法。8會(huì)求離散性隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。第一章極限

6、和連續(xù)第一節(jié)極限復(fù)習(xí)考試要求1.理解極限的概念對(duì)極限定義等形式的描繪不作要求。會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn) 處的左極限與右極限，理解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。2理解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四那么運(yùn)算法那么。3理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量的性質(zhì)、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系 會(huì)進(jìn)展無(wú)窮小量階的比較高階、低階、同階和等價(jià)。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量代換求 極限。4純熟掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。主要知識(shí)內(nèi)容一數(shù)列的極限定義按一定順序排列的無(wú)窮多個(gè)數(shù) 稱為無(wú)窮數(shù)列，簡(jiǎn)稱數(shù)列，記作Xn,數(shù)列中每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，第 n項(xiàng)Xn為數(shù) 列的一般項(xiàng)或通項(xiàng)，例如11, 3, 5,，2n-1，等差數(shù)列2小仙

7、；等比數(shù)列3適高二遞增數(shù)列41, 0, 1, 0,舊工，震蕩數(shù)列都是數(shù)列。它們的一般項(xiàng)分別為 八 IT -由'' 2n-1產(chǎn)口 。對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n,都有一個(gè)Xn與之對(duì)應(yīng)，所以說(shuō)數(shù)列Xn可看作自變量n的函數(shù)Xn=f n，它的定義域是全體正整數(shù)，當(dāng)自變量 n依次取1,2,3一切正整數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就排列成數(shù)列。在幾何上，數(shù)列xn可看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它依次取數(shù)軸上的點(diǎn) X1X2,X3，木。定義對(duì)于數(shù)列Xn,假設(shè)當(dāng)n-s時(shí)，Xn無(wú)限地趨于一個(gè)確定的常數(shù) A,那么稱當(dāng)n趨 于無(wú)窮大時(shí)，數(shù)列Xn以常數(shù)A為極限，或稱數(shù)列收斂于 A,記作觸吟沙當(dāng)一的 比方：；甘44無(wú)限的趨向0達(dá)福二無(wú)

8、限的趨向1否那么，對(duì)于數(shù)列Xn,假設(shè)當(dāng)n-8時(shí)，Xn不是無(wú)限地趨于一個(gè)確定的常數(shù)，稱數(shù)列 Xn沒(méi)有極限，假設(shè)數(shù)列沒(méi)有極限，就稱數(shù)列是發(fā)散的。比方：1, 3, 5,，2n-1，1, 0, 1, 0,數(shù)列極限的幾何意義：將常數(shù)A及數(shù)列的項(xiàng)依次用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，假設(shè)數(shù)列Xn 以A為極限，就表示當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，點(diǎn)Xn可以無(wú)限靠近點(diǎn)A,即點(diǎn)Xn與點(diǎn)A之間 的間隔|Xn-A|趨于0。比方：無(wú)限的趨向0上島二無(wú)限的趨向1二數(shù)列極限的性質(zhì)與運(yùn)算法那么定理1.1惟一性假設(shè)數(shù)列Xn收斂，那么其極限值必定惟一。定理1.2有界性假設(shè)數(shù)列Xn收斂，那么它必定有界。注意：這個(gè)定理反過(guò)來(lái)不成立，也就是說(shuō)，有界數(shù)列不一定收

9、斂。比方:1, 0, 1, 0, 一有界：0, 1定理1.3兩面夾準(zhǔn)那么假設(shè)數(shù)列Xn，Wn,Zn滿足以下條件：1卜之2酗-熱I, 那么晅定理1.4假設(shè)數(shù)列Xn單調(diào)有界，那么它必有極限。O|j i| j，工,一 £3當(dāng)螞時(shí)，三函數(shù)極限的概念X0時(shí)函數(shù)fX的極限1當(dāng)XX0時(shí)fX的極限定義對(duì)于函數(shù)y=fX，假設(shè)當(dāng)X無(wú)限地趨于X。時(shí)，函數(shù)fX無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A, 那么稱當(dāng)x-x0時(shí)，函數(shù)fX的極限是A,記作A當(dāng) x-X0時(shí)陽(yáng)小或fX一 例 y=f X =2x+1 X-1,fXf ?x<1x10-口 *y-2 3x>1x-1e" IILI口0g2左極限當(dāng)xX0時(shí)fX的左

