人教版數(shù)學(xué)必修1知識點總結(jié)及典型例題解析

1、.人教版數(shù)學(xué)必修1 知識點總結(jié)及典型例題解析第一章集合與函數(shù)概念一、集合有關(guān)概念1. 集合的含義2. 集合的中元素的三個特性：(1) 元素的確定性如：世界上最高的山(2) 元素的互異性如：由 HAPPY的字母組成的集合 H,A,P,Y(3) 元素的無序性 :如： a,b,c和 a,c,b是表示同一個集合3. 集合的表示： 如： 我校的籃球隊員 ， 太平洋 , 大西洋 , 印度洋 , 北冰洋 3. 用拉丁字母表示集合： A=我校的籃球隊員 ,B=1,2,3,4,54. 集合的表示方法：列舉法與描述法。5. 注意：常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作： N正整數(shù)集N* 或 N+整數(shù)集 Z

2、有理數(shù)集Q實數(shù)集 R6.列舉法： a,b,c 7.描述法： 將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。 xR| x-3>2 ,x| x-3>28. 語言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 9. Venn 圖 :4、集合的分類：(1)有限集含有有限個元素的集合(2)無限集含有無限個元素的集合2(3)空集不含任何元素的集合例： x|x= 5二、集合間的基本關(guān)系1. “包含”關(guān)系子集注意： AB 有兩種可能 （ 1）A 是 B 的一部分， ；（ 2）A 與 B 是同一集合。反之 : 集合 A 不包含于集合 B, 或集合 B 不包含集合 A, 記作 A B 或 BA2

3、“相等”關(guān)系： A=B (5 5，且 5 5，則 5=5)實例：設(shè)2“元素相同則兩集合相等”A=x|x -1=0 B=-1,1即：任何一個集合是它本身的子集。A A真子集 : 如果 A B, 且 A B 那就說集合 A 是集合 B 的真子集，記作 AB( 或B A)如果 AB,B C,那么 A C 如果A B 同時B A那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，記為規(guī)定 :空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。10.有 n 個元素的集合，含有2n 個子集， 2n-1 個真子集三、集合的運算運算交集并集類型定由所有屬于A 且屬由所有屬于集合 A 或義于 B 的元素所組成屬于集合 B

4、的元素所的集合 , 叫做 A,B 的組成的集合， 叫做 A,B交集 記作 A B（讀的并集記作： A B補集設(shè) S 是一個集合， A 是S 的一個子集，由S 中所有不屬于A的元素組成的集合， 叫做 S 中子集 A 的補集（或余集）;.作 A 交 B），即（讀作 A 并 B），記作 CSA ，即A B= x|xA，且即 A B =x|xA，xB或 x B) x| x S, 且x ACSA=韋恩ABABSA圖示圖 1圖 2性AA=AAA=A(CuA)(C uB)A =A =A= Cu(AB)AB=BAAB=B A(CuA)(C uB)AB AAB = C(A B)質(zhì)A B BA B BuA(C u

5、A)=UA(C uA)= 例題：1. 下列四組對象，能構(gòu)成集合的是（）A 某班所有高個子的學(xué)生B 著名的藝術(shù)家C 一切很大的書 D倒數(shù)等于它自身的實數(shù)2. 集合 a ， b， c 的真子集共有個3. 若集合 M=y|y=x2-2x+1,xR,N=x|x 0 ，則 M與 N 的關(guān)系是.4. 設(shè)集合 A= x 1 x2 ， B= x xa ，若 AB，則 a 的取值范圍是5.50 名學(xué)生做的物理、化學(xué)兩種實驗，已知物理實驗做得正確得有40人，化學(xué)實驗做得正確得有31 人，兩種實驗都做錯得有4 人，則這兩種實驗都做對的有人。6. 用描述法表示圖中陰影部分的點（含邊界上的點）組成的集合M=.7. 已知