10、極限定義對(duì)于函數(shù)y=fX，假設(shè)當(dāng)X從X。的左邊無(wú)限地趨于X0時(shí)，函數(shù)fX無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A,那么稱當(dāng)X-X。時(shí)，函數(shù)fX的左極限是A,記作瞧次一或 fX。-。二A3右極限當(dāng)XX。時(shí)，fX的右極限定義對(duì)于函數(shù)y二fX，假設(shè)當(dāng)X從X。的右邊無(wú)限地趨于X。時(shí)，函數(shù)fX無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A,那么稱當(dāng)X-X。時(shí)，函數(shù)fX的右極限是A,記作幅石i或 fx0+。=A例子：分段函數(shù)的 1，叱皿，求現(xiàn)加，即.解：當(dāng)X從。的左邊無(wú)限地趨于。時(shí)fX無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)1。我們稱當(dāng)X-。時(shí)， fX的左極限是1,即有當(dāng)X從。的右邊無(wú)限地趨于。時(shí)，fX無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)-1。我們稱當(dāng)X-。時(shí)，f X的右極限是-1,即有/

11、加上尋口一吐|顯然，函數(shù)的左極限 段/右極限嚅而與函數(shù)的極限吧戶之間有以下關(guān)系:-X。時(shí)，函數(shù)fX的極限等于A的必要充分條件是反之，假設(shè)左、右極限都等于 A,那么必有現(xiàn)勺?。X-1 時(shí) f(x)f ?±2.上生工.X# 1_'二1X- 1f(x)- 2hit - -2對(duì)于函數(shù)八二房、當(dāng)X-1時(shí)，fX的左極限是2,右極FM也是2。oo時(shí)，函數(shù)fX的極限1當(dāng)X00時(shí)，函數(shù)fX的極限y=f(x)x°°f(x)f ?y=f(x)=1+ :Xoof(x)=1+ -1._?=i康義對(duì)于函數(shù)y=fx，假設(shè)當(dāng)x-s時(shí)，fx無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù) A,那么稱當(dāng)xoo時(shí)，函數(shù)fx

12、的極限是A,記作心/力.或fxA當(dāng)x-00時(shí)2當(dāng)x+8時(shí)，函數(shù)fx的極限定義對(duì)于函數(shù)y=fx，假設(shè)當(dāng)x- + s時(shí)，fx無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù) A,那么稱當(dāng)x f+OO時(shí)，函數(shù)fx的極限是A,記作典3*這個(gè)定義與數(shù)列極限的定義根本上一樣，數(shù)列極限的定義中 n-+ 8的n是正整數(shù)；而 在這個(gè)定義中，那么要明確寫(xiě)出x-+s,且其中的x不一定是正整數(shù)，而為任意實(shí)數(shù)。y=f(x)xf+°0f(x)x 一?x7 + oo, f(x)=2+2晶”紀(jì)例：函數(shù) fx=2+e-x,當(dāng) xf+ °°時(shí)，fx7 ？解：fx=2+e-x=2+£,x7+ oo, fx=2+-2所以3

13、當(dāng)x7-oo時(shí)，函數(shù)fx的極限定義對(duì)于函數(shù)y=fx，假設(shè)當(dāng)x-s時(shí)，fx無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù) A,那么稱當(dāng)x 7 -OO時(shí)，fx的極限是A,記作幽而Axoof(x)f ?那么 f(x)=2+上(x< 0)x7oo,-xf +oof(x)=2+272典心起例：函數(shù)2當(dāng)x-q時(shí)，fx一 ?解：當(dāng) x- -00 時(shí)，-x+ooEEi-2,即有由上述x00, xf + °0, x-00時(shí)，函數(shù)fx極限的定義，不難看出：x-00時(shí)fx 的極限是A充分必要條件是當(dāng)x+oo以及x-oo時(shí)，函數(shù)fx有一樣的極限Ao例如函數(shù)人小、；，當(dāng)x-0°時(shí)，fX無(wú)限地趨于常數(shù)1,當(dāng)X + 

14、6;°時(shí)，fX也無(wú)限地 趨于同一個(gè)常數(shù)1,因此稱當(dāng)X-8時(shí)芻G的極限是1,記作其幾何意義如圖3所示f(x)=1+工Luh（I* -J * I 3- Ty=arctanxI _- j. _ «- lei mcI£ = -Ltra :tiai=現(xiàn)E1不存在。但是對(duì)函數(shù)y=arctanx來(lái)講，因?yàn)橛蠭- _.Kkm arrtaa rEkn Wh 雪一£即雖然當(dāng)x-s時(shí)，fx的極限存在，當(dāng)x- +8時(shí)，fx的極限也存在，但這兩 個(gè)極限不一樣，我們只能說(shuō)，當(dāng) xs時(shí)，y=arctanx的極限不存在。x）=1 + ilhm （1 + 3=1liin (1+-)=1y

15、=arctanxIm arctein=一.lim 不湎4h-w 2竹榔 2.船et不存在。但是對(duì)函數(shù)y=arctanx來(lái)講，因?yàn)橛屑措m然當(dāng)x-s時(shí)，fx的極限存在，當(dāng)x- + s時(shí)，fx的極限也存在，但這兩 個(gè)極限不一樣，我們只能說(shuō)，當(dāng) xs時(shí)，y=arctanx的極限不存在。四函數(shù)極限的定理定理1.7惟一性定理假設(shè)變河存在，那么極限值必定惟一。定理1.8兩面夾定理設(shè)函數(shù) 8制審在點(diǎn)同的某個(gè)鄰域內(nèi)壬可除外滿足條件：們峋詢，2迪時(shí)嗝 那么有吃吧。F面我們給出函數(shù)極限的四那么運(yùn)算定理樂(lè)僧=4媽酢/那么伽加工）士虱加二毗丁的土顯工上乂士1 -一叩寸船W伸血叫2八1 、 Ilig©小Q3當(dāng)出

16、時(shí),小，血曲金 曲盤(pán).%一=4歐 UI EW B時(shí),上述運(yùn)算法那么可推廣到有限多個(gè)函數(shù)的代數(shù)和及乘積的情形，有以下推論：期世尚簿h期明儺如期1，,I&珅必二口五.2出.出、：口小皿面3 ：仁.的_I用極限的運(yùn)算法那么求極限時(shí)，必須注意：這些法那么要求每個(gè)參與運(yùn)算的函數(shù)的極 限存在，且求商的極限時(shí)，還要求分母的極限不能為零。另外，上述極限的運(yùn)算法那么對(duì)于叵T的的情形也都成立。五無(wú)窮小量和無(wú)窮大量1無(wú)窮小量簡(jiǎn)稱無(wú)窮小定義對(duì)于函數(shù)4儂，假設(shè)自變量x在某個(gè)變化過(guò)程中，函數(shù)了的極限為零，那么稱在該變化過(guò)程中，山為無(wú)窮小量，一般記作以*=0常用希臘字母引，來(lái)表示無(wú)窮小量。也以A為極限的必要充分條件

17、是：所可表示為A與一個(gè)無(wú)窮小量之和。llm/- / T八0 A i a麗0f的注意：1無(wú)窮小量是變量，它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢(shì)無(wú)限趨 于為零。2要把無(wú)窮小量與很小的數(shù)嚴(yán)格區(qū)分開(kāi)，一個(gè)很小的數(shù)，無(wú)論它多么小也不是無(wú)窮 小量。3一個(gè)變量是否為無(wú)窮小量是與自變量的變化趨勢(shì)嚴(yán)密相關(guān)的。在不同的變化過(guò)程中，同一個(gè)變量可以有不同的變化趨勢(shì)，因此結(jié)論也不盡一樣。例如：再一EXrur 一1匕理.振蕩型發(fā)散2I4越變?cè)叫〉淖兞恳膊灰欢ㄊ菬o(wú)窮小量，例如當(dāng)x越變?cè)酱髸r(shí)，吟就越變?cè)叫?，但它不是無(wú)窮小量。5無(wú)窮小量不是一個(gè)常數(shù)，但數(shù)“ 0”是無(wú)窮小量中惟一的一個(gè)數(shù)，這是因?yàn)?吃九 2無(wú)窮大量簡(jiǎn)稱無(wú)窮大