6、集合22A=x| x +2x-8=0, B=x| x-5x+6=0, C=x|2 2x -mx+m-19=0, 若 B C ， A C= ，求 m的值二、函數(shù)的有關(guān)概念1函數(shù)的概念：設(shè)A、B 是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f ，使對于集合 A 中的任意一個數(shù) x，在集合 B 中都有唯一確定的數(shù) f(x) 和它對應(yīng)，那么就稱 f ：A B 為從集合 A 到集合 B 的一個函數(shù) 記作： y=f(x) ，xA其中， x 叫做自變量， x 的取值范圍 A 叫做函數(shù)的定義域；與 x 的值相對應(yīng)的 y 值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合 f(x)| x A 叫做函數(shù)的值域注意：1定義域：能使函數(shù)式有意義

7、的實數(shù)x 的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1) 分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3) 對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4) 指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.;.(5) 如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的 . 那么，它的定義域是使各部分都有意義的 x 的值組成的集合 .(6) 指數(shù)為零底不可以等于零，(7) 實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.11. 相同函數(shù)的判斷方法：表達(dá)式相同（與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)）；定義域一致( 兩點必須同時具備)( 見課本 21 頁相關(guān)例 2)2值域 :先考慮其定義域(1) 觀

8、察法(2) 配方法(3) 代換法3. 函數(shù)圖象知識歸納(1) 定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(x) , (x A) 中的 x 為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點 P ，y)的集合C，叫做函數(shù)y=f(x),(xA)的圖(x象C 上每一點的坐標(biāo)(x ，y) 均滿足函數(shù)關(guān)系 y=f(x) ，反過來，以滿足 y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y 為坐標(biāo)的點 (x ， y) ，均在 C 上 .(2) 畫法12. 描點法：13. 圖象變換法常用變換方法有三種14. 平移變換15. 伸縮變換16. 對稱變換4區(qū)間的概念（ 1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間（ 2）無窮區(qū)間（ 3）區(qū)間的數(shù)軸表示

9、5映射一般地， 設(shè) A、B 是兩個非空的集合， 如果按某一個確定的對應(yīng)法則f ，使對于集合 A 中的任意一個元素 x，在集合 B 中都有唯一確定的元素y 與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f ： AB 為從集合 A 到集合 B 的一個映射。記作“f（對應(yīng)關(guān)系）： A（原象）B（象）”對于映射f： 來說，則應(yīng)滿足：AB(1) 集合 A 中的每一個元素，在集合 B中都有象，并且象是唯一的；(2) 集合 A 中不同的元素，在集合 B 中對應(yīng)的象可以是同一個；(3) 不要求集合 B 中的每一個元素在集合 A 中都有原象。6. 分段函數(shù)(1) 在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。(2) 各部分的自變量的取

10、值情況(3) 分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集補充：復(fù)合函數(shù)如果 y=f(u)(u M),u=g(x)(x A), 則 y=fg(x)=F(x)(x A)稱為 f 、 g的復(fù)合函數(shù)。二函數(shù)的性質(zhì)1. 函數(shù)的單調(diào)性 ( 局部性質(zhì) ) （ 1）增函數(shù)設(shè)函數(shù) y=f(x)的定義域為 I ，如果對于定義域I 內(nèi)的某個區(qū)間 D 內(nèi)的任意兩個自變量 x1，x2，當(dāng) x1<x 2 時，都有 f(x 1)<f(x2) ，那么就說 f(x)在區(qū)間D 上是增函數(shù) . 區(qū)間 D 稱為 y=f(x) 的單調(diào)增區(qū)間 .時，都有 f(x)如果對于區(qū)間D 上的任意兩個自變量的值x ，x

11、，當(dāng) x <x11212;. f(x 2) ，那么就說 f(x) 在這個區(qū)間上是減函數(shù) . 區(qū)間 D 稱為 y=f(x) 的單調(diào)減區(qū)間 .注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；（ 2） 圖象的特點如果函數(shù) y=f(x) 在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)， 那么說函數(shù) y=f(x) 在這一區(qū)間上具有 ( 嚴(yán)格的 ) 單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3). 函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A) 定義法：1 任取 x1， x2 D，且 x1<x2；2 作差 f(x 1) f(x 2) ；3 變形（通常是因式分解和配方）；4 定號（即判斷差f(x