18、定義；假設(shè)當(dāng)自變量”不或s時(shí)，w的絕對(duì)值可以變得充分大也即無(wú)限地增大， 那么稱在該變化過(guò)程中，為無(wú)窮大量。記作 叫。注意：無(wú)窮大8不是一個(gè)數(shù)值，'&是一個(gè)記號(hào)，絕不能寫(xiě)成或小川。無(wú)窮小量與無(wú)窮大量之間有一種簡(jiǎn)單的關(guān)系，見(jiàn)以下的定理。定理1.11在同一變化過(guò)程中，假設(shè)"為無(wú)窮大量，那么短為無(wú)窮小量；反之，假設(shè)儂為 無(wú)窮小量，且 南g 那么會(huì)為無(wú)窮大量。當(dāng)三/"方無(wú)窮大J小川-為無(wú)窮小當(dāng)工W也"為無(wú)窮八、卜中木無(wú)窮大性質(zhì)1有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍是無(wú)窮小量；性質(zhì)2有界函數(shù)變量與無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量；特別地，常量與無(wú)窮小量的 乘積是無(wú)窮小量。性質(zhì)3有

19、限個(gè)無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量。性質(zhì)4無(wú)窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無(wú)窮小量。定義設(shè)，是同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小量，即 而5一,M”。HI假設(shè)嶗那么稱£是比較高階的無(wú)窮小量，記作；2假設(shè)則7那么稱*與'為同階的無(wú)窮小量；3假設(shè)噴,那么稱。與一為等價(jià)無(wú)窮小量，記為 曰;4假設(shè)嘮="那么稱,是比較忸低價(jià)的無(wú)窮小量。當(dāng) I1-B +I肛 二1 址0+ T)- 3lira 11M jr zJt 3等價(jià)無(wú)窮小量代換定理：假設(shè)當(dāng)時(shí)，五立咒一”均為無(wú)窮小量，又有口三£三.且筌產(chǎn)存在，那么主又有a _ a 3© 揖 J5f R,g竟“皿告號(hào)切= 1m會(huì)&qu

20、ot;及今tm 477jUI 這個(gè)性質(zhì)常常使用在極限運(yùn)算中，它能起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用。但是必須注意：等價(jià)無(wú) 窮小量代換可以在極限的乘除運(yùn)算中使用。常用的等價(jià)無(wú)窮小量代換有：當(dāng)工一時(shí)，sinx x;tan x;arctanx x;arcsinx x;卜工業(yè)卜卜二2六兩個(gè)重要極限 重要極限I是指下面的求極限公式S1DK . MSIUba=1 h=1 k=t 承r ，閾工，例】.配 t 、 tin j 1 he- ji'tft 工中£|工J 匚m樂(lè)10口工.1=11 in lin=.沈！IU肥=L 1卜T卯X.譏疝工 21Im -lun-Im一=.用 7 Mant uj_就才這個(gè)公式

21、很重要，應(yīng)用它可以計(jì)算三角函數(shù)的 型的極限問(wèn)題。其構(gòu)造式為：公,巴14廠川sintjr2 t)如 Cr 十力 siul1) 耳一1HK十-limO+D .必廣 2TH - I)=limO + D重要極限n是指下面的公式：lim (1 Jy xii4® n=e4T0 A1 IlimQ+t)1 = etTO其中e是個(gè)常數(shù)銀行家常數(shù)，叫自然對(duì)數(shù)的底，它的值為 其構(gòu)造式為：,km 口+4創(chuàng)產(chǎn).=e重要極限I是屬于卜型的未定型式，重要極限II是屬于“產(chǎn)型的未定式時(shí)，這兩個(gè)重要極限在極限計(jì)算中起很重要的作用，純熟掌握它們是非常必要的。七求極限的方法：1 .利用極限的四那么運(yùn)算法那么求極限;2利用

22、兩個(gè)重要極限求極限；3利用無(wú)窮小量的性質(zhì)求極限;4.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；5利用洛必達(dá)法那么求未定式的極限;6利用等價(jià)無(wú)窮小代換定理求極限。根本極限公式11111 Eqi：3li m =4lim (電/+的產(chǎn) +的尸+*,口2 mT n-2 飛而+由而+a2rD +,+/19601以下變量在給定變化過(guò)程中為無(wú)窮小量的是1 1A. ' -1'Bl'答CC" LD 工2r 二 Lz.n 11x ->Un- Tea, sinA. 工工發(fā)散1 _ - ，-t-電e，tDz1 j 一X 3+h7 -KO, T也XJri _ J-3D. J：20202當(dāng)口時(shí)，皿川

23、與x比較是答B(yǎng)解:當(dāng)與x是iTQln(l+1)TMMlim二 lim -1q(1+jh) r :Hl”'1 I二加皿+嚴(yán)二皿的肝羽t-»C N。=ln = 1極限的運(yùn)算:.，加1hi0611/一.臥*T O3+3-0-1血二2-:=解:IT0川 阮川) 0 + 1 wD答案-1例2：型因式分解約分求極限.X +7-6lim 三10208-" 解:.(.t+3u-2' .1+1 5Inn-.：n - = lim - 田；-4 i->2(-t+2U-2耳；+； I20621計(jì)算哩= 答f解: /-i-2寸(源陽(yáng)。3 l:ci.皿一-=- i-> ；j

24、-4£例3弓型有理化約分求極限10316計(jì)算吐鑼I 答應(yīng)解:后還二血-吁+戶XT?工-2工T2（工-2）（加+偽=li nJ- 2(x- 2)(6 + 4) T>2V )22272771-39516L向晨虛答3般地，有F0(月金那*+內(nèi)產(chǎn)'H!/11T1；I*瓦工+ +用'+，,.一山R（冏 > 洲）j 1 I-;如 口-，司-1西以工叫+!也十1）3TQ）工I求極限19603以下極限中，成立的是A.<.-JB. : |C1*子D.%¥| 答B(yǎng)20006 尸+，一 -解:+lT"削H j-J j46小巴三.如工上 1 n - 十

25、§=n求極限r(nóng)j.1I itsI * / = * Lisifl+Hi'三乜*P X.JLt«a <H二一產(chǎn).% hm 0.51)嚴(yán).| f(盯H'10416計(jì)算W+ 答了解析解一:令Lli* HI+/P F = / JDII解二:定式 hm (t * 占予 IiiFi»n+<a)=ittn+c2>=o -匚誑或0317戶 E答0解:當(dāng)歲三LS才-Jl££l -上匕 - 口 - hn lit -P Fk-9£f X.1-50P X1(1+-*' =/| 哽口 =/*0306-2-0601上iJ2

26、0118計(jì)算!更洌答卜解:一qWEl0407產(chǎn) J 答0解:-45 = 1«口 +凸市g(shù)g)10307段那么“在*的左極限巴答1解析麗/飛?。?quot;一|_/l O4-lJJ hm. / 二 Ikm lo（L +jc j .= U FT：* 10*答12 0406段."T：?：用B么金川仁解析小心普京=加心:一/十,=isi y（j）= kin <mj=i；*o=g 星心| s *zo1工那么常數(shù)小解析解法一:密如空,即許許,得運(yùn)臼.解法二： 令 £+婦馴”也曳三1幽T）三,用一】 i得"=E ,解得；-7.解法三：洛必達(dá)法那么/+ 6 一

27、2"* in/I匚王二七即T”回，得三.2假設(shè)憎=工求a,b的值.而解析型未定式.當(dāng)時(shí), 令 一 產(chǎn)+而+方一，Cl-）Ut*O于是小而kt巴語(yǔ)二后=:得7.即占以+”.皿+棗八力-2,所以-.0402盧0017虱省廣，那么k=.答:ln2業(yè)Mln E=mP = ?H：Jb,llniN前面我們講的內(nèi)容: 極限的概念；極限的性質(zhì)；極限的運(yùn)算法那么；兩個(gè)重要極限；無(wú)窮小量、無(wú)窮大量 的概念；無(wú)窮小量的性質(zhì)以及無(wú)窮小量階的比較。第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性復(fù)習(xí)考試要求1理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與連續(xù)的概念，理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與極限存在之間的關(guān) 系，掌握判斷函數(shù)含分段函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)性的方法。2 .會(huì)求