12、1) f(x 2) 的正負(fù)）；5 下結(jié)論（指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）(B) 圖象法 ( 從圖象上看升降 )(C) 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù) f g(x) 的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù) u=g(x) ，y=f(u) 的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間, 不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.8函數(shù)的奇偶性（整體性質(zhì)）（ 1）偶函數(shù)一般地， 對于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有 f( x)=f(x)，那么f(x) 就叫做偶函數(shù)（ 2）奇函數(shù)一般地， 對于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有 f( x)= f(x)，那么 f

13、(x)就叫做奇函數(shù)（ 3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：1 首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點對稱；2 確定 f( x) 與 f(x)的關(guān)系；3 作出相應(yīng)結(jié)論：若f( x) = f(x)或 f( x) f(x) = 0，則 f(x)是偶函數(shù)；若f( x) = f(x)或 f( x) f(x) = 0，則 f(x)是奇函數(shù)注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù). 若對稱， (1) 再根據(jù)定義判定; (2)由 f(-x)±

14、f(x)= 0 或 f(x) f(-x)=±1 來判定 ; (3) 利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定.9、函數(shù)的解析表達(dá)式（ 1） . 函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時，一是要求出它們之間的對應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.（ 2）求函數(shù)的解析式的主要方法有：17. 湊配法18. 待定系數(shù)法19. 換元法20. 消參法10函數(shù)最大（?。┲担ǘx見課本p36 頁）1 利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲? 利用圖象求函數(shù)的最大（?。┲?.3 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲担喝绻瘮?shù)y=f(x)在區(qū)間 a ， b 上單調(diào)遞增，在區(qū)間b ，

15、c 上單調(diào)遞減則函數(shù) y=f(x) 在 x=b 處有最大值 f(b) ；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間 a ， b 上單調(diào)遞減，在區(qū)間b ， c 上單調(diào)遞增則函數(shù) y=f(x) 在 x=b 處有最小值 f(b) ；例題：1. 求下列函數(shù)的定義域：x 22 x15 yx1)2 y331 (1xx2. 設(shè)函數(shù) f (x) 的定義域為 0， 1 ，則函數(shù) f ( x 2 ) 的定義域為 _ _3. 若函數(shù) f ( x1)的定義域為 2， 3 ，則函數(shù) f (2 x1) 的定義域是4. 函數(shù)x2( x1)，若 f (x)3 ，則 x =f ( x)x2( 1x 2)2x( x2)5. 求下列函數(shù)的值域：

16、yx22x 3(xR) yx22x 3x1,2(3)y x12 x(4)yx24x56.已知函數(shù) f (x 1)x 24x ，求函數(shù) f (x)， f (2x1)的解析式7.已知函數(shù) f(x)滿足 2f (x)f ( x) 3x4，則 f ( x) =。8.設(shè) f(x)是 R 上的奇函數(shù)，且當(dāng) x0,) 時 , f (x)x(13 x ) , 則當(dāng) x (,0) 時 f (x) =f (x) 在 R上的解析式為9. 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： y x22 x 3 yx22 x 3 y x26 x 110.判斷函數(shù) yx31 的單調(diào)性并證明你的結(jié)論11.設(shè)函數(shù) f ( x)1x2判斷它的奇偶性并且求

17、證：f ( 1 )f (x ) 21xx第二章 基本初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)（一）指數(shù)與指數(shù)冪的運算1根式的概念： 一般地，如果 xna ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n >1，且 n N * 21. 負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0 的任何次方根都是0，記作 n 00。當(dāng) n 是奇數(shù)時， n a na ，當(dāng) n 是偶數(shù)時， n a na(a0)| a |(a0)a2分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：ma n n a m (a0, m, nN * ,n1)，;.m11a n0, m, n N*, n 1)m(aa nn am22. 0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 0， 0 的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有