28、函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)。3 .掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)會(huì)用它們證明一些簡(jiǎn)單命題。4理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會(huì)利用函數(shù)連續(xù)性求極限。主要知識(shí)內(nèi)容一函數(shù)連續(xù)的概念0處連續(xù)定義1設(shè)函數(shù)y=fx在點(diǎn)X。的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，假設(shè)當(dāng)自變量的改變量 x初值 為X。趨近于0時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)的改變量 y也趨近于0,即 螞的口或測(cè)/出 * 3 J 口*-'1 =那么稱函數(shù)y=fX在點(diǎn)x0處連續(xù)。函數(shù)y=fX在點(diǎn)x0連續(xù)也可作如下定義：定義2設(shè)函數(shù)y=fX在點(diǎn)小的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，假設(shè)當(dāng)x-x0時(shí)，函數(shù)y=fX的極限值存在，且等于X。處的函數(shù)值f%，即定義3設(shè)函數(shù)y=fX，假設(shè)虹叵那么稱函數(shù)fX在點(diǎn)x0

29、處左連續(xù)；假設(shè)宴空心1, 那么稱函數(shù)fX在點(diǎn)X0處右連續(xù)。由上述定義2可知假設(shè)函數(shù)y=fX在點(diǎn)X0處連 續(xù)，那么fX在點(diǎn)選處左連續(xù)也右連續(xù)。2.函數(shù)在區(qū)間a, b上連續(xù)定義假設(shè)函數(shù)fX在閉區(qū)間a, b上的每一點(diǎn)x處都連續(xù)，那么稱fX在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，并稱fX為a, b上的連續(xù)函數(shù)。這里，fX在左端點(diǎn)a連續(xù)，是指滿足關(guān)系：照e.,在右端點(diǎn)b連續(xù)，是指滿足關(guān) 系：厘.嗎 即fX在左端點(diǎn)a處是右連續(xù)，在右端點(diǎn)b處是左連續(xù)?？梢宰C明：初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)都連續(xù)。定義假設(shè)函數(shù)fX在點(diǎn)X0處不連續(xù)那么稱點(diǎn)為fX一個(gè)連續(xù)點(diǎn)。由函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義可知，假設(shè) fX在點(diǎn)小處有以下三種情況之一：1在點(diǎn)X

30、0處，fX沒(méi)有定義；2在點(diǎn)處，fX的極限不存在；3雖然在點(diǎn)X0處fX有定義，且詼存在，但Lnz 八二，*五口那么點(diǎn)X0是fX一個(gè)連續(xù)點(diǎn)。P -L.F出“ jl i5jsif卜，那么fX在A.x=0,x=1處都連續(xù)B.x=0,x=1處都連續(xù)C.x=0處連續(xù)，x=1處連續(xù)D.x=0處連續(xù)，x=1處連續(xù)解：x=0 處,f0二0次“”寓“72Vf' 0-0小0+0x=0為fX的連續(xù)點(diǎn)X=1 處，f1=1附一5 =方也/（力=必寓=I ITg|T削依=/3-力=f1-0=f1+0二f1.fX在x=1處連續(xù)答案C4- 2 學(xué)口9703段上/,在x=0處連續(xù)，那么k等于B. C.分析：f0=k（通

31、fan百謫7產(chǎn) r 111r_史TLen=-1（ */由巴j J的必二答案B例30209段儂大 ,在x=0處連續(xù)，那么a二解：f0=e0=1/fl-O）- Em/V6-lirx-e'- 一'IL/1（l + DJ -呵汽” Lnj&*巾Vf0=f0-0=f0+0.a=1答案1二函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì)由于函數(shù)的連續(xù)性是通過(guò)極限來(lái)定義的，因此由極限的運(yùn)算法那么，可以得到以下連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。定理1.12四那么運(yùn)算設(shè)函數(shù)fX，gX在X。處均連續(xù)，那么1fX士 gX在 x0處連續(xù)2fX gX在 X0 處連續(xù)3假設(shè)gX0? 0,那么需在X0處連續(xù)。定理1.13復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù) u=gX在x=x0處連續(xù)，y二fu在u0=g處連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)y=fgX在乂=乂0處連續(xù)。在求復(fù)合函數(shù)的極限時(shí)，假設(shè)u=gX，在X0處極限存在，又y二fu在對(duì)應(yīng)的晅吃弱處 連續(xù)，那么極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)交換。即力/皿/姆"a ”工二-/r葉戌工”=加定理1.14反函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù) y=fX在某區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加或嚴(yán)格單調(diào)減少，那么它的反函數(shù)X二f-1y也在對(duì)應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加或 嚴(yán)格單調(diào)減少。三閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)的函數(shù)fx，有以下幾個(gè)根本性質(zhì)，這些