18、意義3實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)（ 1） a r · a rar s( a0, r, sR) ；（ 2） (ar ) sa rs( a0, r, sR) ；（ 3） (ab) ra r as( a0, r, sR) （二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y a x (a 0,且 a1) 叫做指數(shù)函數(shù)，其中 x 是自變量，函數(shù)的定義域為R注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和12、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>10<a<166554433221111-4-2246-4-224600-1-1定義域 R定義域 R值域 y 0值域 y 0在 R 上單調(diào)遞增

19、在 R 上單調(diào)遞減非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都過定函數(shù)圖象都過定點（ 0， 1）點（ 0， 1）注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：（ 1 ） 在 a ， b 上 ， f (x) a x (a 0 a 1)值 域 是 f (a), f (b) 或且 f (b), f (a) ；（ 2）若 x 0，則 f ( x )1； f ( x) 取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)xR ；（ 3）對于指數(shù)函數(shù) f (x)ax (a0 a1)，總有 f (1)a ；且二、對數(shù)函數(shù)（一）對數(shù)1對數(shù)的概念： 一般地， 如果 a xN(a0, a1)，那么數(shù) x叫做以a 為底 N 的對數(shù)， 記作： xlog a N

20、 （ a 底數(shù)， N 真數(shù)， log a N 對數(shù)式）a 0a1說明：，且；1 注意底數(shù)的限制2a xNlog aNx；log a N3注意對數(shù)的書寫格式;.兩個重要對數(shù)：1 常用對數(shù)：以10 為底的對數(shù)lg N ；2 自然對數(shù)：以無理數(shù)e2.71828為底的對數(shù)的對數(shù)ln N 23. 指數(shù)式與對數(shù)式的互化冪值真數(shù)ab Nlog a N b底數(shù)指數(shù)對數(shù)（二）對數(shù)的運算性質(zhì)如果 a0 ，且 a1， M0 ， N0 ，那么：1(M·N)log a M log a N ； log a2 log aMlog a M log aN ；Nn3Mn log a M(nR) log a注意：換底公式

21、log a bloglogccb0 ，且 a1； c0 ，且 c1 ； b0 ）（ aa利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論（ 1） log am bnn loga b ；（ 2） log a b1mlog b a（二）對數(shù)函數(shù)1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)ylog a x(a0，且 a1) 叫做對數(shù)函數(shù)，其中 x 是自變量，函數(shù)的定義域是（0， +）注意： 1 對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義， 注意辨別。 如：y 2 log 2 x ， y log 5 x 都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù)52 對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：(a0，且a1)2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：a>10<a<133

22、2.52.5221.51.51 11 10.50.5-112345678-10-0123456780.511-0.5-1-1-1.5-1.5-2-2-2.5-2.5定義域 x0定義域 x 0值域為 R值域為 R在 R上遞增在 R上遞減函數(shù)圖象都過函數(shù)圖象都過定點定點（ 1， 0）（1， 0）（三）冪函數(shù);.1、冪函數(shù)定義：一般地，形如yx( aR) 的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù)2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納（ 1）所有的冪函數(shù)在（0， +）都有定義并且圖象都過點（1， 1）；（ 2）0 時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間 0,) 上是增函數(shù) 特別地，當(dāng)1時，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)01時，冪函數(shù)的圖象上凸；（ 3）0 時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,) 上是減函數(shù)在第一象限內(nèi)，當(dāng) x 從右邊趨向原點時，圖象在y 軸右方無限地逼近y 軸正半軸，當(dāng)x 趨于時，圖象在x 軸上方無限地逼近x 軸正半軸例題：1. 已知 a>0 ，a0 ，函數(shù) y=a x 與 y=log a(-x) 的圖象只能是()2.計算： log 32; 2 4 log 2 3